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黄忠裕，赵焕光 著

图书标签:

• 数论
• 初等数论
• 趣味数学
• 数学普及
• 入门
• 算法
• 竞赛数学
• 整数
• 算术
• 数学思维

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030538444

版次：31

商品编码：12220136

包装：平装

丛书名： 文化数学欣赏丛书/赵焕光主编

开本：16开

出版时间：2017-06-01

页数：236

正文语种：中文

内容简介

本书从数论学科的特色、人文欣赏的视野着手，运用通俗生动的语言，精彩有趣的故事、丰富典型的案例，介绍初等数论的常识及其初等数论在现实世界中的广泛应用.主要内容包括整除理论初步及其应用、同余理论初步及其应用、不定方程理论初步及其应用、数论在密码学中的初步应用等.

目录

前言
引子素数奇趣与猜想
0.1 哥德巴赫猜想
0.2 孪生素数猜想
0.3 回文素数猜想
0.4 梅森素数的故事

第1章 整除理论
1.1 整除概念与判定
1.1.1 整除与带余除法
1.1.2 奇数与偶数
1.1.3 整除判定
1.1.4 整除概念基础训练与拓展
1.2 最大公因数与最小公倍数
1.2.1 最大公因数
1.2.2 最小公倍数
1.2.3 最大公因数基础训练与拓展
1.3 整数分解与素数分布
1.3.1 素数与合数概念及特征
1.3.2 算术基本定理
1.3.3 两种初等整数分解方法
1.3.4 n！素因数分解
1.3.5 整数分解正因数定理与完全数
1.3.6 素数分布及素数定理
1.3.7 整数分解基础训练与拓展

第2章 同余理论
2.1 同余概念及应用
2.1.1 同余概念
2.1.2 同余四则运算
2.1.3 同余在整除判别中的应用
2.1.4 同余在末位数判别中的应用
2.1.5 例说同余实际应用
2.1.6 同余概念基础训练与拓展
2.2 剩余类与剩余系
2.2.1 概念及其判别
2.2.2 剩余系构造
2.2.3 威尔逊定理与素数判别
2.2.4 例说完全系实际应用
2.2.5 剩余类基础训练与拓展
2.3 欧拉函数的计算与经典同余定理
2.3.1 欧拉函数的计算公式
2.3.2 欧拉定理与费马小定理
2.3.3 费马小定理之逆与伪素数
2.3.4 欧拉定理对循环小数的应用
2.3.5 欧拉定理对RSA体制的应用
2.3.6 欧拉函数基础训练与拓展

第3章 同余方程
3.1 一次同余方程
3.1.1 方程系数与模互素的一次同余方程
3.1.2 方程系数与模不互素的一次同余方程
3.1.3 一次同余方程对：RSA.体制的应用
3.1.4 一次同余方程基础训练与拓展
3.2 一次同余方程组与中国剩余定理
3.2.1 中国剩余定理-
3.2.2 中国剩余定理的思想原则应用
3.2.3 模不互素的一次同余方程组
3.2.4 一次同余方程组基础训练与拓展
3.3 高次同余方程
3.3.1 高次同余方程的解与解数
3.3.2 模为素数的高次同余方程
3.3.3 模为素数幂的高次同余方程
3.3.4 高次同余方程基础训练与拓展
3.4 二次剩余与二次同余方程
3.4.1 二次剩余
3.4.2 勒让德符号
3.4.3 高斯二次互反律
3.4.4 雅可比符号
3.4.5 二次同余方程解的模式
3.4.6 二次剩余在零知识证明中的应用
3.4.7 二次剩余基础训练与拓展
3.5 原根与离散对数
3.5.1 阶与原根
3.5.2 原根存在定理
3.5.3 原根的个数与求法
3.5.4 离散对数
3.5.5 离散对数在密码学中的应用
3.5.6 n次剩余
3.5.7 原根基础训练与拓展

第4章 不定方程
4.1 实用的一次不定方程
4.1.1 二元一次不定方程
4.1.2 二元一次不定方程实际应用
4.1.3 二元一次不定方程的非负解
4.1.4 多元一次不定方程
4.1.5 一次不定方程基础训练与拓展
4.2 诱惑人的费马方程
4.2.1 毕达哥拉斯方程
4.2.2 4次幂费马方程
4.2.3 费马方程基础训练与拓展
4.3 魅力无限的同余与不定方程联姻
4.3.1 奇素数平方和表示
4.3.2 拉格朗日平方和定理
4.3.3 奇异的佩尔方程
4.3.4 同余观下的不定方程
4.3.5 同余观下的不定方程基础训练与拓展
基础训练与拓展解答提示
参考文献

《代数几何基础：从经典到现代》 作者： [此处留空，象征性地表示作者身份的多元性或本书的开创性] 出版社： [此处留空，象征性地表示出版机构的选择性] 装帧： 精装 / 24开 / 700页 --- 内容提要 本书旨在为读者提供一套全面、深入且富有洞察力的代数几何学导论。我们摒弃了传统教材中常见的、过于侧重于形式逻辑推导的叙事方式，转而采用一种更加直观、历史与现代并重、强调几何直觉构建的教学路径。全书结构严谨，内容覆盖了从古典代数几何的坚实基础，到现代方案理论的核心概念，力求在保持数学严谨性的同时，激发读者对几何对象深层结构的兴趣与理解。 本书的独特之处在于其对“对象”的强调。我们不将代数几何视为纯粹的环论应用，而是将其视为研究“几何对象”——无论是曲线、曲面，还是更高维的簇——的语言与工具。因此，前几章着重于从经典视角（如射影空间、有理参数化）切入，建立几何直觉，随后平滑过渡到抽象的、基于交换代数的现代框架。 全书共分为五大部分，超过二十章的详细论述。 --- 第一部分：古典几何的复兴与铺垫 (Classical Foundations and Preliminaries) 本部分致力于打下坚实的代数与拓扑基础，并回顾代数几何的古典源头。 第一章：复习：代数与拓扑的交汇点 深入探讨诺特定理在多项式环中的意义，复习概形理论的先驱——复解析几何的基本概念，包括黎曼曲面的拓扑结构与代数结构（如亏格的计算）。引入Sheaf（层）的初步概念，但侧重于其在复流形上的直观几何意义（如微分形式的局部描述）。 第二章：射影空间与代数集 详细阐述射影空间 $mathbb{P}^n$ 的定义及其齐次坐标系。重点分析了如何通过扎里斯基拓扑来研究代数集（Algebraic Sets）。引入齐次多项式、理想与射影簇之间的霍奇关联，并通过实例（如光滑二次曲线）展示如何计算其几何不变量。本章着重训练读者将代数方程转化为可观察的几何形状的能力。 第三章：有理参数化与奇点理论初探 探讨了参数化曲线（如圆锥曲线）的代数特性。引入了曲线的奇点概念，如尖点与结点，并使用判别式（Discriminant）和局部环的性质（如正規性）来区分和分类这些奇点。这为后续的奇点消解提供了初步的动机。 --- 第二部分：抽象代数与基本结构 (Abstract Algebra and Fundamental Schemes) 本部分开始系统地引入现代代数几何的语言，构建起从环到空间的桥梁。 第四章：交换代数的核心工具 精炼回顾了Noether环、积分域、域扩张，并着重讲解了局部化技术（Localization）在代数几何中的关键作用，特别是如何通过局部化来研究簇上的“局部性质”。介绍准凝聚层（Quasi-coherent Sheaves）的代数定义及其与理想的对应关系。 第五章：概形理论的诞生：从空间到环 这是全书的转折点。精确定义了预概形（Pre-scheme）和概形（Scheme）。详细论述了谱（Spec R）的构造，强调了环的素理想与点之间的对应关系，以及它如何捕捉到比闭点更丰富的“广义点”信息。讨论了态射（Morphisms）的定义及其在概形之间的几何含义。 第六章：结构层与局部性质的统一 深入研究结构层 $mathcal{O}_X$。解释了如何通过结构层来恢复基础环的代数信息，并阐述了如何利用结构层来定义概形上的函数（Regular Functions）。重点分析了齐性（Reduced）和不可约性（Irreducibility）在概形层面的精确刻画。 --- 第三部分：几何对象的分类与维度 (Classification and Dimension) 本部分将代数几何工具应用于分类具体类型的几何对象，并严格定义维度概念。 第七章：射影概形与希尔伯特多项式 将第二部分的抽象概形理论应用于射影空间 $mathbb{P}^n$ 上的子概形。详细引入了希尔伯特函数（Hilbert Function）和希尔伯特多项式，并展示了它们如何量化一个射影簇的“大小”和“复杂度”。通过具体例子（如平面三次曲线）演示其应用。 第八章：维度的严格定义与性质 严格定义了概形的克鲁尔维度（Krull Dimension）和射影维度的关系。探讨了维数理论在光滑性、连通性判断中的作用。引入了相交理论的萌芽——阿贝尔-雅可比定理（Abel-Jacobi Theorem）的古典表述，为理解高维几何做准备。 第九章：光滑性与微分形式 定义了概形上的微分（Differentials）和 Kähler 形式的概念，这是判定光滑性的代数工具。详细解释了如何通过检查局部环的正则性（Regularity）来判断一个点是否光滑。对比了复流形上的全纯微分形式与代数几何中定义的微分形式的异同。 --- 第四部分：上同调与局部/全局的联系 (Cohomology and Global-Local Duality) 本部分引入层上同调这一强大的分析工具，用以研究全局对象的“缺失”部分。 第十章：层上同调入门：动机与基础 解释了为什么简单的截面空间（Global Sections）不足以描述所有几何性质。从链复形（Chain Complexes）出发，构造出右正合函子（Right Exact Functors）的限制，引出上同调群 $H^i(X, mathcal{F})$ 的定义。 第十一章：重要的上同调群：全局截面与扩张 重点分析 $H^0$（全局截面）和 $H^1$（分类扩张）。通过实例，如线丛（Line Bundles）与 $H^1(mathcal{O}_X^)$ 的联系，展示上同调如何量化了“全局上不可分割的”结构。 第十二章：塞尔上同调与范畴论基础 介绍塞尔上同调（Serre Cohomology）的意义，特别是其在射影簇上的重要性。简要回顾了 Grothendieck 范畴（Grothendieck Categories）和导出范畴（Derived Categories）的初步概念，为后续的方案理论深化做准备，但保持在初级应用层面。 --- 第五部分：方案理论的深化与现代视角 (Advanced Schemes and Modern Perspectives) 本部分聚焦于方案理论的更深层结构，并展望未来的研究方向。 第十三章：完美域与完备化 介绍完备域（Perfect Fields）的概念。深入探讨了域的完备化（Completions）过程，以及在奇点消解（Resolution of Singularities）理论中，完备化局部环（Complete Local Rings）所扮演的关键角色。 第十四章：有限型与模空间的概念 讨论如何使用“有限型”（Finite Type）来精确限制我们研究的概形的复杂程度。引入模空间（Moduli Spaces）的初步想法——即“对象的空间”，例如，曲线空间的初步构想，强调它们如何将代数问题转化为几何对象的形变问题。 第十五章：黎曼-罗赫定理的现代演绎 在平滑、连通的射影曲线上，使用上同调工具（尤其是 $dim H^1(C, mathcal{L}) = ext{deg}(mathcal{L}) - g + 1$ 的形式）来完整证明黎曼-罗赫定理。这是古典代数几何与现代工具完美结合的典范。 --- 本书的特点与目标读者 本书的叙事风格偏重于启发性和几何可视化。我们坚持“几何先行，代数随后”的原则。每一个抽象定义的引入，都伴随着其在经典几何（如椭圆曲线、三次曲面）中的具体实例。 目标读者： 本书适合已经掌握了扎实的交换代数基础（如环论、域论）和基础拓扑知识的研究生或高年级本科生。对于那些希望跨越从传统复几何到抽象代数几何鸿沟的数学、理论物理工作者，本书也提供了绝佳的桥梁。阅读本书后，读者将能够自信地进入更前沿的代数几何领域，如奇点理论、模空间或算术几何。本书不含任何关于数论中丢番图方程或L函数的内容。

评分☆☆☆☆☆

我是一个数学爱好者，但对于那些从头到尾都是纯理论推导的书籍常常感到力不从心，往往在进行到一半时就会因为缺乏足够的“趣味性支撑”而搁置。这本书完全避免了这种问题。它的结构设计体现了极高的教学智慧。它巧妙地将核心的“硬核”内容与一些数学史上的精彩轶事或现实世界中的有趣应用穿插进行。例如，在介绍完莫比乌斯反演公式的严谨证明后，作者立刻转而讲述了该公式在解决某个古代日历周期问题中的应用，这种松紧结合的节奏感，让大脑得以在高度集中的推导和相对放松的背景知识吸收之间切换，极大地保持了阅读的持久力。更值得称道的是，书中对于一些重要定理的证明，提供了不止一种视角：既有最经典、最严格的欧式证明，也有更具现代代数色彩的简洁版本。这对于想要深入探究不同证明哲学和技巧的读者来说，提供了极大的便利和广度。我感觉自己像是在一个视野开阔的数学展览馆中漫步，既能欣赏到杰作的细节，也能从宏观上把握其历史脉络。

评分☆☆☆☆☆

这本书在细节的处理上，展现出作者对数论学习者所面临困境的深刻理解。许多数论书籍在处理“模”的概念时，往往是先抛出一个严格的代数定义，让初学者感到困惑。而《快乐相遇数论》则花费了大量篇幅来“可视化”模运算的本质，甚至使用了图论中的循环结构来解释同余类之间的关系。这种对基础概念的“过度”解释，恰恰是构建稳固知识体系的关键所在。我特别留意了书中关于“原根”的部分，这是一个公认的难点。作者没有直接跳到原根存在的充要条件，而是通过一个关于“最小循环周期”的生动比喻，来阐述为什么原根是模运算中的“万能钥匙”。通过这种循序渐进的方式，我对原根的理解从“记住一个结论”升华到了“理解其必要性”。这本书的附录部分也做得非常实用，收录了一份重要的数论函数和符号速查表，这在复习和查阅时省去了大量的翻书时间，体现了作者的贴心之处。总而言之，这是一本真正为学习者而非仅仅是展示知识深度的作者而写的优秀教材。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计得非常引人注目，那种深邃的蓝色调配上流动的金色线条，让人一眼就能感受到数学的严谨与神秘交织的美感。我一直对数学中的数论领域抱有浓厚的兴趣，但很多入门书籍都过于晦涩难懂，充满了冷冰冰的公式和定义，读起来感觉像是在啃一块硬邦邦的石头。然而，拿到这本《快乐相遇数论》后，我立刻被它那种充满活力的气息所吸引。它没有那种让人望而生畏的架势，反而像是邀请你加入一场智力探险。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采用的类比手法，非常形象生动，即便是初次接触这些复杂理论的读者，也能迅速建立起直观的理解。比如讲解欧拉函数时，作者没有直接抛出复杂的函数表达式，而是通过一个有趣的“糖果分配”问题来层层递进，让抽象的理论立刻变得鲜活起来。这种教学方式极大地降低了学习曲线，让我在阅读过程中充满了探索的乐趣，而非仅仅是死记硬背。全书的排版也十分精良，图文并茂，关键的定理和推论都有醒目的高亮处理，阅读体验堪称一流，让人忍不住一页接一页地读下去，想要知道下一章又会揭示怎样迷人的数论秘密。

评分☆☆☆☆☆

作为一名长期在编程和算法领域摸爬滚打的工程师，我对数论在现代密码学和信息安全中的应用尤为关注。我希望找到一本既能打牢理论基础，又能清晰阐述实际应用的书籍。这本书在这方面的表现简直超出了我的预期。它不仅仅停留在基础的同余理论和素数分布这些经典内容上，更深入地探讨了如中国剩余定理在现代大数分解算法中的巧妙运用，以及梅森素数与大数安全性的关系。作者在讨论这些高级主题时，从不吝惜篇幅去解析背后的数学直觉，而不是简单地罗列公式。最让我拍案叫绝的是，书中有一个章节专门对比了不同模幂运算优化算法的效率差异，并配有清晰的性能图表和伪代码示例。这对于我这种需要将理论快速转化为实践代码的读者来说，简直是如虎添翼。它让我深刻理解到，数论并非是孤立的数学分支，而是构建现代信息世界的基石之一。读完这部分内容，我感觉自己对RSA加密、椭圆曲线密码等技术的理解又上了一个新的台阶，那种“茅塞顿开”的感觉，比单纯阅读技术手册要深刻得多。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格非常独特，带着一种知识分子特有的幽默感和洞察力，读起来丝毫没有枯燥感。我常常在阅读一些定理证明的过程中，会心一笑。作者似乎深谙如何与读者进行一场“心有灵犀”的对话。比如，在处理费马大定理的某些历史背景介绍时，作者笔锋一转，用一种近乎戏谑的口吻描述了数学家们在面对这个难题时的那种抓耳挠腮的焦急心情，瞬间拉近了读者与数学史的距离。这种叙事手法极大地提升了阅读的沉浸感。此外，书中穿插的“思维小站”栏目，更是精妙绝伦。它不是简单的习题，而是设置了一些开放性或反直觉的问题，引导读者跳出固有的思维框架去思考。我花了好长时间才攻克其中一个关于“最小公倍数与最大公约数分布密度”的问题，虽然过程颇为曲折，但最终得出结论时的成就感是无与伦比的。这本书成功地将严肃的学术探讨与轻松的阅读体验完美融合，真正做到了寓教于乐，让我觉得学习数论本身就是一种享受，而不是负担。