《數學概覽》序言
中文版前言
前言
第1節 什麼是代數？
坐標化的思想。例子：量子力學詞匯錶，關聯公理和平行性的有限模型的坐標化。
第2節 域
域的公理，同構。獨立變量的有理函數域；平麵代數麯綫的函數域。laurent級數域和形式 laurent 級數域。
第3節 交換環
環的公理；零因子和整環。分式域。多項式環。平麵代數麯綫上的多項式函數環。冪級數環與形式冪級數環。boole環。環的直和。連續函數環。因子分解；唯一因子分解整環（ufd）ufd的例子。
第4節 同態和理想
同態，理想，商環。同態定理。函數環中的限製同態。主理想整環；與ufd的關係。理想的積。域的特徵。給定多項式有根的擴張。代數閉域。有限域。用極大理想和素理想上的函數錶示一般環的元素。作為函數的整數。超積與非標準分析。交換的微分算子。
第5節 模
直和與自由模。張量積。模的張量冪、對稱冪和外冪，對偶模。等價的理想和模的同構。微分形式模和嚮量場。嚮量空間族與模族。
第6節 從代數角度看維數
模的秩。有限型模。主理想整環上的有限型模。noether 模和noether環。noether環和有限型環。分次環的情形。擴張的超越次數。有限擴張。
第7節 無窮小概念的代數觀點模2階無窮小的函數和流形的切空間。奇點。嚮量場與1階微分算子。高階無窮小。射流和微分算子。環的完備化，p進數。賦範域。有理數域和有理函數域的賦值。數論中的p進數域。
第8節 非交換環
基本定義。環上的代數。模的自同態環。群代數。四元數與可除代數。扭麯子縴維化。可除代數上n維嚮量空間的自同態。張量代數和非交換多項式環。外代數；超代數；cli?ord代數。單環和單代數。可除代數上嚮量空間自同態環的左理想和右理想。
第9節 非交換環上的模
.模和錶示。代數用矩陣形式的錶示。單模，閤成列，jordan-holder定理。環或模的長度。模的自同態環。schur引理。
第10節 半單模和半單環
半單性。群代數是半單的。半單環上的模。有限長度的半單環；wedderburn定理。有限長度的單環與射影幾何基本定理。因式和連續幾何。代數閉域上有限秩的半單代數。對有限群錶示的應用。
第11節 有限秩的可除代數
r或有限域上的有限秩可除代數。tsen定理和擬代數閉域。p進數域和有理域上有限秩的中心可除代數。
第12節 群的概念
變換群，對稱，自同構。動力係統的對稱和守恒律。物理定律的對稱。群，正則作用。子群，正規子群，商群。元素的階。理想類群。模的擴張的群。brauer 群。兩個群的直積。
第13節 群的例子：有限群
對稱群和交錯群。正多邊形和正多麵體的對稱群。格的對稱群。晶體的類。由反射生成的有限群。
第14節 群的例子：無限離散群
離散變換群。晶體群。lobachevsky平麵的離散運動群。模群。自由群。由生成元和關係確定的群。邏輯問題。基本群。紐結群。辮群。
第15節 群的例子：lie 群和代數群
lie群。環麵。在liouville定理中的作用。
a 緊緻lie群
典型的緊緻群以及它們之間的一些關係。
b 復解析lie群
典型的復lie群。其他一些lie群。lorentz群。
c 代數群
代數群，ad`ele群。tamagawa數。
第16節 群論的一般結果
直積。wedderburn-remak-shmidt 定理。閤成列，jordan-h¨older
定理。單群，可解群。單緊緻 lie 群。單復 lie 群。有限單群，分類。
第17節 群錶示
a 有限群的錶示
錶示，正交關係。
b 緊緻lie群的錶示
緊緻群的錶示。在群上積分。helmholtz-lie 理論。緊緻 abel 群的特徵標和 fourier 級數。4維riemann幾何中的weyl和ricci 張量。su(2)和so(3)的錶示。zeeman 效應。
c 典型復 lie 群的錶示
非緊緻lie群的錶示。有限維典型復lie群錶示的完全不可約性。
第18節 群的一些應用
a galois 理論
galois理論。根式解方程。
b 綫性微分方程的galois理論(picard-vessiot 理論)
c 非分歧覆蓋的分類
非分歧覆蓋的分類和基本群。
d 不變式理論
不變式理論的第一基本定理。
e 群錶示和基本粒子的分類
第19節 lie 代數和非結閤代數
a lie 代數
poisson括號作為lie代數的例子。lie環和lie代數。
b lie 理論
lie群的lie代數。
c lie 代數的應用
lie 群與剛體運動。
d 其他非結閤代數
cayley 數。8 維空間的 6 維子流形上的殆復結構。非結閤的實可除代數。
第20節 範疇
圖和範疇。泛映射問題。函子。拓撲中發生的函子：圈空間，雙角錐。範疇中的群對象。同倫群。
第21節 同調代數。
a 同調代數概念的拓撲起源
復形及其同調。多麵體的同調和上同調。不動點定理。微分形式和 de rham 上同調；de rham 定理。長正閤上同調序列。
b 模和群的上同調
模的上同調。群上同調。離散群上同調的拓撲意義。
c 層上同調
層；層上同調。有限性定理。riemann-roch 定理。
第22節 k-理論
a 拓撲 k-理論
嚮量叢和函子 vec(x)。周期性和函子 kn(x)。k1(x) 和無限維綫性群。橢圓微分算子的符號。指標定理。
b 代數 k-理論
投射模類的群。環的 k0，k1 和 kn，域的 k2 及其與 brauer群的關係。k-理論和算術。
關於文獻的注釋
參考文獻
人名索引
主題索引
· · · · · · (收起)
具體描述
《代數基本概念》是沙法列維奇的經典名著之一，目的是對代數學、它的基本概念和主要分支提供一個一般性的全麵概述，論述代數學及其在現代數學和其他科學中的地位。
《代數基本概念》高度原創且內容充實，涵蓋瞭代數中所有重要的基本概念，不隻是域、群、環、模，而且包括群錶示、lie群與lie代數、上同調、範疇論等。它不是按照代數教科書的傳統模式寫的，而是反映瞭作者的強烈觀點：“用基本例子的一批樣本，它會錶達得更好。這給數學傢提供瞭動機和實質性的定義，同時給齣這個概念的真實意義。”
書中共有精心挑選的164個例子和45幅圖，給讀者提供瞭物理背景和直覺，通過它們能夠對抽象的概念産生更深的印象。相對而言，書中隻有6個引理和104個定理，而且這些定理往往不加證明，隻給齣證明思路，這將大大刺激讀者的思考，激發更大的興趣。
《代數基本概念》起點並不高，大學數學係二、三年級的學生能夠讀懂大部分內容。本書文前附季理真撰寫的有關本書作者和本書內容的精彩介紹。讀者對象是大學數學係的學生、數學專業任何方嚮的研究生、教師和研究工作者，包括已經成名的數學傢。理論物理學傢和其他自然科學領域的專傢也會對本書有興趣。
用戶評價
##提綱挈領，有當年看Klein那幾本書的感覺。特彆感謝ablois老師，不至於讀天書，順便也搞清楚瞭下一階段看的方嚮。
評分##話有點囉嗦零碎，但有適當的引申。
評分學數學和物理最重要的一個環節就是讀真正數學傢寫的經典名著。基本上囊括瞭現代數學的方方麵麵：非交換環上的模包含瞭群錶示；而半單模和半單環包含瞭有限群的錶示。先介紹域和環這樣的基本結構，關於諾特代數結構的描述是完備，接著介紹群，用基本結構來分析群。一般綫性群群和置換群是對稱群的子群，每個群同構於置換群。子群構造群是基本問題 ，也就是擴張問題。每個環都是整數環的代數
評分學數學和物理最重要的一個環節就是讀真正數學傢寫的經典名著。基本上囊括瞭現代數學的方方麵麵：非交換環上的模包含瞭群錶示；而半單模和半單環包含瞭有限群的錶示。先介紹域和環這樣的基本結構，關於諾特代數結構的描述是完備，接著介紹群，用基本結構來分析群。一般綫性群群和置換群是對稱群的子群，每個群同構於置換群。子群構造群是基本問題 ，也就是擴張問題。每個環都是整數環的代數
評分##需要有數學專業基礎，否則大量名詞不理解。
評分##很難，無論是內容深度還是例子涉及領域的廣度都遠遠超過“代數基礎”的範圍，是那種用來提升看法開拓視野，而不是用來學習知識的書
評分##最好的代數書！
評分##很難，無論是內容深度還是例子涉及領域的廣度都遠遠超過“代數基礎”的範圍，是那種用來提升看法開拓視野，而不是用來學習知識的書
評分##提綱挈領，有當年看Klein那幾本書的感覺。特彆感謝ablois老師，不至於讀天書，順便也搞清楚瞭下一階段看的方嚮。
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