数学分析2/21世纪高等院校教材·数学基础教程系列 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

徐志庭 等 著

图书标签:

• 数学分析
• 高等数学
• 微积分
• 数学基础
• 教材
• 21世纪高等院校教材
• 数学教程
• 理工科
• 大学教材
• 分析学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030262011

版次：1

商品编码：10319925

包装：平装

开本：16开

出版时间：2009-12-01

用纸：胶版纸

页数：232

正文语种：中文

内容简介

《数学分析（2）》介绍了数学分析的基本概念、基本理沦和方法，包括一元（多元） 函数极限理论、一元函数微积分学、级数理论和多元函数微积分学等。全书共分三册。本册内容包括不定积分、定积分、定积分应用和反常积分、数项级数、函数项级数、幂级数与Fourier级数。《数学分析（2）》在内容的安排上深入浅出，表达清楚，系统性和逻辑性强。书中列举了大量例题来说明数学分析的定义、定理及方法，并提供了丰富的思考题和习题，便于教师教学与学生自学。每章末都有小结，对该章的主要内容作了归纳和总结，并配有复习题，方便学生系统复习。
《数学分析（2）》可作为高等师范院校数学各专业学生的教学用书，也可供相关专业的教师和科技工作者参考。

目录

第7章 不定积分
7.1 原函数与不定积分的概念
7.1.1 原函数和不定积分的定义
7.1.2 运算性质和基本积分公式
7.2 不定积分的计算
7.2.1 换元法求不定积分
7.2.2 分部法求不定积分
7.3 有理函数的不定积分
*7.3.1 有理函数的部分分式分解
7.3.2 有理函数的不定积分
7.3.3 三角函数有理式的不定积分
7.3.4 某些无理根式的不定积分
小结
复习题

第8章 定积分
8.1 定积分的概念与性质
8.1.1 引例与定义
8.1.2 定积分的性质
8.2 微积分基本定理
8.2.1 变上限积分的定义与性质
8.2.2 微积分基本定理
8.3 定积分的计算
8.3.1 换元法求定积分
8.3.2 分部法求定积分
8.4 定积分存在的条件
8.4.1 达布和的定义
*8.4.2 上和与下和的性质
8.4.3 可积的充要条件
8.4.4 可积函数类
8.5 积分中值定理
8.5.1 积分第一中值定理
*8.5.2 积分第二中值定理
小结
复习题

第9章 定积分应用和反常积分
9.1 定积分应用的两种常用格式
9.2 平面图形的面积
9.2.1 直角坐标情形
9.2.2 参数方程情形
9.2.3 极坐标情形
9.3 由平行截面面积求体积
9.3.1 由平行截面面积计算体积
9.3.2 旋转体体积
9.4 平面曲线的弧长
9.4.1 平面曲线弧长的概念
9.4.2 平面曲线弧长的计算
9.5 旋转曲面的面积
9.5.1 旋转曲面面积的概念
9.5.2 旋转曲面面积的计算
*9.6 定积分在某些物理问题中的应用
9.6.1 变力做功
9.6.2 压力
9.6.3 力矩与重心
9.7 反常积分的概念与基本性质
9.7.1 反常积分的概念与统一定义
9.7.2 反常积分的基本性质
9.8 反常积分的敛散性
9.8.1 反常积分的Cauchy收敛准则
9.8.2 反常积分的绝对收敛与条件收敛
9.8.3 反常积分的比较判别法
9.8.4 Dirichlet判别法与Abel判别法
小结
复习题

第10章 数项级数
10.1 数项级数的概念与性质
10.1.1 数项级数的概念
10.1.2 级数的Cauchy收敛准则
10.1.3 级数的基本性质
10.2 正项级数
10.2.1 正项级数收敛性的一般判别法
10.2.2 根值法与比值法
*10.2.3 其他判别法
10.3 一般项级数
10.3.1 绝对收敛与条件收敛
10.3.2 交错级数
10.3.3 Dirichlet判别法和Abel判别法
*10.4 绝对收敛级数与条件收敛级数的性质
10.4.1 收敛级数的可结合性
10.4.2 收敛级数的重排
10.4.3 级数的乘积
小结
复习题

第11章 函数项级数
11.1 函数列一致收敛的概念与判定
11.1.1 逐点收敛与一致收敛的概念
11.1.2 函数列一致收敛的判定
11.2 一致收敛函数列的性质
11.3 函数项级数一致收敛的概念及其判定
11.3.1 函数项级数一致收敛的概念
11.3.2 一致收敛的判别法
11.4 和函数的分析性质
*11.5 处处不可微的连续函数
小结
复习题

第12章 幂级数与Fourier级数
12.1 幂级数的收敛域与和函数
12.1.1 幂级数的定义和收敛域
12.1.2 幂级数和函数的分析性质
12.1.3 幂级数的运算
12.2 函数的幂级数展开
12.2.1 Taylor级数与余项公式
12.2.2 几个常用的初等函数的幂级数展开
12.3 三角级数与Fourier级数
12.3.1 三角级数的概念
12.3.2 以2π为周期的函数的Fourier级数
12.3.3 以21为周期的函数的Fourier级数
12.3.4 任意区间[a，b]上的Fourier级数
12.4 Fourier级数的收敛性
12.4.1 Fourier级数的收敛判别法
*12.4.2 Dirichlet积分
*12.4.3 Riemann引理与Fourier级数收敛判别法的证明
*12.4.4 Fourier级数的分析性质
*12.4.5 Fourier级数的平方平均收敛
小结
复习题
习题答案或提示
参考文献
附录 不定积分表
索引

前言/序言

　　数学分析是数学各专业的学科基础课，其重要性不言而喻，我们根据多年的教学经验，在吸取一些现有教材优点的基础上，编写了本书。
　　现有的各种数学分析教材都有其优点和缺点，本书力求在可读性、系统性和逻辑性上能具有特色，并将分层教学的理念贯穿全书。
　　首先，在可读性方面，对于重要概念只给一种定义形式，其他的等价定义一般放在思考题或习题中，例如，对数列极限，本书只引入了ε-N定义，目的是希望学生能吃透这个概念；数列极限的另一个等价定义放在习题中，方便基础较好的学生学习，对定理的证明，尽量采用朴素的方法进行，对书中的例题，表达尽量详细，让学生容易自学，对某些定理采取先用后证的方法讲述，例如，在第7章，先给出区间上的连续函数必定存在原函数这个结论，这样就可以介绍求不定积分的各种方法；在第8章，先给出闭区间［a，b］上的连续函数必定在［a，b］上可积这个结论，这样可以使定积分的计算提前，然后在第8章后面再证明这两个存在性定理。
　　其次，在系统性方面，将关系较密切的内容放在一起，例如，将发散数列和子列的概念放在同一节，将判别数列收敛的各种方法放在同一节，将定积分的应用与反常积分放在同一章，将各种情况下的Fourier级数和Fourier级数展开放在同一节，将第一型曲线积分、曲面积分和第二型曲线积分、曲面积分放在同一章，将各种积分之间的关系放在同一章等，另外，有理函数分解为部分分式的理论，国内的数学分析教材几乎都将其证明归到高等代数课程中，而高等代数教材也不写这部分内容，为了弥补这一缺陷，在本书的第7章中，将给出有理函数分解为部分分式理论的详细证明，方便教师教学与学生自学。
　　再次，在逻辑性方面，考虑到可读性的同时，尽量在给出定理的同时也完成对定理的证明，例如，将致密性定理放在第1章，这样数列的柯西收敛准则在第1章就可以证明，使得第1章对数列有较完整的处理；然后在第3章就可以完成闭区间上连续函数性质的证明；第6章就只需讲区间套定理、有限覆盖定理及其应用等，这样难点也分散了，在导数与微分部分，先讲微分，后讲导数，强调微分的作用，这样在后面讲定积分的微元法时，我们将给出微元法的理论依据。

《微分方程引论：理论、方法与应用》 简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的微分方程学习体验，重点涵盖常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的基础理论、求解方法以及在各个科学与工程领域中的实际应用。本书的编写不仅注重数学概念的严谨性，更强调对物理和工程背景的直观理解，力求在理论深度与应用广度之间找到完美的平衡。 第一部分：常微分方程基础与定性分析 第一章：微分方程概述 本章首先界定微分方程的基本概念、分类（常微分与偏微分、线性与非线性、阶数）以及定解问题（初值问题与边值问题）。我们将探讨微分方程在自然界中的普遍性，例如描述人口增长、放射性衰变和电路理论的基础模型。引入解的存在性与唯一性定理的直观理解，为后续的严格证明打下基础。 第二章：一阶常微分方程的求解 本章系统介绍求解一阶ODE的解析方法。内容包括：变量分离法、积分因子法（一阶线性方程）、恰当方程（精确方程）的检验与求解，以及利用黎卡提方程（Riccati Equation）转化为可降阶方程的技巧。此外，我们将详细讨论伯努利方程（Bernoulli Equation）和 Clairaut 方程的特殊解法。重点在于理解每种方法的适用条件和几何意义。 第三章：高阶线性常微分方程 本章专注于二阶及更高阶线性常微分方程的求解。内容涵盖：齐次方程的通解结构、常系数线性方程的特征方程法，包括特征根为实根、复根和重根的三种情况。非齐次方程的求解方法将集中于待定系数法和常数变易法（拉格朗日法），并详细分析狄拉克δ函数作为激励源的解法。 第四章：常微分方程的级数解法与特殊函数 当方程不具备初等函数的解时，级数解法成为关键。本章介绍幂级数法，重点讨论如何处理欧拉-柯西方程（Cauchy-Euler Equation）。随后，深入探讨勒让德方程、贝塞尔方程等在物理学中至关重要的常微分方程，并介绍无穷级数展开和渐近展开的基本思想。 第五章：边值问题与拉普拉斯变换 本章介绍拉普拉斯变换在求解常微分方程，特别是含有不连续函数或脉冲函数的初值问题中的强大应用。我们将详述拉普拉斯逆变换的计算技巧，并引入 Sturm-Liouville 理论的初步概念，为傅里叶级数和偏微分方程的求解做铺垫。 第六章：定性理论与稳定性分析 定性理论关注不使用显式解来分析方程解的性质。本章重点分析线性系统（$mathbf{x}' = Amathbf{x}$）的相图、平衡点分类（鞍点、结点、中心、焦点）。随后，我们将引入重要的李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论，区分全局渐近稳定性和局部稳定性，并探讨非线性系统的相空间分析。 第二部分：偏微分方程（PDE）基础与基本方程 第七章：偏微分方程基础 本章介绍偏微分方程的定义、分类（椭圆型、抛物线型、双曲型）及其物理背景。重点阐述四种基本的线性二阶偏微分方程：拉普拉斯方程（静力学）、泊松方程（静电学）、热传导方程（扩散过程）和波动方程（波的传播）。 第八章：一维基本方程的求解：分离变量法 分离变量法是求解线性偏微分方程最基础也是最重要的解析工具。本章详尽阐述如何将二维拉普拉斯方程、一维热传导方程和一维波动方程在矩形或半无限区域上的边值问题转化为常微分方程组。严格推导傅里叶级数（正弦、余弦级数）在非齐次边界条件和非齐次源项问题中的应用。 第九章：傅里叶变换与格林函数 当区域为半无穷或全空间时，傅里叶变换成为处理 PDE 的主要工具。本章介绍傅里叶积分变换及其性质，并将其应用于求解无源项的拉普拉斯方程（半平面问题）和热传导方程（初始值问题）。随后，系统介绍格林函数（Green's Function）的概念，阐述如何利用格林函数将 PDE 转化为积分方程，实现对特定源项问题的统一求解。 第十章：极坐标与柱坐标下的方程求解 在处理圆形或圆柱形几何结构中的物理问题时，需要将拉普拉斯、波动和热传导方程转化为极坐标或柱坐标系下的形式。本章推导这些方程，并应用分离变量法，引入贝塞尔函数作为特定边界条件下的本征函数，求解圆盘或圆柱体内部的稳态或瞬态问题。 第十一章：特征线法与双曲型方程 对于双曲型方程（如一维波动方程），特征线法是核心方法。本章详述如何通过坐标变换将双曲型方程转化为常微分形式。重点分析达朗贝尔（D’Alembert）公式的推导及其物理意义，理解波的传播特性，并讨论带有初始条件的线段上的波动问题。 第十二章：泛函分析基础与弱解 为进入现代 PDE 理论，本章提供必要的泛函分析背景。介绍希尔伯特空间、Sobolev 空间的基本概念。着重解释强解（Classical Solution）的局限性，并严格定义弱解（Weak Solution）的概念。通过变分原理，初步展示如何使用能量泛函来寻找椭圆型方程的变分解。 附录 附录中包含常用的积分表、傅里叶级数公式集、拉普拉斯变换对表，以及详细的证明步骤，供读者深入研习参考。 本书特色 1. 理论与实践并重：每章均包含丰富的、源自物理学（如电磁场、流体力学）和工程学（如振动、传热）的实例，使抽象的数学工具与具体的物理现象紧密结合。 2. 严格的证明体系：对于核心定理（如解的存在性、唯一性），提供清晰的、可追溯的数学证明，确保读者对理论的理解扎实可靠。 3. 多维度求解视角：不仅教授解析解法，也引入定性分析和数值逼近的思想，培养学生从不同角度审视和解决问题的能力。 本书适合高等院校数学、物理、力学、信息与电子工程等专业的高年级本科生和研究生作为教材或参考书使用。具备微积分和线性代数基础的读者即可开始学习。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我一直对高等数学有着一种敬畏感，总觉得那些符号和公式像天书一样难以理解。这次抱着试试看的心态入手了这本《数学分析》，没想到却给了我很大的惊喜。最让我印象深刻的是，这本书在讲解抽象概念的时候，没有回避它们本身的难度，反而通过大量贴近实际的例子来帮助我们理解。比如在讲到微分中值定理的时候，书中结合了物体运动的速度和位移变化，生动地解释了“平均变化率等于瞬时变化率”的直观意义。而且，这本书的习题设计也非常巧妙，从基础的计算题到需要深入思考的证明题，循序渐进，能够有效地巩固我们对知识点的掌握。我花了很多时间去做那些思考题，虽然有些题目把我难住了，但当我最终攻克它们的时候，那种成就感是无与伦比的。我觉得这本书最棒的一点在于，它不仅仅是教你“怎么算”，更是在教你“为什么这么算”，它培养的是一种数学的“感觉”。我已经开始期待下一章关于积分的内容了，相信它会像前面一样，给我带来新的启发。

评分☆☆☆☆☆

这本《数学分析》绝对是一本值得推荐的进阶读物！我之前学习数学分析的时候，总是感觉有些概念像是“黑箱操作”，知其然不知其所以然。这本书在这方面做得非常出色。它对于每一个定理的证明都详尽入微，不仅给出了证明过程，还会解释证明背后的思想和关键步骤，这对于我理解数学的本质非常有帮助。例如，在讲解黎曼积分的定义时，书中花了大量篇幅去解释黎曼和的极限是如何与积分联系起来的，以及为什么需要引入可积的条件，这让我对积分的理解更加深刻。此外，这本书的排版和设计也相当用心，图文并茂，许多抽象的数学概念通过图示变得更加直观易懂。我个人比较喜欢书后附带的“思考与讨论”部分，这些问题非常有深度，能够激发我独立思考和解决问题的能力，而不是仅仅停留在对课本内容的机械记忆上。这本书不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的良师益友，带领我一步步探索数学分析的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

从一个有一定数学基础的读者角度来看，这本书的深度和广度都令人印象深刻。它并没有满足于浅显的定义和计算，而是深入到了许多数学分析的“灵魂”层面。我尤其欣赏书中对“拓扑”概念在实数集上的体现的阐述，例如开集、闭集、紧集等概念的引入和性质的探讨，这为理解更抽象的数学空间打下了坚实的基础。书中对于多变量函数的极限和连续性的处理，也非常严谨，多维度空间的几何直观和代数方法的结合，让我对这些概念有了全新的认识。我特别喜欢其中关于方向导数和梯度的内容，它很好地解释了函数在不同方向上的变化率，并引出了向量场等更高级的概念。这本书的习题设计，可以说是“精挑细选”，既有巩固基础的题目，也有不少需要综合运用多个知识点才能解决的难题，能够有效地提升读者的分析能力和解题技巧。我会在接下来的学习中，重点攻克那些具有挑战性的题目，相信这本书能够帮助我将数学分析的知识体系化、系统化。

评分☆☆☆☆☆

终于拿到了这本《数学分析》！拿到手的时候就被它的厚重感和精美的封面吸引了。我是一位对数学充满好奇心的学生，一直觉得数学分析是理解更深层数学概念的基石。翻开第一页，就被其中清晰的逻辑和严谨的推导深深吸引。书中对于极限、连续、导数这些基本概念的讲解，不是简单地给出定义，而是层层递进，通过大量的例子和辅助图形，将抽象的数学语言变得生动形象。我尤其喜欢书中对柯西序列和完备性的阐述，这部分内容常常是很多教材中一带而过的难点，但这本书花了相当大的篇幅，从不同角度进行解读，让我豁然开朗。我花了一个下午的时间，只是沉浸在第一章，就感觉收获满满。作者在讲解每一个定理的时候，都会详细论证其前提条件和结论，并且会给出一些反例，帮助读者更深刻地理解定理的适用范围。我特别欣赏书中对一些重要数学思想的提炼，比如“逼近”的思想在极限的定义中贯穿始终，这让我对极限有了更直观的理解。这本书不仅仅是知识的堆砌，更像是一场数学思维的启蒙之旅。我迫不及待地想继续探索后面的内容，相信这本书会是我学习数学分析路上不可或缺的伙伴。

评分☆☆☆☆☆

我是一名刚刚接触数学分析的学生，对于数学语言的严谨性和抽象性感到有些吃力。在我翻阅了市面上几本同类教材后，偶然发现了这本《数学分析》。这本书的编排结构非常清晰，逻辑性极强，让我能够一步步地跟随作者的思路前进。书中对概念的引入非常到位，比如在定义函数级数的一致收敛性时，作者没有直接抛出定义，而是先从逐点收敛入手，分析其不足，再引出一致收敛的优越性，并给出直观的几何解释，这让我对一致收敛的理解大大加深。我尤其喜欢书中对泰勒公式的详细讲解，不仅给出了公式的推导，还深入探讨了余项的不同形式及其在近似计算中的应用，这对于我理解微积分在实际问题中的应用至关重要。书中的例题讲解也很详细，每一个步骤都清晰明了，即使是我这个初学者，也能轻松理解。我非常看重教材的严谨性，而这本书恰恰做到了这一点，每一个结论都经过了严密的证明，这让我感到非常安心。我期待着在这本书的引导下，能够真正掌握数学分析的核心内容。

评分☆☆☆☆☆

10，Laplace方程的基本解、调和函数、广义调和函数、Green公式、热流定理、球面平均值定理、极值原理、Hopf-Oleinik定理、Laplace方程的Dirichlet问题解的唯一性、Dirichlet原理。

评分☆☆☆☆☆

2，导数的先验估计、调和函数的解析性、解析延拓定理、Liouville定理、Phragmen-Lindelof定理。

评分☆☆☆☆☆

13，逆紧支伪微分算子、逆紧支伪微分算子的符号、逆紧支伪微分算子的符号的展开、平移算子的符号、对偶符号、复合公式、古典符号与伪微分算子、奇异积分算子。

评分☆☆☆☆☆

1，偏微分方程学科的发展、数学物理方程的导出、第一边值问题、第二边值问题、Dirichlet问题、第三边值问题。

评分☆☆☆☆☆

5，双层势的间断、双层势的法向导数的间断、一维波动方程的分离变量法。

评分☆☆☆☆☆

许以超，代数学引论/线性代数与矩阵论。（许以超老师是科大数学系的元老，科大在北京的时候，数学系的代数与解析几何这门课就是许老师讲的，这本代数学引论就是许老师当时上课的讲义，这本书除了线性代数以外，还包括解析几何和抽象代数。基本上国内的很多线性代数都是以这本书为模版的，包括科大用的那本所谓的“亚洲第一难”的书。许老师后来又写了一个改编本，去掉了解析几何和抽象代数，增加了矩阵论和张量代数的内容，就是第二本书，这本书包括了数学专业线性代数应该讲的所有内容，我以为这是国内最好的一本线性代数，无论线性空间还是矩阵论的内容都非常充实。这本书很多习题后面给了提示，大家做线性代数作业的时候有题目实在做不出来，可以翻翻，1系用的线性代数大部分的题目都可以这两本书上找到。）

评分☆☆☆☆☆

Halmos，Finite-Dimensional Vector Spaces。（这本书是西方世界最早的两本线性代数教材之一，是不是世界上最早的不得而知，因为俄罗斯数学大师Gelfand写的线性代数和他是同年出版。虽然现在线性代数一门很基本的课程，所有的专业都要学，但是40年代以前，数学系的课程表上是找不到线性代数这门课的，只有“方程式论”或者“高等代数”，主要是讲多项式理论和高次方程的解法之类，行列式和矩阵也是讲的，但是一般不讲线性变换、线性空间什么的。出现这本课程，很大程度上得益于泛函分析和抽象代数的出现，还有量子力学的推动。泛函分析里面的很多概念都可以看做是线性代数的进一步发展，比如线性算子、Hilbert空间等等，Halmos写这本书的目的就很明确，是要帮助学生学习泛函分析。这本书顾名思义，完全是讲线性空间为纲，我觉得这本书最大的好处就是线索清晰，非常几何化，而且篇幅很小，对代数和分析的结合比较强调，里面一些内容在现在的线性代数书里找不到，比如说里面从线性代数的角度讲了遍历理论的一些基本的内容。）

评分☆☆☆☆☆

13，有界变差函数、绝对连续函数、不定积分的绝对连续性、绝对连续性与不定积分的关系、Newton-Lerbniz公式、绝对连续函数的分部积分公式、Vitali覆盖定理。

评分☆☆☆☆☆

4，二阶线性偏微分方程标准型的存在性、二阶线性偏微分方程的分类、偏微分方程问题提法的适定性、反射法、依赖区域、决定区域、影响区域、特征锥、能量不等式、波动方程Cauchy问题解的唯一性。