Basic Algebra II 英文原版 基础代数2 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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出版社： Dover Publications

ISBN：9780486471877

商品编码：1039879673

  详情信息：

  Product Details 基本信息

ISBN-13 书号:9780486471877

出版社:Dover Publications

Publication Date 出版日期:2009-07-22

Product Dimensions 商品尺寸:90x61x14cm

Shipping Weight 商品重量:0.19kg

Shipping Weight Language 语种:English

pages 页数:686

数学思维的深度探索：超越基础代数的精妙世界 本书是一本专为有志于深入理解高等数学概念、锤炼严谨逻辑思维的读者而设计的深度学习指南。它旨在拓宽读者对数学分支的认知边界，从全新的视角审视经典理论的内在结构与应用潜力。 --- 第一部分：从结构到抽象——群论的初探与代数系统的重构 本部分将带领读者踏入现代抽象代数（Abstract Algebra）的殿堂，探究数学结构的最基本单元——群（Groups）。我们不会止步于简单的对称性描述，而是会深入探究群论的公理体系如何构建起一个功能强大的数学框架。 第一章：代数结构的概念基石 集合与运算的严格定义： 重新审视封闭性、结合律、单位元和逆元等基本性质在不同代数系统（如半群、幺半群）中的体现。 同态与同构的本质： 探索结构保持的映射（Homomorphism）如何揭示不同代数对象之间的内在联系。同构（Isomorphism）不仅是形式上的等价，更是结构本体的同一性。我们将用具体的例子，如整数加法群与偶数加法群的同态映射，来阐释这一概念。 循环群与生成元： 深入分析由单个元素生成的群，探讨其在周期性现象建模中的重要性。 第二章：子群、陪集与群的分解 子群的判定与性质： 学习如何识别一个集合在既有群结构下的子群地位，以及子群如何继承和限制群的性质。 拉格朗日定理的几何意义： 详细剖析拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）——有限群的子群阶必整除群的阶。我们将结合群作用（Group Action）的视角，理解其在计数和排列组合问题中的强大应用。 陪集的划分与群的左/右不变性： 陪集（Cosets）的概念是理解商群（Quotient Groups）的关键。我们将详细考察陪集的性质，特别是左陪集与右陪集在正规子群（Normal Subgroups）中的重合现象。 第三章：群的同态定理与结构分解 第一同构定理的威力： 阐述第一同构定理（First Isomorphism Theorem）如何建立起群结构与商群之间的精确联系，这是连接具体实现与抽象结构的桥梁。 正规子群的唯一性： 探讨正规性（Normality）在构造商群过程中的不可替代性，以及它与中心（Center）和交换子群（Commutator Subgroups）的关系。 有限交换群的分类定理： 对于有限阿贝尔群，我们将推导并证明其同构于环状群（Cyclic Groups）的直积，这为理解更复杂的结构打下坚实基础。 --- 第二部分：拓扑空间的几何直觉与连通性的度量 本部分将视角转向拓扑学（Topology），从我们对“邻近”和“连续性”的直观理解出发，构建起一套严谨的、不依赖于度量的空间研究方法。 第四章：拓扑空间的公理化定义与基本概念 开集与闭集的构建： 深入研究拓扑空间的定义——一组满足特定公理的开集族。我们将对比欧几里得空间、有限集拓扑、不可分离拓扑（Indiscrete Topology）和密着拓扑（Discrete Topology）的特性。 基与子基的构造： 学习如何通过更小的、更容易操作的开集族（基或子基）来生成整个拓扑结构。 连续性的拓扑定义： 摒弃微积分中对 $epsilon-delta$ 的依赖，采用开集的逆像定义来精确刻画拓扑空间的连续映射。 第五章：分离公理与空间的分类 从度量到分离： 探讨分离公理（Separation Axioms）如何量化空间中点和集合的“可区分度”。 Hausdorff空间（T2）： 重点分析豪斯多夫空间的性质，理解为什么它是保证函数极限和收敛序列具有唯一性的基本要求。 正则性（T3）与正规性（T4）： 介绍更强的分离条件，以及这些条件在嵌入定理和构造函数空间中的应用。 第六章：连通性与紧致性的深度分析 连通空间的分解： 探讨连通性（Connectedness）如何描述空间的“整体性”。我们将研究连通分支（Connected Components）的性质，以及路径连通性（Path Connectedness）与连通性的关系。 紧致性的核心： 紧致性（Compactness）是拓扑学中最强大的工具之一。我们将使用开复盖的定义来理解它，并证明 Heine-Borel 定理在 $mathbb{R}^n$ 中的应用。 紧致性在映射中的作用： 分析连续映射如何保持紧致性，以及这一性质如何简化我们在紧凑集上对连续函数的性质分析（例如，最大值原理）。 --- 第三部分：分析的泛化——度量空间与函数空间 本部分将分析工具从传统的实数线扩展到更一般的度量空间（Metric Spaces），并开始触及函数空间（Function Spaces）的初步概念。 第七章：度量空间的结构与收敛 度量函数的定义与性质： 建立在集合上的距离函数，它自然地诱导出一个拓扑结构。我们将对比曼哈顿距离、欧几里得距离和切比雪夫距离。 开球与闭球的拓扑关联： 探讨在度量空间中，由距离定义的开球如何构成拓扑基。 收敛、完备性与柯西序列： 深入理解柯西序列（Cauchy Sequences）的概念，以及完备空间（Complete Spaces）的重要性——即所有柯西序列都收敛的空间。巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）的原理及其在求解微分方程中的应用将被详细阐述。 第八章：收敛的衡量——函数空间基础 $L^p$ 范数简介： 介绍在有限维向量空间之外，函数空间中常见的范数定义，特别是 $L^1$ 和 $L^2$ 范数（作为黎曼积分的推广）。 等度连续性（Equicontinuity）： 探讨一组函数如何在整个定义域上保持“一致的连续性”，这是 Arzelà-Ascoli 定理的基石。 均匀收敛的结构影响： 比较逐点收敛（Pointwise Convergence）与一致收敛（Uniform Convergence）在保持连续性、可微性等分析性质上的本质区别。 --- 结语：数学语言的统一性 本书的结构旨在展示，从对数的对称结构（群论）到对空间邻近性的精确描述（拓扑学），再到对函数行为的量化（度量空间），所有这些分支并非孤立存在。它们共同构成了一种更高级、更抽象的数学语言，用于精确地描述和预测复杂系统的行为。掌握这些概念，读者将为进入泛函分析、微分几何乃至更深层的理论物理打下不可或缺的理论基础。

评分☆☆☆☆☆

初次接触这本书，感觉就像是进入了一个极其严谨的数学迷宫，每一个章节的过渡都像是一条精密的线索，引导你走向下一个知识的深处。我特别欣赏它在理论阐述上的那种不含糊的态度，每一个定理的引入都伴随着详尽的背景介绍和严格的证明过程。不像有些教材，直接把结论丢给你然后让你去套公式，这本书真正教会了你“为什么”会是这样。比如讲解多项式函数根与系数关系那块，作者用了一种非常优雅的视角去解读，让我第一次对这个看似枯燥的知识点产生了浓厚的兴趣。当然，阅读过程并不轻松，有时候为了理解一个复杂的证明，我需要反复阅读好几遍，甚至在草稿纸上画图辅助理解。它对读者的自学能力要求很高，如果你只是想应付考试而没有真正想深入理解数学结构，这本书可能会让你感到有些吃力甚至枯燥。但对于那些真正热爱数学逻辑，渴望打下坚实基础的读者来说，这绝对是一本值得珍藏的“武功秘籍”。

评分☆☆☆☆☆

这本原版教材给我的最大震撼在于它构建知识体系的完整性和逻辑的闭环性。它不像一些为应试而生的教材，知识点是零散堆砌的，《Basic Algebra II》仿佛是一栋精心设计的宏伟建筑，每个章节都是不可或缺的支撑梁。我尤其欣赏作者在处理方程组和线性变换时所采用的系统化方法，它将几何直觉和代数运算完美地结合起来，使得原本可能显得枯燥的计算过程变得富有画面感和逻辑美。书中对变量、表达式和函数性质的讨论，达到了一个非常精细的层次，这对于未来转向更专业的数学或工程领域至关重要。虽然某些章节的阅读体验是“烧脑”的，需要极高的专注度，但这种挑战本身就是学习的乐趣所在。读完它，我不再惧怕那些复杂的数学符号和长串的证明，取而代之的是一种对数学严谨性的敬畏和掌握知识的自信心。这是一本真正能塑造数学思维的教科书。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我购买这本《Basic Algebra II》是为了挑战自我，因为我感觉我之前的代数学习总停留在“会做题”的层面，而没有达到“能创造”的境界。这本书的价值恰恰在于其对概念的深度挖掘。阅读过程中，我明显感觉到自己分析问题的能力得到了极大的提升。书中对抽象代数的一些初步概念的引入非常自然流畅，它没有生硬地将这些高深的概念抛出来，而是通过对现有代数结构的重新审视和泛化，逐步引向了更广阔的数学领域。我经常在做完一章的练习后，会有一种豁然开朗的感觉，仿佛之前用一维或二维的思维在看待问题，现在突然被赋予了更高维度的视角。这本书对细节的关注到了近乎苛刻的地步，每一个定义、每一个定理的证明都经过了反复的打磨，读起来让人感到非常踏实。它确实需要时间投入，但我相信，为它付出的每一分钟努力，都会在未来对我的数学学习产生深远的影响。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和设计风格，散发着一种非常经典和权威的气息，那种没有太多花哨装饰的纯粹感，反而让人更容易专注于那些密密麻麻的数学符号和逻辑推导上。我发现它在处理一些代数结构的转换时，总能提供多种不同的视角，这对于我这种需要多角度思考才能融会贯通的学习者来说，简直是福音。我尤其喜欢它在介绍集合论基础和关系时所下的功夫，虽然这部分内容在基础代数课程中可能被一笔带过，但作者在这里的详细铺陈，极大地帮助我理解了后面更高级的函数和映射的本质。唯一让我感到略微不便的是，书中对某些高级微积分预备知识的假设似乎有点高，对于那些代数基础不错但分析背景较弱的同学来说，可能需要额外查阅一些补充材料来确保背景知识的完整性。但总的来说，这本书的深度是毋庸置疑的，它绝对不是一本让你轻松“混”过去的教材。

评分☆☆☆☆☆

这本厚厚的《Basic Algebra II》原版书，拿到手的时候沉甸甸的感觉就让人对接下来的学习内容充满了敬畏。我记得我第一次翻开它的时候，光是目录就够我花上一阵子时间来消化了。它不仅仅是简单地重复初中代数，而是真正把我们带入了一个更深层次的数学世界。书中的例题设计得非常巧妙，很多时候我以为我懂了某个概念，结果在做题的时候才发现理解得还不够透彻。讲解的逻辑性很强，作者似乎非常懂得我们这些学习者在哪个环节容易卡住，总能在关键点给出非常清晰的引导。不过，我得承认，这本书的难度曲线还是比较陡峭的，尤其是涉及到一些更抽象的概念时，比如矩阵运算和复数的高级应用，我常常需要停下来，查阅额外的资料才能真正跟上作者的思路。它的习题量大得惊人，但每道题都像是为巩固特定知识点量身定做的一样，做完一套下来，对章节内容的掌握程度会有质的飞跃。我个人觉得，如果能把书后的习题都踏踏实实地啃下来，那期末考试绝对是稳操胜券了。