高中數學競賽專題講座：代數變形 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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蔡小雄，陶平生，馮躍峰，邊紅平 著

圖書標籤:

• 高中數學
• 數學競賽
• 代數
• 變形技巧
• 解題方法
• 進階學習
• 競賽輔導
• 函數與方程
• 不等式
• 高中生

齣版社： 浙江大學齣版社

ISBN：9787308060387

版次：1

商品編碼：10082812

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2008-06-01

頁數：115

正文語種：中文

編輯推薦

　　《高中數學競賽專題講座》（一輯）12種齣版以來，反響強烈，深受廣大讀者喜愛，並收到瞭大量反饋信息。很多讀者，包括一綫競賽輔導的教師和競賽研究人員提齣瞭許多寶貴的建設性意見，希望我們再組織齣版一套以解題方法和解題策略為主的叢書。為瞭滿足廣大讀者的需求，我們在全國範圍‘內組織優秀的數學奧林匹剋教練編寫瞭《高中數學競賽專題講座》（第二輯）共8種：《圖論方法》、《周期函數與周期數列》、《代數變形》、《極值問題》、《染色與染色方法》、《遞推與遞推方法》、《組閤構造》；考慮到配套，把’一輯中《數學結構思想及解題方

內容簡介

　　《代數變形》是《高中數學競賽專題講座》叢書之一，以高中數學競賽大綱為依據，分四講專題論述高中數學競賽中代數變形中的熱點專題。

內頁插圖

目錄

寫在前麵

第1講活用常數
方法點津
典型例題
習題精選1

第2講配以對偶
方法點津
典型例題
習題精選2

第3講閤理代換
方法點津
典型例題
習題精選3

第4講加強命題
方法點津
典型例題
習題精選4

第5講逐步調整
方法點津
典型例題
習題精選5

第6講分拆閤項
方法點津
典型例題
習題精選6

第7講和式變換
方法點津
典型例題
習題精選7

第8講巧妙構造
方法點津
典型例題
習題精選8
習題解答
參考文獻

前言/序言

高中數學競賽專題講座：解析幾何的飛躍 本書並非專注於抽象的代數技巧，而是將目光投嚮瞭高中數學競賽中同樣至關重要且極具魅力的一個分支——解析幾何。我們相信，對於每一位誌在數學競賽領域嶄露頭角的同學而言，熟練掌握並靈活運用解析幾何的工具，是提升解題能力、拓展解題思路的絕佳途徑。本書旨在係統性地梳理解析幾何的核心概念、關鍵定理以及一係列實用的解題方法與技巧，力求為廣大高中生提供一份詳盡而深入的學習指南，助力大傢在競賽中實現解析幾何部分的“飛躍”。 本書內容概覽： 本書共分為五個專題，循序漸進地引導讀者深入理解解析幾何的精髓。 專題一：平麵直角坐標係與基本方程的精耕細作 本專題將從最基礎的平麵直角坐標係入手，詳細闡述點、綫、圓之間的基本關係。我們不僅僅停留在公式的羅列，而是深入探討點坐標的幾何意義、兩點間距離公式的推導與應用、綫段中點公式的靈活運用，以及直綫方程的各種形式（點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式）及其相互轉化。更重要的是，我們將強調這些基本概念與幾何圖形的內在聯係，例如，如何通過坐標錶示嚮量，如何利用嚮量運算解決幾何問題。 關於直綫方程，本書將深入分析斜率的幾何意義，特彆是平行直綫與垂直直綫方程的判定及其係數關係。直綫與坐標軸的夾角、傾斜角等概念的精確定義和計算方法也將得到詳細講解。 圓的方程部分，我們將從圓的定義齣發，推導齣圓的標準方程和一般方程，並詳細解析圓心坐標、半徑與方程係數之間的對應關係。本書將特彆強調參數方程在描述圓的運動軌跡以及解決與圓相關的周期性問題中的優勢。此外，我們將深入探討點與圓的位置關係、直綫與圓的位置關係（相切、相交、相離）的判定方法，以及如何通過判彆式或幾何意義來解決相關問題。 本專題的重點在於夯實基礎，培養讀者將幾何問題轉化為代數方程（組）的能力，並能從中提取有用的幾何信息。我們將通過大量精心設計的例題，展示如何運用這些基本工具解決一類典型的直綫與圓的綜閤性問題，例如求直綫與圓的交點坐標、求圓的切綫方程、求點到直綫的距離、求兩平行直綫間的距離等。 專題二：圓錐麯綫——探索對稱與優美的幾何軌跡 本專題將聚焦高中數學競賽中常見的圓錐麯綫：橢圓、雙麯綫與拋物綫。我們將從幾何定義齣發，嚴格推導它們的標準方程，並深入剖析方程中各項係數的幾何意義，例如橢圓的長短半軸、離心率，雙麯綫的實軸虛軸、漸近綫，拋物綫的焦點、準綫等。 對於橢圓，我們將重點講解其對稱性、離心率的幾何意義及其對橢圓形狀的影響，以及焦點的性質。如何利用橢圓的定義（兩焦點距離之和為常數）和方程來解決與橢圓相關的問題，例如求橢圓的弦長、求點與橢圓的位置關係等。 雙麯綫的講解將強調其兩條漸近綫在刻畫雙麯綫形狀中的作用，以及離心率大於1的特性。我們將深入探討雙麯綫的焦點性質，以及如何利用雙麯綫的定義（兩焦點距離之差的絕對值為常數）來解決問題。 拋物綫的講解將集中於其焦點和準綫的性質。我們將詳細分析拋物綫方程中參數對拋物綫開口方嚮、形狀的影響，以及如何利用拋物綫的定義（點到焦點距離等於點到準綫距離）來解決相關問題。 本書將特彆注重圓錐麯綫的幾何性質與代數方程的聯係。例如，如何通過代數方法（聯立方程、韋達定理）來研究圓錐麯綫的弦、切綫問題，以及如何利用韋達定理處理弦的中點坐標、弦長公式等。此外，我們將介紹“點差法”等針對圓錐麯綫問題的經典解題技巧。 專題三：嚮量在解析幾何中的應用——簡化與統一的視角 嚮量是連接代數與幾何的橋梁，在解析幾何中具有不可替代的作用。本專題將係統介紹嚮量的基本概念，包括嚮量的定義、模、方嚮、零嚮量、單位嚮量等。我們將詳細講解嚮量的綫性運算（加法、減法、數乘），以及嚮量的幾何錶示和運算規則。 接著，我們將深入探討嚮量的數量積（點積）及其幾何意義，包括兩個嚮量夾角的計算、嚮量的垂直判定、嚮量投影等。數量積在判斷兩直綫垂直、計算圖形麵積等方麵具有獨特優勢。 本書將重點講解嚮量在解析幾何中的具體應用，例如： 利用嚮量錶示直綫方程： 方嚮嚮量和點法嚮量在描述直綫方嚮和垂直關係上的優勢。 利用嚮量錶示圓和圓錐麯綫方程： 通過嚮量模長或數量積建立方程，提供一種不同於傳統方法的視角。 利用嚮量解決距離問題： 點到直綫距離、點到平麵距離（在空間解析幾何中也會涉及）等，嚮量方法往往更簡潔。 利用嚮量解決角度問題： 計算異麵直綫夾角、綫麵角、二麵角（涉及空間解析幾何）。 利用嚮量處理共綫、共麵等幾何關係。 通過大量例題，我們將展示嚮量方法如何簡化復雜的解析幾何問題，提供更統一、更具邏輯性的解題框架。 專題四：解析幾何中的參數方程與相關方法 參數方程是描述運動軌跡、處理周期性問題以及簡化某些復雜方程的有力工具。本專題將從參數方程的定義和意義入手，詳細講解直綫、圓、橢圓、雙麯綫、拋物綫的參數方程形式及其相互轉化。 我們將重點分析參數方程在解決以下問題中的優勢： 求交點： 將兩條麯綫的參數方程聯立，求解參數值，進而得到交點坐標，這種方法在處理復雜交點問題時尤為有效。 求解弦長、中點問題： 利用參數方程方便地錶示弦的端點，進而計算弦長和中點坐標。 處理周期性問題： 在涉及圓的運動、周期性幾何變換等問題中，參數方程能夠清晰地展現運動的規律。 構造特殊點： 利用參數方程構造麯綫上特定位置的點，例如橢圓上的“頂點”或“端點”，方便後續計算。 此外，本專題還將介紹與參數方程相關的其他重要思想方法，例如“代換法”、“消參法”等，以及如何靈活選擇閤適的參數來簡化問題。 專題五：解析幾何綜閤題與競賽策略 本專題將匯集各類高中數學競賽中常見的解析幾何綜閤題型，涵蓋瞭直綫、圓、圓錐麯綫之間的相互關係，以及與嚮量、參數方程等內容的融閤。我們將通過對曆年經典競賽題的深入剖析，總結解題思路和常用技巧。 我們將重點講解以下幾類綜閤題的解題策略： 弦長、最值問題： 如何利用韋達定理、不等式、導數（在某些情況下）或幾何意義求解弦長、距離等的最值。 軌跡問題： 如何根據已知條件，準確求解動點的軌跡方程，並分析其幾何性質。 定值問題： 如何識彆齣問題中的不變量，並利用特殊情況或代數方法求解定值。 恒成立問題： 如何將幾何問題轉化為關於參數的不等式，並利用解析幾何或代數方法求解參數範圍。 幾何證明問題： 利用解析幾何的方法，將幾何命題轉化為代數恒等式，從而進行嚴格證明。 本書的每一章節都配有大量精選的例題和練習題，涵蓋瞭從基礎到拔高的各個層次。例題的解析力求詳盡，不僅給齣答案，更注重分析解題思路的形成過程、關鍵步驟的推導以及各種方法的比較。練習題旨在幫助讀者鞏固所學知識，熟練掌握解題技巧。 本書的最終目標，是幫助讀者建立起嚴謹的數學思維，培養獨立思考和解決復雜問題的能力，從而在高中數學競賽的解析幾何部分取得優異成績。我們相信，通過本書的學習，每一位有誌於此的同學，都能夠自信地迎接解析幾何的挑戰，並在數學的廣闊天地中，探尋更多的奧秘與精彩。

評分☆☆☆☆☆

這本書在“整體代換與降次”這一專題上的講解，給我留下瞭深刻的印象。我之前在處理一些高次方程組或者涉及到復雜代數式方程的題目時，常常感到無從下手，而這本書提供的“整體代換”思想，就像為我打開瞭一扇新的大門。作者通過大量的實例，生動地展示瞭如何識彆題目中的“整體”，並將其進行巧妙的替換，從而將復雜的問題轉化為簡單的方程或不等式。例如，在處理某些對稱性極強的方程組時，書中提供的換元方法，能夠迅速簡化方程結構，並且容易找到解題思路。更讓我感到驚喜的是，書中關於“降次”的思想，不僅僅局限於代數方程，其背後的數學思想，比如化繁為簡，將復雜問題逐步分解，對於我理解其他數學領域的難題同樣具有藉鑒意義。我特彆喜歡書中對“構造新變量”這一技巧的講解，作者不僅給齣瞭具體的例子，還深入剖析瞭構造新變量的邏輯和依據，讓我明白瞭如何根據問題的特點，靈活運用這一技巧。雖然我本次關注的重點是代數變形，但書中關於“數形結閤”的思想，在代數問題中的應用，也讓我覺得非常精妙，為我解決其他領域的數學問題提供瞭新的思路。

評分☆☆☆☆☆

這本書在介紹“函數性質與構造”方麵做得尤為齣色，這正是我在解決函數類競賽題目時最需要加強的部分。作者通過大量的實例，生動地展示瞭如何利用函數的單調性、奇偶性、周期性以及對稱性來解決各種復雜的函數問題。我特彆欣賞書中對於“構造輔助函數”這一方法的講解，作者並沒有簡單地羅列技巧，而是深入剖析瞭構造輔助函數的邏輯和必要性，並通過一個個精心挑選的例子，展示瞭如何根據問題的特點，巧妙地構造齣能夠揭示函數性質的輔助函數。例如，在處理某些涉及函數方程的題目時，我常常會陷入無休止的嘗試和驗證，而這本書提供的構造法，能夠直接指引我找到問題的關鍵點。此外，書中關於“函數圖像的分析與應用”也讓我受益匪淺。作者結閤具體的函數圖像，講解瞭如何通過圖像的形狀、交點、斜率等信息來推斷函數的性質，以及如何利用圖像來直觀地理解抽象的數學概念。雖然我這次的關注點是函數，但書中穿插的關於代數式的值域、最值問題，以及如何利用代數變形來簡化函數錶達式的講解，也讓我覺得非常有價值，為我理解更深層次的函數問題打下瞭基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格實在是太吸引人瞭，讀起來就像是在和一位經驗豐富的數學導師對話。雖然我這次想瞭解的是關於數列的難題，但這本書裏關於“數列的通項公式與遞推關係”這一章節的講解，讓我大開眼界。作者並非直接給齣一堆公式，而是從數列的本質齣發，一步步引導讀者去理解如何從遞推關係中挖掘齣通項公式的奧秘。尤其令我印象深刻的是，書中對於“特徵方程法”的講解，清晰地闡述瞭其適用條件和求解步驟，並配以瞭大量精心設計的例題，從簡單的綫性遞推數列到稍微復雜的非綫性遞推數列，都進行瞭詳細的剖析。我之前在處理像斐波那契數列的變種或者涉及參數的遞推數列時，常常感到束手無策，而這本書提供的係統性方法，讓我看到瞭突破瓶頸的可能。更重要的是，書中不僅僅局限於“解題”，更注重“解題思想”的傳授。例如，作者反復強調“觀察與猜想”在數列問題中的重要性，以及如何通過構造新的數列來簡化問題，這些思想方法是通用的，甚至可以遷移到其他數學領域。即便我的目標是數列，這本書關於代數變形的基本功訓練，也讓我受益匪淺，感覺自己的數學思維更加嚴謹和靈活瞭。

評分☆☆☆☆☆

初次翻開這本《高中數學競賽專題講座：代數變形》，就被其精煉的排版和清晰的目錄所吸引。雖然我目前主要關注的是幾何部分的解題技巧，但齣於對數學競賽整體能力的提升需求，還是抱著學習和藉鑒的心態來瀏覽這本書。書中開篇對代數變形的基本原則和常見套路進行瞭係統性的梳理，這一點非常到位。例如，在處理不等式證明時，作者通過引入“代數放縮”這一概念，並結閤具體的例題，深入淺齣地闡述瞭如何通過巧妙的變量替換和恒等變形來簡化不等式結構，從而更容易找到證明思路。書中特彆強調瞭“對稱性”和“周期性”在代數變形中的應用，這對於我這種初學者來說，無疑是打開瞭一扇新的大門。我之前在做某些涉及高次多項式的題目時，常常感到無從下手，而這本書提供的思路，比如將多項式進行適當的配方或因式分解，利用韋達定理或根的判彆式來分析其性質，讓我看到瞭解決問題的希望。而且，書中穿插的一些競賽真題解析，雖然重點在代數，但其中蘊含的數學思想，比如整體思想、化歸思想，對於我解決幾何問題同樣具有啓發意義。總而言之，盡管我尚未深入研究書中的每一道題目，但從其編排和介紹來看，這本書對於想要係統提升代數功底，為更高難度的數學競賽打下堅實基礎的讀者來說，無疑是一本值得細細品讀的寶藏。

評分☆☆☆☆☆

我一直對解析幾何中的一些難題感到頭疼，尤其是在處理直綫與圓錐麯綫的交點問題時，常常會因為計算量過大而望而卻步。這本書的“方程的根的分布與範圍”這一章節，恰好給瞭我非常大的啓發。作者通過引入“判彆式法”、“韋達定理法”以及“圖像法”等多種解題工具，係統地講解瞭如何分析二次方程的根的分布情況。我尤其欣賞書中關於“參數範圍的確定”的講解，作者通過將問題轉化為參數與根的分布之間的關係，並結閤圖形進行直觀分析，讓我深刻理解瞭如何利用代數方法來解決幾何問題中的參數限製。例如，在解決“直綫與圓錐麯綫相交且滿足特定條件”這類問題時，書中提供的方法，能夠幫助我快速確定參數的取值範圍，避免瞭繁瑣的分類討論。雖然我本次的目標是解析幾何，但書中關於代數式的化簡、恒等變形以及不等式求解的內容，對於我準確求解韋達定理中的錶達式，以及判斷交點坐標的性質，都起到瞭至關重要的作用。感覺這本書就像一座橋梁，連接瞭代數和幾何，讓我看到瞭解決問題的全新視角。

評分☆☆☆☆☆

代數變形！專題講座！一切全搞定！值得學生老師都擁有！

評分☆☆☆☆☆

經典書籍，排版喜歡，留著慢慢做吧。

評分☆☆☆☆☆

參考文獻

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評分☆☆☆☆☆

價格優惠，質量不錯。

評分☆☆☆☆☆

兒時是多麼喜歡奧數，那時做奧數題是給自己提高思維敏捷，而現在的奧數功利性太強，為現在的孩子悲哀，記得那時候一本書奧數書裏的幻方，就讓我非常著迷

評分☆☆☆☆☆

高中數學競賽專題講座：染色與染色方法

評分☆☆☆☆☆

習題精選3

評分☆☆☆☆☆

不錯不錯，價廉物美，值得購買