中国大学先修课程微积分学习指导 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张天德，王玮，张焕玲 著

图书标签:

• 微积分
• 大学先修课程
• 学习指导
• 高等数学
• 基础数学
• 教材
• 辅导
• 教学参考
• 大学教育
• 数学学习

出版社： 山东科学技术出版社

ISBN：9787533185206

版次：1

商品编码：12211376

包装：平装

开本：16开

出版时间：2017-05-01

用纸：胶版纸

页数：243

字数：363000

正文语种：中文

内容简介

　　《中国大学先修课程微积分学习指导》为中国大学先修课程《微积分》教材的配套指导书，共分为六章，主要内容包括：函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数应用、不定积分、定积分及其应用。每章由以下内容组成：CAP微积分大纲解读、知识结构、经典例题解析、教材习题解答、内容小结、同步跟踪强化训练、参考答案。结合《中国大学先修课程微积分学习指导》学习不但可以培养中学生及早地了解并把握微积分的基本思想，掌握*核心内容，更重要的是培养中学生抽象思维、逻辑推理的能力，处理、解答数学问题的能力。

作者简介

张天德，山东大学教授。长期从事大学数学教学工作，出版了关于高等数学、微积分、线性代数和考研辅导等一系列图书，受到广泛好评。参与编写山东大学《微积分1、2》、《线性代数》、《概率论与数理统计》、《复变函数与积分变量》等教材并提出了独创观点。

内页插图

目录

第一章 函数
【CAP微积分大纲解读】
【知识结构】
【经典例题解析】
一、有关集合的运算
二、函数定义域的讨论
三、有关函数的定义及表达式
四、关于函数的性质
五、关于函数的运算
六、有关证明题
七、有关应用题
【教材习题解答】
同步习题1．1
同步习题1．2
同步习题1．3
同步习题1．4
【内容小结】
【同步跟踪强化训练】
【参考答案】

第二章 极限与连续
【CAP微积分大纲解读】
【知识结构】
【经典例题解析】
一、有关极限存在性的讨论
二、初等函数求极限
三、分段函数求极限
四、有关无穷小与无穷大
五、函数的连续性与间断点
六、方程根的讨论
七、有关证明题
【教材习题解答】
同步习题2．1
同步习题2．2
同步习题2．3
同步习题2．4
同步习题2．5
【内容小结】
【同步跟踪强化训练】
【参考答案】

第三章 导数与微分
【CAP微积分大纲解读】
【知识结构】
【经典例题解析】
一、有关导数的定义
二、导数的几何意义
三、求导法则
四、函数的微分
五、应用题
【教材习题解答】
同步习题3．1
同步习题3．2
同步习题3．3
同步习题3．4
同步习题3．5
【内容小结】
【同步跟踪强化训练】
【参考答案】

第四章 微分中值定理和导数的应用
【CAP微积分大纲解读】
【知识结构】
【经典例题解析】
一、有关中值定理的题目
二、函数单调性、极值
三、曲线的凹凸性与拐点
四、有关渐近线的讨论
五、函数的最值
六、证明不等式
七、使用洛必达法则求极限
八、导数在经济学中的应用
【教材习题解答】
同步习题4．1
同步习题4．2
同步习题4．3
同步习题4．4
同步习题4．5
同步习题4．6
【内容小结】
【同步跟踪强化训练】
【参考答案】

第五章 不定积分
【CAP微积分大纲解读】
【知识结构】
【经典例题解析】
一、有关不定积分的定义
二、使用基本积分公式计算不定积分
三、使用第一换元法求不定积分
四、使用第二换元法计算不定积分
五、使用分部积分公式求不定积分
六、三角函数有理式的积分
七、抽象函数的不定积分
【教材习题解答】
同步习题5．1
同步习题5．2
同步习题5．3
同步习题5．4
【内容小结】
【同步跟踪强化训练】
【参考答案】

第六章 定积分及其应用
【CAP微积分大纲解读】
【知识结构】
【经典例题解析】
一、有关定积分的概念与性质
二、直接使用牛顿一莱布尼兹公式求定积分
三、使用定积分的换元法计算定积分
四、使用定积分的分部积分公式计算
五、有关广义积分
六、有关积分上限函数的运算
七、平面图形面积的计算
八、平面曲线的弧长
九、有关旋转体体积的计算
十、定积分的物理应用举例
十一、定积分在经济中的应用
【教材习题解答】
同步习题6．1
同步习题6．2
同步习题6．3
同步习题6．4
同步习题6．5
【内容小结】
【同步跟踪强化训练】
【参考答案】

附录：重要公式及性质

前言/序言

　　大学先修课程（Advanced Placement，简称AP）始于20世纪50年代初期，是由三所顶尖高中（安多弗、埃克塞特和劳伦斯维尔）和三所顶尖大学（哈佛、普林斯顿和耶鲁），针对当时美国大学与中学之间教育衔接存在的断层问题开设的。大学先修课程为充分利用好高中最后两年学习时间，实现大学与中学教育有效衔接，为培养拔尖创新人才提供了重要的教育教学改革路径。大学先修课程由美国大学理事会（The College Board）接管并提供在高中授课，经过半个世纪的发展，目前已开设艺术、语言、人文、数理类及分层课程等22个领域的37大门类课程。已有40多个国家的3600多所大学承认AP学分，将其作为录取学生的参考标准之一，有些学校还可将AP学分转为考生的大学学分，其中有哈佛、耶鲁、牛津、剑桥等世界知名大学。随着出国留学热的兴起，近年来，美国AP课程被引进中国，在国内中学日益火爆，许多中学的国际部将其列为专修课程。
　　中国大学先修课程（Chinese Advanced Placement，简称CAP）联手高等教育出版社，中国教育学会希望借助高等教育出版社在教育领域特别是高等教育领域的专家等资源优势，旨在让学有余力的高中生及早接触大学课程内容，接受大学思维方式、学习方法的训练，让学生真正享受到最符合其能力水平和兴趣的教育，帮助其为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备；同时也为深化我国高中教育教学改革，推进人才培养模式创新起到积极的促进作用。
　　大学先修课是大学的内容，教学方法采用大学的教学方式，引导学生用自主学习的方式去学习和思考。大学先修课考试的目的是体现学生的自主学习和独立思考能力，而不是仅仅考量知识的掌握程度。
　　《微积分》是中国大学先修课程的主要课程之一。微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。17世纪后半叶，牛顿和莱布尼兹完成了许多数学家都参加过的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分学的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算的，所以直到19世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。微积分是与实际应用相联系发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。随着社会的发展和科技的进步，微积分课程的重要地位日显突出，既是高等学校非数学类各专业一年级的一门必修课，也是其他后继课程的基础。学习任何一门近代数学或工程技术都必须先学微积分，学好这门课会对今后的大学阶段学习奠定坚实的基础。
　　本书为中国大学先修课程《微积分》教材的配套指导书，共分为六章，主要内容包括：函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数应用、不定积分、定积分及其应用。每章由以下内容组成：CAP微积分大纲解读、知识结构、经典例题解析、教材习题解答、内容小结、同步跟踪强化训练、参考答案。结合本书学习不但可以培养中学生及早地了解并把握微积分的基本思想，掌握最核心内容，更重要的是培养中学生抽象思维、逻辑推理的能力，处理、解答数学问题的能力。
　　本书的学习结合中国大学MOOC（慕课）效果更佳。中国大学MOOC是承接教育部国家精品开放课程任务的在线教育平台，向大众提供中国知名高校的MOOC课程。在这里，每一个有意愿提升自己的人都可以免费获得更优质的高等教育。对应本书在中国大学MOOC开设有课程，网址：http：//www.icourse163.org/course/sdu-1001617002#/info。
　　本书由山东大学张天德、王玮、张焕玲编著。山东大学吴臻教授对本书作了仔细的校审，并提出了修改建议。该书可与中国大学先修课程《微积分》教材配套使用，也可以单独使用，为广大高中生了解、自学大学数学提供富有成效的帮助。
　　书中不足之处，恳请指正。

深度解析：高等代数在现代工程与科学中的核心应用 图书名称： 深入浅出：高等代数在现代工程与科学中的核心应用 作者： 著名数学家及应用领域资深专家团队 出版社： 科学前沿出版社 页数： 约 680 页 定价： 198.00 元 --- 内容简介： 本教材旨在为具备扎实微积分基础的理工科学生、研究生及工程技术人员，提供一套系统、深入且极具应用价值的高等代数知识体系。我们深知，高等代数不仅是抽象数学的基石，更是现代科学、工程、数据科学乃至金融建模等领域不可或缺的“语言”和“工具箱”。本书的编写遵循“理论深度与工程实用性并重”的原则，力求打破传统代数教材的晦涩感，将复杂的概念与实际问题紧密结合。 第一部分：基础重塑与结构化思维的建立（第 1 章至第 3 章） 本部分着重于对线性代数核心概念的精确定义与直观理解的培养。我们不会停留在传统的行列式和方程组求解的层面，而是将视角提升至向量空间这一核心抽象结构。 第 1 章：向量空间与线性结构：几何到抽象的飞跃。 本章从二维和三维欧几里得空间出发，逐步推广到任意域上的抽象向量空间。我们详细探讨了子空间、线性无关性、基与维数的概念，并提供了大量物理、几何（如力学平衡、坐标变换）中的实例来固化这些抽象定义。特别地，我们引入了同构的概念，阐明不同看似不相关的空间结构在底层逻辑上的统一性。 第 2 章：线性变换：操作的几何诠释。 线性变换是连接抽象空间与具体计算的桥梁。本章详述了线性变换的定义、核与像空间，并重点讨论了矩阵如何作为特定基下的线性变换的“快照”。我们深入分析了相似变换的概念，这对于后续理解特征值和对角化至关重要。通过对投影、旋转、剪切等基本变换的分解，读者将能直观理解复杂的线性操作是如何组合而成的。 第 3 章：矩阵理论的计算精要与稳定性分析。 在本章中，我们回归到矩阵的计算层面，但侧重于数值稳定性和计算效率。除了标准的高斯消元法及其在求解线性方程组中的应用外，我们详细分析了矩阵分解技术，如 $LU$ 分解、Cholesky 分解（在优化问题中的重要性）和 QR 分解（在最小二乘法中的核心地位）。我们探讨了矩阵的秩与可逆性的深层含义，并引入了条件数（Condition Number）的概念，用以评估方程组解对初始数据微小变化的敏感性。 第二部分：特征分析与动力学系统的核心（第 4 章至第 6 章） 本部分是连接代数理论与时间演化、系统稳定性的关键。特征值和特征向量不仅是代数概念，它们直接描述了系统在特定方向上的“不变行为”。 第 4 章：特征值问题：系统的固有特性。 本章将特征值和特征向量的求解过程置于物理和工程背景下，例如振动的固有频率、电路的暂态响应等。我们详述了特征多项式、特征值与矩阵迹、行列式的关系。对于非对称矩阵，我们引入了特征值分解（Eigenvalue Decomposition, EVD）的局限性，并过渡到更通用的方法。 第 5 章：相似性、对角化与实对称矩阵的优越性。 我们严格证明了可对角化的充要条件，并展示了如何利用对角化简化高次幂矩阵的计算（如马尔可夫链的长期行为）。随后，本章对实对称矩阵进行深度剖析，引入施密特正交化（Gram-Schmidt Process）和谱定理（Spectral Theorem），强调了正交基在简化分析和保证数值稳定性上的巨大优势。 第 6 章：矩阵的非对角化处理与奇异值分解（SVD）的革命。 鉴于大量实际问题中矩阵无法对角化，本章专门讨论了若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的理论意义。更重要的是，我们引入了奇异值分解（SVD）——现代数据科学的基石。SVD 不依赖于特征值，适用于任意尺寸的矩阵，并被用于低秩近似、主成分分析（PCA）和图像压缩等前沿领域。本章将详细阐述 SVD 的几何意义和其在数据降维中的核心作用。 第三部分：内积空间、二次型与最优化（第 7 章至第 9 章） 本部分将代数结构扩展到赋予距离和角度的内积空间，这是理解几何、统计和优化问题的基础。 第 7 章：内积空间与正交性：几何结构的深化。 扩展到一般向量空间上的内积定义，包括函数空间中的 $L^2$ 范数。本章聚焦于正交投影定理，这是最小二乘法和傅里叶分析的理论根源。我们详细展示了正交投影在信号处理和误差最小化中的应用。 第 8 章：二次型与正定性：优化问题的几何基础。 二次型函数 $x^T A x$ 是凸优化、能量函数和统计方差的核心表达形式。本章通过配方法和特征值方法，探讨了二次型的分类（正定、半正定等），并与矩阵的对称性紧密联系。特别强调了正定矩阵在线性互补问题和二次规划中的判别作用。 第 9 章：广义逆与最小二乘解：处理超定与欠定系统。 在实际工程测量中，我们常常面临数据过剩（超定）或信息不足（欠定）的线性系统。本章系统介绍摩尔-彭若斯（Moore-Penrose）广义逆的计算方法（基于 SVD），并严格推导出最小二乘解的最小范数性质，为回归分析和数据拟合提供了坚实的代数基础。 第四部分：进阶主题与现代计算科学的融合（第 10 章至第 12 章） 本部分面向高阶应用，探讨代数理论在数值分析、控制论和抽象代数中的前沿应用。 第 10 章：矩阵函数与微分方程求解。 我们探讨了如何定义和计算矩阵的指数函数 $e^A$ 和对数函数，这在求解线性常微分方程组（如状态空间模型）中是至关重要的工具。本章展示了如何利用对角化和若尔当形式计算矩阵函数，并简要介绍了泰勒级数逼近方法。 第 11 章：抽象代数入门：群、环与域的视角。 为拓宽读者的数学视野，本章提供了一个精炼的抽象代数概述。我们将线性代数中的“向量空间”置于更广阔的代数结构中进行考察，介绍域（Field）的概念，并简要讨论伽罗瓦理论在解方程问题中的间接影响，为密码学和编码理论打下基础。 第 12 章：计算方法与数值稳定性进阶。 聚焦于大规模问题的求解，本章介绍迭代法，如雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代，并分析其收敛条件。我们深入探讨了 Krylov 子空间方法，特别是 Lanczos 算法和 Arnoldi 算法在求解大型稀疏矩阵特征值问题中的优越性，这是现代高性能计算（HPC）中的核心技术。 本书特色： 1. 工程实例贯穿始终： 每个关键概念后都附有详细的案例分析，涵盖电路分析、结构力学、信号处理（如离散傅里叶变换的矩阵形式）、数据拟合和机器学习中的梯度下降方向。 2. 理论推导严谨清晰： 保证数学定义的准确性，同时在关键定理的证明中，强调几何直觉的引导。 3. 附录：MATLAB/Python 实践指南： 提供了核心算法（如 SVD、特征值求解）在主流计算软件中的实现指导和关键函数调用解析，确保理论知识能够迅速转化为实际的编程能力。 适用对象： 物理学、电子工程、计算机科学、机械工程、航空航天、应用数学专业本科高年级学生及研究生。尤其适合需要深入理解系统建模、信号处理和优化理论的工程师。

评分☆☆☆☆☆

这套“先修”系列的书籍，我接触过好几本，但说实话，对于微积分这门课，它给我的印象是最深刻的。首先，从装帧设计上就能看出编者团队的用心，那种沉稳的蓝色调和清晰的字体排版，让人一看就觉得这是本“正经书”，而不是那种花里胡哨的速成读物。我记得我当时选它，主要是因为对大学里那些抽象的极限和导数的概念感到无从下手，而这本指导书的设计思路非常巧妙，它没有直接抛出那些复杂的定理，而是像一个耐心的老教师，一步一步地引导你建立起“直觉”。比如，在讲解“无穷小”这个概念时，它用了大量的现实生活中的例子，比如水流的速度变化、抛物线的切线问题，这些都极大地缓解了我初次接触高等数学时的那种畏惧感。它更像是一个“翻译官”，把数学语言还原成了我们日常可以理解的逻辑。尤其值得一提的是，书中的例题选择非常贴合国内高考拔高和AP课程的要求，既有足够的深度来挑战那些学有余力的学生，又不至于难到让大多数人望而却步。我个人感觉，这本书最大的价值在于它构建了一个非常扎实的概念框架，而不是单纯地堆砌解题技巧，这一点对于后续学习任何数学分支都至关重要。

评分☆☆☆☆☆

如果要我用一个词来形容这本书给我的感受，那一定是“严谨而不失灵动”。我接触过一些数学辅导书，要么过于学院派，用词过于生僻，读起来像在啃一本枯燥的法律条文；要么就是为了迎合市场，过度简化，牺牲了数学的内在美感。但《微积分学习指导》在这两者之间找到了一个绝佳的平衡点。它的证明过程是完整且逻辑自洽的，完全符合高等数学的要求，这对于未来想要在理工科深造的学生来说，是不可或缺的训练。然而，它并没有让这些证明束缚住读者的好奇心。在某些关键定理的引入部分，作者会采用“数学史片段”的方式，介绍某个数学家是如何一步步解决这个难题的，这一下就把原本冰冷的公式赋予了人性的光辉和历史的厚重感。这种将“技术”与“人文”相结合的教学方法，不仅提高了我的学习兴趣，也让我对数学这门学科产生了更深层次的敬意，不再仅仅将其视为应试的工具。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，我一开始拿到这本学习指导时，内心是存着一丝怀疑的。市面上关于微积分的书籍汗牛充栋，大多数无非是把教材的习题换个顺序重新编排一遍，或者干脆就是一本“公式大全”。然而，这本书的独到之处在于它对“思维模式”的培养上着墨颇多。它不会直接告诉你“遇到这种情况就用这个公式”，而是会引导你思考“为什么这个概念会这样定义？”、“这个定义背后的几何意义或物理意义是什么？”。例如，在阐述定积分的黎曼和近似时，它用了好几页篇幅来展示如何通过不断细分区间，使得面积的估算越来越精确的过程，这种深入到定义底层的剖析，让我对“求和的极限”这个核心思想有了醍醐灌顶的感觉。更让我欣赏的是，它对每个章节末尾的“易错点警示”做得极其到位，那些细微的符号差异、定义域的限制，往往是考试中最容易失分的地方，而这本书却像个老道的“考点雷达”，精准定位并反复强调。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和结构，可以说是专为自学者量身定制的。我当时因为高三的课业压力较大，很多内容只能利用周末和晚上的时间来自学。如果说市面上其他教材是给老师准备的“教案”，那么这本指导书更像是给学生准备的“私人助教”。它的语言风格非常具有亲和力，用词精准但绝不晦涩。更重要的是，它的章节划分逻辑非常清晰，每学完一个小节，都会有一个“知识点回顾”的小框，用流程图或者关键句的形式快速帮你梳理刚才学到的内容，这极大地帮助了我建立起知识的层次感。我尤其喜欢它在介绍一些高级应用时，会适当地放慢节奏，比如在处理多变量函数时，它会先用二维图像来做类比解释，确保读者在进入三维空间的概念前，基础是稳固的。这种由浅入深、循序渐进的处理方式，让学习微积分的过程，不再是一场令人窒息的智力马拉松，而更像是一场有规划的、充满发现乐趣的探索之旅。

评分☆☆☆☆☆

从实战效果来看，这本书对我的帮助是立竿见影的。我的数学基础在学习它之前只能算中等偏上，但通过对这本书的系统学习，我感觉自己的数学思维被“重塑”了一遍。它教会我的最宝贵的一课，是如何应对那些“没有标准答案”的问题。在微积分中，很多题目可以通过多种途径求解，而这本书的习题解析部分，经常会给出不止一种解法，并对每种解法的优缺点进行比较分析。这迫使我必须超越“记住哪个公式能得高分”的层面，转而思考“哪种方法最优雅、最高效”。特别是书中关于函数图像分析的部分，它对极限、连续性、可导性之间的相互制约关系做了非常细致的梳理和图示对比，让我彻底理解了“图形”和“代数”是如何相互印证的。这本书并非一本速成秘籍，它要求投入时间，但它所给予的回报是系统的、长期的，它真正地为我未来在高阶数学领域的学习铺平了道路。