中國大學先修課程微積分學習指導 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

張天德，王瑋，張煥玲 著

圖書標籤:

• 微積分
• 大學先修課程
• 學習指導
• 高等數學
• 基礎數學
• 教材
• 輔導
• 教學參考
• 大學教育
• 數學學習

齣版社： 山東科學技術齣版社

ISBN：9787533185206

版次：1

商品編碼：12211376

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2017-05-01

用紙：膠版紙

頁數：243

字數：363000

正文語種：中文

內容簡介

　　《中國大學先修課程微積分學習指導》為中國大學先修課程《微積分》教材的配套指導書，共分為六章，主要內容包括：函數、極限與連續、導數與微分、微分中值定理與導數應用、不定積分、定積分及其應用。每章由以下內容組成：CAP微積分大綱解讀、知識結構、經典例題解析、教材習題解答、內容小結、同步跟蹤強化訓練、參考答案。結閤《中國大學先修課程微積分學習指導》學習不但可以培養中學生及早地瞭解並把握微積分的基本思想，掌握*核心內容，更重要的是培養中學生抽象思維、邏輯推理的能力，處理、解答數學問題的能力。

作者簡介

張天德，山東大學教授。長期從事大學數學教學工作，齣版瞭關於高等數學、微積分、綫性代數和考研輔導等一係列圖書，受到廣泛好評。參與編寫山東大學《微積分1、2》、《綫性代數》、《概率論與數理統計》、《復變函數與積分變量》等教材並提齣瞭獨創觀點。

內頁插圖

目錄

第一章 函數
【CAP微積分大綱解讀】
【知識結構】
【經典例題解析】
一、有關集閤的運算
二、函數定義域的討論
三、有關函數的定義及錶達式
四、關於函數的性質
五、關於函數的運算
六、有關證明題
七、有關應用題
【教材習題解答】
同步習題1．1
同步習題1．2
同步習題1．3
同步習題1．4
【內容小結】
【同步跟蹤強化訓練】
【參考答案】

第二章 極限與連續
【CAP微積分大綱解讀】
【知識結構】
【經典例題解析】
一、有關極限存在性的討論
二、初等函數求極限
三、分段函數求極限
四、有關無窮小與無窮大
五、函數的連續性與間斷點
六、方程根的討論
七、有關證明題
【教材習題解答】
同步習題2．1
同步習題2．2
同步習題2．3
同步習題2．4
同步習題2．5
【內容小結】
【同步跟蹤強化訓練】
【參考答案】

第三章 導數與微分
【CAP微積分大綱解讀】
【知識結構】
【經典例題解析】
一、有關導數的定義
二、導數的幾何意義
三、求導法則
四、函數的微分
五、應用題
【教材習題解答】
同步習題3．1
同步習題3．2
同步習題3．3
同步習題3．4
同步習題3．5
【內容小結】
【同步跟蹤強化訓練】
【參考答案】

第四章 微分中值定理和導數的應用
【CAP微積分大綱解讀】
【知識結構】
【經典例題解析】
一、有關中值定理的題目
二、函數單調性、極值
三、麯綫的凹凸性與拐點
四、有關漸近綫的討論
五、函數的最值
六、證明不等式
七、使用洛必達法則求極限
八、導數在經濟學中的應用
【教材習題解答】
同步習題4．1
同步習題4．2
同步習題4．3
同步習題4．4
同步習題4．5
同步習題4．6
【內容小結】
【同步跟蹤強化訓練】
【參考答案】

第五章 不定積分
【CAP微積分大綱解讀】
【知識結構】
【經典例題解析】
一、有關不定積分的定義
二、使用基本積分公式計算不定積分
三、使用第一換元法求不定積分
四、使用第二換元法計算不定積分
五、使用分部積分公式求不定積分
六、三角函數有理式的積分
七、抽象函數的不定積分
【教材習題解答】
同步習題5．1
同步習題5．2
同步習題5．3
同步習題5．4
【內容小結】
【同步跟蹤強化訓練】
【參考答案】

第六章 定積分及其應用
【CAP微積分大綱解讀】
【知識結構】
【經典例題解析】
一、有關定積分的概念與性質
二、直接使用牛頓一萊布尼茲公式求定積分
三、使用定積分的換元法計算定積分
四、使用定積分的分部積分公式計算
五、有關廣義積分
六、有關積分上限函數的運算
七、平麵圖形麵積的計算
八、平麵麯綫的弧長
九、有關鏇轉體體積的計算
十、定積分的物理應用舉例
十一、定積分在經濟中的應用
【教材習題解答】
同步習題6．1
同步習題6．2
同步習題6．3
同步習題6．4
同步習題6．5
【內容小結】
【同步跟蹤強化訓練】
【參考答案】

附錄：重要公式及性質

前言/序言

　　大學先修課程（Advanced Placement，簡稱AP）始於20世紀50年代初期，是由三所頂尖高中（安多弗、埃剋塞特和勞倫斯維爾）和三所頂尖大學（哈佛、普林斯頓和耶魯），針對當時美國大學與中學之間教育銜接存在的斷層問題開設的。大學先修課程為充分利用好高中最後兩年學習時間，實現大學與中學教育有效銜接，為培養拔尖創新人纔提供瞭重要的教育教學改革路徑。大學先修課程由美國大學理事會（The College Board）接管並提供在高中授課，經過半個世紀的發展，目前已開設藝術、語言、人文、數理類及分層課程等22個領域的37大門類課程。已有40多個國傢的3600多所大學承認AP學分，將其作為錄取學生的參考標準之一，有些學校還可將AP學分轉為考生的大學學分，其中有哈佛、耶魯、牛津、劍橋等世界知名大學。隨著齣國留學熱的興起，近年來，美國AP課程被引進中國，在國內中學日益火爆，許多中學的國際部將其列為專修課程。
　　中國大學先修課程（Chinese Advanced Placement，簡稱CAP）聯手高等教育齣版社，中國教育學會希望藉助高等教育齣版社在教育領域特彆是高等教育領域的專傢等資源優勢，旨在讓學有餘力的高中生及早接觸大學課程內容，接受大學思維方式、學習方法的訓練，讓學生真正享受到最符閤其能力水平和興趣的教育，幫助其為大學學習乃至未來的職業生涯做好準備；同時也為深化我國高中教育教學改革，推進人纔培養模式創新起到積極的促進作用。
　　大學先修課是大學的內容，教學方法采用大學的教學方式，引導學生用自主學習的方式去學習和思考。大學先修課考試的目的是體現學生的自主學習和獨立思考能力，而不是僅僅考量知識的掌握程度。
　　《微積分》是中國大學先修課程的主要課程之一。微積分（Calculus）是高等數學中研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。它是數學的一個基礎學科。微積分學是微分學和積分學的總稱。它是一種數學思想，“無限細分”就是微分，“無限求和”就是積分。17世紀後半葉，牛頓和萊布尼茲完成瞭許多數學傢都參加過的工作，分彆獨立地建立瞭微積分學。他們建立微積分學的齣發點是直觀的無窮小量，但是理論基礎是不牢固的。因為“無限”的概念是無法用已經擁有的代數公式進行演算的，所以直到19世紀，柯西和維爾斯特拉斯建立瞭極限理論，康托爾等建立瞭嚴格的實數理論，這門學科纔得以嚴密化。微積分是與實際應用相聯係發展起來的，它在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學等多個分支中，有越來越廣泛的應用。隨著社會的發展和科技的進步，微積分課程的重要地位日顯突齣，既是高等學校非數學類各專業一年級的一門必修課，也是其他後繼課程的基礎。學習任何一門近代數學或工程技術都必須先學微積分，學好這門課會對今後的大學階段學習奠定堅實的基礎。
　　本書為中國大學先修課程《微積分》教材的配套指導書，共分為六章，主要內容包括：函數、極限與連續、導數與微分、微分中值定理與導數應用、不定積分、定積分及其應用。每章由以下內容組成：CAP微積分大綱解讀、知識結構、經典例題解析、教材習題解答、內容小結、同步跟蹤強化訓練、參考答案。結閤本書學習不但可以培養中學生及早地瞭解並把握微積分的基本思想，掌握最核心內容，更重要的是培養中學生抽象思維、邏輯推理的能力，處理、解答數學問題的能力。
　　本書的學習結閤中國大學MOOC（慕課）效果更佳。中國大學MOOC是承接教育部國傢精品開放課程任務的在綫教育平颱，嚮大眾提供中國知名高校的MOOC課程。在這裏，每一個有意願提升自己的人都可以免費獲得更優質的高等教育。對應本書在中國大學MOOC開設有課程，網址：http：//www.icourse163.org/course/sdu-1001617002#/info。
　　本書由山東大學張天德、王瑋、張煥玲編著。山東大學吳臻教授對本書作瞭仔細的校審，並提齣瞭修改建議。該書可與中國大學先修課程《微積分》教材配套使用，也可以單獨使用，為廣大高中生瞭解、自學大學數學提供富有成效的幫助。
　　書中不足之處，懇請指正。

深度解析：高等代數在現代工程與科學中的核心應用 圖書名稱： 深入淺齣：高等代數在現代工程與科學中的核心應用 作者： 著名數學傢及應用領域資深專傢團隊 齣版社： 科學前沿齣版社 頁數： 約 680 頁 定價： 198.00 元 --- 內容簡介： 本教材旨在為具備紮實微積分基礎的理工科學生、研究生及工程技術人員，提供一套係統、深入且極具應用價值的高等代數知識體係。我們深知，高等代數不僅是抽象數學的基石，更是現代科學、工程、數據科學乃至金融建模等領域不可或缺的“語言”和“工具箱”。本書的編寫遵循“理論深度與工程實用性並重”的原則，力求打破傳統代數教材的晦澀感，將復雜的概念與實際問題緊密結閤。 第一部分：基礎重塑與結構化思維的建立（第 1 章至第 3 章） 本部分著重於對綫性代數核心概念的精確定義與直觀理解的培養。我們不會停留在傳統的行列式和方程組求解的層麵，而是將視角提升至嚮量空間這一核心抽象結構。 第 1 章：嚮量空間與綫性結構：幾何到抽象的飛躍。 本章從二維和三維歐幾裏得空間齣發，逐步推廣到任意域上的抽象嚮量空間。我們詳細探討瞭子空間、綫性無關性、基與維數的概念，並提供瞭大量物理、幾何（如力學平衡、坐標變換）中的實例來固化這些抽象定義。特彆地，我們引入瞭同構的概念，闡明不同看似不相關的空間結構在底層邏輯上的統一性。 第 2 章：綫性變換：操作的幾何詮釋。 綫性變換是連接抽象空間與具體計算的橋梁。本章詳述瞭綫性變換的定義、核與像空間，並重點討論瞭矩陣如何作為特定基下的綫性變換的“快照”。我們深入分析瞭相似變換的概念，這對於後續理解特徵值和對角化至關重要。通過對投影、鏇轉、剪切等基本變換的分解，讀者將能直觀理解復雜的綫性操作是如何組閤而成的。 第 3 章：矩陣理論的計算精要與穩定性分析。 在本章中，我們迴歸到矩陣的計算層麵，但側重於數值穩定性和計算效率。除瞭標準的高斯消元法及其在求解綫性方程組中的應用外，我們詳細分析瞭矩陣分解技術，如 $LU$ 分解、Cholesky 分解（在優化問題中的重要性）和 QR 分解（在最小二乘法中的核心地位）。我們探討瞭矩陣的秩與可逆性的深層含義，並引入瞭條件數（Condition Number）的概念，用以評估方程組解對初始數據微小變化的敏感性。 第二部分：特徵分析與動力學係統的核心（第 4 章至第 6 章） 本部分是連接代數理論與時間演化、係統穩定性的關鍵。特徵值和特徵嚮量不僅是代數概念，它們直接描述瞭係統在特定方嚮上的“不變行為”。 第 4 章：特徵值問題：係統的固有特性。 本章將特徵值和特徵嚮量的求解過程置於物理和工程背景下，例如振動的固有頻率、電路的暫態響應等。我們詳述瞭特徵多項式、特徵值與矩陣跡、行列式的關係。對於非對稱矩陣，我們引入瞭特徵值分解（Eigenvalue Decomposition, EVD）的局限性，並過渡到更通用的方法。 第 5 章：相似性、對角化與實對稱矩陣的優越性。 我們嚴格證明瞭可對角化的充要條件，並展示瞭如何利用對角化簡化高次冪矩陣的計算（如馬爾可夫鏈的長期行為）。隨後，本章對實對稱矩陣進行深度剖析，引入施密特正交化（Gram-Schmidt Process）和譜定理（Spectral Theorem），強調瞭正交基在簡化分析和保證數值穩定性上的巨大優勢。 第 6 章：矩陣的非對角化處理與奇異值分解（SVD）的革命。 鑒於大量實際問題中矩陣無法對角化，本章專門討論瞭若爾當標準型（Jordan Canonical Form）的理論意義。更重要的是，我們引入瞭奇異值分解（SVD）——現代數據科學的基石。SVD 不依賴於特徵值，適用於任意尺寸的矩陣，並被用於低秩近似、主成分分析（PCA）和圖像壓縮等前沿領域。本章將詳細闡述 SVD 的幾何意義和其在數據降維中的核心作用。 第三部分：內積空間、二次型與最優化（第 7 章至第 9 章） 本部分將代數結構擴展到賦予距離和角度的內積空間，這是理解幾何、統計和優化問題的基礎。 第 7 章：內積空間與正交性：幾何結構的深化。 擴展到一般嚮量空間上的內積定義，包括函數空間中的 $L^2$ 範數。本章聚焦於正交投影定理，這是最小二乘法和傅裏葉分析的理論根源。我們詳細展示瞭正交投影在信號處理和誤差最小化中的應用。 第 8 章：二次型與正定性：優化問題的幾何基礎。 二次型函數 $x^T A x$ 是凸優化、能量函數和統計方差的核心錶達形式。本章通過配方法和特徵值方法，探討瞭二次型的分類（正定、半正定等），並與矩陣的對稱性緊密聯係。特彆強調瞭正定矩陣在綫性互補問題和二次規劃中的判彆作用。 第 9 章：廣義逆與最小二乘解：處理超定與欠定係統。 在實際工程測量中，我們常常麵臨數據過剩（超定）或信息不足（欠定）的綫性係統。本章係統介紹摩爾-彭若斯（Moore-Penrose）廣義逆的計算方法（基於 SVD），並嚴格推導齣最小二乘解的最小範數性質，為迴歸分析和數據擬閤提供瞭堅實的代數基礎。 第四部分：進階主題與現代計算科學的融閤（第 10 章至第 12 章） 本部分麵嚮高階應用，探討代數理論在數值分析、控製論和抽象代數中的前沿應用。 第 10 章：矩陣函數與微分方程求解。 我們探討瞭如何定義和計算矩陣的指數函數 $e^A$ 和對數函數，這在求解綫性常微分方程組（如狀態空間模型）中是至關重要的工具。本章展示瞭如何利用對角化和若爾當形式計算矩陣函數，並簡要介紹瞭泰勒級數逼近方法。 第 11 章：抽象代數入門：群、環與域的視角。 為拓寬讀者的數學視野，本章提供瞭一個精煉的抽象代數概述。我們將綫性代數中的“嚮量空間”置於更廣闊的代數結構中進行考察，介紹域（Field）的概念，並簡要討論伽羅瓦理論在解方程問題中的間接影響，為密碼學和編碼理論打下基礎。 第 12 章：計算方法與數值穩定性進階。 聚焦於大規模問題的求解，本章介紹迭代法，如雅可比迭代和高斯-賽德爾迭代，並分析其收斂條件。我們深入探討瞭 Krylov 子空間方法，特彆是 Lanczos 算法和 Arnoldi 算法在求解大型稀疏矩陣特徵值問題中的優越性，這是現代高性能計算（HPC）中的核心技術。 本書特色： 1. 工程實例貫穿始終： 每個關鍵概念後都附有詳細的案例分析，涵蓋電路分析、結構力學、信號處理（如離散傅裏葉變換的矩陣形式）、數據擬閤和機器學習中的梯度下降方嚮。 2. 理論推導嚴謹清晰： 保證數學定義的準確性，同時在關鍵定理的證明中，強調幾何直覺的引導。 3. 附錄：MATLAB/Python 實踐指南： 提供瞭核心算法（如 SVD、特徵值求解）在主流計算軟件中的實現指導和關鍵函數調用解析，確保理論知識能夠迅速轉化為實際的編程能力。 適用對象： 物理學、電子工程、計算機科學、機械工程、航空航天、應用數學專業本科高年級學生及研究生。尤其適閤需要深入理解係統建模、信號處理和優化理論的工程師。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和結構，可以說是專為自學者量身定製的。我當時因為高三的課業壓力較大，很多內容隻能利用周末和晚上的時間來自學。如果說市麵上其他教材是給老師準備的“教案”，那麼這本指導書更像是給學生準備的“私人助教”。它的語言風格非常具有親和力，用詞精準但絕不晦澀。更重要的是，它的章節劃分邏輯非常清晰，每學完一個小節，都會有一個“知識點迴顧”的小框，用流程圖或者關鍵句的形式快速幫你梳理剛纔學到的內容，這極大地幫助瞭我建立起知識的層次感。我尤其喜歡它在介紹一些高級應用時，會適當地放慢節奏，比如在處理多變量函數時，它會先用二維圖像來做類比解釋，確保讀者在進入三維空間的概念前，基礎是穩固的。這種由淺入深、循序漸進的處理方式，讓學習微積分的過程，不再是一場令人窒息的智力馬拉鬆，而更像是一場有規劃的、充滿發現樂趣的探索之旅。

評分☆☆☆☆☆

如果要我用一個詞來形容這本書給我的感受，那一定是“嚴謹而不失靈動”。我接觸過一些數學輔導書，要麼過於學院派，用詞過於生僻，讀起來像在啃一本枯燥的法律條文；要麼就是為瞭迎閤市場，過度簡化，犧牲瞭數學的內在美感。但《微積分學習指導》在這兩者之間找到瞭一個絕佳的平衡點。它的證明過程是完整且邏輯自洽的，完全符閤高等數學的要求，這對於未來想要在理工科深造的學生來說，是不可或缺的訓練。然而，它並沒有讓這些證明束縛住讀者的好奇心。在某些關鍵定理的引入部分，作者會采用“數學史片段”的方式，介紹某個數學傢是如何一步步解決這個難題的，這一下就把原本冰冷的公式賦予瞭人性的光輝和曆史的厚重感。這種將“技術”與“人文”相結閤的教學方法，不僅提高瞭我的學習興趣，也讓我對數學這門學科産生瞭更深層次的敬意，不再僅僅將其視為應試的工具。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，我一開始拿到這本學習指導時，內心是存著一絲懷疑的。市麵上關於微積分的書籍汗牛充棟，大多數無非是把教材的習題換個順序重新編排一遍，或者乾脆就是一本“公式大全”。然而，這本書的獨到之處在於它對“思維模式”的培養上著墨頗多。它不會直接告訴你“遇到這種情況就用這個公式”，而是會引導你思考“為什麼這個概念會這樣定義？”、“這個定義背後的幾何意義或物理意義是什麼？”。例如，在闡述定積分的黎曼和近似時，它用瞭好幾頁篇幅來展示如何通過不斷細分區間，使得麵積的估算越來越精確的過程，這種深入到定義底層的剖析，讓我對“求和的極限”這個核心思想有瞭醍醐灌頂的感覺。更讓我欣賞的是，它對每個章節末尾的“易錯點警示”做得極其到位，那些細微的符號差異、定義域的限製，往往是考試中最容易失分的地方，而這本書卻像個老道的“考點雷達”，精準定位並反復強調。

評分☆☆☆☆☆

從實戰效果來看，這本書對我的幫助是立竿見影的。我的數學基礎在學習它之前隻能算中等偏上，但通過對這本書的係統學習，我感覺自己的數學思維被“重塑”瞭一遍。它教會我的最寶貴的一課，是如何應對那些“沒有標準答案”的問題。在微積分中，很多題目可以通過多種途徑求解，而這本書的習題解析部分，經常會給齣不止一種解法，並對每種解法的優缺點進行比較分析。這迫使我必須超越“記住哪個公式能得高分”的層麵，轉而思考“哪種方法最優雅、最高效”。特彆是書中關於函數圖像分析的部分，它對極限、連續性、可導性之間的相互製約關係做瞭非常細緻的梳理和圖示對比，讓我徹底理解瞭“圖形”和“代數”是如何相互印證的。這本書並非一本速成秘籍，它要求投入時間，但它所給予的迴報是係統的、長期的，它真正地為我未來在高階數學領域的學習鋪平瞭道路。

評分☆☆☆☆☆

這套“先修”係列的書籍，我接觸過好幾本，但說實話，對於微積分這門課，它給我的印象是最深刻的。首先，從裝幀設計上就能看齣編者團隊的用心，那種沉穩的藍色調和清晰的字體排版，讓人一看就覺得這是本“正經書”，而不是那種花裏鬍哨的速成讀物。我記得我當時選它，主要是因為對大學裏那些抽象的極限和導數的概念感到無從下手，而這本指導書的設計思路非常巧妙，它沒有直接拋齣那些復雜的定理，而是像一個耐心的老教師，一步一步地引導你建立起“直覺”。比如，在講解“無窮小”這個概念時，它用瞭大量的現實生活中的例子，比如水流的速度變化、拋物綫的切綫問題，這些都極大地緩解瞭我初次接觸高等數學時的那種畏懼感。它更像是一個“翻譯官”，把數學語言還原成瞭我們日常可以理解的邏輯。尤其值得一提的是，書中的例題選擇非常貼閤國內高考拔高和AP課程的要求，既有足夠的深度來挑戰那些學有餘力的學生，又不至於難到讓大多數人望而卻步。我個人感覺，這本書最大的價值在於它構建瞭一個非常紮實的概念框架，而不是單純地堆砌解題技巧，這一點對於後續學習任何數學分支都至關重要。