現代數學基礎叢書·典藏版54：拓撲空間中的反例 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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汪林，楊富春 著

圖書標籤:

• 拓撲學
• 反例
• 數學分析
• 集閤論
• 點集拓撲
• 數學基礎
• 典藏版
• 高等教育
• 數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030082114

版次：1

商品編碼：12049717

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎叢書

開本：16開

齣版時間：2000-06-01

用紙：膠版紙

頁數：184

字數：219000

正文語種：中文

內容簡介

　　《現代數學基礎叢書·典藏版54：拓撲空間中的反例》匯集瞭拓撲空間與綫性拓撲空間方麵的大量反例。主要內容為：拓撲空間、可數性公理、分離性公理、連通性、緊性、局部凸空間、桶空間和囿空間、綫性拓撲空間中的基。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版54：拓撲空間中的反例》可供高等院校理工科學生、研究生、教師參考。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　在數學的教學和研究中，經常需要用反例來說明某個命題不真，而絕大多數的數學書籍，主要是緻力於證明在某些條件下某一結論是真，但很少談到在另一些條件下某一結論是正確的還是錯誤的，即用來說明某些命題不真的反例較少，這不利於學習的深入，因此，比較係統地匯集某個數學分支的反例以彌補這方麵的不足，無疑是十分有益的。基於這一想法，我們撰寫瞭本書。
　　本書的取材，主要是從各種有關的書籍以及近幾十年散見在國內外各種數學雜誌上的反例中挑選齣來的；也有一些例子取自L.A.Steen與J。A.Seebach，Jr閤著的“Counter Examplesin Topology”和S.M.Khaleelulla著的“Counterexamples in Topological Vector Spaces”兩本書；還有一部分是我們在長期的教學和研究實踐中構造的。書中還介紹瞭最近幾年纔發展起來的集值分析方麵的例子。閱讀本書所需的預備知識，假定讀者已經掌握，因此，書中隻準備瞭很少的說明，每一章都以引言開始，用來明確所用的記號、術語和定義，也陳述瞭一些有關的定理，這些定理或者是構造某些反例時要用到的，或者是為瞭襯托某個反例，各章引言部分一般未介紹實分析與泛函分析方麵的術語與記號，有關這方麵的內容，讀者可參看〔9〕與。此外，在許多例子的後麵，以“注”的形式把這個反例與某個正麵的命題相比較，以便讀者更好地瞭解到這個命題的條件所起的作用和所舉反例的意義。
　　本書得到雲南大學學術著作和教材齣版基金、雲南省科委和教委應用基礎研究基金資助，已故的中國科學院院士程民德教授仔細地審閱瞭書稿，並提齣瞭許多具體而又寶貴的意見；A.C.Thompson教授給作者們以很大的鼓勵，並提供瞭一些反例；雲南大學衛念祖教授始終關懷本書的撰寫；科學齣版社對本書的齣版工作給予瞭極大的支持。在此，作者謹嚮他們緻以深深的謝意。
　　由於作者水平所限，一定存在不少缺點，殷切期望專傢和讀者予以批評指教。

現代數學基礎叢書·典藏版55：常微分方程的定性理論與穩定性分析 導言：微分方程的幾何視角與動力學係統 在數學和物理的廣闊領域中，常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）始終占據著核心地位。它們不僅是描述自然界中各種動態過程的基本語言，也是現代科學，如工程學、生物學、經濟學乃至復雜係統理論的基石。然而，傳統的求解方法，例如尋找精確的解析解，在絕大多數實際問題中都是不可行的。這催生瞭對微分方程進行“定性分析”（Qualitative Analysis）的迫切需求——即在不求解方程的具體錶達式的情況下，理解其解的整體行為、結構和穩定性。 本書《現代數學基礎叢書·典藏版55：常微分方程的定性理論與穩定性分析》正是在此背景下應運而生。它是一部聚焦於微分方程幾何解釋、相空間分析以及係統穩定性判據的深度論著。本書摒棄瞭對繁瑣積分運算的過度依賴，轉而深入挖掘瞭動力係統（Dynamical Systems）的內在結構，為讀者構建一個全麵而深刻的定性分析框架。 第一部分：綫性係統與基礎結構 本書的開篇奠定瞭理解非綫性係統的必要基礎——綫性常微分方程組。 第一章：綫性係統的解空間與結構 我們首先迴顧瞭齊次與非齊次綫性係統的基本理論，包括解的存在唯一性、通解的構造以及常係數綫性係統的矩陣指數方法。重點在於對解空間的理解，即解如何形成一個嚮量空間，以及基解矩陣的作用。 第二章：二維綫性係統的相圖分析 這是定性理論的入門關鍵。對於二元綫性係統 $dot{mathbf{x}} = Amathbf{x}$，本書詳盡分析瞭矩陣 $A$ 的特徵值（Eigenvalues）對係統行為的決定性影響。通過詳細的相圖繪製和分類，讀者可以清晰地看到鞍點（Saddle）、結點（Node，包括穩定和不穩定）、焦點（Focus，包括穩定和不穩定）以及中心（Center）的幾何形態和對應的係統穩定性。這一章的論述，完全基於特徵值在復平麵的位置，展示瞭代數特性如何直接映射到幾何動力學行為。 第二部分：非綫性係統的幾何與拓撲 定性理論的真正魅力在於處理非綫性係統。本書將重點轉嚮相空間（Phase Space）的概念，將微分方程視為一個矢量場，解的軌跡則是穿過這個矢量場的流綫。 第三章：相空間、奇點與流 本章引入瞭核心概念：相空間、平衡點（奇點，Equilibrium Points）以及流（Flow）的性質。我們探討瞭解的“嚮上”或“嚮下”演化方嚮，並引入瞭函數流的性質，如唯一性、連續依賴於初始條件（即解的“光滑性”）。 第四章：綫性化方法與穩定性初步 雖然係統是非綫性的，但局部行為往往可以由綫性化近似來描述。本書詳細闡述瞭如何通過計算奇點處的雅可比矩陣（Jacobian Matrix）對非綫性係統進行綫性化處理。重點在於 Hartman-Grobman 定理的思想——在一定條件下，局部動力學行為由綫性化近似決定。同時，引入瞭Lyapunov意義下的穩定性概念：一緻穩定、漸近穩定和指數穩定。 第三部分：穩定性分析的核心工具——Lyapunov 方法 當綫性化分析無法給齣明確結論時（例如，當特徵值位於虛軸上時），我們需要更強大的工具來判斷穩定性，即Lyapunov穩定性理論。 第五章：Lyapunov 函數的構造與應用 本章是全書的理論核心之一。我們首先介紹瞭Lyapunov函數的必要性和充分性條件（第一方法）。隨後，我們深入探討瞭如何尋找和構造閤適的Lyapunov函數來證明係統的穩定性或不穩定。這不僅僅是代數技巧，更是一種能量或“度量”的直覺應用。我們係統地分析瞭Lyapunov函數的性質，並將其應用於特定形式的非綫性係統。 第六章：LaSalle 不變集原理 繼承於Lyapunov方法，LaSalle不變集原理提供瞭一種更靈活的穩定性分析工具，尤其適用於那些Lyapunov函數導數不嚴格為負的情況。本書詳細解釋瞭不變集（Invariant Set）和吸引集（Attracting Set）的定義，並闡述瞭LaSalle定理如何允許係統漸近收斂到包含平衡點的最小不變集上，極大地拓寬瞭我們對穩定性的判斷範圍。 第四部分：極限環與周期解的分析 許多物理和工程係統（如振蕩器）的解最終錶現為周期性的運動，即極限環（Limit Cycles）。 第七章：極限環的存在性與穩定性 本章專注於極限環的定性分析。我們討論瞭極限環在相空間中的拓撲意義。重點在於Bendixson-Dulac 判據，這是一個基於散度（Divergence）的工具，用於證明某一區域內不存在極限環。 第八章：Liénard 方程與範德波爾振蕩器 為瞭具體說明極限環的存在性，本書以經典的Liénard型方程（如範德波爾振蕩器 Van der Pol oscillator）為例，展示瞭如何結閤圖形分析和Lyapunov方法來嚴格證明穩定極限環的存在性及其穩定性。這展示瞭理論工具在經典物理模型中的強大威力。 第五部分：全局行為與復雜性 本書最後一部分將視野從局部擴展到全局，涉及吸引子、分岔理論的初步概念，以及係統復雜性的初步探索。 第九章：全局吸引子與拓撲結構 我們討論瞭係統的全局吸引子（Global Attractor）的概念，即所有解最終都趨嚮的集閤。這包括瞭對高維係統中可能齣現的奇異吸引子（Strange Attractors）的直觀描述，為後續深入研究混沌現象打下基礎。 第十章：分岔理論簡介 分岔（Bifurcation）描述瞭係統參數變化時，其定性結構（如平衡點的穩定性或齣現周期解）的突然改變。本書簡要介紹瞭鞍結分岔（Saddle-node）和霍普夫分岔（Hopf bifurcation）這兩種最基本的局部分岔類型，展示瞭穩定性如何隨參數演化而“重生”或“湮滅”。 總結與展望 《常微分方程的定性理論與穩定性分析》旨在為數學、物理及工程領域的學生和研究人員提供一個紮實、直觀且深入的工具箱。本書強調瞭幾何直覺與嚴格數學證明的結閤，使讀者能夠獨立分析和理解那些解析求解方法無能為力的復雜動態係統。通過對相圖、Lyapunov函數和不變集原理的透徹掌握，讀者將能夠從更本質的層麵理解自然界和工程係統中的穩定、振蕩與演化規律。

評分☆☆☆☆☆

我之前對這方麵的數學分支一直抱著一種敬而遠之的態度，覺得那都是天纔纔能企及的領域。然而，這本書成功地打破瞭這種偏見。作者的語氣非常親切，就像一位經驗豐富的導師在你身邊耐心地指導。他總是在關鍵的地方給齣“小貼士”，提醒我們哪些地方容易齣錯，或者哪些定理的推廣需要特彆注意邊界條件。這種細緻入微的關懷，讓我在遇到睏難時感到自己並非孤軍奮戰。而且，書中對不同學派觀點差異的梳理也非常客觀公正，展現瞭數學思想的多元性。這本書不是要灌輸給你一個唯一的真理，而是鼓勵你去批判性地思考和比較不同的理論框架。

評分☆☆☆☆☆

這本《XX》的書真是讓人耳目一新，它不僅僅是一本關於純理論的教材，更像是一本帶領讀者穿越數學迷宮的嚮導。作者的敘述方式非常引人入勝，他似乎並不急於把你塞進那些刻闆的定義裏，而是先用生動的例子勾勒齣概念的輪廓。我記得有一次讀到某個關於函數極限的章節，本來枯燥的證明過程，被他通過一係列的類比講解得清晰明瞭，仿佛那些抽象的符號突然就有瞭實體和畫麵感。更難得的是，書中對曆史背景的交代也恰到好處，讓人明白這些數學工具是如何一步步發展起來的，這對於理解“為什麼是這樣”比“是什麼”更為重要。讀完幾章下來，我感覺自己對數學思維的訓練比單純記憶公式有效得多。它提供瞭一種全新的視角去看待那些我們習以為常的數學結構，讓人忍不住想去探索更深層次的東西。

評分☆☆☆☆☆

這本書的行文風格非常紮實，每一句話都仿佛經過瞭反復的斟酌和推敲，沒有絲毫的冗餘。它建立瞭一個非常堅固的邏輯鏈條，從第一個概念開始，到最後復雜的論證結束，過渡自然得如同呼吸一般流暢。我最欣賞它處理復雜概念時的那種“抽絲剝繭”的能力。比如，當引入一個新的抽象結構時，作者會先用最簡單的例子來展示它的核心屬性，然後逐步增加復雜度，並用反例來界定該結構的邊界，這種教學方法極大地降低瞭初學者的入門門檻。對於已經有一定基礎的讀者而言，書中對一些經典定理的“另類證明”也提供瞭寶貴的參考價值，讓人從中領悟到不同的數學美學。

評分☆☆☆☆☆

這本書的價值遠超齣瞭其作為一本教科書的範疇，它更像是一部數學思想的編年史。作者在介紹完一個理論框架後，往往會追溯到其産生的時代背景和社會需求，這使得數學知識不再是孤立於現實的空中樓閣。我尤其喜歡其中關於數學哲學討論的部分，它探討瞭數學對象存在的本質問題，這些思考讓我對“什麼是數學”有瞭更深層次的體悟。盡管內容深度要求讀者具備一定的專注力，但一旦沉浸其中，時間仿佛都失去瞭意義。這本書無疑是為那些真正熱愛並渴望深入理解數學結構的人準備的精品，它經得起反復研讀和品味，每一次重讀都會有新的感悟浮現。

評分☆☆☆☆☆

說實話，這本書的排版和裝幀確實讓人心情愉悅，這在學術著作中是比較少見的。紙張的質感很棒，油墨印刷清晰，即便是長時間閱讀也不會感到視覺疲勞。當然，內容本身纔是核心。這本書的難度麯綫設置得非常精妙，初看起來似乎有些挑戰性，但如果你願意按照作者的節奏慢慢跟進，你會發現那些看似高深的定理和推論，其實都是由非常基礎且嚴謹的步驟搭建起來的。我特彆欣賞它在每一章節末尾設置的“思考題”，這些問題不是簡單的計算，而是真正考驗你對概念理解深度的挑戰。我花瞭不少時間在上麵，有時候需要查閱其他資料纔能勉強給齣答案，但這過程中的收獲是巨大的，它強迫你走齣舒適區，真正將知識內化。