度量空间的拓扑学 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

杨忠强，杨寒彪 著

图书标签:

• 拓扑学
• 度量空间
• 数学分析
• 实分析
• 点集拓扑
• 拓扑空间
• 泛函分析
• 高等数学
• 数学
• 理论基础

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030516176

版次：1

商品编码：12157760

包装：平装

开本：16开

出版时间：2017-03-01

用纸：胶版纸

页数：338

字数：428000

正文语种：中文

内容简介

　　《度量空间的拓扑学》主要是以度量空间为基础进行拓扑学性质的探究。对于读者而言，以度量空间为基础可以降低拓扑学的入门难度。与此同时《度量空间的拓扑学》也介绍了对于拓扑学而言相对重要的结果，特别是其他中文书籍相对较少涉及的拓扑学维数论，无限维拓扑学等的相关结果也在本书中有所体现。此外，重视拓扑学和其他学科的结合是本书的一个特点。《度量空间的拓扑学》从基本的集合论知识起步，先介绍了度量空间、连续映射、度量空间的连通性和紧性，然后介绍了可分度量空间、完备度量空间、Baire空间，还包含了这些结论在分析学中的应用、Cantor集的拓扑特征及其万有性；进一步，《度量空间的拓扑学》定义了拓扑空间，并把度量空间的拓扑学知识推广到了更一般的拓扑空间中，并定义了仿紧性，证明了一些可度量化定理等。最后本书证明了Michael选择定理、Dugundji扩张定理、Brouwer不动点定理和Anderson定理。
　　《度量空间的拓扑学》主要面向数学专业本科生和低年级研究生，也可以作为对拓扑学有兴趣的研究者的参考书。

内页插图

目录

第1章 公理集合论简述
1．1 集合论公理
1．2 集合上的几种特殊关系
1．3 序数与基数
1．4 选择公理

第2章 度量空间
2．1 度量空间的定义及例子
2．2 开集、闭集、基、序列
2．3 闭包、内部、边界
2．4 连续映射、同胚、拓扑性质
2．5 一致连续、等距映射与等价映射
2．6 度量空间的运算
2．7 Urysohn引理和Tietze扩张定理
2．8 Borel集和绝对Borel空间

第3章 度量空间的连通性
3．1 连通空间
3．2 连通分支与局部连通空间
3．3 道路连通空间

第4章 紧度量空间
4．1 紧度量空间的定义、等价条件
4．2 紧度量空间的运算I
4．3 紧度量空间的性质
4．4 局部紧度量空间
4．5 紧度量空间的运算II
4．5．1 超空间
4．5．2 函数空间
4．6 Cantor集的拓扑特征

第5章 可分度量空间
5．1 可分度量空间的定义及等价条件
5．2 嵌入定理
5．3 Cantor空间的万有性质

第6章 完备度量空间与可完备度量空间
6．1 完备度量空间
6．2 度量空间的完备化
6．3 可完备度量空间
6．4 Baire性质及其应用

第7章 拓扑空间与可度量化定理
7．1 拓扑空间的定义及例子
7．2 分离性公理
7．3 紧性与紧化
7．4 可数性公理与可分可度量化定理
7．5 仿紧空间
7．6 度量化定理
7．7 说明

第8章 Michael选择定理与Brouwer不动点定理
8．1 线性空间
8．2 Michael选择定理及其应用
8．3 Euclidean空间R
8．4 Brouwer．不动点定理
8．4．1 单形和单纯复形
8．4．2 单形的重心重分
8．4．3 Spermer定理
8．4．4 Brouwer不动点定理

第9章 维数论
9．1 三种维数的定义
9．2 关于覆盖维数的进一步讨论
9．3 度量空间的维数
9．4 维数与Euclidean空间Rn
9．5 无限维维数论简述

第10章 无限维拓扑学引论
10．1．构造同胚的三种方法及其应用
10．1．1 方法一：同胚列的极限是同胚的条件
10．1．2 方法二：Bing收缩准则
10．1．3 方法三：同痕
10．2 Z-集
10．3 Z-集的同胚扩张定理I
10．4 Z-集的同胚扩张定理II
10．5 吸收子
10．6 Anderson定理
参考文献
索引

前言/序言

　　本书的主要目的是为本科生和研究生提供度量空间的拓扑学的入门材料；同时为拓扑学专业的研究生提供关于维数论和无限维拓扑学的入门材料。相对于国内一般的点集拓扑学教材而言，本教材的重点是度量空间的拓扑学，这恰好是拓扑学在其他数学分支应用中最重要的部分，同时满足了在一个相对比较短的篇幅内以比较低的起点上给出一些深刻的拓扑学定理的要求。另外，本教材提供的拓扑学维数论在国内出版的教材中较少涉及；无限维拓扑学，特别是Anderson定理（即Hilbert空间l2同胚于无限可数个实直线的乘积）在国内出版的中文书籍中还没有出现。作者的另一个期待是本书能尽量体现拓扑学和其他数学分支的联系，例如，证明存在充分多的处处连续处处不可导的函数，对Cantor集的探讨，对Euclidean空间Rn的拓扑性质的讨论，证明Michael选择定理、Brouwer不动点定理和Brouwer域不变性定理等。
　　本书由十章组成，第1章给出本书需要的集合论知识。第2章定义度量空间、连续映射和其他基本概念并给出这些概念的性质，同时我们也给出大量例子，第3章和第4章分别定义度量空间的连通性和紧性，研究这两类度量空间的基本性质，特别是给出Cantor集的拓扑特征，第5章研究可分度量空间，特别是证明了含Cantor空间在内的一些空间的万有性质。第6章定义和研究完备度量空间与可完备度量空间并给出其在分析上的应用，第7章定义拓扑空间，探讨第2-6章的各种概念在更一般的拓扑空间中的变化，并给出拓扑空间一些特有的性质，例如，仿紧性；证明了一些经典的度量化定理。在第8章，我们的目的是证明Michael选择定理、Dugundji扩张定理和Brouwer不动点定理，前两个结论是联系拓扑学和分析学的重要桥梁，后者是拓扑学中的最重要的结果之一。为此，我们定义拓扑线性空间、单纯复形等概念，第9章讨论维数论。我们定义三种维数并给出它们重合的条件，利用这些结果我们证明Euclidean空间Rn是互相不同胚的和Brouwer域不变性定理——一个在很多数学分支中有用的定理。本书的最后一章给出无限维拓扑学引论，其主要目的是证明Anderson定理，证明这个结果所使用的工具在今天的无限维拓扑学研究中仍然生机勃勃。
　　本书的前七章已经在汕头大学本科生和研究生教学中多次使用，后面三章也在拓扑专业研究生教学中多次使用。

好的，这是一本关于概率论与数理统计的图书简介，旨在深入探讨随机现象的理论基础、分析方法及其在实际问题中的应用。 --- 图书简介：概率论与数理统计 引言：随机世界的精确描述 在自然界和社会现象中，确定性规律固然重要，但充满了不确定性的随机性同样构成了世界的基本面貌。从物理学中的粒子运动，到经济学中的市场波动，再到生物学中的基因表达，理解和量化这些随机性是现代科学与工程领域不可或缺的能力。《概率论与数理统计》一书旨在为读者提供一个系统、深入且严谨的理论框架，用以描述、分析和推断随机现象背后的规律。 本书不仅是概率论基础概念的集合，更是一套解决实际问题的工具箱，侧重于将抽象的数学语言转化为对现实世界不确定性的精确把握。 第一部分：概率论——不确定性的数学基石 (约 500 字) 本书的开篇部分专注于概率论的公理化基础，为后续的深入分析奠定坚实的地基。 1. 随机事件与样本空间： 首先，我们对随机试验的结果空间进行严格定义。样本空间的结构（离散、连续或混合）直接决定了后续概率测度构造的复杂性。随机事件被定义为样本空间中的子集，并探讨了事件之间的代数运算及其在概率理论中的意义。 2. 概率的公理化定义与性质： 遵循 Kolmogorov 的三条基本公理，我们建立了概率测度的形式化框架。重点讨论了古典概型、几何概型以及条件概率的深入剖析。条件概率不仅是计算工具，更是贝叶斯推理的逻辑核心。我们将详细讨论马尔可夫链（Markov Chains）作为条件概率序列的特殊应用，展示其在有限状态空间中演化过程的建模能力。 3. 随机变量及其分布： 随机变量是将样本空间映射到实数轴上的关键桥梁。本书详细区分了离散型随机变量（如二项分布、泊松分布）和连续型随机变量（如均匀分布、指数分布、正态分布）。对于连续型，我们深入探讨概率密度函数（PDF）的性质及其在积分运算中的作用。 4. 随机变量的联合分布与独立性： 在多维随机现象中，变量之间的相互关系至关重要。我们引入了联合概率分布函数（CDF 和 PDF），并着重分析了边缘分布的获取方法。变量间的独立性概念，基于乘法规则而非简单相加，被严格界定，并探讨了在独立性假设下联合概率的简化计算。 5. 随机变量的数字特征： 期望（均值）和方差是描述随机变量集中趋势和离散程度的两个核心度量。本书将期望的运算律（线性性质）扩展到随机向量，并引入了协方差和相关系数来衡量线性依赖关系。随后，将视角投向更高阶的矩，如偏度和峰度，以更全面地描绘分布的形态。 6. 随机变量的极限理论： 这是连接概率论与统计推断的过渡地带。本书详述了依概率收敛、依分布收敛以及均方收敛的严格定义与相互关系。大数定律（弱收敛与强大数定律）保证了样本均值的稳定性，而中心极限定理（CLT）则揭示了正态分布在大量独立同分布随机变量和下的普遍出现性，这是推断统计的理论基石。 第二部分：数理统计——从数据中学习 (约 750 字) 数理统计是应用概率论解决实际数据问题的科学。本部分的核心思想是：如何利用有限的样本信息对未知的总体特征做出可靠的估计和检验。 1. 统计量与抽样分布： 首先界定统计量的概念，即样本的函数。重点分析了常见统计量（如样本均值、样本方差）的抽样分布。我们将详细推导和应用卡方分布、$t$ 分布和$F$ 分布，这些分布是进行参数估计和假设检验的必备工具。 2. 参数估计： 估计理论分为点估计和区间估计。 点估计： 介绍估计量的优良性质，包括无偏性、有效性（最小方差）和一致性。详细讲解两大核心方法：矩估计法（MOM）和极大似然估计法（MLE）。MLE 因其渐近最优性，将占据较大篇幅，着重分析其构造过程、一致性和渐近正态性。 区间估计： 讨论如何为未知参数构建置信区间。我们将针对正态总体（已知/未知方差）和比例参数，演示如何利用前面介绍的抽样分布构建精确的置信水平区间。 3. 假设检验： 假设检验是统计推断的核心技术，用于判断数据是否支持某个预设的理论观点。 基本框架： 严格定义原假设 ($H_0$) 和备择假设 ($H_1$)，并阐明第一类错误（$alpha$ 错误）和第二类错误（$eta$ 错误）。引入检验的功效函数和P 值的概念，强调其在决策过程中的作用。 常见检验： 系统讲解针对单个总体均值、两个总体均值差、总体比例的 Z 检验和 $t$ 检验。对于方差的检验，将涉及卡方检验的应用。 4. 方差分析（ANOVA）： 当需要比较三个或更多个总体的均值时，ANOVA 提供了一种统一且高效的方法。我们将从单因素方差分析入手，探讨其与 $F$ 检验的内在联系，并解释如何通过分解总平方和（Total Sum of Squares）来隔离处理效应和随机误差。 5. 线性回归分析： 探讨变量间的线性关系建模。 简单线性回归： 建立因变量与一个自变量之间的关系模型 $Y = eta_0 + eta_1 X + epsilon$。重点介绍最小二乘法（OLS）估计 $eta_0$ 和 $eta_1$，并分析估计量的性质。随后，我们将对回归模型本身进行检验（如 $t$ 检验、模型的整体 $F$ 检验），并讨论残差分析的重要性，以检验模型假设的有效性。 多元线性回归： 将模型扩展到多个自变量，引入矩阵表示法来简化 OLS 的求解和性质推导。讨论了多重共线性、变量选择等实际问题。 结语 本书的编写遵循从理论到应用、从基础到深入的逻辑路径。每章后均附有大量精心设计的习题，旨在巩固读者对概念的理解并训练其解决实际问题的能力。掌握本书内容，读者将能够以严谨的数学思维，科学地处理和解读来自不同领域的随机数据，从而在科学研究、数据分析和决策制定中做出更明智的判断。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我带来的震撼，是难以用言语来形容的。我原本以为自己对数学已经有了相当程度的理解，但在翻开《度量空间的拓扑学》的那一刻，我才意识到，自己之前所学所知，不过是冰山一角。作者以一种近乎“庖丁解牛”的精妙手法，将度量空间和拓扑学的核心概念层层剥离，展现出它们之间深刻而又优雅的联系。我特别欣赏作者对于“距离”这一基本概念的深入探讨，它不仅是数值上的度量，更是空间结构的基础。书中对各种拓扑空间的分类和性质的描述，严谨而不失灵动，让人在理解抽象定义的同时，也能感受到其内在的逻辑之美。每一次读到新的定理，都仿佛是打开了一扇新的大门，让我看到了数学世界更广阔的图景。让我印象深刻的是，作者在讲解过程中，并非一味地强调技巧和计算，而是更多地注重培养读者的“数学直觉”和“逻辑推理能力”。书中的一些练习题，虽然挑战性十足，但解答过程却充满了乐趣，每一次成功解出一道题，都仿佛是攻克了一个小小的数学堡垒，成就感爆棚。这本书让我重新认识了数学的魅力，也让我对自己的数学学习方向有了更清晰的认识。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是一场智慧的盛宴！读这本书的过程，就像是攀登一座知识的高峰，每一步都充满挑战，却又每一步都让你视野更加开阔。起初，我对“度量空间”和“拓扑学”这些术语感到有些陌生，但作者用一种非常细腻、循序渐进的方式，将抽象的概念一一剖析，仿佛一位耐心的向导，带着我深入浅出地理解那些看似深奥的数学世界。书中的例子和证明都非常严谨，逻辑清晰得如同精心编织的丝线，让你在理解每一个定理时，都能感受到数学的严谨之美。我特别喜欢作者在讲解一些核心概念时，会穿插一些历史背景和与其他数学分支的联系，这不仅让我更好地理解了这些概念的由来和重要性，也让我对整个数学体系有了更宏观的认识。读完这本书，我感觉自己对空间的理解，不再仅仅是几何意义上的，而是上升到了一个更抽象、更本质的层面。它不仅是理论的学习，更是一种思维方式的训练，锻炼了我分析问题、解决问题的能力。虽然这本书的难度不小，需要投入相当多的时间和精力去消化，但每一次的“豁然开朗”都让我觉得一切的付出都是值得的。它让我看到了数学的深度和广度，也让我对未来的学习充满了期待。

评分☆☆☆☆☆

这本书对我来说，是一次思维上的“极限挑战”，也是一次令人兴奋的“头脑风暴”。《度量空间的拓扑学》这本书，以其独特的视角和深刻的洞察力，让我对数学的理解达到了一个新的高度。作者在讲解“度量空间”时，并没有仅仅停留在数值的层面，而是深入挖掘了“距离”在构建空间形态中的关键作用。而当他引入“拓扑学”时，更是让我看到了一个全新的数学领域，它关注的是事物在“形变”下的不变性质。书中的证明过程，往往需要反复推敲和深入思考，才能真正领会其中精妙之处。我曾多次被某个证明卡住，但经过一段时间的思考和对书中其他部分的对照，最终总能恍然大悟，那种“顿悟”的时刻，是学习数学最大的乐趣所在。作者在解释一些复杂概念时，常常会使用一些类比和反例，这极大地帮助我理解了那些抽象的定义。而且，书中对一些重要的拓扑不变量的讨论，让我看到了拓扑学在区分不同空间时的强大能力。这本书不仅仅是知识的灌输，更是一种思维方式的培养，让我学会了如何从更抽象、更本质的层面去分析问题，如何用严谨的逻辑去构建论证。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，当初拿到这本《度量空间的拓扑学》时，我带着一丝敬畏和忐忑。我一直对数学怀有浓厚的兴趣，但拓扑学这样偏理论的领域，总让我觉得遥不可及。然而，这本书彻底颠覆了我的看法。作者的叙述风格非常独特，他没有上来就抛出冷冰冰的公式和定义，而是先用非常生动形象的比喻，将抽象的概念“具象化”。比如，他对“开集”的解释，让我联想到了生活中各种“边缘不确定”但又“内部连通”的区域，一下子就抓住了核心。书中的论证过程，也并非枯燥乏味，而是充满了“故事感”。作者仿佛是一位侦探，一步步引导读者去发现证明的逻辑链条，甚至在关键时刻，会停下来，提醒读者注意某些细节，或者预告接下来的精彩内容。这种“沉浸式”的学习体验，让我几乎忘记了自己是在读一本理论性很强的数学书。而且，书中对一些经典问题的讨论，也让我看到了拓扑学在解决实际问题中的强大力量。虽然我还没有完全掌握所有的内容，但每一次阅读，都能感受到自己的思维在被“重塑”，对空间的感知也在发生微妙的变化。这本书不仅仅是一本教材，更像是一次心灵的旅行，让我看到了数学隐藏在表面之下的诗意。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验，就好比在黑夜中点亮了一盏明灯，指引我穿越了理解的迷雾。《度量空间的拓扑学》这本书，以一种非常独特的方式，将晦涩的概念变得触手可及。作者在开篇就对“度量空间”的定义进行了细致入微的阐述，让我对“距离”有了全新的认识，它不再是单纯的数值，而是构建空间形态的基石。接着，作者巧妙地引入了“拓扑学”的核心思想，即在不改变空间“连通性”的前提下，研究空间的性质。我特别喜欢书中对“同胚”、“连续映射”等概念的解释，它们生动形象，让我能够直观地理解这些抽象的概念。作者在论证过程中，常常会穿插一些历史故事和数学家的轶事，这不仅增加了阅读的趣味性，也让我看到了这些数学思想是如何一步步演进和完善的。这本书的逻辑结构非常严谨，每一个定理的证明都清晰明了，让我能够循序渐进地掌握知识。虽然书中涉及的数学工具和概念非常多，但作者总是能够将它们有机地联系起来，形成一个完整的知识体系。读完这本书，我感觉自己对空间的理解，不再局限于我们日常的直观感受，而是上升到了一个更加抽象和本质的层面。