数论中的模函数与狄利克雷级数（第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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T.M.阿普斯托 著

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• 数论
• 模函数
• 狄利克雷级数
• 解析数论
• 第二版
• 数学
• 高等数学
• 专业教材
• 学术著作
• 数论研究

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560366395

版次：2

商品编码：12256157

包装：平装

开本：16

出版时间：2017-11-01

用纸：胶版纸

编辑推荐

本书适合高等院校师生及数学爱好者研读。

内容简介

本书主要介绍模函数和狄利克雷级数的相关理论，并且进一步叙述了其理论对于数论的应用。内容包括关于分拆函数的拉德马切尔级数的收敛性，关于模函数系数的收敛性，以及具有积性的整形式理论，*后讲述了广义狄利克雷级数等价性的博尔理论。

目录

【目录】

第1章 椭圆函数

1.1 引言

1.2 双周期函数

1.3 基本周期对

1.4 椭圆函数

1.5 椭圆函数的构造

1.6 Weierstrass（维尔斯特拉斯）函数

1.7 在原点附近的Laurent（洛朗）展开式

1.8 满足的微分方程

1.9 Eisenstein（艾森斯坦）级数和不变量g2和g3

1.10 数e1，e2，e3

1.11 判别式

1.12 Klein（克莱因）模函数J

1.13 J在单位模变换下的不变性

第2章 模群和模函数

第3章 Dedekind（戴德金）函数

第4章 关于模函数j的系数的同余式

第5章 分拆函数的Rademacher（拉德马切尔）级数

第6章 具有积性系数的模形式

第7章 Kronecker（克罗内克）定理及其应用

第8章 广义Dirichlet（狄利克雷）级数和Bohr（博尔）等价性

第9章 Dedekind（戴德金）函数方程的另一种证明

参考文献

经典分析与代数几何的交汇：一个关于椭圆曲线、模形式与L-函数的深度探索 本书旨在为高等数学、理论物理以及相关交叉学科的研究者和高年级本科生提供一个全面而深入的视角，聚焦于现代代数几何与解析数论的核心交汇点——椭圆曲线理论、模形式理论及其关联的L-函数。我们避开了对初等数论中的同余、二次剩余等基础概念的赘述，而是直接切入更宏大、更具结构性的现代数学框架。 第一部分：椭圆曲线的代数结构与算术几何基础 本书从严谨的代数几何角度出发，构建椭圆曲线的坚实基础。 第一章：域上的椭圆曲线 我们首先定义域 $K$ 上的非奇异射影曲线 $E$，其上存在一个 $K$-有理点 $O$，并满足特定的 Weierstrass 标准形式。重点在于理解椭圆曲线的群律的代数构造：如何证明加法运算是双有理的，并自然地赋予曲线一个阿贝尔群结构。我们将深入探讨 $K$-有理点集 $E(K)$ 的结构，尤其是当 $K$ 是有理数域 $mathbb{Q}$ 时，Mordell-Weil 定理的现代证明框架，强调其依赖于椭圆曲线上的局部完备性（如 $p$-adic 完备性）和全局限制。 第二章：模空间与模形式的初步几何视角 不同于侧重于傅里叶展开的传统方法，我们首先从几何角度引入模空间 $mathcal{M}_1$（或 $mathcal{M}_{SL_2(mathbb{Z})}$）的概念。我们将探讨如何通过商空间 $mathbb{H}/Gamma$ 来构造模空间，其中 $mathbb{H}$ 是上半复平面，$Gamma$ 是模群 $SL_2(mathbb{Z})$。这里的“模形式”被视为 $mathbb{H}$ 上的函数，它们在 $Gamma$ 作用下具有特定的变换性质，并对尖点（cusps）具有良好的正则性。我们将着重于模曲线 $X_1(N)$ 的构造，它参数化带有一个 $N$-阶点（或 $N$-分点）的椭圆曲线，从而建立了模空间与特定代数簇之间的深刻联系。 第三章：局部场上的椭圆曲线 本章转向更普适的数论背景，考察椭圆曲线在局部域 $mathbb{Q}_p$ 上的性质。我们详述了 Tate 结构下的 $p$-adic 均匀化（Tate Uniformization Theorem），这为连接解析方法和代数几何提供了强大的工具。内容包括：对 $p$-adic 椭圆曲线的局部群结构分析，以及如何使用 $p$-adic 幂级数来描述这些曲线的局部L-函数。我们还将简要介绍 Néron-Severi 群的 $p$-adic 变形，为后续的 $ ext{log-canonical}$ 度量讨论做铺垫。 第二部分：模形式的解析结构与对称性 本部分侧重于模函数的解析性质，强调其傅里叶展开（Fourier expansion）与群作用的内在联系。 第四章：Hecke 代数与特征化 我们将严格定义模形式空间 $S_k(Gamma)$，并引入权重 $k$ 和 $Gamma$ 的表示。核心在于 Hecke 代数 $mathbb{T}$ 的构造，该代数由 Hecke 算子 $T_n$ 生成。我们证明 Hecke 算子是自伴算子，并详细阐述特征化定理 (Eichler-Shimura Theory 的核心推论)：模形式的傅里叶系数 $a_n$（由 $f(z) = sum a_n q^n$ 给出）满足特定的乘性关系，这正是 Hecke 算子作用的结果。 第五章：非阿贝尔模形式与新形式 本书将区分新形式（Newforms）和旧形式（Oldforms）。我们引入 Kohnen 空间的结构，特别是对于 $Gamma_0(N)$ 下的模形式。核心内容是新形式的唯一性与正交性：任何在 $Gamma_0(N)$ 下的模形式都可以唯一地分解为由特征化新形式所张成的空间上的线性组合。我们将探讨 $SL_2(mathbb{Z})$ 的更高子群（如 $Gamma_1(N)$ 或 $Gamma(N)$）下的理论，并讨论由 $N$-th 幂展开的 L-函数定义。 第六章：Petersson 内积与自对偶性 我们定义 Petersson 内积，并证明 Hecke 算子相对于此内积的自伴性。此性质是证明 Hecke 代数半单性（Semisimplicity）的关键。进一步，我们将分析模形式空间上的典范对偶性，以及 $ ext{Mass Form}$ 与 $ ext{Cusp Form}$ 之间的关系，为后续的 Rankin-Selberg 卷积作理论准备。 第三部分：L-函数与算术的桥梁 本部分是全书的理论高潮，致力于构建 L-函数的解析性质与椭圆曲线算术性质之间的精确对应关系。 第七章：椭圆曲线的 L-函数与 Hasse-Weil 形式 对于一个定义在 $mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线 $E$，我们定义其 L-函数 $L(E, s)$。本书将侧重于其 Hasse-Weil 形式：基于模 $p$ 上的点计数 $E(mathbb{F}_p)$ 的 $p$-因子构造。我们将证明该 L-函数满足一个形式上的欧拉乘积展开，并通过引入 $a_p$ 证明其与模形式的傅里叶系数 $a_p$ 的精确关联——即 Eichler-Shimura 对应的解析部分。 第八章：模形式 L-函数的解析性质 我们关注抽象的模形式 L-函数 $L(f, s)$，其中 $f$ 是一个新形式。核心内容包括：证明 $L(f, s)$ 可以在 $Re(s) = k/2$ 处有一个极点（若 $f$ 为 Eisenstein 级数）或正则（若 $f$ 为 Cusp Form），并构造一个精确的 函数方程 (Functional Equation)，连接 $L(f, s)$ 与 $L(f, k-s)$。我们将讨论 Gamma 因子和局部数据（如 $Omega$ 因子）在函数方程中的作用。 第九章：Motivic L-函数的展望 最后，我们从现代代数几何的角度对前述结果进行概括。我们介绍 Motivic L-函数 的概念，它将 L-函数视为一个更宏大的、与 $E$ 相关的 $L$-函数的局部化。本书将简要回顾 Taniyama-Shimura-Weil 猜想（模化定理）的结构，说明该猜想如何将所有有理椭圆曲线与特定的模形式严格关联起来，从而为费马大定理的证明提供了最终的理论框架。我们将讨论其更深层次的含义，即 L-函数的算术信息如何编码在模空间中的代数几何性质中。 本书的叙述风格力求精确严谨，专注于现代代数拓扑、表示论与代数几何工具的应用，旨在为读者搭建起通往算术几何前沿研究的坚实桥梁。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书的时候，我正在为一项涉及到数论在密码学中应用的课题做准备。我需要一些更前沿的数学工具来构建更安全的加密算法。我的导师曾经提到过，模函数在一些高级的加密体制中扮演着关键角色，而狄利克雷级数则可能在分析算法的性能和复杂性方面有所帮助。这本书的出现，简直像是一场及时雨。我特别期待书中关于模函数在数论之外的引申应用，比如它是否能够解释某些组合数学中的计数问题，或者在代数几何中是否存在有趣的联系。至于狄利克雷级数，我希望它能提供一种强大的分析工具，让我能够量化某些数学对象的分布规律，从而为密码学算法的设计提供理论依据。我希望这本书的讲解能够清晰易懂，即使是对于非数学专业背景但对应用数学有浓厚兴趣的读者，也能领略到其中的精妙之处。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数论怀有极大热情的业余爱好者，我一直在寻找能够系统地提升我数论知识水平的书籍。我之前阅读过一些经典的数论入门读物，对欧拉定理、费马小定理等基本概念有了一定的了解。然而，当我看到《数论中的模函数与狄利克雷级数（第二版）》这个书名时，我感觉到一股新的挑战和兴奋。我隐约记得，模函数在处理一些数论问题时，能够展现出出人意料的简洁和优雅。而狄利克雷级数，我虽然不完全理解它的定义，但听起来就充满了数学的神秘感。我希望这本书能够从一个相对容易入门的角度开始，循序渐进地讲解模函数的概念，并逐步引导我进入狄利克雷级数的奇妙世界。我期待能够在这本书中找到一些能够让我眼前一亮、豁然开朗的数学洞见，并且希望能够学习到一些有趣的数论性质，以便在我的业余研究中能够有所应用。

评分☆☆☆☆☆

我是一名数学系的研究生，目前的研究方向是解析数论。我一直对狄利克雷级数情有独钟，它们的美妙之处在于能够将离散的数论对象转化为连续的函数，并通过分析函数的性质来揭示数的奥秘。我在学习过程中遇到过很多关于狄利克雷级数的教材，但很少有能够将它与模函数如此紧密地结合起来进行讲解的。我看到这本书的标题时，立刻被它所吸引。我非常好奇，模函数这个相对“初等”的概念，是如何与像狄利克雷级数这样“高级”的工具结合在一起的。我猜测书中可能涉及一些关于模形式与狄利克雷L-函数之间的深刻联系，这正是我一直想要探索的领域。我希望这本书能够提供一些我未曾接触过的视角和方法，让我能够更好地理解这些概念之间的内在联系，并为我未来的研究提供新的思路。

评分☆☆☆☆☆

最近，我在整理我大学时期的数学笔记，偶然翻到一本关于代数数论的旧书，里面提到了数论中的一些“更高级”的概念，包括模函数和狄利克雷级数。当时我因为基础不够扎实，对这些内容只能囫囵吞枣，留下了一知半解的印象。如今，随着年龄的增长和数学视野的开阔，我越发觉得这些概念的重要性。这本《数论中的模函数与狄利克雷级数（第二版）》恰好填补了我知识体系中的这一块空白。我希望能在这本书中找到对模函数的清晰定义和性质的详尽阐述，了解它们是如何在数论中被构建和应用的。同时，我也对狄利克雷级数如何与数论的各种问题联系起来感到好奇，特别是它在解析数论中的强大威力。我期望这本书能够提供一个严谨又不失启发性的视角，让我能够重新认识并深入理解这两个重要的数论工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计很朴实，一看就知道是一本严谨的学术著作。我之所以选择它，纯粹是因为在研究一个涉及模算子性质的问题时，频繁地遇到了“模函数”这个概念，但对其了解仅停留在初等数论的皮毛。这让我意识到，要深入理解这个领域，必须依赖更专业的书籍。在众多选择中，这本《数论中的模函数与狄利克雷级数（第二版）》吸引了我，它庞大的篇幅和严谨的标题预示着内容的深度和广度，这正是我所需要的。我期望这本书能够系统地介绍模函数的定义、性质以及它们在数论中的重要应用。同时，我也对“狄利克雷级数”这一部分感到好奇，虽然我大概知道它与素数定理等有联系，但具体是如何运作的，以及它与模函数之间可能存在的深刻联系，是我非常想在书中找到答案的地方。读完这本书，我希望能对模函数有一个透彻的理解，并能将它灵活地应用于解决我遇到的具体研究问题。