常微分算子 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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曹之江 著

圖書標籤:

• 常微分方程
• 微分算子
• 數學分析
• 偏微分方程
• 泛函分析
• 算子理論
• 數學物理
• 數值分析
• 應用數學
• 高等數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030495914

版次：1

商品編碼：12020114

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2016-08-01

用紙：膠版紙

頁數：233

字數：300000

正文語種：中文

內容簡介

　　常微分算子是在Fourier方法、Sturm-Liouville理論與Hilbert空間無界算子理論的基礎上發展起來的一門數學分支，是近代量子力學、數學物理及工程技術的重要數學工具之一。
　　《常微分算子》係統地講述瞭希爾伯特空間綫性算子的一般知識和由微分算式生成的算子的基本概念；常型自伴微分算子的譜分解-即經典的斯托姆-劉維爾理論；對稱算子的虧指數與自伴擴張問題；奇型微分算子的譜分解-即Weyl-Titchmarsh理論；微分算子虧指數理論的若乾發展概況等。
　　《常微分算子》自成係統，敘述簡明，可作為數學專業的大學生和研究生以及從事應用數學、物理科學與有關工程技術工作的人員的學習入門書和參考書。

內頁插圖

目錄

再版前言
序

第1章 Hilbert空間的綫性算子
1．1 L2（a，b）空間
1．2 正交係
1．3 Parseval等式
1．4 有界綫性算子
1．5 閉的綫性算子
1．6 無界綫性算子的共軛算子
1．7 對稱算子和自伴算子
1．8 綫性算子的譜
1．9 自伴算子的譜分解
練習題

第2章 常型的對稱微分算子
2．1 二階對稱微分算式
2．2 最小與最大算子
2．3 n階對稱微分算式及契閤函數
2．4 邊界型定理
2．5 n階對稱微分算式所生成的算子

第3章 常型Sturm-Liouville算子的譜分解
3．1 經典Sturm-Liouville問題
3．2 本徵值的存在與分布
3．3 本徵函數的振動特徵
3．4 預解式和Green函數
3．5 按本徵函數展開
3．6 高階自伴微分算子的預解式
3．7 對稱全連續算子的譜分解
3．8 常型自伴微分算子的本徵展開式

第4章 對稱算子的擴張和虧指數
4．1 Cayley變換與虧指數
4．2 共軛算子與自伴擴張算子的構造
4．3 Neumann公式
4．4 常型微分算子的虧指數與自伴擴張

第5章 奇型對稱微分算子的譜分解
5．1 奇型微分算式所生成的算子
5．2 二階對稱微分算式的點型與圓型
5．3 Weyl函數與Weyl解
5．4 Weyl-Titchmarsh自伴域
5．5 譜函數與廣義Fourier變換（一）
5．6 譜函數與廣義Fourier變換（二）
5．7 Titchmarsh公式
5．8 譜函數與譜
5．9 譜族的構造
5．10 （-∞，∞）上的二階對稱微分算子
5．11 例

第6章 奇型對稱微分算子的虧指數
6．1 極限點型的微分算式
6．2 極限圓型的微分算式
6．3 虧指數的值域問題
6．4 Everitt定理及Kodaira公式的證明
6．5 Everitt自伴域
6．6 圓型微分算子自伴擴張的完全描述

參考文獻

前言/序言

　　《常微分算子》已經齣版瞭近三十年，三十年來微分算子理論的研究無論從深度還是廣度上都有瞭很大的發展、變化。
　　《常微分算子》齣版以來，一直在內濛古大學等高等學校作為研究生教材或科學研究的重要參考書，培養瞭一大批從事微分算子理論研究的中青年學者，微分算子理論研究的隊伍日益壯大。第1版齣版三十年後的今天，很高興本書有機會再版，本書除瞭對第1版的文字敘述和排版中的小錯誤做瞭仔細的修訂和完善外，在第1章對部分內容做瞭一些增補。
　　微分算子理論的研究從20世紀80年代開始，一直得到國傢自然科學基金委員會長期的支持和幫助，本書的齣版也得到國傢自然科學基金（No.11161030，11561050）的資助，我們在這裏錶示由衷的謝意！內濛古大學的一些教師和研究生也對本書的修訂、再版做瞭很多具體的工作。在本書的再版過程中，我們得到瞭科學齣版社王麗平編輯的大力支持，在此謹錶示衷心的感謝！

《拓撲學基礎：從點集到流形》 內容提要： 本書旨在為讀者構建一個嚴謹而直觀的拓撲學知識體係，內容涵蓋瞭從最基本的集閤論概念齣發，逐步深入到抽象拓撲空間的構造、連續性的精確定義、連通性與緊緻性的重要性質，並最終過渡到微分幾何的基石——流形理論。全書的敘述風格力求清晰、邏輯嚴密，並輔以大量的實例和反例，以幫助讀者掌握拓撲學這一現代數學的通用語言。 第一部分：預備知識與拓撲空間的基本概念 本書首先迴顧瞭必要的集閤論與函數基礎，為後續的拓撲結構討論奠定基礎。 第一章：集閤與映射的迴顧 本章簡要復習瞭集閤的笛卡爾積、冪集、函數、關係的性質（如內射、滿射、雙射）。特彆強調瞭在構造拓撲空間時至關重要的子集和商集的概念。引入瞭序列（數列）的概念，並討論瞭它們的收斂性在度量空間（作為拓撲空間的特例）中的意義，為後續定義拓撲收斂打下直觀基礎。 第二章：拓撲空間的構造 拓撲學的核心在於“結構”。本章詳細闡述瞭拓撲結構的定義：開集的族。我們從三個基本公理——空集和全集的開性、有限個開集的交集仍為開集、任意多個開集的並集仍為開集的公理——齣發，嚴格定義瞭拓撲空間 $(X, mathcal{T})$。 隨後，我們討論瞭由其他結構誘導拓撲的方法： 1. 子空間拓撲： 當 $Y subset X$ 時，如何將 $X$ 上的拓撲結構“繼承”到 $Y$ 上，形成子空間拓撲。 2. 商拓撲： 介紹等價關係 $sim$ 如何通過投影映射 $p: X o X/sim$ 在商集 $X/sim$ 上誘導齣自然的拓撲結構。這一工具在構造空間（如圓、環麵）時至關重要。 3. 積拓撲： 對於多個拓撲空間的乘積 $X_1 imes X_2 imes cdots imes X_n$，如何定義一個使得投影映射連續的最小拓撲，並推廣至無限積空間。 第三章：開集、閉集、鄰域與基 本章聚焦於拓撲空間中點與其周圍環境的關係。 1. 閉集與閉包： 閉集被定義為開集的補集，並由此引入瞭閉包 $overline{A}$ 的概念，它是包含 $A$ 的最小閉集。 2. 鄰域係統： 鄰域是描述點周圍環境的更精細工具。我們定義瞭鄰域的性質，並討論瞭鄰域基（或局部基）的概念，它允許我們用更少的開集來描述整個拓撲結構。 3. 邊界與 wnętrze (內部)： 嚴格區分集閤的內部點、邊界點和外部點。 第四章：連續性與拓撲同胚 連續性是連接不同拓撲空間的橋梁。 1. 拓撲空間的連續映射： 定義瞭 $phi: (X, mathcal{T}_X) o (Y, mathcal{T}_Y)$ 連續的精確條件：原像下保持開性（即 $phi^{-1}(V)$ 對 $Y$ 中的任意開集 $V$ 也是 $X$ 中的開集）。 2. 拓撲性質與拓撲同胚： 拓撲同胚被定義為雙射且映射及其逆映射均為連續的函數。拓撲學研究的就是那些在拓撲同胚下保持不變的性質（拓撲不變量）。本章將探討如維度、連通性、緊緻性等作為拓撲不變量的重要性。 第二部分：分離公理與特殊拓撲結構 第五章：分離公理 拓撲空間可以非常“病態”，為瞭研究那些具有良好性質的空間（如度量空間），引入瞭分離公理。 1. $T_1$ 空間與豪斯多夫空間 ($T_2$)： 這是最關鍵的公理，要求任意兩個不同的點都有不相交的鄰域。我們證明瞭豪斯多夫空間中的序列至多有一個極限點，以及閉集在豪斯多夫空間中的性質。 2. 正則性 ($T_3$) 與完全正則性 ($T_3frac{1}{2}$)： 進一步要求點與不包含該點的閉集可以通過開集分開。 3. 正規性 ($T_4$)： 要求不相交的兩個閉集可以通過不相交的開集分開。我們探討瞭這些公理之間的邏輯關係。 第六章：度量空間 度量空間是滿足所有分離公理的特殊空間。 1. 度量的定義與性質： 引入距離函數 $d(x, y)$ 的公理，並討論瞭由度量誘導的度量拓撲。 2. 度量拓撲的性質： 證明度量拓撲總是滿足 $T_4$（正規）的。討論開球、閉球、直徑、完備性的概念。 第三部分：連通性與緊緻性 這兩個概念是研究拓撲空間結構復雜程度的核心工具。 第七章：連通性 1. 定義與基本性質： 連通性基於不可分離性（即不能被分成兩個不相交的非空開集的並集）。我們證明瞭連通性在連續映射下保持不變。 2. 路徑連通性： 引入更強的概念——路徑連通性，並證明在 $mathbb{R}^n$ 等空間中兩者是等價的。討論瞭連通分支的概念。 第八章：緊緻性 緊緻性是有限性在任意拓撲空間中的推廣。 1. 開覆蓋與緊緻性定義： 緊緻空間是指其任意開覆蓋都存在有限子覆蓋的空間。 2. 緊緻性的重要定理： 重點討論瞭Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中，有界閉集是緊緻的）及其推廣。 3. 緊緻性與連續映射： 緊緻集在連續映射下的像仍是緊緻集，並由此導齣極值定理（連續函數在緊緻集上能達到最大值和最小值）。 4. 局部緊緻性： 引入局部緊緻性的概念，並討論其在函數空間中的應用。 第四部分：構造性工具與進階主題 第九章：可數性公理與函數的性質 討論空間的可構造性：第一可數、第二可數以及可分性。重點分析瞭這些性質與我們直觀理解的“良好行為”之間的關係。 第十章：嵌入定理與流形初步 作為嚮微分幾何的過渡，本章簡要介紹瞭拓撲嵌入的概念，並引入瞭拓撲流形的正式定義：一個具有局部歐幾裏得結構（即局部看起來像 $mathbb{R}^n$）的豪斯多夫、第二可數空間。這為讀者理解現代幾何學的基本構築塊提供瞭嚴格的拓撲基礎。 本書特點： 嚴謹性： 所有定義和定理均基於集閤論的嚴格推導。 直觀性： 大量使用 $mathbb{R}^n$ 中的直覺和例子來輔助理解抽象概念。 深度： 平衡發展瞭分離公理、連通性和緊緻性這三大核心支柱。 覆蓋麵廣： 覆蓋瞭單變量拓撲學中所有核心內容，為學習代數拓撲、微分拓撲和微分幾何奠定瞭堅實的基礎。 本書適閤高等院校數學係學生、物理學和計算機科學中需要深刻理解空間結構的研究人員和高年級本科生作為教材或參考書。掌握本書內容，讀者將能夠自如地運用拓撲語言分析各種數學結構。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名就足以讓人産生無窮的遐想，我是在一個偶然的機會下，在書店的角落裏瞥見瞭它。當時我就被那簡潔卻充滿力量的書名吸引住瞭，常微分算子，這四個字仿佛隱藏著宇宙深處的奧秘，又像是通往數學殿堂的神秘鑰匙。我本身對數學，特彆是高等數學領域有著濃厚的興趣，雖然並非科班齣身，但一直渴望能有一本書，能夠係統地、深入地解讀那些抽象的概念，尤其是那些看似枯燥卻又無比重要的“算子”理論。我猜想，這本書一定不會僅僅停留在概念的堆砌，而是會引導讀者一步步地理解這些算子是如何被構造、如何被應用，以及它們在解決實際問題中所扮演的關鍵角色。想象一下，那些看似靜態的微分方程，在算子的視角下，或許會展現齣動態的生命力，它們的解不再是孤立的點，而是由一係列的算子變換所勾勒齣的軌跡。這種聯想讓我對書中可能包含的理論框架、證明方法以及對數學習慣的顛覆充滿瞭期待。我甚至開始構思，如果這本書能輔以一些精美的圖示，或者一些經典的案例分析，那將是多麼令人愉悅的閱讀體驗。

評分☆☆☆☆☆

我是一位熱愛閱讀的大學生，雖然我的專業並非數學，但我對那些能夠拓展思維邊界、挑戰固有認知的書籍總是情有獨鍾。《常微分算子》這個書名，乍一聽似乎與我的專業毫不相關，但我被它所蘊含的“算子”這個概念深深吸引。我猜想，算子是一種非常強大且普遍的數學工具，它能夠將一種數學對象（比如函數）映射到另一種數學對象，這種映射關係本身就蘊含著豐富的數學結構和規律。我期待這本書能夠用一種相對易於理解的方式，嚮我介紹常微分算子是如何工作的，它能夠做什麼，以及它在更廣泛的數學領域中扮演著怎樣的角色。我希望這本書能夠像打開一扇新的窗戶，讓我看到一個我從未涉足過的數學世界，讓我領略到抽象數學的魅力。我更期待，通過閱讀這本書，我能夠培養齣一種更強的邏輯思維能力和解決問題的分析能力，這些能力無疑會對我未來的學習和生活大有裨益。

評分☆☆☆☆☆

我拿到這本書的時候，內心是帶著一絲忐忑的。我深知“常微分算子”這個概念在數學界的重要性，也知道它往往是高級數學課程中的核心內容，對許多初學者而言，可能是一道難以逾越的門檻。我擔心這本書會過於專業化，充斥著大量晦澀的符號和復雜的推導，讓我望而卻步。然而，當我翻開第一頁，一股清新而嚴謹的學術氣息撲麵而來，卻又不失引導性。我仿佛看到作者是一位經驗豐富的嚮導，他沒有急於將我拋入知識的海洋，而是先為我描繪齣整個海洋的輪廓，點齣那些重要的島嶼和航道。我猜測書中會先從基礎的微分算子概念講起，可能還會迴顧一些必備的微積分和綫性代數知識，為讀者打下堅實的基礎。之後，再循序漸進地引入更復雜的算子類型，比如一些特殊的邊界條件下的算子，以及它們在不同數學分支中的應用。我尤其期待書中能夠詳細講解算子譜理論，這部分內容總是讓我覺得既迷人又難以捉摸，如果能通過這本書豁然開朗，那將是巨大的收獲。

評分☆☆☆☆☆

我最近接觸到瞭一些關於數學哲學和數學史的內容，這讓我對數學的抽象概念産生瞭更深層次的思考。在這樣的背景下，我看到瞭《常微分算子》這本書。我猜想，這本書或許不僅僅是一本純粹的數學教材，它可能還會觸及到這些概念的起源、發展以及它們在數學思想演進中所扮演的角色。我好奇作者是如何從曆史的角度來解讀常微分算子理論的，它是否與一些偉大的數學傢們的思想碰撞有關？它又是如何從最初的簡單概念，發展成如今如此豐富而強大的理論體係？我希望這本書能夠幫助我理解，為什麼這些抽象的算子會被創造齣來，它們背後蘊含著怎樣的數學直覺，以及它們是如何深刻地影響瞭數學的整體發展。或許，通過這本書，我能夠看到數學傢們在探索這些概念時所付齣的艱辛與智慧，從而獲得一種對數學的更宏大的敬意。

評分☆☆☆☆☆

作為一名在科研一綫摸爬滾打多年的工程師，我時常會遇到一些需要運用高等數學工具來解決的難題。在我的工作領域，很多實際問題都可以抽象為微分方程，而求解這些微分方程，或者分析它們的性質，往往離不開對微分算子的深入理解。我希望這本書能為我提供一套係統、實用的理論框架，讓我能夠將書中的知識融會貫通，應用於我的科研實踐中。我特彆關注的是那些關於算子在物理模型、工程係統中的具體應用。例如，熱傳導、波動方程、量子力學等領域，都與常微分算子有著密不可分的聯係。我期待書中能提供一些具體的算例，展示如何利用算子理論來分析係統的穩定性、求解邊界值問題，或者設計新的控製策略。如果書中還能涉及一些數值方法與算子理論的結閤，那將對我非常有幫助，因為在實際操作中，解析解往往難以獲得，而數值解則需要紮實的理論基礎來指導。