测度与概率（第2版）/数学与应用数学基础课系列教材·普通高等教育“十一五”国家级规划教材 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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严士健，刘秀芳 著，北京师范大学数学科学院 编

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• 测度论
• 概率论
• 实分析
• 高等数学
• 数学教材
• 应用数学
• 概率论与数理统计
• 数学分析
• 国家规划教材
• 基础课

出版社： 北京师范大学出版社

ISBN：9787303037902

版次：2

商品编码：12302903

包装：平装

丛书名： 数学与应用数学基础课系列教材 ， ，

开本：16开

出版时间：2017-10-01

用纸：胶版纸

页数：296

字数：340000

正文语种：中文

内容简介

　　《测度与概率（第2版）/数学与应用数学基础课系列教材·普通高等教育“十一五”国家级规划教材》论述测度论和以测度为基础的概率论的基本知识和方法，包括集及其势、距离空间、测度与概率、可测函数与随机变量、积分与数学期望、乘积测度与独立、Radon-Nikodym定理与条件期望、概率极限理论等。
　　《测度与概率（第2版）/数学与应用数学基础课系列教材·普通高等教育“十一五”国家级规划教材》的特点是读者不必学习实变函数论而学习测度论；测度论与概率论的基本内容紧密结合而更有利于理解二者的关系及其实质；在《测度与概率（第2版）/数学与应用数学基础课系列教材·普通高等教育“十一五”国家级规划教材》的基本目标下，尽可能使内容现代化；《测度与概率（第2版）/数学与应用数学基础课系列教材·普通高等教育“十一五”国家级规划教材》文字通畅、条理清楚、论述严谨、便于学习；每节后都配有较多的不同要求的习题，以便加深对内容的理解和掌握。
　　《测度与概率（第2版）/数学与应用数学基础课系列教材·普通高等教育“十一五”国家级规划教材》可以作为有关专业的高年级学生或研究生的测度论（或实变函数论）、概率论或两者的教材或参考书，也可供有关教师和科技工作者参考。

内页插图

目录

第一章 集合、映射与势
1．1 集合及其运算
习题1．1
1．2 映射与势
习题1．2
1．3 可数集
习题1．3
1．4 不可数集
习题1．4

第二章 距离空间
2．1 定义及例
习题2．1
2．2 开集、闭集
习题2．2
2．3 完备性
习题2．3
2．4 可分性、列紧性与紧性
习题2．4
2．5 距离空间上的映射与函数
习题2．5

第三章 测度空间与概率空间
3．1 集类
习题3．1
3．2 单调函数与测度的构造
习题3．2
3．3 测度空间的一些性质
习题3．3

第四章 可测函数与随机变量
4．1 可测函数与分布
习题4．1
4．2 可测函数的构造性质
习题4．2

第五章 积分与数学期望
5．1 积分的定义
习题5．1
5．2 积分的性质
习题5．2
5．3 期望的性质及L-S积分表示
习题5．3
5．4 积分收敛定理
习题5．4

第六章 乘积测度与无穷乘积概率空间
6．1 乘积测度与转移测度
习题6．1
6．2 Fubini定理及其应用
习题6．2
6．3 无穷维乘积概率
习题6．3

第七章 不定积分与条件期望
7．1 符号测度的分解
习题7．1
7．2 Lebesgue分解定理与Radon-Nikodym定理
习题7．2
7．3 条件期望的概念
习题7．3
7．4 条件期望的性质
习题7．4
7．5 条件概率分布
习题7．5

第八章 收敛概念
8．1 几乎处处收敛
习题8．1
8．2 依测度收敛
习题8．2
8．3 Lr收敛
习题8．3
8．4 条件期望的进一步性质
8．5 概率测度的收敛
习题8．5
8．6 几个收敛之间的关系的注记

第九章 大数定律、随机级数
9．1 简单的极限定理及其应用
习题9．1
9．2 弱大数定律
习题9．2
9．3 随机级数的收敛
习题9．3
9．4 强大数律
习题9．4
9．5 应用

第十章 特征函数和中心极限定理
10．1 特征函数的定义及简单性质
习题10．1
10．2 逆转公式及连续性定理
习题10．2
10．3 中心极限定理
习题10．3
参考文献
名词索引

前言/序言

　　1915年北京高等师范学校成立数理部，1922年成立数学系。2005年适逢数理部诞辰90周年，也是北京师范大学数学科学学院建院1周年。经过90年的风风雨雨，数学科学学院在学科建设、人才培养和教学实践中积累了丰富的经验，将这些经验落实并贯彻到教材编著中去是大有益处的。
　　1980年，北京师范大学出版社成立，给教材的出版提供了一个很好的契机。我院教师编著的数十种教材已先后在这里出版。除了北京师范大学现代数学丛书外，就大学教材而言，共有五种版本。第一种是列出编委会的高等学校教学用书，这是在20世纪80年代初期，由北京师范大学出版社王文湧先生约请北京师范大学数学与数学教育研究所所长严士健教授等组成编委会，研究编写出版一套数学系本科生教材和非数学专业高等数学教材。在出版社的大力支持下，这一计划完全实现，满足了当时教学的需要，第二种是标注高等学校教学用书，但未列编委会的教材。第三种是（北京师范大学）面向21世纪课程教材，第四种是北京师范大学现代数学课程教材，第五种是未标注高等学校教学用书，但实际上是高等学校教学用书，在这些教材中，除再次印刷外，已经有五部教材进行了修订或出版了第二版。
　　前一段时间，王建牮老师和王琦老师分别搜集了我院本科生的所有教材和研究生12门基础课教材的使用情况，李仲来教授汇总了我院教师在北京师范大学出版社出版的全部著作，由李仲来教授和北京师范大学出版社理科编辑部王松浦主任进行了沟通和协商，准备对数学科学学院教师目前使用或誊印（出版社已经没有存书的教材）的北京师范大学出版社出版的部分教材进行修订后再版。计划用几年时间，出版数学和应用数学、数学教育、数学学科硕士研究生三个系列的主要课程教材。
　　本套教材可供高等院校本科生、教育学院数学系、函授（数学专业）和在职中学教师等使用和参考。

现代分析基础：泛函分析导引 作者： [此处应为一本聚焦于泛函分析，而非测度论和概率论的经典教材的作者姓名] 出版社： [此处应为一家专注于高等数学教材出版的出版社名称] ISBN： [此处应为一本泛函分析教材的国际标准书号] 开本与装帧： [根据实际情况填写，例如：16开，精装/平装] --- 内容简介： 本书旨在为数学、物理学、工程学及计算科学等领域的学生和研究人员提供一个严谨而直观的泛函分析基础。在现代数学体系中，泛函分析是连接经典分析、拓扑学、线性代数以及应用领域（如偏微分方程、量子力学、优化理论）的桥梁。本书的侧重点在于构建完备的、具备拓扑结构的向量空间理论框架，并深入探讨其核心工具——算子理论。 本书的结构设计遵循“从具体到抽象，再回归应用”的原则，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾读者的理解深度和应用广度。 第一部分：拓扑向量空间与度量空间基础 本部分首先回顾必要的拓扑学预备知识，重点讨论拓扑向量空间这一核心概念。我们详细阐述了赋范空间、巴拿赫空间（Banach Space）的定义、构造及其重要性质。特别地，我们引入了弱收敛的概念，并将其与强收敛进行对比分析，这对于后续算子理论中的稳定性分析至关重要。 关键主题包括： 1. 拓扑结构与线性结构的兼容性： 如何在向量空间上引入合适的拓扑结构，使其保持线性运算的连续性。 2. 完备性与巴拿赫空间： 阐释完备性在线性方程求解中的决定性作用，通过构造具体的巴拿赫空间实例（如连续函数空间 $C[a, b]$、勒贝格空间 $L^p$ 的局部化视图）来加深理解。 3. 局部凸性与Hahn-Banach定理的预备： 引入支撑函数、分离超平面等概念，为后续强大的分离定理做铺垫。 第二部分：拓扑线性泛函与基本定理 本部分是泛函分析的基石，集中探讨那些在拓扑向量空间上定义的连续线性泛函和算子。我们系统地阐述了三大经典定理，这些定理构成了处理无穷维空间线性问题的核心工具箱。 核心定理的深入剖析： 1. Hahn-Banach 扩展定理 (The Hahn-Banach Extension Theorem)： 详尽论述其在实数域和复数域上的完整表述，并展示其在构造函数空间中特定线性泛函方面的强大应用，尤其是在凸集分离理论中的几何意义。 2. 开映射定理 (The Open Mapping Theorem)： 强调其在证明算子有界性、连续逆的存在性方面的作用。通过实例对比有界线性映射和连续线性映射的细微差别，揭示完备性的关键性。 3. 闭图像定理 (The Closed Graph Theorem)： 提供该定理的几种不同证明路径（如利用 Banach 空间性质或更一般的拓扑性质），并详细讨论其在偏微分方程理论中关于解的正则性和存在性的初步应用。 4. 一致有界性原理 (The Uniform Boundedness Principle，或称 Banach-Steinhaus 定理)： 这是处理算子序列收敛性的关键。本书不仅给出其严格证明，还通过傅里叶级数收敛性等经典反例来强调“一致性”或“有界性”的必要条件。 第三部分：算子理论与谱分析 这是本书的亮点和难点所在，关注线性算子（从一个拓扑向量空间到另一个）的性质。我们专注于有界线性算子，并为引入更一般的（不连续）算子奠定基础。 谱理论的引入与发展： 1. 算子范数与有界性： 严格定义算子的范数，并分析其作为一种度量在算子空间上的作用。 2. 谱的概念： 对于有界线性算子 $T: X o X$（其中 $X$ 为巴拿赫空间），引入谱半径 $r(T)$ 和谱集 $sigma(T)$ 的定义。详细推导谱半径公式：$log r(T) = lim_{n o infty} |T^n|^{1/n}$。 3. 谱的性质与应用： 探讨谱函数 $R(lambda, T) = (lambda I - T)^{-1}$ 的解析性质。我们重点分析了有界算子的谱位于复平面内部的区域，以及谱集 $sigma(T)$ 的紧凑性。 4. 紧算子 (Compact Operators)： 引入紧算子的定义（将有界集映射到相对紧集的算子），这是连接有限维线性代数与无穷维分析的重要过渡。本书将简要介绍紧算子的谱性质，如零点是谱集的一部分，且谱半径 $r(T)$ 必须被包含在谱集中。 第四部分：希尔伯特空间：内积空间的几何 虽然前三部分主要在巴拿赫空间中展开，但本部分将聚焦于希尔伯特空间（即具备内积的完备向量空间）。内积结构赋予空间丰富的几何信息，使得许多分析问题得以简化。 希尔伯特空间的特性： 1. 正交性与投影定理： 这是希尔伯特空间分析的核心。详细阐述了正交分解定理（任何闭子空间都可以分解为一个子空间及其正交补）和最佳逼近定理。 2. Riesz 表示定理： 阐述了希尔伯特空间中连续线性泛函与向量之间的一一对应关系，揭示了其在处理变分问题中的优越性。 3. 自伴算子与谱理论的深化： 介绍自伴（或自共轭）算子的重要性，并概述自伴算子的谱定理（虽然其完整证明需要更强的工具，如测度论或 $C^$-代数，但本书将给出其在有限维和某些紧算子上的核心结论），说明其特征值和特征向量的完备性。 --- 本书特色与读者对象： 本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，避免了过于繁琐的拓扑准备工作，直接切入泛函分析的核心结构——拓扑向量空间。我们通过大量的几何解释和应用驱动的例子来辅助抽象概念的理解。 本书适合对象： 高年级本科生（已完成实分析基础课程）。 硕士研究生，作为深入学习偏微分方程、函数空间理论或数学物理的入门教材。 研究人员，用于快速回顾和查阅泛函分析的基础定理及其证明细节。 与侧重于测度论和概率论的教材不同，本书不涉及勒贝格积分的深入构造（虽然会用到 $L^p$ 空间作为例子），不包含随机过程、鞅论或概率密度函数等核心概念。本书的重心完全放在线性拓扑结构、连续性、完备性以及线性算子的谱结构上。读者将通过本书建立起处理无穷维线性系统的坚实分析基础。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，学习数学，尤其是高等数学，最怕的就是“断层”。很多教材，在讲授一个新概念的时候，会突然冒出来一个我们之前从未接触过的工具或定义，让人措手不及。这本书在这方面做得非常出色。它在引入概率论的核心概念之前，为我们打下了坚实的测度理论基础。这一点我尤其要强调，因为我之前在阅读其他概率论书籍时，就常常因为对测度理解不透而感到吃力。这本书就像一位耐心细致的老师，它会细致地讲解测度的构造、性质，以及与集合论之间的联系，确保你在踏入概率论的殿堂前，已经拥有了稳固的“地基”。我尤其喜欢书中关于“可测函数”的讲解，作者通过生动的类比，将这个相对抽象的概念形象化，让我能够直观地理解它的意义和作用。此外，书中对勒贝格积分的介绍，也并非生搬硬套，而是将其与黎曼积分进行了细致的比较，清晰地阐述了勒贝格积分的优越性和适用范围。这种严谨而又富有条理的讲解，让我对概率论的理解上升到了一个新的高度。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学充满好奇的在读研究生，一直希望能找到一本能够系统提升我概率论基础的书籍。在浏览了众多教材后，《测度与概率（第2版）》最终吸引了我。这本书给我的感觉是，它不仅仅是一本教材，更像是一本“数学艺术品”。从它的排版设计，到公式的推导过程，再到习题的设置，都体现了作者的匠心独运。我特别欣赏书中对概率空间、随机变量、概率分布等基本概念的阐述，作者用一种非常“数学化”但又非常易于理解的方式，将这些概念的内在联系清晰地勾勒出来。例如，在讲解随机变量时，作者不仅给出了严格的定义，还详细解释了为什么需要引入“可测函数”这个概念，以及它在概率论中的核心作用。这让我恍然大悟，原来我们之前习以为常的各种概率分布，背后都有如此深刻的数学支撑。而且，书中对中心极限定理、大数定律等重要定理的推导，严谨而又不失逻辑性，让我对这些经典结论有了更深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来的最大感受，就是“严谨”与“启发”并存。它不像一些入门书籍那样，为了追求易读性而牺牲了数学的严谨性，而是以一种非常扎实的方式，带领读者一步步构建起测度与概率的知识体系。我尤其喜欢书中对“测度空间”的构建过程的讲解，作者从最基本的集合和函数出发，层层递进，最终构建出完整的测度空间，这个过程本身就充满了数学的逻辑美。在学习概率论部分，书中对“条件概率”和“条件期望”的讲解，更是让我受益匪浅。作者通过清晰的推导和直观的例子，解释了它们在不同情况下的含义和应用，这对于理解一些复杂的概率模型非常有帮助。我特别欣赏书中对“随机过程”初步的介绍，虽然篇幅不多，但为我勾勒出了一个清晰的轮廓，让我对未来可能深入学习的方向有了更明确的认识。这本书不仅仅是教会我知识，更是教会了我如何去思考，如何去理解数学背后的逻辑。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在数学领域摸爬滚打了多年的从业者，我深知一本好的数学书籍对于建立扎实的理论基础有多么重要。而《测度与概率（第2版）》这本书，绝对是我近年来阅读过的最出色的教材之一。它在内容上，覆盖了测度论和概率论的核心知识点，并且在深度和广度上都达到了相当高的水平。我尤其赞赏书中对测度空间、概率测度、条件期望等概念的细致阐述。作者在讲解这些概念时，不仅给出了严格的数学定义，还提供了丰富的例子和直观的解释，帮助读者理解这些抽象概念的实际意义。我个人觉得，书中关于“鞅”的介绍，虽然篇幅不长，但却异常精炼，为我打开了通往更高级概率论研究的大门。此外，本书的习题设计也相当精妙，有些习题具有挑战性，能够促使读者深入思考，而有些习题则能够帮助读者巩固和加深对概念的理解。总而言之，这是一本值得反复阅读和深入研究的经典之作。

评分☆☆☆☆☆

一本好书，真的能让人沉浸其中，忘却时间。这本书便是如此，虽然封面和标题听起来有些学术，但翻开第一页，就被作者清晰的逻辑和深入浅出的讲解所吸引。刚开始接触这本书，我其实是带着一丝忐忑的，毕竟“测度”和“概率”这两个词汇，总会让人联想到复杂的公式和抽象的概念。然而，书中的第一部分，关于测度的引入，简直像在描绘一幅精美的画卷，将原本生硬的数学定义变得生动有趣。作者没有急于抛出冰冷的公式，而是从日常生活中一些看似微不足道的现象入手，比如如何“测量”一个不规则图形的面积，或者如何“量化”一个事件发生的可能性，一步步引导读者理解测度的本质。这种循序渐进的教学方式，让我这个初学者也能够轻松跟上思路，并且在不知不觉中，对测度的基本性质有了扎实的掌握。更重要的是，书中穿插的许多例子，都非常有启发性，它们不仅加深了对概念的理解，也展现了测度理论在实际问题中的广泛应用，让我看到了数学的魅力所在。