代数无关性引论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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朱尧辰 著

图书标签:

• 代数
• 代数无关性
• 域论
• 代数结构
• 抽象代数
• 数学
• 高等代数
• 数论
• 代数几何
• 模型论

出版社： 中国科学技术大学出版社

ISBN：9787312022241

版次：1

商品编码：10339403

包装：平装

丛书名： 当代科学技术基础理论与前沿问题研究丛书

开本：16开

出版时间：2009-01-01

用纸：胶版纸

页数：319

字数：340000

正文语种：中文

编辑推荐

　　 本书共分6章。第1章研究Liouville数（以及代数系数缺项级数、三角级数等的值和某些广义Mahler级数等）的代数无关性，给出一些常用的逼近（和初等）方法。第2，3，4章论述Nesterenko方法，包括该方法的代数基础，对一类代数微分方程解的零点重数估计的应用，并着重研究Ramanujan函数的值的代数无关性质（定性和定量结果）。第5章研究某些Mahler函数在C（z）上的代数无关性以及它们的值在Q上的代数无关性，包括经典方法和Nesterenko方法的应用。第6章证明Philippon代数无关性判别法则。除第2，3，4章是一个整体，第5章后半部分依赖于第2章外，第1章、第6章及第5章前半部分相对独立。每章最后一节“补充与评注”，是对正文一些论题的引申，以便读者查阅进一步的文献，进入某些前沿性课题。除第4章外，其余各章都有一个附录，包含了与该章有关的某些材料，初学者可以暂时略去。

内容简介

　　 本书着重讲述数论中代数无关性理论的一些重要结果，包括Nesterenko方法及其对于Ramenujan函数和Mahler函数的应用、零点重数估计、π和eπ的代数无关性、Philippon代数无关性判别法则等；还给出Liouville数、广义Mahler级数以及代数系数缺项级数、三角级数和Mahler函数的值的代数无关性结果与相关的逼近方法和其他经典方法。
本书适合大学数学系高年级学生、研究生及有关科研人员阅读。

目录

总序
前言
主要符号表
第1章 Liouville数的代数无关性
1.1 代数无关的Liouville数组
1.2 φLiouvme数
1.3 某些快速收敛数列的极限的代数无关性
1.4 代数系数缺项级数值的代数无关性
1.5 广义Mahler级数值的代数无关性
1.6 某些三角级数值的代数无关性
1.7 补充与评注
附录1 Nishioka不等式
第2章 Nesterenko方法的代数基础
2.1 Chow形式与理想的特征量
2.2 多项式与素理想的Chow形式的“结式
2.3 理想的零点
2.4 补充与评注
附录2 关于L消元理想
第3章 代数微分方程的解的重数估计
3.1 D性质
3.2 零点重数定理
3.3 Ramanujan函数的重数估计
3.4 补充与评注
附录3 素理想的特征函数的上界估计
第4章 Ramanu／ian函数值的代数无关性
4.1 基本结果的叙述
4.2 辅助多项式的构造
4.3 定理1和定理2的证明
4.4 定理3的证明
4.5 π，eπ和11（1／4）的代数无关性的直接证明
4.6 补充与评注
第5章 Mahler函数值的代数无关性
5.1 一类Mahler函数的代数无关性
5.2 某些Mahler函数在代数点上的值的代数无关性
5.3 一类Mahler函数的零点重数估计定理
5.4 某些Mahler函数值的代数无关性度量
5.5 补充与评注
附录4 线性递推序列
第6章 Geifond超越性判别法则的多变量推广
6.1 代数预备
6.2 多项式理想的度量性质
6.3 Philippon代数无关性判别法则
6.4 Nesterenko定理的另一个证明
6.5 补充与评注
附录5 U消元理想与局部度量
参考文献
索引

精彩书摘

第1章 Liouville数的代数无关性
一个复数若不是代数数，亦即它不是任何非零多项式P∈z〔z〕的根，则称为超越数。如果s个复数满足某个非零多项式P∈z 〔z1，…，zs〕，则称它们（在Q E）代数相关，否则称（在Q上）代数无关。因此，一般说来，超越性和代数无关性的证明是通过反证法实现的，并且代数数及整系数多项式的基本性质是重要的辅助工具。
最早发现的超越数的具体例子是借助于丢番图逼近论中的Liouville定理构造的，这是一类重要的超越数即Liouville数。本章将研究它们的代数无关性。我们首先应用较直接的推理构造一些代数无关的Liouville数组，并利用一些逼近结果建立某些函数在Liouville数上的值的代数无关性，然后在这些实例的基础上给出基于快速收敛逼近序列的数的代数无关性判别法则，最后给出这个法则的一些应用，其中特别研究了代数系数缺项级数值的代数无关性，它们是上述Liouville数组相应结果的自然推广。
本章具有引论性质，通过本章将可初步领略代数无关性证明的某些特征。

前言/序言

　　大学最重要的功能是向社会输送人才。大学对于一个国家、民族乃至世界的重要性和贡献度，很大程度上是通过毕业生在社会各领域所取得的成就来体现的。
　　中国科学技术大学建校只有短短的五十年，之所以迅速成为享有较高国际声誉的著名大学之一，主要就是因为她培养出了一大批德才兼备的优秀毕业生。他们志向高远、基础扎实、综合素质高、创新能力强，在国内外科技、经济、教育等领域做出了杰出的贡献，为中国科大赢得了“科技英才的摇篮”的美誉。
　　2008年9月，胡锦涛总书记为中国科大建校五十周年发来贺信，信中称赞说：半个世纪以来，中国科学技术大学依托中国科学院，按照全院办校、所系结合的方针，弘扬红专并进、理实交融的校风，努力推进教学和科研工作的改革创新，为党和国家培养了一大批科技人才，取得了一系列具有世界先进水平的原创性科技成果，为推动我国科教事业发展和社会主义现代化建设做出了重要贡献。
　　据统计，中国科大迄今已毕业的5万人中，已有42人当选中国科学院和中国工程院院士，是同期（自1963年以来）毕业生中当选院士数最多的高校之一。其中，本科毕业生中平均每1000人就产生1名院士和七百多名硕士、博士，比例位居全国高校之首。还有众多的中青年才俊成为我国科技、企业、教育等领域的领军人物和骨干。在历年评选的“中国青年五四奖章”获得者中，作为科技界、科技创新型企业界青年才俊代表，科大毕业生已连续多年榜上有名，获奖总人数位居全国高校前列。

现代密码学中的椭圆曲线理论与应用 图书简介 本书旨在为密码学研究者、信息安全专业人士以及高等数学专业的学生提供一本深入浅出、内容详实的关于椭圆曲线理论及其在现代密码学中应用的权威性著作。本书的核心目标是建立一个坚实的数学基础，使读者能够透彻理解椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的复杂性，并掌握如何构建和分析基于椭圆曲线的加密系统。 全书共分为七个主要部分，逻辑清晰，层层递进，力求覆盖从基础数论到前沿密码协议的完整知识体系。 --- 第一部分：基础代数与域论回顾 本部分作为后续复杂结构搭建的基石，首先对读者进行了必要的数学预备知识的梳理。我们不会停留在初级回顾，而是聚焦于密码学应用中至关重要的抽象代数结构。 1.1 域（Fields）的构造与性质 详细探讨了有限域 $mathbb{F}_p$ (素数域) 和 $mathbb{F}_{p^m}$ (伽罗瓦域) 的构造原理，特别是如何利用不可约多项式在 $mathbb{F}_p$ 上扩域。重点分析了域的乘法群的循环性质，及其在有限域上进行高效算术运算的必要性。 1.2 模运算与二次剩余 深入讨论了勒让德符号和雅可比符号，这是理解二次曲线上点的构造的前提。详细阐述了模幂运算的效率优化，如使用定点算法（Fixed-Base Exponentiation）和窗口算法（Window Method）。 1.3 抽象群论的视角 将椭圆曲线点集视为一个交换群，详细定义了群的单位元、逆元和群的阶。这为理解椭圆曲线上的加法运算的几何和代数定义奠定了抽象框架。 --- 第二部分：椭圆曲线的几何定义与代数结构 本部分是全书的核心之一，专注于定义椭圆曲线本身，并建立其代数群结构。 2.1 椭圆曲线的定义：维尔斯特拉斯方程 详细介绍了域 $K$ 上的椭圆曲线 $E$ 的标准维尔斯特拉斯方程 $y^2 = x^3 + Ax + B$，并严格给出了非奇异性的条件（判别式 $Delta eq 0$）。我们区分了特征不为 2 或 3 的域（如 $mathbb{R}, mathbb{C}, mathbb{F}_p$）与特征为 2 或 3 的域上定义的曲线，探讨了这些不同情况下方程形式的简化。 2.2 几何加法法则的推导 本书花费大量篇幅，通过严谨的几何推导，阐述了椭圆曲线上的点加法（点与点的连线交第三点再关于 $x$ 轴反射）和点倍加（切线法）的代数公式。我们提供了 $P+Q$ 和 $2P$ 的精确坐标计算公式，并分析了计算中可能出现的除零情况（例如，当 $x_P = x_Q$ 且 $P eq -Q$ 时）。 2.3 无穷远点与群的完备性 引入无穷远点 $O$ 作为群的单位元，并证明了椭圆曲线上的点集确实构成一个阿贝尔群。这部分包含了对黎曼–罗奇定理在代数几何语境下的一种简化理解，以确立该群结构的完备性。 --- 第三部分：有限域上的椭圆曲线 密码学应用几乎完全依赖于在有限域上定义的椭圆曲线。本部分详细探讨了这些曲线的特性。 3.1 素数域 $mathbb{F}_p$ 上的曲线 在 $mathbb{F}_p$ 上构造椭圆曲线 $E(mathbb{F}_p)$。关键在于计算该曲线上的点数 $N = |E(mathbb{F}_p)|$，这通过哈斯（Hasse）定理提供了 $N$ 的精确界限。我们详细介绍了 Schoof 算法及其改进版本在精确计算点数上的重要性，以及该计算在密码系统选择中的作用。 3.2 伽罗瓦域 $mathbb{F}_{2^m}$ 上的曲线 介绍了在特征为 2 的域上定义的简化的短 Weierstrass 形式，以及如何选择合适的基和最小多项式。这对于需要高效率二进制运算的硬件实现至关重要。 3.3 曲线的嵌入度（Embedding Degree） 深入分析了嵌入度 $k$，即曲线群的阶 $n$ 相对于域阶 $q$ 的关系 ($n mid q^k - 1$)。高嵌入度是保证抵抗流形攻击（Maniacs Attack）和索引演算攻击（Index Calculus Attack）的关键参数，本书对 $k$ 的选择原则进行了详尽的论述。 --- 第四部分：高效的群运算算法 椭圆曲线密码学（ECC）的实用性高度依赖于快速计算大整数倍点 $kP$。 4.1 标量乘法的基本方法 详细对比了“加法链”方法（如加倍-加法算法，Double-and-Add）和基于窗口的方法（如固定窗口法和滑动窗口法）。特别关注了如何通过预计算中间点来加速计算。 4.2 抵抗侧信道攻击的算法 侧信道攻击（Side-Channel Attacks）是 ECC 实现中的重大威胁。本书重点介绍了雅可比坐标系的应用以避免模逆运算，以及“随机化技巧”（如 $k = r_1 + r_2 cdot n$ 形式的分解）在抵抗计时攻击中的作用。 4.3 雅可比坐标系与高效加法 详尽推导了在雅可比坐标系下进行点加法和点倍加的公式，这些公式避免了昂贵的模逆运算，仅在最终需要转换回仿射坐标时才执行一次模逆，从而显著提升了性能。 --- 第五部分：椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）及其安全性 本部分阐述了 ECC 的安全性基础——ECDLP 的困难性。 5.1 ECDLP 的定义与困难性假设 明确定义了在椭圆曲线群上求解标量 $k$ 的难度，并将其与经典的有限域离散对数问题（DLP）进行了对比。 5.2 攻击算法综述 系统性地介绍了针对 ECDLP 的主要攻击算法： 指数时间攻击： 包括 Pollard's Rho 算法和 Baby-Step Giant-Step 算法。本书详细推导了这两种算法在椭圆曲线群上的具体实现和复杂度分析。 亚指数时间攻击： 重点讨论了适用于有限域 DLP 的索引演算（Index Calculus）算法在 ECC 上的失败，并解释了为什么 ECC 具有更高的渐近安全性。 5.3 异常曲线与安全漏洞 深入分析了“脆弱曲线”（Supersingular Curves）和具有高嵌入度曲线（如 BCF 曲线族）所面临的特定威胁，例如，如何利用 Weil 配对或 Tate 配对，以及如何通过 MOV 攻击（或其变体）将 ECDLP 转化为 DLP 并在小域上求解。 --- 第六部分：椭圆曲线配对（Pairings）理论与应用 椭圆曲线配对是实现许多前沿密码协议（如身份基加密、代理重加密）的关键工具。 6.1 配对的数学基础 详细介绍了 Weil 配对和 Tate 配对的定义，它们是将椭圆曲线上的点映射到基域（或扩张域）的乘法群元素的双线性映射。本书重点阐述了它们如何依赖于曲线的嵌入度 $k$。 6.2 配对的计算：高效算法 专注于介绍如何高效地计算配对，特别是利用 Miller 算法，这是实际应用中计算配对的主要方法。详细展示了 Miller 算法的迭代过程及其在计算 Weil/Tate 配对中的应用。 6.3 基于配对的密码学原语 阐述了如何利用配对的性质构建安全的密码协议，包括： 身份基签名方案（IBS） 盲签名 代理重加密（PRE）的基本构造 --- 第七部分：主流 ECC 密码系统与标准 本部分将理论知识转化为实践应用，介绍当前国际标准中使用的曲线和协议。 7.1 NIST 标准曲线分析 详细分析了美国国家标准与技术研究院（NIST）推荐的五条 FIPS 186-4 推荐曲线（P-256, P-384, P-521 等），包括它们的构造方法、素数 $p$ 的选择，以及它们如何满足安全性和效率的平衡。 7.2 椭圆曲线数字签名算法（ECDSA） 全面解析了 ECDSA 的签名生成和验证过程，并将其与 RSA 签名进行了深入的对比。特别强调了随机数 $k$ 选择的安全性（若 $k$ 可预测，整个系统会崩溃）。 7.3 椭圆曲线公钥加密方案（ECCIES） 介绍了基于椭圆曲线的伊恩·戈德菲（ElGamal）加密方案的变体——ECCIES，以及它如何通过 KDF（密钥导出函数）和 MAC（消息认证码）确保语义安全和认证。 --- 目标读者与本书特色 本书特色在于其严谨的数学推导与密码学应用的紧密结合。它不仅是理解 ECC 原理的教科书，也是一本深入研究 椭圆曲线结构与代数数论交叉领域 的参考手册。本书假定读者具备扎实的抽象代数和初等数论背景，能够接受高强度的数学论证。全书结合了大量的示例、算法伪代码和计算证明，旨在帮助读者跨越从理论到实现的鸿沟，构建下一代安全系统的坚实基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的厚度和它所传递出的信息量，让我觉得它绝非一本轻松的读物，而是需要投入大量时间和精力去消化的。当我翻开它时，首先映入眼帘的是那种非常“学术”的排版，大量的公式和符号，以及相对紧凑的文字密度，都让我明白这需要一定的数学基础才能更好地阅读。 我对“代数无关性”这个概念感到非常新奇，因为我之前接触到的更多是代数的具体应用，例如在方程求解、几何变换等方面，而“无关性”似乎指向了一种更基础、更抽象的层面，是对代数结构本身性质的探讨。这激起了我想要去了解，究竟是什么样的“无关性”，以及这种无关性是如何被定义和研究的。 在我初步浏览的过程中，我留意到书中使用了许多数学上的专业术语，这些术语的运用显然非常精确，也暗示了其背后严谨的数学理论支撑。虽然我可能无法完全理解每一个推导过程，但我能感受到作者在构建整个理论框架时所付出的巨大努力和深厚的功底。 这本书给我的感觉是，它更像是一扇通往某个特定数学领域的门。想要真正掌握其中的精髓，可能需要一定的学习曲线，需要我去回顾和补充一些相关的数学知识。但正是这种挑战性，让我觉得它更加珍贵。 我希望通过阅读这本书，能够对代数世界的某些底层逻辑有更深刻的认识，能够跳出具体的例子，去理解那些更加普适的数学原理。这对于提升我的数学思维能力，甚至对其他科学领域的学习，都可能产生积极的影响。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计着实吸引了我，那种深邃的蓝色调，搭配着一种非常抽象但又似乎蕴含着某种秩序的几何图形，立刻就让我产生了想要一探究竟的冲动。拿到手里，纸张的质感也相当不错，厚实而略带哑光，翻阅时不会有廉价的荧光感。我拿到的是一个精装版本，装帧工艺也十分考究，每一页的裁剪都非常整齐，即使是反复翻阅，也不会轻易出现书页松散的情况。 我一直对那些能够揭示事物背后隐藏规律的书籍抱有极大的兴趣，而“代数无关性引论”这个名字，本身就带有一种探索未知、发现普适性规则的神秘感。我在购买前，特意在网上搜集了一些关于这本书的零散信息，虽然内容不多，但“代数”、“无关性”这些词汇，让我联想到了一些数学领域的前沿概念，比如那些试图在看似杂乱无章的数据中寻找本质联系的理论。 这本书的排版也值得称赞，字体大小适中，行间距也恰到好处，阅读起来非常舒适，即便长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。我尤其喜欢它在章节划分上的逻辑性，每个章节的标题都精准地概括了该部分的核心内容，让我能够快速定位自己感兴趣的部分，或者在学习过程中清晰地把握知识的脉络。 拿到书之后，我并没有急于立刻深入阅读，而是先粗略地翻阅了一下目录和前言。目录的设计很直观，让我对整本书的知识体系有了一个初步的了解，而前言则为我勾勒出了作者的写作意图和本书的宏观目标，这对于我理解后续内容非常有帮助。 总而言之，从拿到这本书的那一刻起，它就给我留下了一个深刻而美好的第一印象。无论是其精致的外观，还是其内在的专业性和严谨性，都预示着这是一本值得细细品读、反复琢磨的佳作。我迫不及待地想投入到这本书所构建的知识世界中去，去探索那隐藏在代数之下的无关性奥秘。

评分☆☆☆☆☆

我最近在书店里偶遇了这本书，当时我正在寻找一本能够拓展我思维边界、挑战我固有认知界限的书籍。这本书的书名“代数无关性引论”瞬间吸引了我的注意，它似乎预示着一种非传统的数学视角，一种能够超越具体代数结构的普适性原理。我拿起它，仔细端详，书的封面上那种简洁而富有深度的设计，也符合我对于一本严肃学术书籍的期待。 购买这本书的决定，更多是出于一种好奇心驱使。我对“无关性”这个词的解读非常广泛，它可以是数学上的线性无关，也可以是信息论中的信息冗余，亦或是哲学上的某种独立性。这本书的名字恰好触及了我对这些不同领域交叉点的兴趣，让我遐想，它是否能够提供一个统一的视角来理解这些看似分散的概念。 在翻阅的过程中，我注意到这本书的语言风格似乎非常严谨，但又力求清晰易懂，这对于一本介绍“引论”性质的书籍来说是非常难得的。一些初步的章节内容，虽然我还没有深入理解，但已经能够感受到其中所蕴含的深刻思想和严密的逻辑推理。 我觉得这本书的价值在于，它可能会提供一种全新的思考工具，帮助我从更宏观、更抽象的层面去理解代数结构以及它们之间的关系。很多时候，我们过于关注事物的具体表现形式，而忽略了它们背后可能存在的更深层次的共性。我期待这本书能够帮助我打破这种局限。 整体来说，这本书给我的感觉是，它不仅仅是一本关于代数的书籍，更可能是一本关于思维方式的书，一本能够引导读者进行更高级抽象思考的书。我对它充满了期待，希望它能为我的学术研究和个人成长带来新的启发。

评分☆☆☆☆☆

这本《代数无关性引论》给我的第一印象是，它仿佛是一位经验丰富的向导，正带领我进入一个我 hitherto（迄今为止）从未涉足过的奇妙数学领域。书的装帧设计，虽然没有过多的华丽装饰，但那种沉稳而内敛的风格，恰恰传递出一种学术上的可靠性和权威感。 我对“代数无关性”这个概念感到非常着迷，它在我的脑海中勾勒出一幅画面：在纷繁复杂的代数结构中，存在着一些“独立”的、不被彼此“影响”的基本元素，它们构成了整个结构的骨架。这种“无关性”听起来是一种非常重要的属性，或许能够解释很多代数现象的本质。 我随意翻阅了几页，发现书中引用的文献和参考文献列表相当详尽，这表明作者的研究是基于扎实的学术基础，并且与相关的数学领域有着紧密的联系。这种严谨的治学态度，让我对这本书的内容充满了信心。 虽然我还没有深入阅读，但仅从书名和初步的浏览来看，这本书很可能涉及到了代数拓扑、同调代数等高级数学领域，甚至可能与一些抽象代数和数论的概念有所关联。我期待它能够帮助我建立起对这些领域更清晰的认知。 总而言之，这本书让我感受到一种智识上的召唤，一种去探索数学深层结构、理解其内在规律的冲动。我预感，这将会是一次充满挑战但极其有益的学习旅程。

评分☆☆☆☆☆

翻开这本书，一股浓郁的学术气息扑面而来。封面设计简洁而富有哲理，没有过多花哨的图案，却传递出一种严谨、深邃的感觉。我拿到的是一本平装本，但纸张的质感出奇地好，书页的边缘处理得非常规整，拿在手里有一种沉甸甸的、值得信赖的感觉。 我被“代数无关性”这个词组深深吸引。它似乎预示着一种对代数领域深层结构的探索，一种试图揭示事物本质、寻找普遍规律的努力。在我的认知中，代数常常与具体的问题求解联系在一起，而“无关性”这个词，则让我联想到更加抽象、更加底层的数学原理。 书中使用的字体和排版都非常符合学术书籍的标准，既保证了信息量的有效传达，又尽可能地降低了阅读的疲劳感。尽管我还未深入研读，但瞥见的章节标题和一些关键术语，已经让我感受到了作者在梳理和构建这个知识体系时的用心。 我对这本书的期望很高，因为它可能提供一种全新的视角来审视代数世界。我希望它能够帮助我理解，在那些看似复杂的代数结构中，究竟存在着哪些不依赖于具体形式、却又决定其本质的“无关”属性。 总的来说，这本书给我留下的第一印象是其专业性、严谨性和探索性。它就像一个邀请函，邀请我去探索代数领域中那个更加本质、更加普遍的层面，去发现那些隐藏在表象之下的深刻联系。