现代数学基础丛书·典藏版54：拓扑空间中的反例 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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汪林，杨富春 著

图书标签:

• 拓扑学
• 反例
• 数学分析
• 集合论
• 点集拓扑
• 数学基础
• 典藏版
• 高等教育
• 数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030082114

版次：1

商品编码：12049717

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书

开本：16开

出版时间：2000-06-01

用纸：胶版纸

页数：184

字数：219000

正文语种：中文

内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版54：拓扑空间中的反例》汇集了拓扑空间与线性拓扑空间方面的大量反例。主要内容为：拓扑空间、可数性公理、分离性公理、连通性、紧性、局部凸空间、桶空间和囿空间、线性拓扑空间中的基。
　　《现代数学基础丛书·典藏版54：拓扑空间中的反例》可供高等院校理工科学生、研究生、教师参考。

内页插图

目录

前言/序言

　　在数学的教学和研究中，经常需要用反例来说明某个命题不真，而绝大多数的数学书籍，主要是致力于证明在某些条件下某一结论是真，但很少谈到在另一些条件下某一结论是正确的还是错误的，即用来说明某些命题不真的反例较少，这不利于学习的深入，因此，比较系统地汇集某个数学分支的反例以弥补这方面的不足，无疑是十分有益的。基于这一想法，我们撰写了本书。
　　本书的取材，主要是从各种有关的书籍以及近几十年散见在国内外各种数学杂志上的反例中挑选出来的；也有一些例子取自L.A.Steen与J。A.Seebach，Jr合著的“Counter Examplesin Topology”和S.M.Khaleelulla著的“Counterexamples in Topological Vector Spaces”两本书；还有一部分是我们在长期的教学和研究实践中构造的。书中还介绍了最近几年才发展起来的集值分析方面的例子。阅读本书所需的预备知识，假定读者已经掌握，因此，书中只准备了很少的说明，每一章都以引言开始，用来明确所用的记号、术语和定义，也陈述了一些有关的定理，这些定理或者是构造某些反例时要用到的，或者是为了衬托某个反例，各章引言部分一般未介绍实分析与泛函分析方面的术语与记号，有关这方面的内容，读者可参看〔9〕与。此外，在许多例子的后面，以“注”的形式把这个反例与某个正面的命题相比较，以便读者更好地了解到这个命题的条件所起的作用和所举反例的意义。
　　本书得到云南大学学术著作和教材出版基金、云南省科委和教委应用基础研究基金资助，已故的中国科学院院士程民德教授仔细地审阅了书稿，并提出了许多具体而又宝贵的意见；A.C.Thompson教授给作者们以很大的鼓励，并提供了一些反例；云南大学卫念祖教授始终关怀本书的撰写；科学出版社对本书的出版工作给予了极大的支持。在此，作者谨向他们致以深深的谢意。
　　由于作者水平所限，一定存在不少缺点，殷切期望专家和读者予以批评指教。

现代数学基础丛书·典藏版55：常微分方程的定性理论与稳定性分析 导言：微分方程的几何视角与动力学系统 在数学和物理的广阔领域中，常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）始终占据着核心地位。它们不仅是描述自然界中各种动态过程的基本语言，也是现代科学，如工程学、生物学、经济学乃至复杂系统理论的基石。然而，传统的求解方法，例如寻找精确的解析解，在绝大多数实际问题中都是不可行的。这催生了对微分方程进行“定性分析”（Qualitative Analysis）的迫切需求——即在不求解方程的具体表达式的情况下，理解其解的整体行为、结构和稳定性。 本书《现代数学基础丛书·典藏版55：常微分方程的定性理论与稳定性分析》正是在此背景下应运而生。它是一部聚焦于微分方程几何解释、相空间分析以及系统稳定性判据的深度论著。本书摒弃了对繁琐积分运算的过度依赖，转而深入挖掘了动力系统（Dynamical Systems）的内在结构，为读者构建一个全面而深刻的定性分析框架。 第一部分：线性系统与基础结构 本书的开篇奠定了理解非线性系统的必要基础——线性常微分方程组。 第一章：线性系统的解空间与结构 我们首先回顾了齐次与非齐次线性系统的基本理论，包括解的存在唯一性、通解的构造以及常系数线性系统的矩阵指数方法。重点在于对解空间的理解，即解如何形成一个向量空间，以及基解矩阵的作用。 第二章：二维线性系统的相图分析 这是定性理论的入门关键。对于二元线性系统 $dot{mathbf{x}} = Amathbf{x}$，本书详尽分析了矩阵 $A$ 的特征值（Eigenvalues）对系统行为的决定性影响。通过详细的相图绘制和分类，读者可以清晰地看到鞍点（Saddle）、结点（Node，包括稳定和不稳定）、焦点（Focus，包括稳定和不稳定）以及中心（Center）的几何形态和对应的系统稳定性。这一章的论述，完全基于特征值在复平面的位置，展示了代数特性如何直接映射到几何动力学行为。 第二部分：非线性系统的几何与拓扑 定性理论的真正魅力在于处理非线性系统。本书将重点转向相空间（Phase Space）的概念，将微分方程视为一个矢量场，解的轨迹则是穿过这个矢量场的流线。 第三章：相空间、奇点与流 本章引入了核心概念：相空间、平衡点（奇点，Equilibrium Points）以及流（Flow）的性质。我们探讨了解的“向上”或“向下”演化方向，并引入了函数流的性质，如唯一性、连续依赖于初始条件（即解的“光滑性”）。 第四章：线性化方法与稳定性初步 虽然系统是非线性的，但局部行为往往可以由线性化近似来描述。本书详细阐述了如何通过计算奇点处的雅可比矩阵（Jacobian Matrix）对非线性系统进行线性化处理。重点在于 Hartman-Grobman 定理的思想——在一定条件下，局部动力学行为由线性化近似决定。同时，引入了Lyapunov意义下的稳定性概念：一致稳定、渐近稳定和指数稳定。 第三部分：稳定性分析的核心工具——Lyapunov 方法 当线性化分析无法给出明确结论时（例如，当特征值位于虚轴上时），我们需要更强大的工具来判断稳定性，即Lyapunov稳定性理论。 第五章：Lyapunov 函数的构造与应用 本章是全书的理论核心之一。我们首先介绍了Lyapunov函数的必要性和充分性条件（第一方法）。随后，我们深入探讨了如何寻找和构造合适的Lyapunov函数来证明系统的稳定性或不稳定。这不仅仅是代数技巧，更是一种能量或“度量”的直觉应用。我们系统地分析了Lyapunov函数的性质，并将其应用于特定形式的非线性系统。 第六章：LaSalle 不变集原理 继承于Lyapunov方法，LaSalle不变集原理提供了一种更灵活的稳定性分析工具，尤其适用于那些Lyapunov函数导数不严格为负的情况。本书详细解释了不变集（Invariant Set）和吸引集（Attracting Set）的定义，并阐述了LaSalle定理如何允许系统渐近收敛到包含平衡点的最小不变集上，极大地拓宽了我们对稳定性的判断范围。 第四部分：极限环与周期解的分析 许多物理和工程系统（如振荡器）的解最终表现为周期性的运动，即极限环（Limit Cycles）。 第七章：极限环的存在性与稳定性 本章专注于极限环的定性分析。我们讨论了极限环在相空间中的拓扑意义。重点在于Bendixson-Dulac 判据，这是一个基于散度（Divergence）的工具，用于证明某一区域内不存在极限环。 第八章：Liénard 方程与范德波尔振荡器 为了具体说明极限环的存在性，本书以经典的Liénard型方程（如范德波尔振荡器 Van der Pol oscillator）为例，展示了如何结合图形分析和Lyapunov方法来严格证明稳定极限环的存在性及其稳定性。这展示了理论工具在经典物理模型中的强大威力。 第五部分：全局行为与复杂性 本书最后一部分将视野从局部扩展到全局，涉及吸引子、分岔理论的初步概念，以及系统复杂性的初步探索。 第九章：全局吸引子与拓扑结构 我们讨论了系统的全局吸引子（Global Attractor）的概念，即所有解最终都趋向的集合。这包括了对高维系统中可能出现的奇异吸引子（Strange Attractors）的直观描述，为后续深入研究混沌现象打下基础。 第十章：分岔理论简介 分岔（Bifurcation）描述了系统参数变化时，其定性结构（如平衡点的稳定性或出现周期解）的突然改变。本书简要介绍了鞍结分岔（Saddle-node）和霍普夫分岔（Hopf bifurcation）这两种最基本的局部分岔类型，展示了稳定性如何随参数演化而“重生”或“湮灭”。 总结与展望 《常微分方程的定性理论与稳定性分析》旨在为数学、物理及工程领域的学生和研究人员提供一个扎实、直观且深入的工具箱。本书强调了几何直觉与严格数学证明的结合，使读者能够独立分析和理解那些解析求解方法无能为力的复杂动态系统。通过对相图、Lyapunov函数和不变集原理的透彻掌握，读者将能够从更本质的层面理解自然界和工程系统中的稳定、振荡与演化规律。

评分☆☆☆☆☆

这本书的行文风格非常扎实，每一句话都仿佛经过了反复的斟酌和推敲，没有丝毫的冗余。它建立了一个非常坚固的逻辑链条，从第一个概念开始，到最后复杂的论证结束，过渡自然得如同呼吸一般流畅。我最欣赏它处理复杂概念时的那种“抽丝剥茧”的能力。比如，当引入一个新的抽象结构时，作者会先用最简单的例子来展示它的核心属性，然后逐步增加复杂度，并用反例来界定该结构的边界，这种教学方法极大地降低了初学者的入门门槛。对于已经有一定基础的读者而言，书中对一些经典定理的“另类证明”也提供了宝贵的参考价值，让人从中领悟到不同的数学美学。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值远超出了其作为一本教科书的范畴，它更像是一部数学思想的编年史。作者在介绍完一个理论框架后，往往会追溯到其产生的时代背景和社会需求，这使得数学知识不再是孤立于现实的空中楼阁。我尤其喜欢其中关于数学哲学讨论的部分，它探讨了数学对象存在的本质问题，这些思考让我对“什么是数学”有了更深层次的体悟。尽管内容深度要求读者具备一定的专注力，但一旦沉浸其中，时间仿佛都失去了意义。这本书无疑是为那些真正热爱并渴望深入理解数学结构的人准备的精品，它经得起反复研读和品味，每一次重读都会有新的感悟浮现。

评分☆☆☆☆☆

我之前对这方面的数学分支一直抱着一种敬而远之的态度，觉得那都是天才才能企及的领域。然而，这本书成功地打破了这种偏见。作者的语气非常亲切，就像一位经验丰富的导师在你身边耐心地指导。他总是在关键的地方给出“小贴士”，提醒我们哪些地方容易出错，或者哪些定理的推广需要特别注意边界条件。这种细致入微的关怀，让我在遇到困难时感到自己并非孤军奋战。而且，书中对不同学派观点差异的梳理也非常客观公正，展现了数学思想的多元性。这本书不是要灌输给你一个唯一的真理，而是鼓励你去批判性地思考和比较不同的理论框架。

评分☆☆☆☆☆

这本《XX》的书真是让人耳目一新，它不仅仅是一本关于纯理论的教材，更像是一本带领读者穿越数学迷宫的向导。作者的叙述方式非常引人入胜，他似乎并不急于把你塞进那些刻板的定义里，而是先用生动的例子勾勒出概念的轮廓。我记得有一次读到某个关于函数极限的章节，本来枯燥的证明过程，被他通过一系列的类比讲解得清晰明了，仿佛那些抽象的符号突然就有了实体和画面感。更难得的是，书中对历史背景的交代也恰到好处，让人明白这些数学工具是如何一步步发展起来的，这对于理解“为什么是这样”比“是什么”更为重要。读完几章下来，我感觉自己对数学思维的训练比单纯记忆公式有效得多。它提供了一种全新的视角去看待那些我们习以为常的数学结构，让人忍不住想去探索更深层次的东西。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的排版和装帧确实让人心情愉悦，这在学术著作中是比较少见的。纸张的质感很棒，油墨印刷清晰，即便是长时间阅读也不会感到视觉疲劳。当然，内容本身才是核心。这本书的难度曲线设置得非常精妙，初看起来似乎有些挑战性，但如果你愿意按照作者的节奏慢慢跟进，你会发现那些看似高深的定理和推论，其实都是由非常基础且严谨的步骤搭建起来的。我特别欣赏它在每一章节末尾设置的“思考题”，这些问题不是简单的计算，而是真正考验你对概念理解深度的挑战。我花了不少时间在上面，有时候需要查阅其他资料才能勉强给出答案，但这过程中的收获是巨大的，它强迫你走出舒适区，真正将知识内化。