高中數學競賽專題講座：不等式 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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李世傑 編

圖書標籤:

• 高中數學
• 數學競賽
• 不等式
• 競賽輔導
• 數學培優
• 高中學習
• 解題技巧
• 奧數
• 學習資料
• 考試必備

齣版社： 浙江大學齣版社

ISBN：9787308052382

版次：1

商品編碼：10082722

包裝：平裝

叢書名： 高中數學競賽專題講座

開本：16開

齣版時間：2007-07-01

用紙：膠版紙

頁數：243

字數：310000

正文語種：中文

內容簡介

　　　　《高中數學競賽專題講座：不等式》充分吸收瞭世界各地的優秀數學競賽試題，通過對典型例題的解剖，傳授數學思想方法，側重培養學生的邏輯思維能力，不唯解題而解題；本著少而精的原則選擇材料，不搞題海戰術，不追求大而全，而是以點帶麵，舉一反三；以數學修養和能力培養為立意，通過深刻剖析問題的數學背景，挖掘數學內涵，培養學生的數學品格和解決實際問題的能力；在注意基礎知識訓練同時，有適當程度的拔高，對參加鼕令營甚至是更高層次的競賽都有一定的指導作用和參考價值。

內頁插圖

目錄

第1講 不等式的性質
知識點金
例題精析
思考交流
同步檢測1
第2講 不等式的解法
知識點金
例題精析
思考交流
同步檢測2
第3講 不等式證明的常用方法
知識點金
例題精析
思考交流
同步檢測3
第4講 平均值不等式
第1節 二元和三元的算術一幾何平均值不等式
知識點金
例題精析
思考交流
同步檢測4-1
第2節　元的平均值不等式（n≥4）
知識點金
第5講　柯西不等式
第6講　排序不等式與切比雪夫不等式
第7講　凸函數及其應用
第8講　抽象函數不等式
第9講　不等式的綜閤應用
參考答案

前言/序言

《高中數學競賽專題講座：不等式》 一、 編委會與編寫思路 本書由國內多位長期從事高中數學競賽輔導、命題研究及教學一綫的資深數學教師共同編撰。編寫團隊在深入分析曆年全國高中數學聯賽、中國數學奧林匹剋（CMO）等各類高水平數學競賽中不等式相關試題的基礎上，結閤當前高中數學課程改革的精神，旨在為廣大高中生提供一套係統、深入、實用的不等式專題學習資料。 編寫本書的核心思路在於，不僅僅是羅列不等式的基本性質和常用定理，更重要的是引導學生掌握不等式思想的精髓，理解不同不等式工具的適用範圍與技巧，以及如何將不等式與函數、幾何、代數等其他數學分支有機結閤，培養學生運用不等式解決復雜數學問題的能力。我們力求使本書既有理論的深度，又有方法的廣度，兼顧基礎知識的鞏固與拔高訓練的銜接，最終目標是幫助學生在數學競賽中構建起堅實的不等式知識體係，提升解題的信心與實效。 二、 內容體係與深度解析 本書內容體係遵循由淺入深、由易到難的原則，共分為以下幾個主要部分： 第一部分：不等式的基本理論與工具 第一章 不等式的基本概念與性質 本章首先迴顧瞭不等式的定義、等價關係、傳遞性、對稱性、反對稱性等基本概念，並詳細闡述瞭移項法則、閤並法則、加法法則、乘法法則（同號不等式的性質）、除法法則（同號不等式的性質）、比較法則等基本性質。 重點強調瞭不等式性質的嚴謹性與適用條件，例如，在進行不等式兩邊同乘以（或除以）一個數時，必須明確該數是正數、負數還是零，以及不等號方嚮的變化。 通過豐富的例題，展示如何靈活運用基本性質進行不等式的化簡、證明與求解。 第二章 幾種重要的基本不等式 本章係統介紹瞭數學競賽中最為核心和常用的幾種基本不等式，包括： 均值不等式（AM-GM不等式）：詳細介紹瞭算術平均數、幾何平均數、平方平均數、調和平均數之間的不等關係，並對其推廣形式（如加權均值不等式）進行瞭介紹。強調瞭使用均值不等式成立的三個必要條件：一正、二定、三相等，並深入剖析瞭其應用技巧，如配湊、分組、通分等。 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：介紹瞭其代數形式、嚮量形式和積分形式，並展示瞭其在證明恒等式、求最值、證明其他不等式方麵的強大威力。 閔可夫斯基不等式（Minkowski Inequality）：介紹瞭其幾何意義和代數形式，並給齣瞭一些典型的應用場景，特彆是與嚮量和距離相關的證明。 赫爾德不等式（Holder Inequality）：作為柯西-施瓦茨不等式的一般化，本書也對赫爾德不等式進行瞭介紹，並給齣瞭其在求和、積分等方麵的應用。 三角不等式（Triangle Inequality）：除瞭在幾何中的直觀意義，還介紹瞭其在代數中，特彆是關於復數模長的不等式形式，以及在證明距離相關問題時的應用。 本章通過大量精心設計的例題，指導學生如何識彆問題中適閤應用哪種基本不等式，以及如何構造恰當的條件來滿足不等式的應用要求。 第二部分：不等式的證明方法與技巧 第三章 比較法 作差比較法：係統闡述瞭如何通過作差，將待證明的不等式轉化為證明一個非負（或非正）的代數式。重點講解瞭如何對差式進行因式分解、配方、通分或利用已知條件簡化，從而達到證明目的。 作商比較法：適用於證明同號（通常為正數）兩錶達式之間的大小關係。強調瞭如何通過適當的變形，使得商式大於等於1（或小於等於1）。 構造法：介紹瞭一種更具創造性的證明思路，即通過構造輔助函數、輔助數列、輔助不等式等，將原不等式轉化為更易於處理的形式。 第四章 變量代換與參數法 變量代換：講解瞭如何通過引入新的變量，簡化不等式結構，發現隱藏的規律。例如，三角換元、指數換元、倒數換元等。 參數法：當不等式中含有參數時，介紹如何將參數視為變量，通過分析函數的單調性、極值、零點等來確定參數的取值範圍，從而證明不等式。 第五章 構造法與反證法 構造輔助函數：深入講解瞭如何利用導數、單調性、凹凸性等性質，構造恰當的輔助函數來證明不等式。這是解決一些復雜不等式的關鍵方法。 反證法：闡述瞭反證法的基本原理，以及在不等式證明中的應用。通過假設待證明的不等式不成立，導齣矛盾，從而證得原不等式成立。 第六章 幾何方法與柯西不等式在幾何中的應用 本章探討瞭如何利用幾何直觀和幾何性質來證明不等式。例如，在數軸上錶示不等式、利用點到直綫的距離公式、嚮量模長的不等式性質等。 重點闡述瞭柯西-施瓦茨不等式及其推廣形式在幾何問題中的應用，如證明三角形的邊長關係、麵積關係等。 第三部分：不等式的求解與最值問題 第七章 一元二次不等式的解法 係統迴顧瞭一元二次不等式的定義、符號特徵，以及求解步驟，包括圖像法、因式分解法、配方法等。 第八章 抽象函數不等式的求解 針對競賽中常見的抽象函數不等式問題，介紹瞭如何利用函數的單調性、奇偶性、周期性、有界性等性質，結閤不等式的傳遞性進行求解。 第九章 恒成立與能成立問題 深入講解瞭如何處理含參數的不等式恒成立或能成立的問題。結閤函數的最值、導數、判彆式等工具，引導學生掌握求解這類問題的通用策略。 第十章 函數最值問題 利用基本不等式求最值：這是最基本也是最重要的方法，強調瞭“一正、二定、三相等”的原則，以及如何通過變形構造齣滿足條件的式子。 利用導數求最值：詳細講解瞭利用導數求函數在給定區間上的最值，特彆是如何處理分段函數、抽象函數的最值問題。 利用代數構造法求最值：介紹瞭一些巧妙的代數構造方法，例如配方法、三角換元、柯西不等式等，在不直接使用導數的情況下求齣最值。 第四部分：專題拓展與綜閤訓練 第十一章 不等式組的求解與應用 介紹瞭如何同時處理多個不等式，以及不等式組在平麵區域、可行域等問題中的應用。 第十二章 不等式與解析幾何 探討瞭不等式在圓錐麯綫方程、點到直綫距離、弦長公式等解析幾何問題中的應用。 第十三章 不等式與數列 研究瞭如何利用不等式證明數列的性質，如單調性、收斂性，以及數列通項公式的最值問題。 第十四章 曆年經典競賽題解析 精選瞭近十年來全國各類高中數學競賽中關於不等式的經典試題，並提供瞭詳細的解題思路、過程與技巧分析。這部分是本書的亮點之一，旨在幫助學生熟悉競賽的真實難度與風格，檢驗學習成果。 第十五章 綜閤模擬題 設置瞭若乾套模擬題，涵蓋瞭不等式專題的各種題型和難度，供學生進行自我檢測和提升。 三、 編寫特色 1. 理論與實踐相結閤：本書在梳理基本概念和性質的同時，大量引用瞭數學競賽中的真實題目，並提供詳細的解題過程和方法剖析，使得理論知識的學習與解題能力的培養緊密結閤。 2. 方法體係化：係統地介紹瞭不等式的各種證明和求解方法，並對各種方法的適用範圍、優缺點進行瞭分析，幫助學生建立起清晰的方法論框架。 3. 循序漸進，難度適中：從基礎的概念和性質入手，逐步深入到復雜的證明技巧和綜閤應用，確保不同水平的學習者都能從中受益。 4. 題型豐富，覆蓋麵廣：涵蓋瞭不等式在代數、幾何、函數、數列等各個方麵的應用，力求使學生掌握應對各類不等式問題的能力。 5. 注重思想的滲透：除瞭解題技巧，本書更注重不等式思想的滲透，引導學生理解數學的嚴謹性、創造性與邏輯美。 6. 詳盡的解析，啓發思維：對例題和競賽題的解析深入透徹，不僅給齣答案，更重要的是解析解題思路的形成過程，啓發學生的解題思維。 四、 適用對象 本書主要麵嚮參加全國高中數學聯賽、中國數學奧林匹剋（CMO）以及其他高水平數學競賽的初高中學生。同時，本書也可作為高中數學教師進行不等式專題教學的參考用書，以及對數學有濃厚興趣的高中生進行拓展學習的讀物。 五、 學習建議 1. 紮實基礎：務必對第一部分的 có bản lý thuyết 和基本不等式有深刻的理解和熟練的掌握。 2. 勤於思考，勇於嘗試：麵對一道不等式題目，不要急於看答案，要先獨立思考，嘗試不同的方法。 3. 總結歸納：在學習過程中，及時總結各類不等式方法的適用條件、關鍵步驟和常見陷阱。 4. 多做練習，溫故知新：通過大量的練習來鞏固所學知識，並通過迴顧舊知識來加深理解。 5. 注重數學思想：在解題過程中，體會不等式所蘊含的數學思想，如化歸思想、數形結閤思想、整體思想等。 我們相信，通過係統學習本書，並付諸實踐，廣大高中生在不等式這一數學領域的能力將得到顯著提升，為他們在未來的數學學習和競賽中取得優異成績奠定堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

說實話，我一直以來對高中數學的某些部分都有些“畏懼”，特彆是那些看起來特彆抽象、變化多端的題目。不等式就是其中一個讓我頭疼的環節。平時做練習時，遇到簡單的不等式還好，一旦涉及多個變量、復雜的函數關係，我就常常卡殼，不知道從何下手。所以我拿到這本《高中數學競賽專題講座：不等式》時，心裏的想法是：拜托，給我一些清晰的指引吧！我迫切地希望這本書能提供一種係統性的學習方法，讓我能夠理解不等式背後的邏輯，而不是僅僅死記硬背一些公式。我特彆期待它能教會我如何分析不等式的結構，如何利用已知條件去推導未知，如何巧妙地運用一些數學工具來簡化問題。有沒有提到一些“秘籍”或者“套路”，能夠讓我快速掌握解決某一類不等式題目的方法？例如，在處理均值不等式時，如何判斷能否使用？如何進行變形以滿足條件？還有，關於一些幾何不等式，這本書是如何解釋的？我希望它能用圖示或者直觀的語言來幫助我理解，而不是枯燥的符號推導。如果書中能包含一些作者獨到的見解和解題技巧，那將是極大的驚喜。我希望讀完後，我能夠擁有一個“工具箱”，裏麵裝滿瞭解決各種不等式問題的利器。

評分☆☆☆☆☆

我是一名對數學競賽充滿熱情的高中生，一直以來都希望能在數學領域有所突破。在我的學習過程中，不等式部分常常是我感到棘手的地方。雖然在課堂上接觸過一些基本的不等式知識，但麵對競賽中那些變化多端、充滿技巧性的題目時，總感覺自己力不從心。因此，當我看到《高中數學競賽專題講座：不等式》這本書時，我的興趣立刻被點燃瞭。我最大的期待是這本書能夠深入淺齣地講解不等式的理論知識，並且提供大量精選的競賽真題和模擬題，幫助我鞏固所學。我尤其希望書中能夠針對不同類型的不等式問題，提供一套行之有效的解題思路和方法。比如，如何準確地識彆不等式的類型，如何根據題目的特點選擇閤適的定理或不等式進行求解，以及如何有效地進行變形和化簡，最終找到問題的答案。如果書中還能包含一些作者在解題過程中獨到的思考方式和創新性的解題技巧，那將對我起到巨大的啓發作用。我期待通過閱讀這本書，能夠係統地掌握不等式的解題技巧，提高解題的準確性和速度，從而在數學競賽中取得優異的成績。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本《高中數學競賽專題講座：不等式》，我當時最大的期待就是它能填補我在這方麵知識體係上的空白。我總感覺自己在解不等式相關題目時，總是摸不著頭緒，尤其是在一些復雜的題目麵前，更是顯得力不從心。這本厚實的書，封麵設計簡潔大氣，一看就很有學術範兒，讓我對接下來的學習充滿瞭信心。我特彆希望它能從最基礎的概念講起，比如不等式的性質、基本不等式，然後循序漸進地深入到一些更高級的技巧和方法，比如柯西不等式、閔可夫斯基不等式，以及如何構造函數等。當然，我更看重的是那些實用的解題策略，希望能學到一些“套路”或者思維方式，能夠舉一反三，在競賽中靈活運用。這本書有沒有提供大量的例題？每道例題的講解是否詳細透徹，包含瞭完整的解題思路和步驟？這對我至關重要，因為我需要通過模仿和練習來掌握這些知識。另外，如果書中能穿插一些曆年競賽的真題，並對它們進行深入剖析，那就更完美瞭，這樣我可以更好地瞭解競賽的難度和考察方嚮。總而言之，我希望能通過閱讀這本書，能夠真正提升自己解決不等式問題的能力，不再畏懼這部分內容，甚至能在競賽中取得好成績。

評分☆☆☆☆☆

自從踏入高中數學的殿堂，我發現不等式這塊領域總是像一層迷霧，讓我難以捉摸。那些復雜的公式和看似無跡可尋的解題步驟，常常讓我感到沮喪。我深知，不等式在高中數學競賽中占據著舉足輕重的地位，而我卻在這方麵顯得如此薄弱。因此，當我翻開《高中數學競賽專題講座：不等式》這本書時，我滿懷期待。我希望這本書能夠打破我思維的局限，提供一種全新的視角來看待不等式。我渴望它能從最根本的數學思想齣發，幫助我理解不等式的本質，而不是停留在錶麵公式的記憶。我特彆希望能從中學習到一些“化繁為簡”的技巧，如何在錯綜復雜的問題中找到關鍵點，如何利用已知條件進行邏輯推理，最終推導齣正確的結果。如果書中能夠提供一些不同於常規解法的、更具啓發性的思路，那我將受益匪淺。我希望能讀完這本書後，能夠對不等式産生一種“遊刃有餘”的感覺，就像掌握瞭一門獨特的武功秘籍，能夠輕鬆應對各種挑戰。

評分☆☆☆☆☆

對於我來說，數學競賽不僅僅是知識的比拼，更是思維的較量。而不等式，恰恰是檢驗這種思維能力的一個絕佳的領域。然而，在平時的學習中，我對不等式的理解和掌握程度始終不盡如人意。我常常發現自己陷入解題的怪圈，不知道如何下手，也不知道如何評估自己解題的思路是否正確。《高中數學競賽專題講座：不等式》這本書的齣現，無疑給瞭我一個絕佳的學習機會。我最期待的是，這本書能夠為我構建起一個完整的不等式知識體係，從最基礎的原理到最前沿的應用，都能夠得到清晰的闡述。我希望它能教會我如何識彆不等式題目的“陷阱”，如何巧妙地運用各種不等式工具，以及如何進行嚴謹的邏輯推理。另外，我非常看重的是書中對典型例題的解析深度，希望能像一位經驗豐富的導師一樣，詳細地剖析每一道題的解題思路、關鍵步驟以及可能遇到的難點，並給齣一些備選的解法。如果這本書還能包含一些作者在教學過程中的一些心得體會，以及對學生常犯錯誤的提示，那就太有價值瞭。我渴望通過這本書，能夠真正理解不等式的魅力，並將其轉化為我在競賽中的強大武器。

評分☆☆☆☆☆

默認好評！

評分☆☆☆☆☆

到貨很快，包裝很好，相信京東，己成習慣

評分☆☆☆☆☆

書不錯，包裝也不錯，值得好評

評分☆☆☆☆☆

好書

評分☆☆☆☆☆

滿分

評分☆☆☆☆☆

第3講 不等式證明的常用方法

評分☆☆☆☆☆

還不錯，就是有點薄，內容上以題為主。

評分☆☆☆☆☆

好好練練，希望能有效果

評分☆☆☆☆☆

書很好，可惜還有幾本沒買到