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王憲棟 著

圖書標籤:

• 代數
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• 大學教材
• 數學分析
• 抽象代數
• 綫性代數
• 數學基礎
• 科普讀物

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030566621

版次：31

商品編碼：12322303

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎叢書

開本：32開

齣版時間：2018-03-01

頁數：204

正文語種：中文

內容簡介

本書是代數學的入門讀物， 主要討論基本概念與方法. 從直觀例子分析到抽象概念引入， 循序漸進， 不斷深化. 全書共24 講， 前12 講主要對代數學的基礎性內容進行梳理， 包括群、環、域、模及嚮量空間與綫性映射的定義與例子，以及一些基本結論的推導；後12 講介紹代數學中的一些經典構造方法， 包括張量代數、對稱代數、李代數的泛包絡代數、量子群、Hopf-代數等， 還介紹瞭頂點算子代數的概念與初步性質.

現代幾何的精妙之旅 本書帶領讀者探索現代幾何學的廣闊天地，聚焦於那些在經典歐幾裏得幾何基礎上發展起來的、對物理學、計算機科學乃至藝術設計都産生深遠影響的領域。我們緻力於提供一個既嚴謹又富於直覺的闡述，旨在幫助讀者建立起對高維空間、拓撲結構以及微分幾何基本概念的深刻理解。 全書內容組織緊湊，邏輯清晰，從最基礎的綫性代數和嚮量空間概念齣發，逐步深入到更抽象和復雜的幾何結構。我們相信，理解幾何學的本質，需要掌握其代數錶達和分析工具。 第一部分：基礎重塑與嚮量空間 我們首先迴顧瞭綫性代數的核心概念，但視角略有不同——我們關注的不再僅僅是求解方程組，而是如何用嚮量和綫性變換來描述空間中的運動和形變。 嚮量空間與仿射空間： 詳細闡述瞭嚮量空間的嚴格定義，並引入瞭仿射空間的概念，解釋瞭為何在描述幾何對象（如點、直綫、平麵）時，仿射結構比純粹的嚮量空間更加自然。討論瞭基的選擇如何影響坐標錶示，以及坐標無關的幾何性質的重要性。 內積空間與歐幾裏得幾何的延伸： 深入探討瞭內積如何賦予空間度量和角度的概念。除瞭標準的歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$，我們還考察瞭更一般的內積空間，並引入瞭施密特正交化過程，用以構建正交基，這對於投影和最小二乘法等應用至關重要。 第二部分：度量與微分結構 本部分是邁嚮現代幾何的關鍵一步，我們將引入麯率和可微性的概念，從而可以處理非綫性的幾何對象。 流形導論： 這是全書的基石之一。我們用圖冊（charts）和過渡函數（transition maps）來精確定義光滑流形。流形是理解麯麵、球麵乃至更高維空間的基礎框架。我們詳細討論瞭 $mathbb{R}^n$ 上的光滑函數和嚮量場的概念，並將其推廣到一般的流形上。 切空間與切叢： 流形上的“局部綫性化”工具。我們精確定義瞭流形上每一點的切空間，它承載瞭該點附近所有可能的速度嚮量。通過切叢的構造，我們展示瞭如何將局部的綫性信息組織成一個全局的結構。 張量場的引入： 張量是描述幾何量（如度量、麯率、應力）的自然工具，它們對坐標變換具有特定的不變量性。我們詳細介紹瞭張量的定義、代數運算（如縮並、積）以及協變導數的概念，這是在彎麯空間中進行微分操作的前提。 第三部分：黎曼幾何的核心概念 黎曼幾何是研究帶有度量結構的流形的幾何學分支，它是廣義相對論的數學語言。 黎曼度量與測地綫方程： 黎曼度量 $g$ 允許我們在流形上測量長度和角度。我們詳細推導瞭剋裏斯托費爾符號（Christoffel symbols），並利用它們導齣瞭測地綫方程——連接兩點之間“最短路徑”的微分方程。我們探討瞭測地綫在平坦空間（歐幾裏得）和彎麯空間中的行為差異。 麯率的度量： 麯率是衡量空間彎麯程度的核心量。我們從第一基本形式和第二基本形式齣發，推導瞭高斯麯率（在二維流形上）和裏奇麯率（Ricci curvature）的定義。我們花費大量篇幅解釋瞭黎曼麯率張量，它是描述空間麯率全部信息的工具，並討論瞭愛因斯坦流形等特例。 共形幾何基礎： 討論瞭在不改變角度信息的前提下，改變度量尺度的幾何。這在等角映射和某些物理模型中有重要應用。 第四部分：拓撲學的初步接觸 幾何學不僅關注局部結構（如麯率），也關注整體結構（如連通性和洞的數量）。本部分簡要介紹拓撲學的基本思想，作為連接連續形變與不變量性的橋梁。 連續映射與拓撲空間： 強調瞭拓撲空間的概念，即僅依賴於開集的結構，而非度量。討論瞭連續性的拓撲定義。 緊緻性與連通性： 這兩個拓撲不變量在幾何分析中至關重要。我們用直觀的例子解釋瞭這些概念，並展示瞭它們如何限製流形上的函數行為。 歐拉示性數與嵌入定理（概述）： 簡要介紹瞭歐拉示性數作為衡量麯麵拓撲復雜度的重要指標，並以介紹性的方式提及瞭著名的嵌入定理，說明瞭低維流形可以如何嵌入到更高維的歐幾裏得空間中。 全書配有豐富的例題和思考題，旨在鞏固讀者的理論理解並激發其應用幾何工具解決實際問題的能力。我們的目標是讓讀者不僅學會計算麯率，更重要的是理解現代幾何的思維方式：如何用局部、可微的工具來描述和分析整體、任意形狀的空間結構。本書適閤具備紮實微積分和綫性代數基礎的研究生和高年級本科生。

評分☆☆☆☆☆

我用瞭大概兩個星期的時間來啃這本書，說實話，它對讀者的心性要求很高。作者的敘述方式是典型的“先給齣結論，再引導證明”的結構，中間幾乎沒有過渡性的口水話，直奔核心邏輯。對於初學者來說，可能會感到每一步的跳躍性太大，很多中間的細微推導過程需要讀者自己去腦補和填補空白。我尤其欣賞它在處理抽象代數中的群論部分時的嚴謹性，每一個定理的引入都基於前一個章節的積纍，形成瞭一個堅實的知識塔。讀到關於同態和同構那幾章時，我能感覺到作者對邏輯鏈條的掌控力，幾乎沒有可以被詬病的地方。但是，書中對某些經典例子（比如伽羅瓦理論中的某些特定例子）的展示略顯不足，更多的是以純符號化的語言進行錶達，如果能加入一兩個具體的、可觸摸的例子作為輔助，對理解抽象結構的運作機製會大有裨益。總的來說，這本書像是一個技藝精湛的工匠雕刻齣的精美藝術品，綫條流暢，但需要細心體會纔能領悟其妙處。

評分☆☆☆☆☆

從教學法的角度來看，這本書采取瞭一種非常“務實”的路綫。它似乎假設讀者已經通過其他途徑接觸過這些概念的直觀意義，因此它直接將重點放在瞭形式化和嚴密性上。書中的習題設置很有特點，它們並非簡單地重復課本內容，而是經常要求讀者運用兩個或多個看似不相關的概念來構建一個反例或證明一個更普適的結論。這種設計極大地鍛煉瞭讀者的數學思維的遷移能力。我特彆喜歡書中關於代數幾何預備知識的引入，雖然篇幅不大，但它巧妙地將抽象的代數結構與幾何直覺聯係起來，使得那些原本枯燥的符號操作有瞭一個可視化的錨點。不過，這本書的論證邏輯鏈有時顯得過於綫性，缺少一些橫嚮的比較或對比分析。例如，它在一個章節詳細論證瞭A方法，但沒有花時間去比較A方法與教科書中常見的B方法在效率或普適性上的差異，這讓習慣於多角度思考的我略感遺憾。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計很有老派學者的風範，厚實的封皮，字體選擇也偏嚮於傳統的襯綫體，給人一種沉甸甸的學術感。拿到手裏，首先感受到的是紙張的質感，不是那種廉價的、易泛黃的紙張，而是偏嚮於米白色的、略帶紋理的紙張，閱讀起來眼睛不容易疲勞。內頁的排版是雙欄設計，這在一些經典教材中很常見，使得公式和文字的布局顯得緊湊而專業。作者在引入新概念時，習慣性地用瞭一個小小的曆史背景介紹，這部分寫得非常精煉，不拖泥帶水，能迅速將讀者的思維拉入到那個特定的數學發展階段。比如，在講解某個數域的擴張時，他會用一句非常簡潔的話點齣為什麼需要這個擴張，而不是堆砌大量的定義。不過，我對其中一個圖錶的處理略有微詞，雖然內容是正確的，但那個三維圖形的立體感錶現得稍顯單調，如果能用更現代的渲染技術或者增加一些輔助綫，理解起來可能會更直觀一些。總體來說，這是一本從外到內都散發著濃厚學術氣息的書籍，適閤那些已經有一定基礎，希望深入挖掘數學概念本質的讀者。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格非常古典和內斂，每一個句子都像是經過反復斟酌纔寫下的。它沒有使用任何時髦的網絡用語或過於現代的數學錶達方式，這使得整本書讀起來有一種經得起時間考驗的厚重感。作者在處理完一個主要定理的證明後，通常會緊跟著一小段“注記”，這些注記通常是點睛之筆，它們揭示瞭該定理在整個數學大廈中的地位，或者指齣瞭其證明的內在美感所在。我發現，很多時候，我需要放慢速度，甚至大聲朗讀那些復雜的推導步驟，纔能真正跟上作者的思路，因為他傾嚮於將多個中間步驟閤並在一個復雜的長句中完成。這本書更像是一次嚴謹的、無聲的數學對話，它要求讀者全身心地投入，不能有絲毫的懈怠。完成一章的學習後，會有一種“通關”的成就感，但這種感覺來之不易，需要付齣大量的時間去消化那些密集的、高度壓縮的知識點。

評分☆☆☆☆☆

這本書的難度麯綫相當陡峭，它似乎是為那些已經掌握瞭基礎綫性代數和微積分的讀者量身定做的進階讀物。我發現，作者在解釋一些高級概念時，傾嚮於使用一種非常簡潔、近乎於密碼學的語言。例如，涉及到域論和環論的交匯點時，他可能隻用寥寥數語便勾勒齣一個復雜的結構關係，這要求讀者必須對前文的內容瞭熟於心。我在閱讀過程中，不得不頻繁地翻閱附錄中的符號錶和術語索引，因為作者很少在正文中重復定義那些略微冷僻的術語。它更像是一本參考手冊而非入門教程。最讓我感到挑戰的是那些需要大量代數操作的證明題，它們往往不是單純的技巧比拼，而是對理論理解深度的一種考察。做完其中關於模和理想的章節後，我感覺自己對抽象結構的“邊界”有瞭更清晰的認識，但這個過程是伴隨著多次挫敗感的。這本書的價值在於它提供的深度，而不是廣度，它真的在某個特定的數學分支上挖掘到瞭一個很深的層次。