代數無關性引論 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

硃堯辰 著

圖書標籤:

• 代數
• 代數無關性
• 域論
• 代數結構
• 抽象代數
• 數學
• 高等代數
• 數論
• 代數幾何
• 模型論

齣版社： 中國科學技術大學齣版社

ISBN：9787312022241

版次：1

商品編碼：10339403

包裝：平裝

叢書名： 當代科學技術基礎理論與前沿問題研究叢書

開本：16開

齣版時間：2009-01-01

用紙：膠版紙

頁數：319

字數：340000

正文語種：中文

編輯推薦

　　 本書共分6章。第1章研究Liouville數（以及代數係數缺項級數、三角級數等的值和某些廣義Mahler級數等）的代數無關性，給齣一些常用的逼近（和初等）方法。第2，3，4章論述Nesterenko方法，包括該方法的代數基礎，對一類代數微分方程解的零點重數估計的應用，並著重研究Ramanujan函數的值的代數無關性質（定性和定量結果）。第5章研究某些Mahler函數在C（z）上的代數無關性以及它們的值在Q上的代數無關性，包括經典方法和Nesterenko方法的應用。第6章證明Philippon代數無關性判彆法則。除第2，3，4章是一個整體，第5章後半部分依賴於第2章外，第1章、第6章及第5章前半部分相對獨立。每章最後一節“補充與評注”，是對正文一些論題的引申，以便讀者查閱進一步的文獻，進入某些前沿性課題。除第4章外，其餘各章都有一個附錄，包含瞭與該章有關的某些材料，初學者可以暫時略去。

內容簡介

　　 本書著重講述數論中代數無關性理論的一些重要結果，包括Nesterenko方法及其對於Ramenujan函數和Mahler函數的應用、零點重數估計、π和eπ的代數無關性、Philippon代數無關性判彆法則等；還給齣Liouville數、廣義Mahler級數以及代數係數缺項級數、三角級數和Mahler函數的值的代數無關性結果與相關的逼近方法和其他經典方法。
本書適閤大學數學係高年級學生、研究生及有關科研人員閱讀。

目錄

總序
前言
主要符號錶
第1章 Liouville數的代數無關性
1.1 代數無關的Liouville數組
1.2 φLiouvme數
1.3 某些快速收斂數列的極限的代數無關性
1.4 代數係數缺項級數值的代數無關性
1.5 廣義Mahler級數值的代數無關性
1.6 某些三角級數值的代數無關性
1.7 補充與評注
附錄1 Nishioka不等式
第2章 Nesterenko方法的代數基礎
2.1 Chow形式與理想的特徵量
2.2 多項式與素理想的Chow形式的“結式
2.3 理想的零點
2.4 補充與評注
附錄2 關於L消元理想
第3章 代數微分方程的解的重數估計
3.1 D性質
3.2 零點重數定理
3.3 Ramanujan函數的重數估計
3.4 補充與評注
附錄3 素理想的特徵函數的上界估計
第4章 Ramanu／ian函數值的代數無關性
4.1 基本結果的敘述
4.2 輔助多項式的構造
4.3 定理1和定理2的證明
4.4 定理3的證明
4.5 π，eπ和11（1／4）的代數無關性的直接證明
4.6 補充與評注
第5章 Mahler函數值的代數無關性
5.1 一類Mahler函數的代數無關性
5.2 某些Mahler函數在代數點上的值的代數無關性
5.3 一類Mahler函數的零點重數估計定理
5.4 某些Mahler函數值的代數無關性度量
5.5 補充與評注
附錄4 綫性遞推序列
第6章 Geifond超越性判彆法則的多變量推廣
6.1 代數預備
6.2 多項式理想的度量性質
6.3 Philippon代數無關性判彆法則
6.4 Nesterenko定理的另一個證明
6.5 補充與評注
附錄5 U消元理想與局部度量
參考文獻
索引

精彩書摘

第1章 Liouville數的代數無關性
一個復數若不是代數數，亦即它不是任何非零多項式P∈z〔z〕的根，則稱為超越數。如果s個復數滿足某個非零多項式P∈z 〔z1，…，zs〕，則稱它們（在Q E）代數相關，否則稱（在Q上）代數無關。因此，一般說來，超越性和代數無關性的證明是通過反證法實現的，並且代數數及整係數多項式的基本性質是重要的輔助工具。
最早發現的超越數的具體例子是藉助於丟番圖逼近論中的Liouville定理構造的，這是一類重要的超越數即Liouville數。本章將研究它們的代數無關性。我們首先應用較直接的推理構造一些代數無關的Liouville數組，並利用一些逼近結果建立某些函數在Liouville數上的值的代數無關性，然後在這些實例的基礎上給齣基於快速收斂逼近序列的數的代數無關性判彆法則，最後給齣這個法則的一些應用，其中特彆研究瞭代數係數缺項級數值的代數無關性，它們是上述Liouville數組相應結果的自然推廣。
本章具有引論性質，通過本章將可初步領略代數無關性證明的某些特徵。

前言/序言

　　大學最重要的功能是嚮社會輸送人纔。大學對於一個國傢、民族乃至世界的重要性和貢獻度，很大程度上是通過畢業生在社會各領域所取得的成就來體現的。
　　中國科學技術大學建校隻有短短的五十年，之所以迅速成為享有較高國際聲譽的著名大學之一，主要就是因為她培養齣瞭一大批德纔兼備的優秀畢業生。他們誌嚮高遠、基礎紮實、綜閤素質高、創新能力強，在國內外科技、經濟、教育等領域做齣瞭傑齣的貢獻，為中國科大贏得瞭“科技英纔的搖籃”的美譽。
　　2008年9月，鬍錦濤總書記為中國科大建校五十周年發來賀信，信中稱贊說：半個世紀以來，中國科學技術大學依托中國科學院，按照全院辦校、所係結閤的方針，弘揚紅專並進、理實交融的校風，努力推進教學和科研工作的改革創新，為黨和國傢培養瞭一大批科技人纔，取得瞭一係列具有世界先進水平的原創性科技成果，為推動我國科教事業發展和社會主義現代化建設做齣瞭重要貢獻。
　　據統計，中國科大迄今已畢業的5萬人中，已有42人當選中國科學院和中國工程院院士，是同期（自1963年以來）畢業生中當選院士數最多的高校之一。其中，本科畢業生中平均每1000人就産生1名院士和七百多名碩士、博士，比例位居全國高校之首。還有眾多的中青年纔俊成為我國科技、企業、教育等領域的領軍人物和骨乾。在曆年評選的“中國青年五四奬章”獲得者中，作為科技界、科技創新型企業界青年纔俊代錶，科大畢業生已連續多年榜上有名，獲奬總人數位居全國高校前列。

現代密碼學中的橢圓麯綫理論與應用 圖書簡介 本書旨在為密碼學研究者、信息安全專業人士以及高等數學專業的學生提供一本深入淺齣、內容詳實的關於橢圓麯綫理論及其在現代密碼學中應用的權威性著作。本書的核心目標是建立一個堅實的數學基礎，使讀者能夠透徹理解橢圓麯綫離散對數問題（ECDLP）的復雜性，並掌握如何構建和分析基於橢圓麯綫的加密係統。 全書共分為七個主要部分，邏輯清晰，層層遞進，力求覆蓋從基礎數論到前沿密碼協議的完整知識體係。 --- 第一部分：基礎代數與域論迴顧 本部分作為後續復雜結構搭建的基石，首先對讀者進行瞭必要的數學預備知識的梳理。我們不會停留在初級迴顧，而是聚焦於密碼學應用中至關重要的抽象代數結構。 1.1 域（Fields）的構造與性質 詳細探討瞭有限域 $mathbb{F}_p$ (素數域) 和 $mathbb{F}_{p^m}$ (伽羅瓦域) 的構造原理，特彆是如何利用不可約多項式在 $mathbb{F}_p$ 上擴域。重點分析瞭域的乘法群的循環性質，及其在有限域上進行高效算術運算的必要性。 1.2 模運算與二次剩餘 深入討論瞭勒讓德符號和雅可比符號，這是理解二次麯綫上點的構造的前提。詳細闡述瞭模冪運算的效率優化，如使用定點算法（Fixed-Base Exponentiation）和窗口算法（Window Method）。 1.3 抽象群論的視角 將橢圓麯綫點集視為一個交換群，詳細定義瞭群的單位元、逆元和群的階。這為理解橢圓麯綫上的加法運算的幾何和代數定義奠定瞭抽象框架。 --- 第二部分：橢圓麯綫的幾何定義與代數結構 本部分是全書的核心之一，專注於定義橢圓麯綫本身，並建立其代數群結構。 2.1 橢圓麯綫的定義：維爾斯特拉斯方程 詳細介紹瞭域 $K$ 上的橢圓麯綫 $E$ 的標準維爾斯特拉斯方程 $y^2 = x^3 + Ax + B$，並嚴格給齣瞭非奇異性的條件（判彆式 $Delta eq 0$）。我們區分瞭特徵不為 2 或 3 的域（如 $mathbb{R}, mathbb{C}, mathbb{F}_p$）與特徵為 2 或 3 的域上定義的麯綫，探討瞭這些不同情況下方程形式的簡化。 2.2 幾何加法法則的推導 本書花費大量篇幅，通過嚴謹的幾何推導，闡述瞭橢圓麯綫上的點加法（點與點的連綫交第三點再關於 $x$ 軸反射）和點倍加（切綫法）的代數公式。我們提供瞭 $P+Q$ 和 $2P$ 的精確坐標計算公式，並分析瞭計算中可能齣現的除零情況（例如，當 $x_P = x_Q$ 且 $P eq -Q$ 時）。 2.3 無窮遠點與群的完備性 引入無窮遠點 $O$ 作為群的單位元，並證明瞭橢圓麯綫上的點集確實構成一個阿貝爾群。這部分包含瞭對黎曼–羅奇定理在代數幾何語境下的一種簡化理解，以確立該群結構的完備性。 --- 第三部分：有限域上的橢圓麯綫 密碼學應用幾乎完全依賴於在有限域上定義的橢圓麯綫。本部分詳細探討瞭這些麯綫的特性。 3.1 素數域 $mathbb{F}_p$ 上的麯綫 在 $mathbb{F}_p$ 上構造橢圓麯綫 $E(mathbb{F}_p)$。關鍵在於計算該麯綫上的點數 $N = |E(mathbb{F}_p)|$，這通過哈斯（Hasse）定理提供瞭 $N$ 的精確界限。我們詳細介紹瞭 Schoof 算法及其改進版本在精確計算點數上的重要性，以及該計算在密碼係統選擇中的作用。 3.2 伽羅瓦域 $mathbb{F}_{2^m}$ 上的麯綫 介紹瞭在特徵為 2 的域上定義的簡化的短 Weierstrass 形式，以及如何選擇閤適的基和最小多項式。這對於需要高效率二進製運算的硬件實現至關重要。 3.3 麯綫的嵌入度（Embedding Degree） 深入分析瞭嵌入度 $k$，即麯綫群的階 $n$ 相對於域階 $q$ 的關係 ($n mid q^k - 1$)。高嵌入度是保證抵抗流形攻擊（Maniacs Attack）和索引演算攻擊（Index Calculus Attack）的關鍵參數，本書對 $k$ 的選擇原則進行瞭詳盡的論述。 --- 第四部分：高效的群運算算法 橢圓麯綫密碼學（ECC）的實用性高度依賴於快速計算大整數倍點 $kP$。 4.1 標量乘法的基本方法 詳細對比瞭“加法鏈”方法（如加倍-加法算法，Double-and-Add）和基於窗口的方法（如固定窗口法和滑動窗口法）。特彆關注瞭如何通過預計算中間點來加速計算。 4.2 抵抗側信道攻擊的算法 側信道攻擊（Side-Channel Attacks）是 ECC 實現中的重大威脅。本書重點介紹瞭雅可比坐標係的應用以避免模逆運算，以及“隨機化技巧”（如 $k = r_1 + r_2 cdot n$ 形式的分解）在抵抗計時攻擊中的作用。 4.3 雅可比坐標係與高效加法 詳盡推導瞭在雅可比坐標係下進行點加法和點倍加的公式，這些公式避免瞭昂貴的模逆運算，僅在最終需要轉換迴仿射坐標時纔執行一次模逆，從而顯著提升瞭性能。 --- 第五部分：橢圓麯綫離散對數問題（ECDLP）及其安全性 本部分闡述瞭 ECC 的安全性基礎——ECDLP 的睏難性。 5.1 ECDLP 的定義與睏難性假設 明確定義瞭在橢圓麯綫群上求解標量 $k$ 的難度，並將其與經典的有限域離散對數問題（DLP）進行瞭對比。 5.2 攻擊算法綜述 係統性地介紹瞭針對 ECDLP 的主要攻擊算法： 指數時間攻擊： 包括 Pollard's Rho 算法和 Baby-Step Giant-Step 算法。本書詳細推導瞭這兩種算法在橢圓麯綫群上的具體實現和復雜度分析。 亞指數時間攻擊： 重點討論瞭適用於有限域 DLP 的索引演算（Index Calculus）算法在 ECC 上的失敗，並解釋瞭為什麼 ECC 具有更高的漸近安全性。 5.3 異常麯綫與安全漏洞 深入分析瞭“脆弱麯綫”（Supersingular Curves）和具有高嵌入度麯綫（如 BCF 麯綫族）所麵臨的特定威脅，例如，如何利用 Weil 配對或 Tate 配對，以及如何通過 MOV 攻擊（或其變體）將 ECDLP 轉化為 DLP 並在小域上求解。 --- 第六部分：橢圓麯綫配對（Pairings）理論與應用 橢圓麯綫配對是實現許多前沿密碼協議（如身份基加密、代理重加密）的關鍵工具。 6.1 配對的數學基礎 詳細介紹瞭 Weil 配對和 Tate 配對的定義，它們是將橢圓麯綫上的點映射到基域（或擴張域）的乘法群元素的雙綫性映射。本書重點闡述瞭它們如何依賴於麯綫的嵌入度 $k$。 6.2 配對的計算：高效算法 專注於介紹如何高效地計算配對，特彆是利用 Miller 算法，這是實際應用中計算配對的主要方法。詳細展示瞭 Miller 算法的迭代過程及其在計算 Weil/Tate 配對中的應用。 6.3 基於配對的密碼學原語 闡述瞭如何利用配對的性質構建安全的密碼協議，包括： 身份基簽名方案（IBS） 盲簽名 代理重加密（PRE）的基本構造 --- 第七部分：主流 ECC 密碼係統與標準 本部分將理論知識轉化為實踐應用，介紹當前國際標準中使用的麯綫和協議。 7.1 NIST 標準麯綫分析 詳細分析瞭美國國傢標準與技術研究院（NIST）推薦的五條 FIPS 186-4 推薦麯綫（P-256, P-384, P-521 等），包括它們的構造方法、素數 $p$ 的選擇，以及它們如何滿足安全性和效率的平衡。 7.2 橢圓麯綫數字簽名算法（ECDSA） 全麵解析瞭 ECDSA 的簽名生成和驗證過程，並將其與 RSA 簽名進行瞭深入的對比。特彆強調瞭隨機數 $k$ 選擇的安全性（若 $k$ 可預測，整個係統會崩潰）。 7.3 橢圓麯綫公鑰加密方案（ECCIES） 介紹瞭基於橢圓麯綫的伊恩·戈德菲（ElGamal）加密方案的變體——ECCIES，以及它如何通過 KDF（密鑰導齣函數）和 MAC（消息認證碼）確保語義安全和認證。 --- 目標讀者與本書特色 本書特色在於其嚴謹的數學推導與密碼學應用的緊密結閤。它不僅是理解 ECC 原理的教科書，也是一本深入研究 橢圓麯綫結構與代數數論交叉領域 的參考手冊。本書假定讀者具備紮實的抽象代數和初等數論背景，能夠接受高強度的數學論證。全書結閤瞭大量的示例、算法僞代碼和計算證明，旨在幫助讀者跨越從理論到實現的鴻溝，構建下一代安全係統的堅實基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的厚度和它所傳遞齣的信息量，讓我覺得它絕非一本輕鬆的讀物，而是需要投入大量時間和精力去消化的。當我翻開它時，首先映入眼簾的是那種非常“學術”的排版，大量的公式和符號，以及相對緊湊的文字密度，都讓我明白這需要一定的數學基礎纔能更好地閱讀。 我對“代數無關性”這個概念感到非常新奇，因為我之前接觸到的更多是代數的具體應用，例如在方程求解、幾何變換等方麵，而“無關性”似乎指嚮瞭一種更基礎、更抽象的層麵，是對代數結構本身性質的探討。這激起瞭我想要去瞭解，究竟是什麼樣的“無關性”，以及這種無關性是如何被定義和研究的。 在我初步瀏覽的過程中，我留意到書中使用瞭許多數學上的專業術語，這些術語的運用顯然非常精確，也暗示瞭其背後嚴謹的數學理論支撐。雖然我可能無法完全理解每一個推導過程，但我能感受到作者在構建整個理論框架時所付齣的巨大努力和深厚的功底。 這本書給我的感覺是，它更像是一扇通往某個特定數學領域的門。想要真正掌握其中的精髓，可能需要一定的學習麯綫，需要我去迴顧和補充一些相關的數學知識。但正是這種挑戰性，讓我覺得它更加珍貴。 我希望通過閱讀這本書，能夠對代數世界的某些底層邏輯有更深刻的認識，能夠跳齣具體的例子，去理解那些更加普適的數學原理。這對於提升我的數學思維能力，甚至對其他科學領域的學習，都可能産生積極的影響。

評分☆☆☆☆☆

這本《代數無關性引論》給我的第一印象是，它仿佛是一位經驗豐富的嚮導，正帶領我進入一個我 hitherto（迄今為止）從未涉足過的奇妙數學領域。書的裝幀設計，雖然沒有過多的華麗裝飾，但那種沉穩而內斂的風格，恰恰傳遞齣一種學術上的可靠性和權威感。 我對“代數無關性”這個概念感到非常著迷，它在我的腦海中勾勒齣一幅畫麵：在紛繁復雜的代數結構中，存在著一些“獨立”的、不被彼此“影響”的基本元素，它們構成瞭整個結構的骨架。這種“無關性”聽起來是一種非常重要的屬性，或許能夠解釋很多代數現象的本質。 我隨意翻閱瞭幾頁，發現書中引用的文獻和參考文獻列錶相當詳盡，這錶明作者的研究是基於紮實的學術基礎，並且與相關的數學領域有著緊密的聯係。這種嚴謹的治學態度，讓我對這本書的內容充滿瞭信心。 雖然我還沒有深入閱讀，但僅從書名和初步的瀏覽來看，這本書很可能涉及到瞭代數拓撲、同調代數等高級數學領域，甚至可能與一些抽象代數和數論的概念有所關聯。我期待它能夠幫助我建立起對這些領域更清晰的認知。 總而言之，這本書讓我感受到一種智識上的召喚，一種去探索數學深層結構、理解其內在規律的衝動。我預感，這將會是一次充滿挑戰但極其有益的學習旅程。

評分☆☆☆☆☆

我最近在書店裏偶遇瞭這本書，當時我正在尋找一本能夠拓展我思維邊界、挑戰我固有認知界限的書籍。這本書的書名“代數無關性引論”瞬間吸引瞭我的注意，它似乎預示著一種非傳統的數學視角，一種能夠超越具體代數結構的普適性原理。我拿起它，仔細端詳，書的封麵上那種簡潔而富有深度的設計，也符閤我對於一本嚴肅學術書籍的期待。 購買這本書的決定，更多是齣於一種好奇心驅使。我對“無關性”這個詞的解讀非常廣泛，它可以是數學上的綫性無關，也可以是信息論中的信息冗餘，亦或是哲學上的某種獨立性。這本書的名字恰好觸及瞭我對這些不同領域交叉點的興趣，讓我遐想，它是否能夠提供一個統一的視角來理解這些看似分散的概念。 在翻閱的過程中，我注意到這本書的語言風格似乎非常嚴謹，但又力求清晰易懂，這對於一本介紹“引論”性質的書籍來說是非常難得的。一些初步的章節內容，雖然我還沒有深入理解，但已經能夠感受到其中所蘊含的深刻思想和嚴密的邏輯推理。 我覺得這本書的價值在於，它可能會提供一種全新的思考工具，幫助我從更宏觀、更抽象的層麵去理解代數結構以及它們之間的關係。很多時候，我們過於關注事物的具體錶現形式，而忽略瞭它們背後可能存在的更深層次的共性。我期待這本書能夠幫助我打破這種局限。 整體來說，這本書給我的感覺是，它不僅僅是一本關於代數的書籍，更可能是一本關於思維方式的書，一本能夠引導讀者進行更高級抽象思考的書。我對它充滿瞭期待，希望它能為我的學術研究和個人成長帶來新的啓發。

評分☆☆☆☆☆

翻開這本書，一股濃鬱的學術氣息撲麵而來。封麵設計簡潔而富有哲理，沒有過多花哨的圖案，卻傳遞齣一種嚴謹、深邃的感覺。我拿到的是一本平裝本，但紙張的質感齣奇地好，書頁的邊緣處理得非常規整，拿在手裏有一種沉甸甸的、值得信賴的感覺。 我被“代數無關性”這個詞組深深吸引。它似乎預示著一種對代數領域深層結構的探索，一種試圖揭示事物本質、尋找普遍規律的努力。在我的認知中，代數常常與具體的問題求解聯係在一起，而“無關性”這個詞，則讓我聯想到更加抽象、更加底層的數學原理。 書中使用的字體和排版都非常符閤學術書籍的標準，既保證瞭信息量的有效傳達，又盡可能地降低瞭閱讀的疲勞感。盡管我還未深入研讀，但瞥見的章節標題和一些關鍵術語，已經讓我感受到瞭作者在梳理和構建這個知識體係時的用心。 我對這本書的期望很高，因為它可能提供一種全新的視角來審視代數世界。我希望它能夠幫助我理解，在那些看似復雜的代數結構中，究竟存在著哪些不依賴於具體形式、卻又決定其本質的“無關”屬性。 總的來說，這本書給我留下的第一印象是其專業性、嚴謹性和探索性。它就像一個邀請函，邀請我去探索代數領域中那個更加本質、更加普遍的層麵，去發現那些隱藏在錶象之下的深刻聯係。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計著實吸引瞭我，那種深邃的藍色調，搭配著一種非常抽象但又似乎蘊含著某種秩序的幾何圖形，立刻就讓我産生瞭想要一探究竟的衝動。拿到手裏，紙張的質感也相當不錯，厚實而略帶啞光，翻閱時不會有廉價的熒光感。我拿到的是一個精裝版本，裝幀工藝也十分考究，每一頁的裁剪都非常整齊，即使是反復翻閱，也不會輕易齣現書頁鬆散的情況。 我一直對那些能夠揭示事物背後隱藏規律的書籍抱有極大的興趣，而“代數無關性引論”這個名字，本身就帶有一種探索未知、發現普適性規則的神秘感。我在購買前，特意在網上搜集瞭一些關於這本書的零散信息，雖然內容不多，但“代數”、“無關性”這些詞匯，讓我聯想到瞭一些數學領域的前沿概念，比如那些試圖在看似雜亂無章的數據中尋找本質聯係的理論。 這本書的排版也值得稱贊，字體大小適中，行間距也恰到好處，閱讀起來非常舒適，即便長時間閱讀也不會感到眼睛疲勞。我尤其喜歡它在章節劃分上的邏輯性，每個章節的標題都精準地概括瞭該部分的核心內容，讓我能夠快速定位自己感興趣的部分，或者在學習過程中清晰地把握知識的脈絡。 拿到書之後，我並沒有急於立刻深入閱讀，而是先粗略地翻閱瞭一下目錄和前言。目錄的設計很直觀，讓我對整本書的知識體係有瞭一個初步的瞭解，而前言則為我勾勒齣瞭作者的寫作意圖和本書的宏觀目標，這對於我理解後續內容非常有幫助。 總而言之，從拿到這本書的那一刻起，它就給我留下瞭一個深刻而美好的第一印象。無論是其精緻的外觀，還是其內在的專業性和嚴謹性，都預示著這是一本值得細細品讀、反復琢磨的佳作。我迫不及待地想投入到這本書所構建的知識世界中去，去探索那隱藏在代數之下的無關性奧秘。