数学分析（第二卷 第4版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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卓里奇 著，蒋铎，钱珮玲，周美珂，邝荣雨 译，周美珂 校

图书标签:

• 数学分析
• 微积分
• 高等数学
• 实分析
• 函数
• 极限
• 连续
• 微分
• 积分
• 数学

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040202571

版次：1

商品编码：12216553

包装：平装

丛书名： 俄罗斯数学教材选译

开本：16开

出版时间：2006-12-01

用纸：胶版纸

页数：585

字数：750000

正文语种：中文

内容简介

　　《数学分析（第二卷 第4版）》是由数学天元基金和高等教育出版社共同推出的《俄罗斯数学教材选译》中的一本。
　　本书是作者在莫斯科大学力学-数学系讲授多遍数学分析的基础上写成的。全书共二卷，自1981年第1版出版以来，至今已经修订为第4版。在内容方面，作者力图使与其平行的以及后继的分析、代数和几何方面的现代数学课程之间联系更加紧密，把重点移到一般数学中*有本质意义的那些概念和方法上，并改进语言的叙述，使之与现代数学科学文献的语言适当接近；另一方面，在保持数学一般理论叙述严谨性的同时，对反映其自然科学源泉和应用的要求也有充分体现。
　　俄罗斯科学院院士、世界著名数学家В.И.阿诺尔德这样评价本书：В.А.卓里奇的教科书是现有供大学数学系、物理系学生用的分析教科书中成功的。它与传统分析教科书的重要区别在于，它一方面更贴近自然科学 （特别是物理学和力学） 的应用，另一方面，它比常规的教科书更多地运用了现代数学 （包括代数学、几何学和拓扑学） 的思想和方法。本教程富于思想性，它清楚地展示了在具体问题研究中现代数学的思想和方法的强大威力。
　　本书观点较高，内容丰富且比较新颖，习题选取不落俗套，与基本课本相互配合并作其理论部分的补充。
　　本书可供综合大学和师范大学数学、物理、力学及相关专业的教师和学生参考使用，工科大学应用数学系也可当作教材或主要参考书。

内页插图

精彩书评

　　★本书把叙述的高度严谨性与可读性、充实的内容以及培养研究实际问题的习惯结合起来了。
　　——A．H 柯尔莫戈洛夫，前苏联科学院院士
　　
　　★B．A．卓里奇的教科书是现有供大学数学系、物理系学生用的分析教科书中*成功的。它与传统分析教科书的重要区别在于，它一方面更贴近自然科学(特别是物理学和力学)的应用，另一方面，它比常规的教科书更多地运用了现代数学(包括代数学、几何学和拓扑学)的思想和方法。教程富于思想性，它清楚地展示了在具体问题研究中现代数学的思想和方法的强大威力。特别不寻常的是第二卷。它包括向量分析、流形上的微分形式理论、广义函数论和位势理论的引论、傅里叶级数和傅里叶变换以及渐近展开初步。
　　当今，像卓里奇这样编写教科书，应看作是一个创新。这在古尔沙时代曾经是平常的，但是，惹人注意的近半个世纪的教材专业化趋势阉割了分析教程，留给它的几乎只是一个个的论证。现在看来，重新使分析教程变成有丰富内容的，显然是非常必要的，这也与大多数大学生未来将从事应用性的工作有关。
　　——B．N 阿诺尔德，俄罗斯科学院院士

目录

俄罗斯数学教材选译》序
再版序言
第一版序言
第九章 连续映射(一般理论)
§1．度量空间
1．定义和例子
2．度量空间中的开集和闭集
3．度量空间的子空间
4．度量空间的直积
练习
§2．拓扑空间
1．基本定义
2．拓扑空间的子空间
3．拓扑空间的直积
练习
§3．紧集
1．紧集的定义和一般性质
2．度量紧集
练习
§4．连通的拓扑空间
练习
§5．完备的度量空间
1．基本定义和例子
2．度量空间的完备化
练习
§6．拓扑空间的连续映射
映射的极限
2．连续映射
练习
§7．压缩映像原理
练习

第十章 线性赋范空间中的微分学
§1．线性赋范空间
1．分析中一些线性空间的例子
2．线性空间中的范数
向量空间中的数量积
练习
§2．线性和多重线性算子
1．定义和例子
2．算子的范数
3．连续算子空间
练习
§3．映射的微分
1．在一点可微的映射
2．微分法的一般法则
……

第十一章 重积分
第十二章 Rn中的曲面及微分形式
第十三章 曲线积分与曲面积分
第十四章 向量分析与场论初步
第十五章 流形上微分形式的积分
第十六章 一致收敛性，函数项级数与函数族的基本分析运算
第十七章 含参变量的积分
第十八章 傅里叶级数与傅里叶变换
第十九章 渐近展开
口试提纲
考试大纲
参考文献，
基本符号索引
索引
补序
中文版修订者的话

《数学分析：经典理论与现代应用》 简介 本书是为深入学习高等数学分析的读者精心打造的一部权威性教材，旨在构建起坚实严谨的理论基础，并同时展现分析学在现代科学和工程领域中的广泛应用。全书内容经过精心组织和编排，力求在保持数学分析核心严谨性的同时，兼顾知识的系统性、逻辑性和启发性。 核心内容与结构 本书重点涵盖了实分析和泛函分析的诸多基础且关键的领域，旨在引导读者从微积分的直观认识迈向更抽象、更深刻的数学结构。 第一部分：测度论基础 本部分是建立现代分析学框架的基石。我们从集合论回顾开始，引入外测度的概念，并逐步发展出勒贝格测度的严格构造。详细讨论了可测集的性质，包括 $sigma$-代数、开集和紧集的测度特性。测度论的核心在于可测函数的定义、性质及其在积分理论中的作用。重点剖析了单调类定理在测度构造中的关键作用。 第二部分：勒贝格积分理论 勒贝格积分是现代分析学区别于黎曼积分的关键所在。本书系统阐述了从简单函数到非负可测函数，再到一般可测函数的积分过程。深入探讨了积分的收敛定理，包括单调收敛定理 (MCT)、法度收敛定理 (DCT) 以及优良收敛定理 (BDC)。这些定理是处理极限与积分交换问题的强大工具。此外，还将介绍$L^p$ 空间的初步概念，为后续泛函分析打下基础。 第三部分：$L^p$ 空间与积分算子 在测度论和积分论的基础上，本部分转向函数空间的结构。详细定义和分析了$L^p(mu)$ 空间，并着重论证了闵可夫斯基不等式和勒贝格不等式的严格证明。这一部分将重点考察 $L^p$ 空间的完备性，证明其作为巴拿赫空间的基本结构，这是泛函分析的起点。我们将探讨在这些空间上定义的线性算子，例如乘法算子和卷积算子，分析其有界性和连续性。 第四部分：傅里叶分析基础 本部分将分析工具延伸至周期函数的空间。本书引入傅里叶级数和傅里叶变换的概念，特别是在 $L^2$ 空间中的应用。我们详细讨论狄利克雷核和费耶尔核，并利用它们来证明傅里叶级数的点态收敛和均方收敛。重点讲解帕塞瓦尔恒等式在描述能量守恒和函数正交性中的核心地位。我们将探索傅里叶变换在微分方程求解中的强大效能。 第五部分：泛函分析初步 将分析的视野从函数空间拓展到向量空间上的线性映射。本部分介绍拓扑向量空间的基本概念，包括拓扑的引入如何影响连续性和收敛性。核心内容集中于巴拿赫空间（完备的赋范向量空间）和希尔伯特空间（带有内积的巴拿赫空间）。我们将论述Hahn-Banach 分离定理的精髓（不进行过于深入的集合论论证，侧重应用），以及开映射定理和闭图像定理，这些是线性算子理论中的基本支柱。 第六部分：变分法与最优化初步 本部分展示分析学在解决优化问题中的实际价值。介绍泛函的概念，并引入欧拉-拉格朗日方程的推导过程，这源于变分原理。讨论了在特定约束条件下求解极值问题的技巧，例如使用拉格朗日乘子法的泛函分析版本。这部分内容将为读者理解物理学中的最小作用量原理和其他优化模型提供严格的数学基础。 教学特色与目标 本书的特点在于其理论的深度与广度兼备。每章后均附有大量的习题，难度从基础巩固到开放式研究探索不等，旨在培养读者的独立思考和问题解决能力。 本书的目标是使读者： 1. 彻底掌握勒贝格积分的理论框架及其优越性。 2. 理解函数空间（特别是 $L^p$ 空间）的拓扑和代数结构。 3. 熟悉傅里叶分析中关键核函数的性质及其收敛性结果。 4. 为进一步深入学习泛函分析、偏微分方程或应用数学打下坚实的基础。 本书的叙述风格力求清晰、精确，每一个定理的证明都详略得当，关键步骤突出，确保读者能够理解理论的内在逻辑，而非仅仅记忆公式。它不仅是一本工具书，更是一部引导读者领略现代数学分析之美的经典之作。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在数学领域摸爬滚打多年的学生，我不得不说，这本书的出现，简直就是一股清流。它的讲解方式与我之前接触过的许多教材截然不同，更加注重数学思想的传递，而不是简单地罗列公式和定理。比如说，在介绍黎曼积分的时候，它并没有直接给出定义，而是先从分割、小区间、上确界、下确界这些基本概念入手，循序渐进地引导读者去理解积分的本质。这种“由浅入深”的叙述方式，对于我这种容易被抽象概念吓退的人来说，简直是救星。而且，书中对一些关键定理的证明，往往提供了多种视角或者简化方法，这极大地开阔了我的视野，让我不再拘泥于一种固定的解题思路。我记得有一次，为一个关于函数列一致收敛的问题困扰了很久，后来翻到书中的一个辅助定理，顿时茅塞顿开。这本书的好处在于，它不仅仅告诉你“是什么”，更重要的是告诉你“为什么是这样”。这种探究精神，是很难在其他地方获得的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验，在我看来，是一种“磨砺”的过程。从开篇的实数理论，到后面的函数序列，再到勒贝格积分的初步接触，每一步都充满了需要攻克的难关。我最深刻的体会是，它对严谨性的要求到了极致。那些看似微不足道的细节，比如不等式的严格性，取极限的顺序，都需要精确地把握。很多时候，我会在一个定理的证明处停滞不前，一遍一遍地阅读，试图找出逻辑的断点，或者是对某个假设条件的理解不够透彻。这本书没有给你太多“偷懒”的空间，它要求你一步一个脚印，扎扎实实地去理解每一个证明，每一个推导。它的价值在于，它不仅仅是在传授知识，更是在训练你的逻辑思维能力和解决复杂问题的能力。我感觉自己经过这本书的洗礼，在分析问题的角度和解决问题的思路上，都有了质的飞跃。虽然过程艰辛，但最后的收获是巨大的，这种感觉非常满足。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出版确实是对我们这些数学学习者来说意义非凡。翻开它，首先扑面而来的就是那种厚重感，纸张的质感，印刷的清晰度，都透着一股专业和严谨。我特别喜欢的是其中对定理证明的论述方式，往往会先给出一个直观的铺垫，然后层层递进，最终导出严谨的证明。这个过程就像是在拆解一个精密的钟表，让你看到每一个齿轮是如何咬合，每一个部件是如何运作的。当然，这并非易事，很多地方的推导过程需要极大的耐心和细致，稍有不慎就会被绕晕。我尤其印象深刻的是关于度量空间和完备性那一章，那简直是一个思维的“炼狱”。各种抽象的定义和性质，需要反复咀嚼，才能体会其精髓。书中的习题也很有代表性，有些题目设计得非常巧妙，能够触及到核心概念的薄弱环节，逼迫你去深入理解。我经常是在思考了一段时间后，再去参考答案，那是一种“先苦后甜”的学习体验。总体而言，这本书的编排逻辑清晰，内容翔实，虽然阅读过程充满了挑战，但收获的知识和能力的提升是显而易见的。

评分☆☆☆☆☆

对于我这样一位希望深入理解数学理论的研究者来说，这本书无疑是一次宝贵的学习经历。它在内容深度和广度上都达到了相当高的水准，尤其是在一些前沿概念的引入方面，让我对数学的最新发展有了更清晰的认识。书中对一些抽象概念的处理，非常到位，例如对拓扑空间和紧致性的论述，既保持了数学的严谨性，又兼顾了读者的理解需求。我印象特别深刻的是，它在介绍某些重要定理时，会先探讨其背景和意义，然后再给出详细的证明。这种方法，极大地增强了我学习的积极性，让我能够更好地理解定理的价值和应用。而且，书中的许多例题和习题，都经过精心设计，能够有效地帮助读者巩固所学知识，并进一步拓展思路。我常常在完成一个章节的学习后，通过解答习题来检验自己的理解程度。这本书不仅是一本教科书，更像是一位循循善诱的老师，引导我不断地探索数学的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

这本书我读了大半，真的可以说是体验到了“学海无涯苦作舟”的真切含义。从第一章开始，那些看似熟悉的函数、极限概念，在严谨的数学语言下，都呈现出一种前所未有的深度和广度。那些证明题，尤其是涉及到ε-δ语言的，刚开始简直是天书，反复研读教材，对照例题，再结合网上一些博主的讲解，才勉强啃下来。我记得有一次，为了弄懂一个关于一致连续性的定理，硬是和它“较劲”了三天，查阅了各种资料，写满了笔记本，最后豁然开朗的时候，那种成就感难以言喻。这本书的要求非常高，它不是那种让你读完就能“懂”的书，而是需要你主动去思考，去推导，去构建自己的理解体系。很多时候，看懂了例题，自己做题的时候又会卡壳，这说明对概念的理解还不够深入。它教会我的不仅仅是数学知识，更是如何去严谨地思考问题，如何一步一步地逼近真相。对于想要打下扎实数学基础的人来说，这本书绝对是挑战与收获并存的宝藏。