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杨子胥 著

图书标签:

• 数学
• 代数
• 近世代数
• 抽象代数
• 高等代数
• 群论
• 环论
• 域论
• 数学教材
• 大学教材

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040300727

版次：3

商品编码：12241527

包装：平装

丛书名： “十二五”普通高等教育本科国家级规划教材 ，

开本：32开

出版时间：2011-01-01

用纸：胶版纸

页数：248

字数：210000

正文语种：中文

内容简介

　　《近世代数（第3版）》作者杨子胥在长期教学实践的基础上，参考国内外大量相关教材、专著、文献并吸纳个人一些科研成果编写而成的。删除了部分内容，降低了深度和难度；改写和调整了一些定理及其证明；删去了一些例题和习题；改正了部分错误；增强了可读性、适用性。内容包括基本概念、群、正规子群和群的同态与同构、环与域、分解整环、域的扩张等。
　　《近世代数（第3版）》第1版由万哲先、王梓坤两位院士推荐出版，并由刘绍学教授撰写序言。
　　《近世代数（第3版）》可作为综合性大学、高等师范院校数学类专业近世代数课程的教材。

内页插图

目录

引言
第一章 基本概念
1 集合
2 映射与变换
3 代数运算
4 运算律
5 同态与同构
6 等价关系与集合的分类

第二章 群
1 群的定义和初步性质
2 群中元素的阶
3 子群
4 循环群
5 变换群
6 置换群
7 陪集、指数和Lagrange定理
8 群在集合上的作用

第三章 正规子群和群的同态与同构
1 群同态与同构的简单性质
2 正规子群和商群
3 群同态基本定理
4 群的同构定理
5 群的自同构群
6 Sylow定理
7 有限交换群

第四章 环与域
1 环的定义
2 环的零因子和特征
3 除环和域
4 模n剩余类环
5 环与域上的多项式环
6 理想
7 商环与环同态基本定理
8 素理想和极大理想
9 非交换环

第五章 分解整环
1 相伴元和不可约元
2 分解整环定义和性质
3 主理想整环
4 欧氏环
5 分解整环的多项式扩张

第六章 域的扩张
1 素域和域的添加
2 单扩域
3 代数扩域和有限次扩域
4 多项式的分裂域
5 有限域
6 有限域的一种应用

本书所用符号
名词索引
参考文献

前言/序言

　　考虑到近世代数教学时数不多的现实，同时也是为了更好地适应教与学，本书这次修订的重点是“瘦身”，即对第二版中的诸如传递群、群的直积、共轭关系与正规化子、p-环、零化子、环的同态与同构、分式域、环的直和、可离扩域等内容，都进行了删减。有些内容，例如群的直积，整节删去，只保留其中必要的内容在适当的章节中加以介绍。
　　这次修订还删去了一些例题和习题，特别是习题，共删去一百余题。另外还改写和调整了一些定理及其证明，这使所讨论的问题和证明更加流畅和明晰。
　　为了适应新的需要，这次修订新增两节——群在集合上的作用和有限域的一种应用。但都打了星号，可选讲或不讲。
　　本课程若每周上课4学时，一学期共约70学时，讲完全书未打星号的34节，基本上是可以的；若每周上课3学时，一学期共约50学时，讲完前四章未打星号的25节也是可以的。当然，若时间仍紧，还可以压缩一些例题和定理的证明；若时间宽裕，也可以选讲一些打星号的内容，如素理想和极大理想等。
　　新的第三版，可望用起来会更加自然流畅和得心应手。
　　顺便指出，作者针对第二版内容所编写的配套书《近世代数学习辅导与习题选解》对新的第三版仍然适用。该书对教师备课会很有帮助，并可节省时间，
　　这次修订，山东大学许玉铭教授提出不少宝贵意见，我表示衷心感谢！

现代代数（第3版）：深入探索代数结构的基石 作者：[此处可以填写原书作者，例如：S. Lang, D. Dummit & R. Foote, 或其他知名现代代数教材作者] 出版社：[此处可以填写出版社名称，例如：John Wiley & Sons, Springer, 或国内知名出版社] 版次：第3版 --- 内容概要： 本书是代数领域内一部经典的、内容详尽的教材，旨在为读者提供一个全面且深入的现代代数结构体系。它不仅仅是基础抽象代数概念的罗列，更侧重于从历史脉络和现代研究视角，系统地构建群论、环论和域论的核心理论框架。第三版在保持原著严谨的数学论证和清晰的结构组织的基础上，可能根据最新的数学教学发展和研究前沿进行了内容更新和习题精炼，使其更贴合当代高等数学教育的需求。 本书的基调是深入且全面的，它要求读者具备扎实的线性代数和基础数论背景知识，并以严格的逻辑推理能力为工具，去剖析那些构成现代数学大厦的抽象结构。 --- 第一部分：群论——对称性的语言 本书的第一部分，也是代数结构中最基础和核心的部分，聚焦于群（Groups）的研究。群是数学中最基本、应用最广泛的代数结构之一，它描述了对称性和变换的内在规律。 1. 基础概念与初步例子： 本章将从群的严格定义出发，探讨子群、陪集、正规子群和商群的概念。通过对有限群的阶（Order）的分析，读者将接触到拉格朗日定理（Lagrange's Theorem），这是群论的基石之一。书中会涵盖一系列重要的例子，如加法群 $mathbb{Z}$、乘法群 $mathbb{Z}_n^$、对称群 $S_n$、二面体群 $D_n$ 以及矩阵群（如一般线性群 $GL_n(F)$）。 2. 同态与同构：结构的映射 深入讲解群之间的映射关系——群同态（Homomorphism）和群同构（Isomorphism）。重点阐述核（Kernel）和像（Image）的概念，以及第一同构定理（First Isomorphism Theorem），该定理揭示了商群与同态像之间的本质联系。这将帮助读者理解不同群之间在结构上的等价性。 3. 群的作用（Group Actions）：将抽象置于具体 群作用是连接抽象群论与具体实例（如几何、组合学）的关键桥梁。本书详细介绍了群作用的定义、轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）。核心内容包括柯西定理（Cauchy's Theorem）和Sylow定理。Sylow定理是研究有限群结构的强大工具，它为确定一个有限群的子群结构提供了精确的计数和存在性保证。 4. 可解群、幂零群与单群：深入的分类 对于更高级的分析，本书会引入交换群（Abelian Groups）的结构定理，特别是针对有限交换群的基本定理，即任何有限交换群都可分解为循环群的直积。更进一步，引入可解群（Solvable Groups）和幂零群（Nilpotent Groups）的概念，这在伽罗瓦理论中具有重要意义。同时，本书也会讨论单群（Simple Groups）的概念，作为不可再分解的“基本构件”，并简要介绍有限单群分类的壮举。 --- 第二部分：环论——数系的一般化 本书的第二部分将抽象的范围从加法结构扩展到包含乘法运算的结构——环（Rings）。环论是抽象代数中研究数系、多项式环和代数结构交集的领域。 1. 环的基础结构与特殊类型： 环的定义、子环、环同态的性质。重点分析具有特殊性质的环，如整环（Integral Domains）（满足无零因子性质）和域（Fields）（在整环基础上除零元素外均可除的环）。书中将详细研究整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$（$F$ 为域）以及矩阵环 $M_n(F)$ 的结构。 2. 理想与商环：抽象的除法 类似于群论中的正规子群，环论中的关键概念是理想（Ideals）。理想的引入使得定义商环（Quotient Rings）成为可能，并引出第二、第三同构定理。本书将区分主理想（Principal Ideals）、极大理想（Maximal Ideals）和素理想（Prime Ideals），并阐述它们在确定环是否为域或整环中的作用。 3. 特殊的环结构： 深入探讨在数论和代数几何中有重要应用的特殊环结构： 主理想整环（PIDs）：如 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$。 唯一因子分解整环（UFDs）：讨论如何定义和判断“唯一因子分解”的性质，例如多项式环 $F[x]$ 总是 UFD，而 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ 则不是。 欧几里得整环（Euclidean Domains）：这是 UFD 和 PID 的一个特殊子类，通常通过定义“欧几里得函数”来分析，如 $mathbb{Z}$ 和高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$。 4. Noetherian 环与 Artin 环：有限生成性 本书会介绍关于环的“升链条件”的结构，即 Noetherian 环，这是研究代数几何中理想结构的基础。相关地，还会介绍 Artin 环，并探讨这些结构如何影响环上模（Modules）的性质。 --- 第三部分：域论——代数方程的解 本书的第三部分，域论（Field Theory），是代数结构研究的顶峰之一，它专注于解决多项式方程的根，并与伽罗瓦理论紧密相连。 1. 域的扩张：扩展基础 域扩张（Field Extensions）是本章的核心。从一个域 $F$ 扩张到另一个包含 $F$ 的域 $E$。引入代数扩张（Algebraic Extensions）和超越扩张（Transcendental Extensions）的概念，并定义域扩张的次数（Degree） $[E:F]$。书中会详尽分析代数数和超越数（如 $e$ 和 $pi$）。 2. 分裂域与正规扩张： 定义分裂域（Splitting Fields），即一个多项式所有根的最小的域扩张。随后讨论正规扩张（Normal Extensions）和可分扩张（Separable Extensions），为引入伽罗瓦群做铺垫。 3. 伽罗瓦理论：群论与域论的联姻 这是本书最精彩的部分。伽罗瓦理论的核心是将域扩张的中间域结构与域扩张的伽罗瓦群（Galois Group）的子群结构联系起来。读者将学习到基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory），该定理精确描述了域扩张与群结构之间的反向对应关系。利用这一工具，本书将严谨地证明五次及以上多项式方程不可用根式求解的结论（阿贝尔-鲁菲尼定理），以及正多边形尺规作图的条件。 4. 结论：有限域与代数封闭性 最后，本书将探讨有限域（Finite Fields）的结构，证明任何有限域都是素数域 $mathbb{F}_p$ 的扩张，并且对于给定的阶数 $p^n$，存在唯一（同构意义下）的有限域 $mathbb{F}_{p^n}$。作为收尾，还会讨论代数封闭域（Algebraically Closed Fields）的概念，以及代数基本定理在复数域 $mathbb{C}$ 上的体现。 --- 教材特点： 本版教材以其无与伦比的深度和广度著称。它不仅提供了扎实的理论基础，还通过大量的精选例题来巩固概念，并通过结构清晰的习题集（通常难度递增）来培养读者的独立证明能力。本书的叙述风格注重逻辑的严密性，适合作为数学专业学生（本科高年级或研究生初期）深入学习代数理论的首选参考书。对于希望将代数知识应用于代数几何、数论、拓扑学或数学物理研究的人士而言，本书提供的框架是不可或缺的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的理论深度和广度都相当令人印象深刻，我发现它在很多核心概念的阐述上都下了很深的功夫。书中对群论的介绍，不仅涵盖了基本定义和性质，还深入探讨了同态、同构等重要关系，并且对有限群的结构进行了细致的分析。抽象代数中的环和域部分，同样是逻辑严谨，由浅入深。作者对于理想、商环、域的扩张等概念的讲解，非常清晰，一步步引导读者理解抽象化的过程。特别令我赞赏的是，书中并没有停留在理论的表面，而是通过大量精心设计的例题，来巩固和深化读者对概念的理解。这些例题的选择非常巧妙，既有基础性的演示，也有一些需要一定思考才能解决的问题，能够有效地锻炼读者的分析能力。而且，书中还穿插了一些历史背景的介绍，这使得枯燥的数学理论变得更加生动有趣，也让我对这些抽象概念的起源和发展有了更深刻的认识。总的来说，这本书在理论的深度和内容的广度上都表现出色，是一本值得反复研读的佳作。

评分☆☆☆☆☆

这本书的讲解风格非常具有启发性，作者似乎很擅长将抽象的数学概念与直观的理解联系起来。在介绍某些抽象的代数结构时，作者并没有上来就给出严谨的定义，而是先通过一些具体的例子或者类比，来引导读者建立初步的认识。比如，在解释群的构成时，书中可能就先从对称群或者置换群入手，让读者感受“运算”和“元素”之间的关系，然后再逐步抽象到一般的群定义。这种“由具体到抽象”的教学方法，对于初学者来说尤为友好，能够有效地降低理解门槛。此外，书中对定理的证明，也往往不是生硬地罗列推导步骤，而是会穿插一些解释性的文字，说明为什么要做这一步，以及这一步的意义何在。这种“讲故事”式的证明方式，能够帮助读者更好地理解证明的思路和逻辑，而不仅仅是记住推导过程。我感觉作者是一位非常有经验的数学教育者，他知道如何才能让读者真正地“理解”而不是“记忆”数学。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格非常独特，在保持学术严谨性的同时，又不失一丝学术界的“人情味”。作者在描述一些复杂的概念时，并没有使用过于晦涩难懂的术语，而是尽量用清晰、简洁的语言来表达。即使遇到一些必须使用的专业术语，也会在首次出现时进行详细的解释。我惊喜地发现，书中一些地方还带着作者的个人思考和建议，比如在讨论某个定理的局限性时，作者可能会补充一句“虽然这个定理在某种情况下成立，但它在更一般的代数结构中是否依然成立，就是一个非常值得我们去探索的问题。”这种引导性的语句，能够有效地激发读者的好奇心和探索欲，让我感觉自己不仅仅是在阅读一本教材，更像是在与一位经验丰富的数学家进行交流。书中偶尔出现的幽默感，也使得冗长的理论学习过程不那么枯燥乏味，让我在紧张的学习之余，也能感受到一丝轻松。这种“有温度”的数学表达，确实让我受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题设计可以说是相当全面和有挑战性，它巧妙地平衡了基础巩固与能力提升的需求。在每个章节的结尾，都配备了数量可观的习题，这些习题的难度梯度设计得非常合理。从一开始的简单应用题，用来检验对基本定义的掌握程度，到后面需要综合运用多个概念才能解决的综合题，再到一些具有探索性和挑战性的证明题，都囊括其中。我尤其喜欢书中一些需要“思考”而非“计算”的习题，它们往往能够激发我从不同的角度去审视问题，锻炼我的抽象思维能力和逻辑推理能力。有些习题甚至让我感觉像是阅读一个微型的研究课题，需要我独立地去探索和发现。此外，书中对部分难题还提供了提示或者解答的思路，这对于我这种经常卡在某个地方的学习者来说，简直是及时雨，能够帮助我突破瓶颈，继续前进。总体而言，这些习题的设计非常有价值，它们不仅是检验学习成果的工具，更是进一步提升数学能力的绝佳途径。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版实在是让人眼前一亮，比我之前看的很多数学书都要舒服。扉页的设计简洁大方，封面的配色也很有质感，让人一看就觉得是本有分量的学术著作。打开目录，条理清晰，每个章节的标题都很精炼，能够快速地了解全书的脉络。翻到内页，纸张的触感很不错，不是那种廉价的印刷纸，字迹印刷清晰，间距适中，不会显得拥挤。更值得称赞的是，书中大量的符号和公式都排布得非常规范，就像一件艺术品。有些数学书籍因为公式太多，排版混乱，看久了眼睛会非常疲劳，但这本完全没有这个问题，即使是阅读篇幅较长的推导过程，也能保持高度的专注。书眉的设计也很人性化，方便快速定位到当前的章节。一些定理和定义被单独框起来，用不同的字体或颜色区分，这一点非常贴心，能够有效提高阅读效率。整体而言，这本书的出版质量非常高，从细节之处体现了对读者的尊重，让人在阅读过程中获得了极佳的体验，这对于一本需要大量思考和理解的数学书籍来说，是至关重要的。