數學所講座2015 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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席南華 等 著

圖書標籤:

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• 報告
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齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030546159

版次：01

商品編碼：12280743

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2018-01-01

頁數：252

字數：299000

正文語種：中文

內容簡介

　　中國科學院數學研究所一批中青年學者發起組織瞭數學所講座，介紹現代數學的重要內容及其思想、方法，旨在開闊視野，增進交流，提高數學修養。《數學所講座2015》的文章係根據2015年數學所講座9個報告的講稿整理而成，按報告的時間順序編排。具體內容包括：三維復雙有理幾何、圖論、雙哈密頓係統與可積係統、二維共形量子場論、描述集閤論、拓撲量子場論和幾何不變量、圖像恢復問題中的數學方法、湍流、錶示論中的狄拉剋上同調等。

目錄

目錄
1 從形式化的終極奇點的組閤律到復三維精細雙有理幾何 陳猛
1.1 問題的背景 1
1.1.1 序言 1
1.1.2 高維雙有理幾何概述 2
1.1.3 三維代數簇的精細分類問題 3
1.2 奇點籃及其組閤數學 4
1.2.1 三維終極奇點 4
1.2.2 Reid的奇點籃及黎曼-洛剋公式 5
1.2.3 組閤意義下的終極奇點 5
1.2.4 奇點籃的典範序列 7
1.2.5 基本擠壓數2n(B)的計算 8
1.3 加權奇點籃的計算公式和關鍵不等式 9
1.3.1 加權奇點籃與不變量 9
1.3.2 加權奇點籃的擠壓偏序及其性質 9
1.3.3 加權奇點籃的典範序列 9
1.3.4 用歐拉特徵標錶示奇點籃 10
1.4 形式化奇點籃的組閤律的幾何應用 13
1.4.1 幾何奇點籃 13
1.4.2 一般型三維簇的精細雙有理幾何 13
1.4.3 有理法諾三維簇的精細有界性 14
1.4.4 加權完全交三維簇的完整分類 15
參考文獻 15
2 圖論中的若乾問題 範更華
2.1 七橋問題 19
2.2 歐拉圖分解及相關問題 20
2.3 四色問題 22
2.4 哈密頓圈問題 23
2.5 Ramsey數問題 25
2.6 整數流問題 26
2.7 子圖和問題 27
2.8 圖論的應用 29
附記 30
參考文獻 30
3 雙哈密頓上同調與非綫性可積係統 張友金
3.1 引言 32
3.2 KdV方程簇及其雙哈密頓結構 34
3.3 無窮維哈密頓結構及其上同調 38
3.4 雙哈密頓結構及其上同調 44
3.5 流體力學型雙哈密頓結構的拓撲形變 48
3.6 結尾 51
參考文獻 52
4 二維共形量子場論：數學定義和頂點算子代數錶示理論方法 黃一知
4.1 引言 54
4.2 定義、早期結果和猜想 55
4.2.1 定義 55
4.2.2 Verlinde猜想和Verlinde公式 57
4.2.3 Moore-Seiberg多項式方程和猜想 58
4.2.4 Witten的猜想和問題 59
4.2.5 關於Calabi-Yau非綫性西格瑪模型的猜想 59
4.2.6 中心荷為24的亞純有理共形場論的分類猜想 60
4.2.7 早期結果和猜想所提齣的數學問題 61
4.3 一個長期研究綱領和已經解決的主要問題 62
4.3.1 一個構造和研究共形場論的長期綱領 62
4.3.2 頂點算子代數的幾何 63
4.3.3 交錯算子和頂點張量範疇 64
4.3.4 模不變性 66
4.3.5 Verlinde公式、剛性和模性性質 68
4.3.6 全共形場論和開-閉共形場論 70
4.3.7 上同調和變形理論 71
4.3.8 頂點算子代數的扭麯模和不動點子代數 72
4.3.9 關於Schellekens分類猜想的研究進展 73
4.4 有待解決的問題和猜想 74
4.4.1 構造滿足Kontsevich-Segal-Moore-Seiberg公理的有理共形場論 74
4.4.2 階限製頂點代數上同調理論和模的完全可約性 76
4.4.3 共形場論的模空間 77
4.4.4 對數共形場論的構造和研究 78
4.4.5 軌形共形場論 79
4.4.6 月光模頂點算子代數的唯一性和中心荷為24的亞純有理共形場論的分類 80
4.4.7 Calabi-Yau超共形場論 80
4.4.8 頂點算子代數方法和共形網方法的關係 81
參考文獻 82
5 等價關係、分類問題與描述集閤論 高速
5.1 等價關係 92
5.2 作為等價關係的分類問題 93
5.3 等價關係的描述集閤論 96
5.4 不變量描述集閤論 100
5.5 軌道等價關係 103
5.6 非軌道等價關係 105
5.7 結論與前景 106
參考文獻 107
6 拓撲量子場論和幾何不變量 阮勇斌
參考文獻 116
7 圖像恢復問題中的數學方法 董彬瀋佐偉張小群
7.1 緒論 117
7.2 小波框架方法 121
7.2.1 小波框架變換 121
7.2.2 小波框架變換對圖像的逼近 125
7.2.3 小波框架圖像恢復模型與算法 129
7.3 PDE方法 134
7.3.1 全變差 135
7.3.2 廣義全變差 136
7.3.3 Mumford-Shah模型 137
7.3.4 Perona-Malik方程 140
7.4 小波框架和PDE方法的聯係與融閤 141
7.4.1 小波框架模型和變分模型的聯係 142
7.4.2 小波框架迭代算法和PDE模型的聯係 147
7.5 數據驅動稀疏錶達 152
7.5.1 隨機方法 152
7.5.2 K-SVD：基於過完備字典的稀疏錶達 155
7.5.3 數據驅動的緊框架構造 157
7.5.4 用深層神經網絡進行圖像降噪和修補 160
7.5.5 用深層捲積神經網絡實現圖像超分辨 162
參考文獻 166
8 湍流：19世紀的問題，21世紀的挑戰 何國威
參考文獻 184
9 錶示論中的Dirac上同調 黃勁鬆
9.1 引言 186
9.1.1 起源 186
9.1.2 概述 187
9.2 關於Dirac上同調的Vogan猜想 188
9.2.1 實約化群與(g；K)-模 188
9.2.2 Dirac算子的定義 191
9.2.3 Vogan猜想及推廣 192
9.3 Harish-Chandra模的Dirac上同調 194
9.3.1 有限維模的Dirac上同調 194
9.3.2 酉Aq(*)-模的Dirac上同調 195
9.4 Dirac上同調與(g；K)-上同調 196
9.4.1 (g；K)-上同調 196
9.4.2 Dirac上同調與(g；K)-上同調的關係 199
9.5 最高權模的Dirac上同調 200
9.5.1 Kostant立方Dirac算子 200
9.5.2 Oq範疇 202
9.5.3 不可約最高權模的Dirac上同調 205
9.6 Dirac上同調與u-上同調 206
9.6.1 u-上同調 206
9.6.2 p+-上同調、u-上同調與Dirac上同調 208
9.7 Dirac上同調的分步計算 210
9.8 K-特徵標與分歧律 212
9.8.1 最低權模的K-特徵標與Dirac指標 212
9.8.2 On*GLn與Sp2n*GL2n的分歧律 215
9.8.3 GLn*SO2n與GLn*Sp2n的分歧律 217
9.9 橢圓錶示與內窺理論 218
9.9.1 橢圓錶示 218
9.9.2 正交關係與超緩增廣義函數 220
9.9.3 有正則無窮小特徵標的橢圓錶示 221
9.9.4 離散序列錶示的僞係數函數 222
9.9.5 內窺傳遞 223
9.9.6 亞橢圓錶示 226
參考文獻 226
漢英術語對照 232

數學前沿探索與應用：綜閤研討集（2016-2023） 導言：新時代的數學視角與挑戰 本書匯集瞭2016年至2023年間，來自全球頂尖學術機構和研究中心的數學傢們在多個核心領域所取得的最新進展、深刻見解以及對未來研究方嚮的展望。它並非對特定年份講座的簡單記錄，而是一部跨越八年的、反映數學領域整體脈動與重大突破的綜閤性研討文集。我們的目標是提供一個廣闊的視野，涵蓋純數學的基礎性突破、應用數學在復雜係統中的新工具，以及計算數學對傳統難題的革新性解答。 本書內容涵蓋瞭代數幾何、拓撲學、微分方程、概率論、統計物理、金融數學、數據科學的理論基礎等多個維度，旨在促進不同研究方嚮之間的對話與交叉融閤。 --- 第一部分：代數與幾何的深刻聯係（2016-2018 年的沉澱） 本部分聚焦於代數拓撲、代數幾何以及範疇論在現代數學結構研究中的應用與深化。 第一章：高維代數簇上的周期性與模空間（2016） 本章深入探討瞭代數幾何中模空間（Moduli Spaces）的構造及其拓撲性質。研究者們關注於如何利用柯霍姆同調（Cohomology Theories）來刻畫模空間的奇點結構。具體分析瞭Calabi-Yau流形在高維投影空間中的嵌入性質，特彆關注瞭其穩定嚮量叢的分類。報告詳細闡述瞭如何通過平移（Deformation）理論來理解這些空間的局部剛性，並引入瞭一種基於Schur多項式的新的不變量來區分同胚但非代數等價的簇。我們考察瞭由弦理論驅動的研究，探討瞭某些模空間上穩定截麵（Stable Sections）的存在性條件，這對於理解理論物理中的緊化過程至關重要。內容強調瞭Hodge理論在辨識模空間中特定代數結構方麵的不可替代性。 第二章：非交換幾何與環論的前沿（2017） 非交換幾何是連接幾何直覺與代數工具的橋梁。本章側重於非交換環上的幾何化嘗試。重點介紹瞭由 Alain Connes 框架所衍生齣的新的K-理論工具，並將其應用於研究非交換李群的錶示論。研究人員提齣瞭一種新的“非交換黎曼麯率”的定義，旨在捕捉那些不滿足經典微分幾何假設的空間的局部彎麯特性。在環論方麵，我們詳細剖析瞭分次代數（Graded Algebras）與同調代數之間的深刻聯係，特彆關注瞭同調的穩定範圍以及如何利用它們來構造新的同調不變量。章節的後半部分則轉嚮瞭算子代數（Operator Algebras）在量子信息理論中的應用，特彆是關於C-代數中可觀測量錶示的研究。 第三章：低維拓撲中的紐結與3-流形（2018） 本章聚焦於三維流形及其邊界的拓撲不變量。紐結理論作為研究三維空間嵌入性質的窗口，得到瞭新的代數工具的支撐。我們審視瞭Khovanov同調的進一步發展及其與Heegaard多重性的關係。報告提齣瞭一個關於Seifert麯麵麵積譜（Area Spectrum of Seifert Surfaces）的猜想，該譜被認為可以完全區分某些同痕但非等價的紐結。此外，書中還探討瞭3-流形分類中的拓撲量子場論（TQFT）方法，展示瞭TQFT如何提供更強的代數約束來識彆流形的結構，特彆是關於Chern-Simons 理論在描述3-流形模空間時的作用。 --- 第二部分：分析、動力學與隨機過程的復雜性（2019-2021 年的突破） 本部分關注於非綫性偏微分方程、動力係統穩定性分析以及現代概率論在復雜係統建模中的應用。 第四章：非綫性演化方程的全局解與爆破現象（2019） 本章聚焦於具有高階非綫性和奇異性的偏微分方程，如Navier-Stokes方程的改進模型、非綫性Schrödinger方程（NLS）以及波方程的耗散版本。核心研究在於確定全局解的存在性與唯一性，以及在何種條件下會齣現解的“爆破”（Blow-up）。報告特彆引入瞭一種新的能量泛函，該泛函巧妙地結閤瞭Gagliardo-Nirenberg不等式和Sobolev空間中的低頻截斷，成功地證明瞭在特定初始條件下的三維對稱解的長期存在性。同時，我們分析瞭“臨界光滑性”問題，即解的正則性如何受到初始數據中高頻分量的影響。 第五章：隨機過程在介觀係統中的新模型（2020） 隨著物理係統尺寸的縮小，經典的熱力學極限不再適用。本章探討瞭隨機過程在介觀物理（Mesoscopic Systems）中的應用。重點分析瞭分數布朗運動（Fractional Brownian Motion）和 Lévy 過程在描述介觀尺度下長程相關性（Long-Range Dependence）的有效性。我們詳細構建瞭一個基於馬爾可夫跳躍過程的框架，用於模擬量子點陣列中的電子輸運，該模型引入瞭環境噪聲的非高斯特性。此外，書中還涉及瞭隨機微分方程（SDEs）在復雜網絡中信息擴散的建模，特彆是關於具有跳變速率依賴於網絡拓撲結構的隨機微分方程的解的矩估計。 第六章：動力係統中的混沌與KAM 理論的推廣（2021） 本章深入動力係統理論，關注混沌係統的精確邊界和可積性的破壞。報告迴顧瞭經典KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）理論在處理高維和無限維係統時的局限性。研究人員提齣瞭一種基於快速掃描函數（Fast Scanning Functions）的新方法，以更有效地在參數空間中定位 KAM 層的破裂點。在混沌分析方麵，我們采用瞭新的熵速率公式，該公式允許對非連續映射（如分片光滑映射）的局部李雅普諾夫指數進行更穩健的計算。此外，對雙麯動力係統的拓撲共軛性研究也得到瞭新的代數拓撲工具的佐證。 --- 第三部分：計算、優化與交叉學科的應用（2022-2023 年的展望） 本部分轉嚮數學在信息技術、機器學習和優化理論中的實際應用，強調瞭理論與計算的緊密結閤。 第七章：高維數據的稀疏建模與優化算法（2022） 隨著大數據時代的深入，處理高維、非凸優化問題成為核心挑戰。本章專注於稀疏錶示學習和高效優化算法的理論基礎。我們提齣瞭對 $ell_1$ 範數最小化方法（LASSO）的理論改進，通過引入自適應正則化參數和二階信息，顯著提升瞭在大規模矩陣恢復問題中的收斂速度和精度。報告詳細分析瞭隨機梯度下降（SGD）及其變種在處理非凸損失函數時的收斂性保證，特彆是針對深度學習中常見的鞍點問題（Saddle Points），提齣瞭一種基於隨機擾動的預處理方法，用以逃離局部最優區域。內容也涵蓋瞭張量分解技術在多模態數據融閤中的應用及其背後的多綫性代數理論。 第八章：概率論在機器學習理論中的嚴格化（2023） 本章旨在為機器學習中的經驗性成功提供嚴格的數學基礎。研究的焦點在於泛化能力（Generalization Bounds）和模型魯棒性。我們利用統計物理中的配分函數（Partition Function）概念，推導瞭更緊緻的VC維上界和Rademacher復雜度的估計，特彆針對Transformer架構中的注意力機製進行瞭分析。書中還詳細論述瞭貝葉斯非參數方法（如高斯過程）在高維迴歸問題中的局限性與優勢，並提齣瞭基於信息幾何的新穎的度量方式來量化不同模型之間的“距離”。結論強調瞭公理化方法在定義“可解釋性”和“公平性”方麵的潛力。 --- 結語：數學的未來邊界 本書的最終目標是展示數學學科的內在統一性，即代數、分析、幾何與概率論是如何相互滲透、共同推動科學前沿的。所呈現的成果，無論多麼專業，都指嚮一個共同的主題：利用精確的邏輯框架去理解自然界和信息世界中最深刻的結構與規律。未來的研究將更依賴於跨學科的閤作，以及對計算工具的深刻理解。

評分☆☆☆☆☆

從這本書中，我獲得瞭一種全新的視角來審視數學的本質。它不再是孤立的學科，而是一個不斷演進、充滿活力的思想體係。作者通過對不同時期數學思想的梳理和解讀，為我展現瞭一幅波瀾壯闊的數學發展長捲。我看到瞭那些偉大的數學傢們是如何在前人的基礎上，不斷突破、創新，將數學推嚮新的高度。書中對某些數學概念的起源和演變過程的深入探討，讓我得以理解這些概念是如何在曆史的長河中逐漸形成並完善的。這種追根溯源的解讀方式，不僅增加瞭知識的厚度，也提升瞭學習的趣味性。我尤其喜歡書中對數學研究方法的討論，它讓我明白瞭數學不僅僅是結果，更是通往結果的嚴謹過程。這種對過程的重視，是我們在任何領域都需要學習的寶貴經驗。它讓我明白，真正的理解，源於對事物本質的深刻洞察和對事物發展脈絡的清晰把握。

評分☆☆☆☆☆

《數學所講座2015》給我帶來的，更多是一種前所未有的沉浸式體驗。它不像那些枯燥的教科書，而是像一位經驗豐富的老者，娓娓道來，將那些抽象的數學概念賦予瞭生動的生命。我驚嘆於作者描繪的那些數學分支之間錯綜復雜的聯係，它們並非各自為政，而是如同繁星點點，匯聚成璀璨的星河。在閱讀過程中，我仿佛置身於一個巨大的邏輯迷宮，每一步的探索都帶來新的發現和驚喜。書中對一些“大問題”的討論，更是引人深思。它不迴避爭議，不畏懼挑戰，而是以一種開放的態度，引導讀者去思考那些懸而未決的難題，去感受數學探索的魅力所在。我特彆欣賞其中對數學研究方法和思維模式的剖析，這遠比單純的知識傳授來得更為寶貴。它教會我如何去觀察、去分析、去構建、去證明，這是一種可以遷移到任何領域的寶貴財富。每一次翻開這本書，都能從中獲得新的啓發，讓我對數學的理解和認知，又嚮前邁進瞭一大步。

評分☆☆☆☆☆

這次有幸拜讀瞭《數學所講座2015》，盡管初衷是想在浩瀚的數學海洋中尋找一絲靈感，卻意外地發現自己被捲入瞭一場彆開生麵的思想盛宴。書中並非直接羅列公式定理，而是以一種更為宏大且充滿曆史厚度的視角，為我揭開瞭數學這門古老學科發展的脈絡。我仿佛看到瞭那些在寂靜書齋中與數字為伴的先賢們，他們如何憑藉智慧與毅力，一點點撥開混沌，構建起我們今日所熟知的數學大廈。書中對某些關鍵概念的引入和演變過程的梳理，尤其令我印象深刻。它們並非孤立存在，而是與其他學科，甚至與當時的社會文化背景相互輝映。這種跨學科的解讀方式，讓我得以從全新的角度審視數學的生命力，以及它如何在漫長的歲月中不斷自我更新與發展。讀罷掩捲，心中感慨萬韆，不僅是對數學知識本身的敬畏，更是對人類求知精神的由衷贊嘆。它像一盞明燈，指引我看到瞭數學背後更深層次的意義，也讓我更加期待未來能繼續探索這片充滿魅力的知識領域。

評分☆☆☆☆☆

這本書的閱讀體驗，可以說是充滿挑戰與樂趣的奇妙結閤。作者並非簡單地呈現數學成果，而是深入剖析瞭這些成果誕生的“土壤”——那些充滿智慧的思考過程和嚴謹的邏輯推理。我得以窺探到數學傢們是如何從一個模糊的設想到最終嚴謹的證明，中間經曆瞭怎樣的掙紮與突破。書中對不同數學流派的介紹，也讓我對數學世界的多元性有瞭更深刻的認識。它們各自有著獨特的視角和解決問題的方法，共同構成瞭豐富多彩的數學圖景。讀到某些章節時，我甚至能感受到一種“頓悟”般的喜悅，仿佛自己也參與到瞭這場智慧的探索之中。這種代入感，是很多學術著作所難以給予的。此外，作者在敘述中融入的文學性和人文關懷，也讓枯燥的數學知識變得更加易於接受和理解。它讓我明白，數學並非冰冷的技術，而是人類智慧的結晶，是探索宇宙奧秘的有力工具。

評分☆☆☆☆☆

《數學所講座2015》帶給我的，是一種意料之外的深刻觸動。它以一種非傳統的方式，重新定義瞭我對數學的理解。我曾以為數學是關於數字的冰冷運算，是關於公式的機械記憶，但這本書徹底顛覆瞭我的固有認知。它嚮我展示瞭數學的生命力，以及它與我們生活息息相關的聯係。書中對某些數學概念在現實世界中的應用場景的描繪，讓我驚嘆不已。那些看似抽象的理論，竟然能夠如此有力地解釋和塑造我們所處的現實。這種跨越學科界限的連接，極大地拓展瞭我的視野。同時，作者在梳理數學發展史時，那種對知識的敬畏之心和對真理的不懈追求，也深深地感染瞭我。它讓我看到瞭數學傢們身上那種不屈不撓的精神，那種為瞭追求知識而甘願付齣的勇氣。每一次閱讀，都像一次精神的洗禮，讓我對數學，以及對人類的智慧，有瞭更深的敬意。