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曹之江 著

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• 常微分方程
• 微分算子
• 数学分析
• 偏微分方程
• 泛函分析
• 算子理论
• 数学物理
• 数值分析
• 应用数学
• 高等数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030495914

版次：1

商品编码：12020114

包装：平装

开本：16开

出版时间：2016-08-01

用纸：胶版纸

页数：233

字数：300000

正文语种：中文

内容简介

　　常微分算子是在Fourier方法、Sturm-Liouville理论与Hilbert空间无界算子理论的基础上发展起来的一门数学分支，是近代量子力学、数学物理及工程技术的重要数学工具之一。
　　《常微分算子》系统地讲述了希尔伯特空间线性算子的一般知识和由微分算式生成的算子的基本概念；常型自伴微分算子的谱分解-即经典的斯托姆-刘维尔理论；对称算子的亏指数与自伴扩张问题；奇型微分算子的谱分解-即Weyl-Titchmarsh理论；微分算子亏指数理论的若干发展概况等。
　　《常微分算子》自成系统，叙述简明，可作为数学专业的大学生和研究生以及从事应用数学、物理科学与有关工程技术工作的人员的学习入门书和参考书。

内页插图

目录

再版前言
序

第1章 Hilbert空间的线性算子
1．1 L2（a，b）空间
1．2 正交系
1．3 Parseval等式
1．4 有界线性算子
1．5 闭的线性算子
1．6 无界线性算子的共轭算子
1．7 对称算子和自伴算子
1．8 线性算子的谱
1．9 自伴算子的谱分解
练习题

第2章 常型的对称微分算子
2．1 二阶对称微分算式
2．2 最小与最大算子
2．3 n阶对称微分算式及契合函数
2．4 边界型定理
2．5 n阶对称微分算式所生成的算子

第3章 常型Sturm-Liouville算子的谱分解
3．1 经典Sturm-Liouville问题
3．2 本征值的存在与分布
3．3 本征函数的振动特征
3．4 预解式和Green函数
3．5 按本征函数展开
3．6 高阶自伴微分算子的预解式
3．7 对称全连续算子的谱分解
3．8 常型自伴微分算子的本征展开式

第4章 对称算子的扩张和亏指数
4．1 Cayley变换与亏指数
4．2 共轭算子与自伴扩张算子的构造
4．3 Neumann公式
4．4 常型微分算子的亏指数与自伴扩张

第5章 奇型对称微分算子的谱分解
5．1 奇型微分算式所生成的算子
5．2 二阶对称微分算式的点型与圆型
5．3 Weyl函数与Weyl解
5．4 Weyl-Titchmarsh自伴域
5．5 谱函数与广义Fourier变换（一）
5．6 谱函数与广义Fourier变换（二）
5．7 Titchmarsh公式
5．8 谱函数与谱
5．9 谱族的构造
5．10 （-∞，∞）上的二阶对称微分算子
5．11 例

第6章 奇型对称微分算子的亏指数
6．1 极限点型的微分算式
6．2 极限圆型的微分算式
6．3 亏指数的值域问题
6．4 Everitt定理及Kodaira公式的证明
6．5 Everitt自伴域
6．6 圆型微分算子自伴扩张的完全描述

参考文献

前言/序言

　　《常微分算子》已经出版了近三十年，三十年来微分算子理论的研究无论从深度还是广度上都有了很大的发展、变化。
　　《常微分算子》出版以来，一直在内蒙古大学等高等学校作为研究生教材或科学研究的重要参考书，培养了一大批从事微分算子理论研究的中青年学者，微分算子理论研究的队伍日益壮大。第1版出版三十年后的今天，很高兴本书有机会再版，本书除了对第1版的文字叙述和排版中的小错误做了仔细的修订和完善外，在第1章对部分内容做了一些增补。
　　微分算子理论的研究从20世纪80年代开始，一直得到国家自然科学基金委员会长期的支持和帮助，本书的出版也得到国家自然科学基金（No.11161030，11561050）的资助，我们在这里表示由衷的谢意！内蒙古大学的一些教师和研究生也对本书的修订、再版做了很多具体的工作。在本书的再版过程中，我们得到了科学出版社王丽平编辑的大力支持，在此谨表示衷心的感谢！

《拓扑学基础：从点集到流形》 内容提要： 本书旨在为读者构建一个严谨而直观的拓扑学知识体系，内容涵盖了从最基本的集合论概念出发，逐步深入到抽象拓扑空间的构造、连续性的精确定义、连通性与紧致性的重要性质，并最终过渡到微分几何的基石——流形理论。全书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，并辅以大量的实例和反例，以帮助读者掌握拓扑学这一现代数学的通用语言。 第一部分：预备知识与拓扑空间的基本概念 本书首先回顾了必要的集合论与函数基础，为后续的拓扑结构讨论奠定基础。 第一章：集合与映射的回顾 本章简要复习了集合的笛卡尔积、幂集、函数、关系的性质（如内射、满射、双射）。特别强调了在构造拓扑空间时至关重要的子集和商集的概念。引入了序列（数列）的概念，并讨论了它们的收敛性在度量空间（作为拓扑空间的特例）中的意义，为后续定义拓扑收敛打下直观基础。 第二章：拓扑空间的构造 拓扑学的核心在于“结构”。本章详细阐述了拓扑结构的定义：开集的族。我们从三个基本公理——空集和全集的开性、有限个开集的交集仍为开集、任意多个开集的并集仍为开集的公理——出发，严格定义了拓扑空间 $(X, mathcal{T})$。 随后，我们讨论了由其他结构诱导拓扑的方法： 1. 子空间拓扑： 当 $Y subset X$ 时，如何将 $X$ 上的拓扑结构“继承”到 $Y$ 上，形成子空间拓扑。 2. 商拓扑： 介绍等价关系 $sim$ 如何通过投影映射 $p: X o X/sim$ 在商集 $X/sim$ 上诱导出自然的拓扑结构。这一工具在构造空间（如圆、环面）时至关重要。 3. 积拓扑： 对于多个拓扑空间的乘积 $X_1 imes X_2 imes cdots imes X_n$，如何定义一个使得投影映射连续的最小拓扑，并推广至无限积空间。 第三章：开集、闭集、邻域与基 本章聚焦于拓扑空间中点与其周围环境的关系。 1. 闭集与闭包： 闭集被定义为开集的补集，并由此引入了闭包 $overline{A}$ 的概念，它是包含 $A$ 的最小闭集。 2. 邻域系统： 邻域是描述点周围环境的更精细工具。我们定义了邻域的性质，并讨论了邻域基（或局部基）的概念，它允许我们用更少的开集来描述整个拓扑结构。 3. 边界与 wnętrze (内部)： 严格区分集合的内部点、边界点和外部点。 第四章：连续性与拓扑同胚 连续性是连接不同拓扑空间的桥梁。 1. 拓扑空间的连续映射： 定义了 $phi: (X, mathcal{T}_X) o (Y, mathcal{T}_Y)$ 连续的精确条件：原像下保持开性（即 $phi^{-1}(V)$ 对 $Y$ 中的任意开集 $V$ 也是 $X$ 中的开集）。 2. 拓扑性质与拓扑同胚： 拓扑同胚被定义为双射且映射及其逆映射均为连续的函数。拓扑学研究的就是那些在拓扑同胚下保持不变的性质（拓扑不变量）。本章将探讨如维度、连通性、紧致性等作为拓扑不变量的重要性。 第二部分：分离公理与特殊拓扑结构 第五章：分离公理 拓扑空间可以非常“病态”，为了研究那些具有良好性质的空间（如度量空间），引入了分离公理。 1. $T_1$ 空间与豪斯多夫空间 ($T_2$)： 这是最关键的公理，要求任意两个不同的点都有不相交的邻域。我们证明了豪斯多夫空间中的序列至多有一个极限点，以及闭集在豪斯多夫空间中的性质。 2. 正则性 ($T_3$) 与完全正则性 ($T_3frac{1}{2}$)： 进一步要求点与不包含该点的闭集可以通过开集分开。 3. 正规性 ($T_4$)： 要求不相交的两个闭集可以通过不相交的开集分开。我们探讨了这些公理之间的逻辑关系。 第六章：度量空间 度量空间是满足所有分离公理的特殊空间。 1. 度量的定义与性质： 引入距离函数 $d(x, y)$ 的公理，并讨论了由度量诱导的度量拓扑。 2. 度量拓扑的性质： 证明度量拓扑总是满足 $T_4$（正规）的。讨论开球、闭球、直径、完备性的概念。 第三部分：连通性与紧致性 这两个概念是研究拓扑空间结构复杂程度的核心工具。 第七章：连通性 1. 定义与基本性质： 连通性基于不可分离性（即不能被分成两个不相交的非空开集的并集）。我们证明了连通性在连续映射下保持不变。 2. 路径连通性： 引入更强的概念——路径连通性，并证明在 $mathbb{R}^n$ 等空间中两者是等价的。讨论了连通分支的概念。 第八章：紧致性 紧致性是有限性在任意拓扑空间中的推广。 1. 开覆盖与紧致性定义： 紧致空间是指其任意开覆盖都存在有限子覆盖的空间。 2. 紧致性的重要定理： 重点讨论了Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中，有界闭集是紧致的）及其推广。 3. 紧致性与连续映射： 紧致集在连续映射下的像仍是紧致集，并由此导出极值定理（连续函数在紧致集上能达到最大值和最小值）。 4. 局部紧致性： 引入局部紧致性的概念，并讨论其在函数空间中的应用。 第四部分：构造性工具与进阶主题 第九章：可数性公理与函数的性质 讨论空间的可构造性：第一可数、第二可数以及可分性。重点分析了这些性质与我们直观理解的“良好行为”之间的关系。 第十章：嵌入定理与流形初步 作为向微分几何的过渡，本章简要介绍了拓扑嵌入的概念，并引入了拓扑流形的正式定义：一个具有局部欧几里得结构（即局部看起来像 $mathbb{R}^n$）的豪斯多夫、第二可数空间。这为读者理解现代几何学的基本构筑块提供了严格的拓扑基础。 本书特点： 严谨性： 所有定义和定理均基于集合论的严格推导。 直观性： 大量使用 $mathbb{R}^n$ 中的直觉和例子来辅助理解抽象概念。 深度： 平衡发展了分离公理、连通性和紧致性这三大核心支柱。 覆盖面广： 覆盖了单变量拓扑学中所有核心内容，为学习代数拓扑、微分拓扑和微分几何奠定了坚实的基础。 本书适合高等院校数学系学生、物理学和计算机科学中需要深刻理解空间结构的研究人员和高年级本科生作为教材或参考书。掌握本书内容，读者将能够自如地运用拓扑语言分析各种数学结构。

评分☆☆☆☆☆

我最近接触到了一些关于数学哲学和数学史的内容，这让我对数学的抽象概念产生了更深层次的思考。在这样的背景下，我看到了《常微分算子》这本书。我猜想，这本书或许不仅仅是一本纯粹的数学教材，它可能还会触及到这些概念的起源、发展以及它们在数学思想演进中所扮演的角色。我好奇作者是如何从历史的角度来解读常微分算子理论的，它是否与一些伟大的数学家们的思想碰撞有关？它又是如何从最初的简单概念，发展成如今如此丰富而强大的理论体系？我希望这本书能够帮助我理解，为什么这些抽象的算子会被创造出来，它们背后蕴含着怎样的数学直觉，以及它们是如何深刻地影响了数学的整体发展。或许，通过这本书，我能够看到数学家们在探索这些概念时所付出的艰辛与智慧，从而获得一种对数学的更宏大的敬意。

评分☆☆☆☆☆

我拿到这本书的时候，内心是带着一丝忐忑的。我深知“常微分算子”这个概念在数学界的重要性，也知道它往往是高级数学课程中的核心内容，对许多初学者而言，可能是一道难以逾越的门槛。我担心这本书会过于专业化，充斥着大量晦涩的符号和复杂的推导，让我望而却步。然而，当我翻开第一页，一股清新而严谨的学术气息扑面而来，却又不失引导性。我仿佛看到作者是一位经验丰富的向导，他没有急于将我抛入知识的海洋，而是先为我描绘出整个海洋的轮廓，点出那些重要的岛屿和航道。我猜测书中会先从基础的微分算子概念讲起，可能还会回顾一些必备的微积分和线性代数知识，为读者打下坚实的基础。之后，再循序渐进地引入更复杂的算子类型，比如一些特殊的边界条件下的算子，以及它们在不同数学分支中的应用。我尤其期待书中能够详细讲解算子谱理论，这部分内容总是让我觉得既迷人又难以捉摸，如果能通过这本书豁然开朗，那将是巨大的收获。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在科研一线摸爬滚打多年的工程师，我时常会遇到一些需要运用高等数学工具来解决的难题。在我的工作领域，很多实际问题都可以抽象为微分方程，而求解这些微分方程，或者分析它们的性质，往往离不开对微分算子的深入理解。我希望这本书能为我提供一套系统、实用的理论框架，让我能够将书中的知识融会贯通，应用于我的科研实践中。我特别关注的是那些关于算子在物理模型、工程系统中的具体应用。例如，热传导、波动方程、量子力学等领域，都与常微分算子有着密不可分的联系。我期待书中能提供一些具体的算例，展示如何利用算子理论来分析系统的稳定性、求解边界值问题，或者设计新的控制策略。如果书中还能涉及一些数值方法与算子理论的结合，那将对我非常有帮助，因为在实际操作中，解析解往往难以获得，而数值解则需要扎实的理论基础来指导。

评分☆☆☆☆☆

我是一位热爱阅读的大学生，虽然我的专业并非数学，但我对那些能够拓展思维边界、挑战固有认知的书籍总是情有独钟。《常微分算子》这个书名，乍一听似乎与我的专业毫不相关，但我被它所蕴含的“算子”这个概念深深吸引。我猜想，算子是一种非常强大且普遍的数学工具，它能够将一种数学对象（比如函数）映射到另一种数学对象，这种映射关系本身就蕴含着丰富的数学结构和规律。我期待这本书能够用一种相对易于理解的方式，向我介绍常微分算子是如何工作的，它能够做什么，以及它在更广泛的数学领域中扮演着怎样的角色。我希望这本书能够像打开一扇新的窗户，让我看到一个我从未涉足过的数学世界，让我领略到抽象数学的魅力。我更期待，通过阅读这本书，我能够培养出一种更强的逻辑思维能力和解决问题的分析能力，这些能力无疑会对我未来的学习和生活大有裨益。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名就足以让人产生无穷的遐想，我是在一个偶然的机会下，在书店的角落里瞥见了它。当时我就被那简洁却充满力量的书名吸引住了，常微分算子，这四个字仿佛隐藏着宇宙深处的奥秘，又像是通往数学殿堂的神秘钥匙。我本身对数学，特别是高等数学领域有着浓厚的兴趣，虽然并非科班出身，但一直渴望能有一本书，能够系统地、深入地解读那些抽象的概念，尤其是那些看似枯燥却又无比重要的“算子”理论。我猜想，这本书一定不会仅仅停留在概念的堆砌，而是会引导读者一步步地理解这些算子是如何被构造、如何被应用，以及它们在解决实际问题中所扮演的关键角色。想象一下，那些看似静态的微分方程，在算子的视角下，或许会展现出动态的生命力，它们的解不再是孤立的点，而是由一系列的算子变换所勾勒出的轨迹。这种联想让我对书中可能包含的理论框架、证明方法以及对数学习惯的颠覆充满了期待。我甚至开始构思，如果这本书能辅以一些精美的图示，或者一些经典的案例分析，那将是多么令人愉悦的阅读体验。