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席南华 等 著

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• 数学
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• 学科

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030546159

版次：01

商品编码：12280743

包装：平装

开本：16开

出版时间：2018-01-01

页数：252

字数：299000

正文语种：中文

内容简介

　　中国科学院数学研究所一批中青年学者发起组织了数学所讲座，介绍现代数学的重要内容及其思想、方法，旨在开阔视野，增进交流，提高数学修养。《数学所讲座2015》的文章系根据2015年数学所讲座9个报告的讲稿整理而成，按报告的时间顺序编排。具体内容包括：三维复双有理几何、图论、双哈密顿系统与可积系统、二维共形量子场论、描述集合论、拓扑量子场论和几何不变量、图像恢复问题中的数学方法、湍流、表示论中的狄拉克上同调等。

目录

目录
1 从形式化的终极奇点的组合律到复三维精细双有理几何 陈猛
1.1 问题的背景 1
1.1.1 序言 1
1.1.2 高维双有理几何概述 2
1.1.3 三维代数簇的精细分类问题 3
1.2 奇点篮及其组合数学 4
1.2.1 三维终极奇点 4
1.2.2 Reid的奇点篮及黎曼-洛克公式 5
1.2.3 组合意义下的终极奇点 5
1.2.4 奇点篮的典范序列 7
1.2.5 基本挤压数2n(B)的计算 8
1.3 加权奇点篮的计算公式和关键不等式 9
1.3.1 加权奇点篮与不变量 9
1.3.2 加权奇点篮的挤压偏序及其性质 9
1.3.3 加权奇点篮的典范序列 9
1.3.4 用欧拉特征标表示奇点篮 10
1.4 形式化奇点篮的组合律的几何应用 13
1.4.1 几何奇点篮 13
1.4.2 一般型三维簇的精细双有理几何 13
1.4.3 有理法诺三维簇的精细有界性 14
1.4.4 加权完全交三维簇的完整分类 15
参考文献 15
2 图论中的若干问题 范更华
2.1 七桥问题 19
2.2 欧拉图分解及相关问题 20
2.3 四色问题 22
2.4 哈密顿圈问题 23
2.5 Ramsey数问题 25
2.6 整数流问题 26
2.7 子图和问题 27
2.8 图论的应用 29
附记 30
参考文献 30
3 双哈密顿上同调与非线性可积系统 张友金
3.1 引言 32
3.2 KdV方程簇及其双哈密顿结构 34
3.3 无穷维哈密顿结构及其上同调 38
3.4 双哈密顿结构及其上同调 44
3.5 流体力学型双哈密顿结构的拓扑形变 48
3.6 结尾 51
参考文献 52
4 二维共形量子场论：数学定义和顶点算子代数表示理论方法 黄一知
4.1 引言 54
4.2 定义、早期结果和猜想 55
4.2.1 定义 55
4.2.2 Verlinde猜想和Verlinde公式 57
4.2.3 Moore-Seiberg多项式方程和猜想 58
4.2.4 Witten的猜想和问题 59
4.2.5 关于Calabi-Yau非线性西格玛模型的猜想 59
4.2.6 中心荷为24的亚纯有理共形场论的分类猜想 60
4.2.7 早期结果和猜想所提出的数学问题 61
4.3 一个长期研究纲领和已经解决的主要问题 62
4.3.1 一个构造和研究共形场论的长期纲领 62
4.3.2 顶点算子代数的几何 63
4.3.3 交错算子和顶点张量范畴 64
4.3.4 模不变性 66
4.3.5 Verlinde公式、刚性和模性性质 68
4.3.6 全共形场论和开-闭共形场论 70
4.3.7 上同调和变形理论 71
4.3.8 顶点算子代数的扭曲模和不动点子代数 72
4.3.9 关于Schellekens分类猜想的研究进展 73
4.4 有待解决的问题和猜想 74
4.4.1 构造满足Kontsevich-Segal-Moore-Seiberg公理的有理共形场论 74
4.4.2 阶限制顶点代数上同调理论和模的完全可约性 76
4.4.3 共形场论的模空间 77
4.4.4 对数共形场论的构造和研究 78
4.4.5 轨形共形场论 79
4.4.6 月光模顶点算子代数的唯一性和中心荷为24的亚纯有理共形场论的分类 80
4.4.7 Calabi-Yau超共形场论 80
4.4.8 顶点算子代数方法和共形网方法的关系 81
参考文献 82
5 等价关系、分类问题与描述集合论 高速
5.1 等价关系 92
5.2 作为等价关系的分类问题 93
5.3 等价关系的描述集合论 96
5.4 不变量描述集合论 100
5.5 轨道等价关系 103
5.6 非轨道等价关系 105
5.7 结论与前景 106
参考文献 107
6 拓扑量子场论和几何不变量 阮勇斌
参考文献 116
7 图像恢复问题中的数学方法 董彬沈佐伟张小群
7.1 绪论 117
7.2 小波框架方法 121
7.2.1 小波框架变换 121
7.2.2 小波框架变换对图像的逼近 125
7.2.3 小波框架图像恢复模型与算法 129
7.3 PDE方法 134
7.3.1 全变差 135
7.3.2 广义全变差 136
7.3.3 Mumford-Shah模型 137
7.3.4 Perona-Malik方程 140
7.4 小波框架和PDE方法的联系与融合 141
7.4.1 小波框架模型和变分模型的联系 142
7.4.2 小波框架迭代算法和PDE模型的联系 147
7.5 数据驱动稀疏表达 152
7.5.1 随机方法 152
7.5.2 K-SVD：基于过完备字典的稀疏表达 155
7.5.3 数据驱动的紧框架构造 157
7.5.4 用深层神经网络进行图像降噪和修补 160
7.5.5 用深层卷积神经网络实现图像超分辨 162
参考文献 166
8 湍流：19世纪的问题，21世纪的挑战 何国威
参考文献 184
9 表示论中的Dirac上同调 黄劲松
9.1 引言 186
9.1.1 起源 186
9.1.2 概述 187
9.2 关于Dirac上同调的Vogan猜想 188
9.2.1 实约化群与(g；K)-模 188
9.2.2 Dirac算子的定义 191
9.2.3 Vogan猜想及推广 192
9.3 Harish-Chandra模的Dirac上同调 194
9.3.1 有限维模的Dirac上同调 194
9.3.2 酉Aq(*)-模的Dirac上同调 195
9.4 Dirac上同调与(g；K)-上同调 196
9.4.1 (g；K)-上同调 196
9.4.2 Dirac上同调与(g；K)-上同调的关系 199
9.5 最高权模的Dirac上同调 200
9.5.1 Kostant立方Dirac算子 200
9.5.2 Oq范畴 202
9.5.3 不可约最高权模的Dirac上同调 205
9.6 Dirac上同调与u-上同调 206
9.6.1 u-上同调 206
9.6.2 p+-上同调、u-上同调与Dirac上同调 208
9.7 Dirac上同调的分步计算 210
9.8 K-特征标与分歧律 212
9.8.1 最低权模的K-特征标与Dirac指标 212
9.8.2 On*GLn与Sp2n*GL2n的分歧律 215
9.8.3 GLn*SO2n与GLn*Sp2n的分歧律 217
9.9 椭圆表示与内窥理论 218
9.9.1 椭圆表示 218
9.9.2 正交关系与超缓增广义函数 220
9.9.3 有正则无穷小特征标的椭圆表示 221
9.9.4 离散序列表示的伪系数函数 222
9.9.5 内窥传递 223
9.9.6 亚椭圆表示 226
参考文献 226
汉英术语对照 232

数学前沿探索与应用：综合研讨集（2016-2023） 导言：新时代的数学视角与挑战 本书汇集了2016年至2023年间，来自全球顶尖学术机构和研究中心的数学家们在多个核心领域所取得的最新进展、深刻见解以及对未来研究方向的展望。它并非对特定年份讲座的简单记录，而是一部跨越八年的、反映数学领域整体脉动与重大突破的综合性研讨文集。我们的目标是提供一个广阔的视野，涵盖纯数学的基础性突破、应用数学在复杂系统中的新工具，以及计算数学对传统难题的革新性解答。 本书内容涵盖了代数几何、拓扑学、微分方程、概率论、统计物理、金融数学、数据科学的理论基础等多个维度，旨在促进不同研究方向之间的对话与交叉融合。 --- 第一部分：代数与几何的深刻联系（2016-2018 年的沉淀） 本部分聚焦于代数拓扑、代数几何以及范畴论在现代数学结构研究中的应用与深化。 第一章：高维代数簇上的周期性与模空间（2016） 本章深入探讨了代数几何中模空间（Moduli Spaces）的构造及其拓扑性质。研究者们关注于如何利用柯霍姆同调（Cohomology Theories）来刻画模空间的奇点结构。具体分析了Calabi-Yau流形在高维投影空间中的嵌入性质，特别关注了其稳定向量丛的分类。报告详细阐述了如何通过平移（Deformation）理论来理解这些空间的局部刚性，并引入了一种基于Schur多项式的新的不变量来区分同胚但非代数等价的簇。我们考察了由弦理论驱动的研究，探讨了某些模空间上稳定截面（Stable Sections）的存在性条件，这对于理解理论物理中的紧化过程至关重要。内容强调了Hodge理论在辨识模空间中特定代数结构方面的不可替代性。 第二章：非交换几何与环论的前沿（2017） 非交换几何是连接几何直觉与代数工具的桥梁。本章侧重于非交换环上的几何化尝试。重点介绍了由 Alain Connes 框架所衍生出的新的K-理论工具，并将其应用于研究非交换李群的表示论。研究人员提出了一种新的“非交换黎曼曲率”的定义，旨在捕捉那些不满足经典微分几何假设的空间的局部弯曲特性。在环论方面，我们详细剖析了分次代数（Graded Algebras）与同调代数之间的深刻联系，特别关注了同调的稳定范围以及如何利用它们来构造新的同调不变量。章节的后半部分则转向了算子代数（Operator Algebras）在量子信息理论中的应用，特别是关于C-代数中可观测量表示的研究。 第三章：低维拓扑中的纽结与3-流形（2018） 本章聚焦于三维流形及其边界的拓扑不变量。纽结理论作为研究三维空间嵌入性质的窗口，得到了新的代数工具的支撑。我们审视了Khovanov同调的进一步发展及其与Heegaard多重性的关系。报告提出了一个关于Seifert曲面面积谱（Area Spectrum of Seifert Surfaces）的猜想，该谱被认为可以完全区分某些同痕但非等价的纽结。此外，书中还探讨了3-流形分类中的拓扑量子场论（TQFT）方法，展示了TQFT如何提供更强的代数约束来识别流形的结构，特别是关于Chern-Simons 理论在描述3-流形模空间时的作用。 --- 第二部分：分析、动力学与随机过程的复杂性（2019-2021 年的突破） 本部分关注于非线性偏微分方程、动力系统稳定性分析以及现代概率论在复杂系统建模中的应用。 第四章：非线性演化方程的全局解与爆破现象（2019） 本章聚焦于具有高阶非线性和奇异性的偏微分方程，如Navier-Stokes方程的改进模型、非线性Schrödinger方程（NLS）以及波方程的耗散版本。核心研究在于确定全局解的存在性与唯一性，以及在何种条件下会出现解的“爆破”（Blow-up）。报告特别引入了一种新的能量泛函，该泛函巧妙地结合了Gagliardo-Nirenberg不等式和Sobolev空间中的低频截断，成功地证明了在特定初始条件下的三维对称解的长期存在性。同时，我们分析了“临界光滑性”问题，即解的正则性如何受到初始数据中高频分量的影响。 第五章：随机过程在介观系统中的新模型（2020） 随着物理系统尺寸的缩小，经典的热力学极限不再适用。本章探讨了随机过程在介观物理（Mesoscopic Systems）中的应用。重点分析了分数布朗运动（Fractional Brownian Motion）和 Lévy 过程在描述介观尺度下长程相关性（Long-Range Dependence）的有效性。我们详细构建了一个基于马尔可夫跳跃过程的框架，用于模拟量子点阵列中的电子输运，该模型引入了环境噪声的非高斯特性。此外，书中还涉及了随机微分方程（SDEs）在复杂网络中信息扩散的建模，特别是关于具有跳变速率依赖于网络拓扑结构的随机微分方程的解的矩估计。 第六章：动力系统中的混沌与KAM 理论的推广（2021） 本章深入动力系统理论，关注混沌系统的精确边界和可积性的破坏。报告回顾了经典KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）理论在处理高维和无限维系统时的局限性。研究人员提出了一种基于快速扫描函数（Fast Scanning Functions）的新方法，以更有效地在参数空间中定位 KAM 层的破裂点。在混沌分析方面，我们采用了新的熵速率公式，该公式允许对非连续映射（如分片光滑映射）的局部李雅普诺夫指数进行更稳健的计算。此外，对双曲动力系统的拓扑共轭性研究也得到了新的代数拓扑工具的佐证。 --- 第三部分：计算、优化与交叉学科的应用（2022-2023 年的展望） 本部分转向数学在信息技术、机器学习和优化理论中的实际应用，强调了理论与计算的紧密结合。 第七章：高维数据的稀疏建模与优化算法（2022） 随着大数据时代的深入，处理高维、非凸优化问题成为核心挑战。本章专注于稀疏表示学习和高效优化算法的理论基础。我们提出了对 $ell_1$ 范数最小化方法（LASSO）的理论改进，通过引入自适应正则化参数和二阶信息，显著提升了在大规模矩阵恢复问题中的收敛速度和精度。报告详细分析了随机梯度下降（SGD）及其变种在处理非凸损失函数时的收敛性保证，特别是针对深度学习中常见的鞍点问题（Saddle Points），提出了一种基于随机扰动的预处理方法，用以逃离局部最优区域。内容也涵盖了张量分解技术在多模态数据融合中的应用及其背后的多线性代数理论。 第八章：概率论在机器学习理论中的严格化（2023） 本章旨在为机器学习中的经验性成功提供严格的数学基础。研究的焦点在于泛化能力（Generalization Bounds）和模型鲁棒性。我们利用统计物理中的配分函数（Partition Function）概念，推导了更紧致的VC维上界和Rademacher复杂度的估计，特别针对Transformer架构中的注意力机制进行了分析。书中还详细论述了贝叶斯非参数方法（如高斯过程）在高维回归问题中的局限性与优势，并提出了基于信息几何的新颖的度量方式来量化不同模型之间的“距离”。结论强调了公理化方法在定义“可解释性”和“公平性”方面的潜力。 --- 结语：数学的未来边界 本书的最终目标是展示数学学科的内在统一性，即代数、分析、几何与概率论是如何相互渗透、共同推动科学前沿的。所呈现的成果，无论多么专业，都指向一个共同的主题：利用精确的逻辑框架去理解自然界和信息世界中最深刻的结构与规律。未来的研究将更依赖于跨学科的合作，以及对计算工具的深刻理解。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验，可以说是充满挑战与乐趣的奇妙结合。作者并非简单地呈现数学成果，而是深入剖析了这些成果诞生的“土壤”——那些充满智慧的思考过程和严谨的逻辑推理。我得以窥探到数学家们是如何从一个模糊的设想到最终严谨的证明，中间经历了怎样的挣扎与突破。书中对不同数学流派的介绍，也让我对数学世界的多元性有了更深刻的认识。它们各自有着独特的视角和解决问题的方法，共同构成了丰富多彩的数学图景。读到某些章节时，我甚至能感受到一种“顿悟”般的喜悦，仿佛自己也参与到了这场智慧的探索之中。这种代入感，是很多学术著作所难以给予的。此外，作者在叙述中融入的文学性和人文关怀，也让枯燥的数学知识变得更加易于接受和理解。它让我明白，数学并非冰冷的技术，而是人类智慧的结晶，是探索宇宙奥秘的有力工具。

评分☆☆☆☆☆

《数学所讲座2015》给我带来的，更多是一种前所未有的沉浸式体验。它不像那些枯燥的教科书，而是像一位经验丰富的老者，娓娓道来，将那些抽象的数学概念赋予了生动的生命。我惊叹于作者描绘的那些数学分支之间错综复杂的联系，它们并非各自为政，而是如同繁星点点，汇聚成璀璨的星河。在阅读过程中，我仿佛置身于一个巨大的逻辑迷宫，每一步的探索都带来新的发现和惊喜。书中对一些“大问题”的讨论，更是引人深思。它不回避争议，不畏惧挑战，而是以一种开放的态度，引导读者去思考那些悬而未决的难题，去感受数学探索的魅力所在。我特别欣赏其中对数学研究方法和思维模式的剖析，这远比单纯的知识传授来得更为宝贵。它教会我如何去观察、去分析、去构建、去证明，这是一种可以迁移到任何领域的宝贵财富。每一次翻开这本书，都能从中获得新的启发，让我对数学的理解和认知，又向前迈进了一大步。

评分☆☆☆☆☆

这次有幸拜读了《数学所讲座2015》，尽管初衷是想在浩瀚的数学海洋中寻找一丝灵感，却意外地发现自己被卷入了一场别开生面的思想盛宴。书中并非直接罗列公式定理，而是以一种更为宏大且充满历史厚度的视角，为我揭开了数学这门古老学科发展的脉络。我仿佛看到了那些在寂静书斋中与数字为伴的先贤们，他们如何凭借智慧与毅力，一点点拨开混沌，构建起我们今日所熟知的数学大厦。书中对某些关键概念的引入和演变过程的梳理，尤其令我印象深刻。它们并非孤立存在，而是与其他学科，甚至与当时的社会文化背景相互辉映。这种跨学科的解读方式，让我得以从全新的角度审视数学的生命力，以及它如何在漫长的岁月中不断自我更新与发展。读罢掩卷，心中感慨万千，不仅是对数学知识本身的敬畏，更是对人类求知精神的由衷赞叹。它像一盏明灯，指引我看到了数学背后更深层次的意义，也让我更加期待未来能继续探索这片充满魅力的知识领域。

评分☆☆☆☆☆

《数学所讲座2015》带给我的，是一种意料之外的深刻触动。它以一种非传统的方式，重新定义了我对数学的理解。我曾以为数学是关于数字的冰冷运算，是关于公式的机械记忆，但这本书彻底颠覆了我的固有认知。它向我展示了数学的生命力，以及它与我们生活息息相关的联系。书中对某些数学概念在现实世界中的应用场景的描绘，让我惊叹不已。那些看似抽象的理论，竟然能够如此有力地解释和塑造我们所处的现实。这种跨越学科界限的连接，极大地拓展了我的视野。同时，作者在梳理数学发展史时，那种对知识的敬畏之心和对真理的不懈追求，也深深地感染了我。它让我看到了数学家们身上那种不屈不挠的精神，那种为了追求知识而甘愿付出的勇气。每一次阅读，都像一次精神的洗礼，让我对数学，以及对人类的智慧，有了更深的敬意。

评分☆☆☆☆☆

从这本书中，我获得了一种全新的视角来审视数学的本质。它不再是孤立的学科，而是一个不断演进、充满活力的思想体系。作者通过对不同时期数学思想的梳理和解读，为我展现了一幅波澜壮阔的数学发展长卷。我看到了那些伟大的数学家们是如何在前人的基础上，不断突破、创新，将数学推向新的高度。书中对某些数学概念的起源和演变过程的深入探讨，让我得以理解这些概念是如何在历史的长河中逐渐形成并完善的。这种追根溯源的解读方式，不仅增加了知识的厚度，也提升了学习的趣味性。我尤其喜欢书中对数学研究方法的讨论，它让我明白了数学不仅仅是结果，更是通往结果的严谨过程。这种对过程的重视，是我们在任何领域都需要学习的宝贵经验。它让我明白，真正的理解，源于对事物本质的深刻洞察和对事物发展脉络的清晰把握。