算術域（第3版） 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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邁剋爾.弗裏德（美） 著

圖書標籤:

• 算術
• 數論
• 代數
• 域論
• 數學
• 高等數學
• 抽象代數
• 算術幾何
• 第三版
• 數學教材

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560367767

版次：3

商品編碼：12322738

包裝：平裝

開本：16

齣版時間：2018-01-01

用紙：膠版紙

頁數：796

內容簡介

To those precious colleagues who can appreciate the goals of and connections to other aresa .To those who acknowledge the depth of what we already know from the absorbed contribution of previous generations before we address our papers.To those can transcend the hubris of today’s mathematical community.

目錄

Table of Contents

Chapter 1.Infinite Galois Theory and Profinite Groups

Chapter 2.Valuations and Linear Disjointness

Chapter 3.Algebraic Function Fields of One Variable

Chapter 4.The Riemann Hypothesis for Function Fields

Chapter 5.Plane Curves

Chapter 6.The Chebotarev Density Theorem

Chapter 7.Ultraproducts

Chapter 8.Decision Procedures

Chapter 9.Algebraically Closed Fields

Chapter 10.Elements of Algebraic Geometry

Chapter 11.Pseudo Algebraically Closed Fields

Chapter 12.Hilbertian Fields

Chapter 13.The Classical Hilbertian Fields

Chapter 14.Nonstandard Structures

Chapter 15.Nonstandard Approach to Hilbert’s Irreducibility Theorem

Chapter 16.Galois Groups over Hilbertian Fields

Chapter 17.Free Profinite Groups

Chapter 18.The Haar Measure

Chapter 19.Effective Field Theory and Algebraic Geometry

Chapter 20.The Elementary Theory of e-Free PAC Fields

Chapter 21.Problems of Arithmetical Geometry

Chapter 22.Projective Groups and Frattini Covers

Chapter 23.PAC Fields and Projective Absolute Galois Groups

Chapter 24.Frobenius Fields

Chapter 25.Free Profinite Groups of Infinite Rank

Chapter 26.Random Elements in Free Profinite Groups

Chapter 27.Omega-Free PAC Fields

Chapter 28.Undecidability

Chapter 29.Algebraically Closed Fields with Distinguished Automorphisms

Chapter 30.Galois Stratification

Chapter 31.Galois Stratification over Finite Fields

Chapter 32.Problems of Field Arithmetic

Table of Contents

References

Index

域論的精妙：抽象代數在現代數學中的核心地位 圖書名稱：《域論的精妙：抽象代數在現代數學中的核心地位》（第三版） 簡介： 本書旨在為讀者構建一個全麵、深入且富有啓發性的域論（Field Theory）知識體係，同時將其置於更廣闊的抽象代數（Abstract Algebra）框架之下。作為第三版，我們不僅保留瞭經典的、奠定基礎的理論內容，更融入瞭近二十年來代數幾何、代數數論以及數學物理領域中湧現的新思想和新工具，力求使本書成為連接基礎理論與前沿研究的堅實橋梁。本書的視角並非僅僅關注於“域”的代數結構本身，而是深入剖析其作為連接拓撲、分析和幾何學的關鍵“粘閤劑”所扮演的角色。 全書共分九個主要部分，層層遞進，邏輯嚴密。 第一部分：基礎結構與預備知識的迴顧與深化 (Foundational Structures and Refinements) 本部分首先迴顧瞭群論（Group Theory）和環論（Ring Theory）中的核心概念，如子群、同態、理想、商環等，但視角更為深入。我們花費大量篇幅來探討黎曼-羅赫定理（Riemann-Roch Theorem）在環論中的對應物，即關於理想的特定結構性質的代數錶達，而非僅僅是域擴張的初步介紹。 重點章節包括： 莫杜拉（Modules）作為理解環結構的放大鏡： 探討瞭左模和右模的構造，特彆是自由模和投射模的概念，為後續的伽羅瓦理論中伽羅瓦群作用於擴張域上的莫杜拉結構（例如伽羅瓦模）做瞭紮實的鋪墊。 Noetherian 和 Artinian 環的深度解析： 引入瞭鏈條件（Chain Conditions）在描述域擴張中中間域結構的有限性方麵的決定性作用，特彆是Noetherian條件如何簡化瞭代數簇的理想結構分析。 第二部分：域的構造與初級擴張 (Construction and Elementary Extensions of Fields) 本部分係統地介紹瞭域（Field）的定義及其最基本的擴張——有限擴張。我們強調瞭特徵（Characteristic） 的重要性，不僅區分瞭零特徵域（如 $mathbb{Q}$）和素數特徵域（如 $mathbb{F}_p$），更深入探討瞭素數特徵域上完美域（Perfect Fields） 的性質，如其代數閉包的特殊結構。 代數數域與超越數域的辨析： 不僅展示瞭如何通過不可約多項式構造域，更引入瞭範數（Norm） 和跡（Trace） 的概念，並將它們視為域擴張下元素作用的綫性代數錶示。 最小多項式與域擴張的維度： 詳細論證瞭域擴張的次數 $[ ext{L}: ext{K}]$ 等於元素在 $ ext{L}$ 上作為 $ ext{K}$-綫性算子的特徵多項式的次數，從而將代數問題轉化為綫性代數問題。 第三部分：有限域的理論與應用 (The Theory and Applications of Finite Fields) 有限域（Finite Fields），或稱伽羅瓦域（Galois Fields），是域論中最具結構美和應用價值的部分之一。本部分完全脫離瞭 $mathbb{Q}$ 的背景，專注於 $ ext{GF}(p^n)$ 的結構。 伽羅瓦域的唯一性與構造： 證明瞭對於給定的素數 $p$ 和正整數 $n$，存在（且唯一）階為 $p^n$ 的域，其構造與特定形式的 $x^{p^n}-x$ 的根緊密相關。 跡、範數在有限域中的性質： 探討瞭有限域間的跡和範數映射的性質，特彆是在密碼學和編碼理論中的應用基礎，例如如何利用這些映射來構造平衡的布爾函數。 有限域的自同構群： 詳述瞭 $ ext{GF}(p^n)$ 的自同構群是循環群，並與 Frobenius 映射緊密聯係。 第四部分：伽羅瓦理論的核心：可分性與正規性 (The Core of Galois Theory: Separability and Normality) 伽羅瓦理論是本書的中心支柱。我們嚴格區分瞭正規擴張（Normal Extension） 和可分擴張（Separable Extension） 的概念，這是理解伽羅瓦理論的基石。 可分多項式與可分擴張： 探討瞭在特徵為零的域中，所有無重根的多項式都是可分的，以及在素數特徵域中，完美域的定義如何保證瞭所有不可約多項式都是可分的。 正規擴張的代數幾何意義： 從代數幾何的角度看，正規擴張對應於函數域的“分支點”消失，即縴維映射的縴維是單點的。 第五部分：伽羅瓦對應與基本定理 (The Galois Correspondence and Fundamental Theorem) 本部分係統地闡述瞭伽羅瓦理論的精髓——伽羅瓦群與中間域之間的一一反轉對應關係。 伽羅瓦群的構造： 詳細展示瞭如何從域擴張 $ ext{L}/ ext{K}$ 構造齣 $ ext{Gal}( ext{L}/ ext{K})$ 群，並討論瞭該群的作用方式。 伽羅瓦基本定理的嚴謹證明： 提供瞭傳統和現代兩種證明方法，強調瞭該定理如何將域論的復雜問題轉化為群論中的子群結構問題。 求解一元四次方程的代數根源： 運用伽羅瓦理論，清晰地解釋瞭為什麼四次方程是“可解的”（其伽羅瓦群是可解群），而五次及以上的一般方程則不然，這從結構上揭示瞭阿貝爾-魯菲尼定理的深層原因。 第六部分：伽羅瓦理論的擴展應用 (Extended Applications of Galois Theory) 本部分將理論應用於經典的難題，展示域論的強大威力。 尺規作圖問題的終結： 利用二倍角、三等分圓等問題轉化為特定的域擴張，證明瞭隻有當擴張次數為 $2$ 的冪次時，構造纔可能僅依賴尺規。 代數解的判彆： 深入分析瞭可解域擴張（Solvable Extensions）的概念，並將其與伽羅瓦群的可解性聯係起來。 第七部分：無限域擴張與超越性 (Infinite Extensions and Transcendence) 超越瞭有限擴張的範疇，本部分探討瞭無限次擴張（如 $mathbb{Q}(alpha)$ 中 $alpha$ 的極小多項式是無窮次的極限情況）和超越擴張。 超越數的判斷與構造： 引入瞭Lindemann-Weierstrass定理（以其在 $pi$ 和 $e$ 上的應用為例），討論瞭超越性的代數判據。 無限伽羅瓦擴張與無限伽羅瓦群： 引入瞭反嚮極限（Inverse Limits） 的概念來描述無限伽羅瓦群的拓撲和代數結構，特彆是使用Profinite Group 的視角來描述 $ ext{Gal}(ar{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$ 的結構。 第八部分：代數數論的萌芽 (Seeds of Algebraic Number Theory) 域論與數論的交匯點是代數數論的起點。本部分重點關注有理數域 $mathbb{Q}$ 的擴張。 代數整數與環 of Integers： 在二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 中，詳細分析瞭 $mathbb{Z}[sqrt{d}]$ 與 $mathcal{O}_{mathbb{Q}(sqrt{d})}$ 之間的區彆，引入瞭判彆式（Discriminant） 的概念。 局部化與完備化： 介紹瞭對 $mathbb{Q}$ 進行p-adic 局部化，構造 $p$-adic 數域 $mathbb{Q}_p$，並將域論的工具應用於 $mathbb{Q}_p$ 上的多項式根的分析。 第九部分：函數域與代數幾何的初步接觸 (Function Fields and First Contact with Algebraic Geometry) 本部分展示瞭域論工具在研究多項式方程的幾何解集時的威力，特彆是當域是函數域而非數域時。 代數函數域（Algebraic Function Fields）： 將域 $ ext{K}( ext{X})$（有理函數域）視為函數域的典範例子，其中 $ ext{K}$ 是一個域。 微分算子與可分性： 在函數域的背景下，重新審視微分算子 $ ext{D}$，並利用 $ ext{D}$ 的性質來識彆零特徵域上的不可分多項式。 本書的特點： 本書的敘述風格嚴謹而富有洞察力，強調結構之間的聯係。每章後附有大量的練習題，分為基礎性、計算性和研究性三類，以期培養讀者將抽象概念應用於具體問題的能力。它不僅是代數專業研究生的標準教材，也是對數學分析、拓撲學有深入瞭解，並希望進入代數幾何、數論或理論物理領域深造的讀者的必備參考書。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計真的很有意思，簡潔卻不失專業感，一眼就能看齣這是一本關於數學的書。書名“算術域（第3版）”雖然聽起來有點專業，但正因為如此，我更加期待它能帶我進入一個係統而嚴謹的數學世界。翻開書頁，紙張的質感很不錯，印刷清晰，即使是那些復雜的公式和圖錶，也能看得非常清楚，這對於長時間閱讀來說非常重要，能有效緩解眼部疲勞。 我一直對抽象數學概念的具象化錶達很感興趣，這本書在這一點上做得非常齣色。它似乎並沒有直接給齣冰冷的定義和定理，而是通過一係列精心設計的例子和類比，將抽象的算術概念一步步地展現在讀者麵前。我尤其喜歡書中對數域的劃分和性質的闡述，感覺作者非常善於循序漸進地引導讀者理解。 雖然我還沒有深入閱讀每一個章節，但從目錄和章節的標題來看，這本書的編排非常閤理，邏輯性很強。它似乎從基礎的算術概念開始，逐步深入到更高級的理論，這樣的結構對於想要係統學習算術域的讀者來說，無疑是一條清晰的學習路徑。我甚至能想象到，這本書中的每一頁都充滿瞭作者嚴謹的思考和教學的智慧。 我特彆欣賞書中在講解過程中穿插的那些“思考題”或者“小練習”。它們並不是簡單地考察概念的記憶，而是鼓勵讀者去思考，去探索，去將學到的知識融會貫通。這種互動式的學習方式，讓我感覺自己不是在被動地接受知識，而是在主動地參與到數學的構建過程中。 這本書給我的整體感覺就是，它不僅僅是一本教材，更像是一位經驗豐富的數學導師，用耐心和清晰的語言，引領我一步步走進算術的奧秘。我迫不及待地想要開始我的閱讀之旅，去探索那些未知的算術世界，去感受數學的魅力，去提升自己的邏輯思維能力。

評分☆☆☆☆☆

我是一個對數學有著濃厚興趣的業餘愛好者，之所以選擇《算術域（第3版）》，完全是齣於對這個領域的好奇。這本書的書名本身就帶著一種神秘感，讓我想要一探究竟。拿到手之後，我立刻被它嚴謹的排版所吸引。每一頁都顯得井井有條，無論是文字的排列還是公式的呈現，都透著一股專業和精緻。 書中對於數學符號和術語的定義，我感覺非常到位。它並沒有假設讀者已經具備瞭所有的背景知識，而是在必要的時候提供清晰的解釋，這對於像我這樣需要從頭開始學習的讀者來說，簡直是福音。我喜歡它那種循序漸進的講解方式，不會一下子拋齣太多的信息，而是有條不紊地引導我去理解。 我尤其關注數學書籍中圖錶的運用。這本書似乎在這方麵做得相當不錯，運用瞭大量的圖示來幫助解釋抽象的概念，讓我在腦海中能夠形成更直觀的理解。我甚至能想象到，通過這些圖錶，那些復雜的數學關係會變得更加容易被捕捉。 我還在思考，這本書在講解過程中，是否會強調一些證明的技巧或者通用的解題思路。我一直覺得，掌握瞭方法論，比死記硬背結果更為重要。我希望這本書能夠在這方麵有所啓發。 總而言之，這本書給我的感覺是一本非常紮實的學術讀物，它在內容深度和教學方法上都力求完美。我期待通過閱讀這本書，能夠真正地理解算術域的精髓。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計，簡潔卻不失力量感，書名“算術域（第3版）”的字體選擇，有一種沉穩而權威的氣質。拿到書的那一刻，我就感受到瞭它厚重的分量，這讓我對書中內容的深度充滿瞭期待。翻開書頁，紙張的觸感非常舒適，印刷也相當清晰，即使是那些細小的符號和公式，也能夠一目瞭然。 我一直認為，數學的學習過程，就是一個不斷發現問題、解決問題的過程。從我初步翻閱的內容來看，這本書似乎非常注重引導讀者主動思考。它可能在講解過程中，會設置一些“陷阱”或者“疑點”，鼓勵讀者去探索，去發現其中蘊含的邏輯。 我特彆欣賞那些能夠將抽象概念具體化的講解方式。我希望這本書能夠通過生動的案例，或者巧妙的比喻，將復雜的算術域概念，以一種易於理解的方式呈現給讀者。這不僅能幫助我們掌握知識，更能激發起我們對數學的興趣。 我注意到書中在某些地方，會有對曆史文獻或者相關數學成果的引用。這種處理方式，不僅能夠幫助我們瞭解算術域的發展脈絡，更能讓我們感受到數學研究的嚴謹性和傳承性。 我迫不及待地想要深入閱讀這本書，去感受作者的智慧，去探索算術的奧秘，去提升自己的邏輯思維能力。這本書給我的感覺，是一本值得反復研讀的經典之作。

評分☆☆☆☆☆

這本《算術域（第3版）》的封麵設計，給我一種既傳統又現代的感覺。淡淡的顔色搭配，以及書名印刷的字體，都透露齣一種沉穩而厚重的學術氣息。這本書拿在手裏，份量十足，預示著裏麵內容的紮實程度。我喜歡它那種不花哨，但很有質感的封麵，讓人一眼就能感受到這是一本值得認真對待的書。 從書的整體排版來看，作者在版式設計上顯然是花費瞭不少心思。字體的選擇、行距的控製、段落的劃分，都顯得十分考究，能夠最大限度地提升閱讀的舒適度。尤其是那些數學公式，被清晰地列在獨立的位置，重點突齣，便於讀者辨識和理解。 我一直認為，一本好的數學書，不應該隻是枯燥的概念和公式，更應該包含作者對於這些概念的深刻理解和獨到見解。我注意到書中在講解某些概念時，似乎會引入一些現實世界的例子或者類比，這對於幫助理解抽象的數學思想，起到瞭非常關鍵的作用。 我還特彆留意到書中的一些小提示或者“擴展閱讀”部分。這些細節的處理，往往能夠體現齣作者的教學智慧和對讀者的關懷。它們能夠引導讀者深入思考，或者拓展相關的知識領域，讓學習過程更加豐富和有成效。 我目前還沒有來得及細緻地閱讀每一個定理和推導，但僅從瀏覽的章節和標題來看，這本書的結構非常完整，覆蓋瞭算術域的各個重要方麵。我期待這本書能夠帶領我，從一個全新的視角去理解算術的內在邏輯和美妙之處。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書的那一刻，我就被它厚重的體量和一絲不苟的裝幀所吸引。封麵上的“算術域（第3版）”幾個字，像是在嚮我發齣一個挑戰，也像是在許諾一個寶藏。對於我這樣非數學專業齣身，但又對數學世界懷有好奇心的人來說，選擇一本好的入門讀物至關重要。這本書的排版非常大氣，每一頁都留有足夠的空白，讓我在閱讀時不會感到擁擠，同時也為我提供瞭思考和記錄的空間。 我一直覺得，真正的數學書籍，不僅僅是公式的堆砌，更是思想的傳遞。從我快速瀏覽的內容來看，這本書在這一點上做得相當到位。它似乎並沒有一味地追求學術的深度，而是更側重於構建讀者對算術域的整體認知。我喜歡它在介紹一些核心概念時，所采用的那種先宏觀後微觀的視角，能夠幫助我快速把握整體框架。 這本書的章節劃分非常清晰，每一章都有明確的主題和學習目標，這對於規劃學習進度非常有幫助。我注意到書中在講解某個定理或性質時，還會追溯其曆史淵源或者與其他數學分支的聯係，這種“潤物細無聲”的拓展，讓原本枯燥的理論變得生動有趣，也讓我看到瞭數學學科的博大精深。 我對於書中可能包含的那些“證明過程”充滿瞭期待。我深知，理解數學的精髓，往往在於理解其證明的邏輯和嚴謹性。我希望這本書能夠提供足夠詳細且易於理解的證明步驟，讓我能夠真正地“看懂”數學，而不是僅僅記住結論。 總而言之，這本書給我的感覺是，它是一本既有深度又有溫度的學術著作。它沒有因為追求專業性而放棄對讀者的引導，也沒有因為追求易懂而犧牲數學的嚴謹。我準備好迎接這場智力挑戰瞭。