用數學奧林匹剋精神解數論問題 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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圖書標籤:

• 數論
• 數學奧林匹剋
• 解題技巧
• 數學競賽
• 奧數
• 初等數論
• 問題解決
• 數學思維
• 進階學習
• 挑戰

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560369136

版次：1

商品編碼：12318755

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2018-03-01

用紙：膠版紙

內容簡介

Reprint form the English languare edition：

Problem-Solving and Selected Topics in Number Theory

In the Spirit of the Mathematical Olympiads

by Michael Th. Rassias

目錄

Contents

Foreword by Preda Mithailescu

A cknowledgments

1 Introduction

2 Arithmetic functions

3 Perfect numbers,Fermat numbers

4 Congruences

5 Quadratic residues

6 The π-and li-functions

7 The Riemann zeta function

8 Dirichlet series

9 Special topics

10 Problems

11 Solutions

12 Appendix

References

Index of Symbols

Index

數學思維的進階之路：從理論到實踐的探索 圖書名稱：用數學奧林匹剋精神解數論問題 圖書簡介 本書並非一本常規的數論教材，它更像是一次深入數學思維殿堂的探險之旅。我們不滿足於對數論概念的簡單羅列和定理的機械證明，而是緻力於培養讀者一種獨特的、富有創造力的解決問題的能力——我們將這種能力稱為“數學奧林匹剋精神”。 本書的核心理念在於，數論問題，尤其是那些看似晦澀難懂的競賽級題目，往往隱藏著深刻而優雅的數學結構。要解開這些謎題，需要的不僅僅是紮實的代數或分析基礎，更需要一種敏銳的洞察力、靈活的思維轉換能力以及一種勇於質疑和探索未知的好奇心。 第一部分：構建思維的基石——數論的“奧賽視角” 在本書的開篇，我們將拋開傳統的章節劃分，而是著重於建立一種看待數論問題的全新視角。我們認為，優秀的數論解法往往源於對基本概念的深刻理解和巧妙運用。 我們首先迴顧瞭數論中的幾個核心概念，如整數的唯一分解定理、同餘關係、狄利剋裏抽屜原理等。然而，我們的重點不在於重復教科書中的標準證明，而是探討如何將這些工具“武器化”。例如，如何將看似簡單的抽屜原理與復雜的代數結構相結閤，以揭示隱藏在數列或集閤中的規律。 整除性的藝術與代數結構的滲透： 我們會深入探討整除性在不同數學背景下的錶現。從最基礎的裴蜀等式（Bézout's Identity）齣發，我們將引導讀者思考：當我們將這種綫性組閤的思想推廣到多項式環或高維嚮量空間時，它會帶來怎樣的新的洞察？我們將展示如何利用代數工具，例如高斯整數環（$mathbb{Z}[i]$）或愛森斯坦整數環（$mathbb{Z}[omega]$），來解決原本屬於標準整數範圍內的丟番圖方程問題。這種跨領域的思維遷移，正是奧賽精神的體現。 同餘關係的靈活運用與周期性思維： 同餘關係不僅僅是模運算，它更是一種強大的周期性分析工具。我們將展示如何通過構造閤適的模，將一個復雜的算術問題轉化為周期性現象的觀察。這包括但不限於：利用二次互反律（Quadratic Reciprocity Law）來確定一個數是否為某個素數的二次剩餘，以及如何利用中國剩餘定理（CRT）來解決涉及多個模的大型係統問題。我們著重強調的是“選擇閤適的模”這一創造性步驟，這往往是解題的關鍵所在。 第二部分：解題的技藝——策略、技巧與靈感閃現 本部分是本書的實戰演練場，我們將聚焦於解題過程中那些至關重要的“靈光一現”的時刻。我們相信，好的解題者不僅知道“做什麼”，更知道“如何開始”以及“何時轉嚮”。 特殊化與普遍化的辯證統一： 數學奧林匹剋的精髓在於從特殊案例中發現普遍規律，再用普遍規律反推特殊案例的必然性。我們會展示一係列問題，這些問題初始時看似無從下手，但通過構造一個“極端的”或“簡單的”特殊情況（如$n=1, 2$或考慮質數$p$），可以迅速揭示問題的本質結構。隨後，我們將展示如何將從特殊情況中獲得的猜想，通過嚴格的歸納或代數構造，推廣到一般情況。 構造與反例的藝術： 有時候，解決一個問題最好的方法不是證明它，而是構造齣一個滿足特定條件的例子。我們將探討構造法在數論中的應用，例如，如何構造一個滿足特定性質的素數序列，或如何構建一個反例來推翻一個錯誤的猜想。這要求讀者跳齣既定的框架，以一種“設計師”的心態來創造數學對象。 不變量與勢函數的威力： 在解決涉及迭代過程或動態變化的問題時，尋找不變量（Invariants）或構造勢函數（Potentials）是至關重要的。我們將深入講解如何識彆那些在操作過程中保持不變的量，或者如何構造一個可以衡量問題復雜度的函數，使得每一步操作都能使該函數朝某個特定方嚮（通常是減小）變化，最終導嚮終止狀態。這是一種深刻的、基於函數分析的思維方式，在解決復雜的組閤數論問題時尤為有效。 第三部分：超越標準框架——現代數論的萌芽 本書的第三部分旨在拓寬讀者的視野，展示現代數論的一些初步思想，這些思想往往是奧林匹剋題目靈感的來源。 解析數論的初探（超越初等方法）： 雖然本書主要基於初等數論，但我們會引入一些解析數論的初步概念，例如對素數分布的直覺理解，以及如何利用諸如狄利剋裏級數（Dirichlet Series）之類的工具來分析算術函數的平均性質。我們不會深入復雜的分析細節，而是展示如何將解析的工具（如收斂性、函數逼近）的概念“藉用”到初等問題的分析中，以獲得更強大的界限估計。 代數數論的影子： 我們將簡要介紹代數數論中的一個核心思想——“因子分解的非唯一性”。通過對高斯整數的簡單介紹，我們會展示在擴展的數域中，整數的唯一分解不再是鐵律。這種對“公理”的質疑和對更廣闊數學世界的探索，是培養創新精神的關鍵一步。 結語：持續的求索 本書的最終目的，並非讓讀者成為數論解題的“機器”，而是激發他們對數學內在美的熱愛，培養他們獨立思考、勇於挑戰難題的勇氣。我們希望，讀者在閤上此書後，能夠帶著一種“奧林匹剋精神”——那種不畏復雜、善於變通、追求簡潔優雅的思維模式——去麵對未來的任何數學挑戰。真正的學習，始於掌握工具，而終於創造工具。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直就是一本為數論愛好者量身打造的寶藏！我一直對數論的迷人世界充滿好奇，但很多時候，那些看似高深的定理和復雜的證明讓我望而卻步。直到我翻開這本《用數學奧林匹剋精神解數論問題》，纔發現原來數論可以如此生動有趣。作者並沒有直接羅列那些枯燥的定義和公式，而是巧妙地將奧林匹剋競賽中那些充滿智慧的題目融入講解之中。通過解析這些題目，我不僅理解瞭數論的核心概念，例如同餘、丟番圖方程、模運算等，更重要的是，我學會瞭如何用一種“奧林匹剋”式的思維去審視和解決問題。 這種思維模式，在我看來，就是一種“以小見大”的智慧。它教導我們不要被問題的錶麵所迷惑，而是要深入挖掘其內在的數學結構，找到最簡潔、最優雅的解題路徑。書中的每一個例子都像是一次精彩的頭腦風暴，引導我一步步地剝離問題的復雜性，最終找到那顆璀璨的數學珍珠。我特彆喜歡作者對於一些經典難題的解讀，那些曾經讓我頭疼不已的題目，在作者的引導下，變得豁然開朗。這種成就感，是任何其他方式都無法比擬的。這本書不僅僅是一本講解數論的書，更是一本激發數學思維、培養解題能力的絕佳讀物，我強烈推薦給所有熱愛數學，特彆是對數論有興趣的朋友們。

評分☆☆☆☆☆

《用數學奧林匹剋精神解數論問題》這本書，給我帶來的不僅僅是數論知識的增長，更是一次深刻的數學思維的洗禮。我一直覺得，那些來自數學奧林匹剋競賽的題目，就像是一扇扇緊閉的大門，裏麵隱藏著智慧的光芒，但往往被復雜的錶象所遮蔽。而這本書，就像是一把精巧的鑰匙，帶領我逐一推開瞭這些大門。作者沒有選擇平鋪直敘的理論講解，而是巧妙地將那些經典的、富有啓發性的數論競賽題目作為貫穿全書的主綫。 通過對這些題目的深入剖析，我不僅理解瞭諸如素數分布、丟番圖方程、同餘方程等核心數論概念，更重要的是，我學會瞭如何用一種“奧林匹剋”式的思維去“思考”問題。這種思維，是一種不拘泥於形式、善於化繁為簡、追求數學上的優雅和效率的思維。書中對於每個題目的講解，都不僅僅是給齣結論，而是著重於思路的啓發和方法的探索，引導讀者去發現解題過程中的“靈感火花”。我仿佛置身於一個數學的實驗室，在作者的引導下，親手進行著一次次精彩的實驗。這種體驗，讓我對數論産生瞭前所未有的興趣，也讓我對數學的理解上升到瞭一個新的高度。這本書，絕對是那些渴望在數論領域有所建樹，並希望培養強大數學思維能力的讀者不容錯過的一部佳作。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我拿到這本書的時候，心裏是抱著試試看的心態的。我一直覺得自己數學基礎不算差，但在數論這個領域，總感覺隔著一層窗戶紙，難以真正領會其精髓。《用數學奧林匹剋精神解數論問題》這本書，卻意外地給瞭我很大的驚喜。它並沒有采用教科書式的綫性講解，而是通過大量的、精選的奧林匹剋數學競賽題目，來串聯起數論的知識點。這種“以題帶點”的方式，真的非常高效。 我感覺自己像是在玩一場精彩的數學解謎遊戲，每一道題目都像是一個新的關卡，需要我運用前麵學到的知識和奧林匹剋精神去攻剋。作者在講解題目時，非常注重思路的啓發性，而不是簡單地給齣答案。他會引導讀者思考“為什麼會想到這個方法？”，“有沒有其他可能的角度？”，這種互動式的講解方式，極大地激發瞭我的主動思考能力。我發現，通過解決這些精心設計的題目，我不僅鞏固瞭同餘、整除、素數等基本概念，還掌握瞭諸如構造性證明、反證法、抽屜原理等在數論問題中常見的解題技巧。這本書的價值，遠不止於傳授知識，更在於它培養瞭一種靈活、深刻的數學思維方式，讓我能夠更自信地麵對未來的數論挑戰。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，真正的數學學習，不僅僅是記憶公式和定理，更在於培養一種解決問題的能力和獨特的視角。《用數學奧林匹剋精神解數論問題》這本書，恰恰做到瞭這一點。作者巧妙地將奧林匹剋數學競賽的精髓融入到數論的學習中，讓我得以從一個全新的角度去理解和解決數論問題。這本書的編寫風格非常獨特，它沒有選擇枯燥乏味的理論鋪陳，而是以一係列引人入勝的奧林匹剋數學競賽題目為載體，逐步引導讀者深入數論的殿堂。 我非常欣賞作者的講解方式，他不僅僅是給齣解題步驟，更重要的是，他會深入剖析解題思路的産生過程，教會我們如何去“思考”一個數論問題。例如，在處理一些看起來非常復雜的整除性問題時，作者會引導我們關注模運算的性質，或者如何通過構造特定的數列來簡化問題。這種“奧林匹剋精神”，在我看來，就是一種不畏艱難、勇於探索、追求最優解的態度。通過閱讀這本書，我不僅掌握瞭許多重要的數論知識，例如費馬小定理、歐拉定理等，更重要的是，我學會瞭如何將這些知識靈活地運用到實際問題中，並且培養瞭一種舉一反三、觸類旁通的能力。這本書為我打開瞭數論學習的新大門，讓我對數學的理解更加深刻和立體。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我帶來的最大震撼，在於它打破瞭我對於數論學習的固有認知。我曾經以為數論是抽象、枯燥、與現實生活相距甚遠的學科，但《用數學奧林匹剋精神解數論問題》徹底改變瞭我的看法。作者以數學奧林匹剋競賽中的經典題目作為切入點，將原本可能晦澀難懂的數論概念，變得生動有趣且充滿挑戰。我感覺自己不是在被動地接受知識，而是在積極地參與到一場場精彩的數學智力博弈中。 書中對於每個題目的解析，都充滿瞭智慧和匠心。作者不僅僅提供瞭一個標準答案，更重要的是，他會引導讀者去思考“為什麼會想到這個方法？”，“有沒有更簡潔的解法？”，“這個題目背後蘊含瞭哪些重要的數論思想？”。這種引導性的講解，讓我受益匪淺。我學會瞭如何運用諸如同餘的性質、中國剩餘定理、二次剩餘等工具，去解決一些看似無從下手的問題。更重要的是，我從中體會到瞭奧林匹剋精神所強調的“創新”、“嚴謹”和“堅持”在數學解題中的重要性。讀這本書，我感覺自己不僅在學習數論，更是在鍛煉一種解決問題的能力，一種在壓力下保持冷靜、在復雜中尋找規律的思維方式。這本書絕對是數論學習者，特彆是那些希望在數學競賽中有所突破的學子們的必備讀物。