偏微分方程的有限差分方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张强 著

图书标签:

• 偏微分方程
• 有限差分法
• 数值分析
• 科学计算
• 数学模型
• 工程数学
• 计算数学
• 数值方法
• 偏微分方程数值解
• 差分格式

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030553782

版次：31

商品编码：12273543

包装：平装

开本：16开

出版时间：2018-01-01

页数：240

字数：353000

正文语种：中文

内容简介

《偏微分方程的有限差分方法》以抛物型方程、双曲型方程和椭圆型方程为基本模型，系统地阐述有 限差分方法的基础理论和主要格式。在详细介绍每个格式的时候，一些重要的 数值设计思想和理论分析技术得到详尽的讨论，有限差分方法同其他数值方法 的联系与区别也得到简要的论述。《偏微分方程的有限差分方法》既注重理论的严谨性，也关注算法的实 现细节；内容既注重历史的发展轨迹，也关注*新的研究进展。

目录

目录
前言
绪论 1
0.1 数值方法研究的必要性 1
0.2 内容和结构 3
第1章 两个简单格式 6
1.1 古典格式 6
1.1.1 格式构造 6
1.1.2 可行性和效率 9
1.1.3 数值表现 11
1.2 简单推广 14
1.3 总结 16
习题 16
第2章 线性差分格式的基本理论 18
2.1 预备知识 18
2.2 相容性 20
2.2.1 逐点相容性 20
2.2.2 整体相容性 22
2.2.3 导数的差商离散 23
2.3 稳定性 26
2.4 Fourier方法 32
2.4.1 理论背景 32
2.4.2 操作过程 35
2.5 收敛性 38
2.5.1 基本概念 39
2.5.2 Lax-Richtmyer等价定理 40
习题 41
第3章 热传导方程 43
3.1 相容性 43
3.1.1 加权平均格式 43
3.1.2 三层格式 47
3.2 计算效率 53
3.2.1 时间步长的轮替策略 53
3.2.2 显隐格式的交替使用 54
3.2.3 Saul'ev 格式及其应用 58
3.3 误差估计或收敛分析 61
3.3.1 基于强正则性假设 61
3.3.2 弱正则性假设 63
3.4 导数边界条件 66
3.4.1 单侧离散方式 67
3.4.2 双侧离散方式 70
3.4.3 数值表现 72
3.5 初值条件的离散 73
习题 75
第4章 一维扩散方程 77
4.1 具有光滑系数的线性扩散方程 77
4.1.1 非守恒型扩散方程 77
4.1.2 守恒型扩散方程 79
4.1.3 稳定性分析方法 82
4.2 具有间断系数的线性扩散方程 86
4.3 极坐标下的热传导方程 88
4.4 非线性扩散方程 91
习题 93
第5章 高维扩散方程 95
5.1 微分方程的数值离散 95
5.2 边界条件的数值离散 98
5.2.1 矩形区域 99
5.2.2 任意区域 101
5.2.3 高维格式的计算效率 106
5.3 分数步长方法 107
5.3.1 交替方向隐式方法 107
5.3.2 局部一维化方法 113
5.3.3 注释和说明 114
习题 116
第6章 线性常系数对流方程 119
6.1 迎风格式和 Lax-Wendroff格式 119
6.1.1 迎风格式 119
6.1.2 Lax-Wendroff格式 121
6.1.3 稳定性分析方法 122
6.1.4 数值表现 124
6.2 线性常系数差分格式 126
6.2.1 基本数值概念 127
6.2.2 单调格式与数值振荡 128
6.2.3 数值耗散、数值频散和数值振荡 129
6.3 其他著名格式 133
6.3.1 Lax-Friedrichs 格式 133
6.3.2 蛙跳格式 135
6.3.3 盒子格式 138
6.4 人工边界条件 141
习题 143
第7章 线性双曲型方程 145
7.1 线性变系数对流方程 145
7.2 一阶双曲型方程组 148
7.3 二阶声波方程 150
7.3.1 直接离散方式 150
7.3.2 间接离散方式 151
7.3.3 哈密顿系统和辛格式 153
7.4 高维对流方程 155
习题 157
第8章 非线性双曲守恒律 159
8.1 弱解和熵解 159
8.2 守恒型差分格式 162
8.2.1 基于光滑解的格式构造 162
8.2.2 关于间断解的健壮性 167
8.3 有限体积方法 169
8.3.1 基本框架 169
8.3.2 Godunov方法 173
8.4 稳定性和收敛性 177
8.4.1 单调保持格式 178
8.4.2 单调格式 178
8.4.3 TVD格式 179
8.5 TVD修正技术 181
8.5.1 数值通量修正技术 181
8.5.2 数值斜率修正技术 182
习题 184
第9章 发展型方程差分方法综述 185
9.1 对流扩散方程 185
9.1.1 中心差商显格式 185
9.1.2 常用的解决方法 187
9.2 修正方程方法 191
9.3 能量方法 193
习题 196
第10章 椭圆型方程 198
10.1 五点格式 198
10.1.1 规则内点的五点差分方程 198
10.1.2 非规则内点的五点差分方程 199
10.1.3 离散方程组 200
10.1.4 线性方程组的数值解法 201
10.2 最大模估计 205
10.2.1 强最大值原理 205
10.2.2 简单估计 206
10.2.3 精细估计 207
10.3 提高数值精度的方法 209
10.3.1 Richardson外推技术 209
10.3.2 九点格式 210
10.3.3 Kreiss差分格式 210
10.4 有限元方法 211
10.4.1 变分方法的基本理论 212
10.4.2 古典变分法 214
10.4.3 标准有限元方法 216
习题 219
主要参考文献 221
附录 222
A Taylor 级数 222
B Fourier 级数 (积分) 222
C 周期函数的离散 Fourier理论 222
D 线性差分方程的基本理论 223
E 三对角矩阵的特征值 224
F Gronwall不等式 225
G 圆盘定理 225
部分习题答案和提示 226
索引 228

好的，这是一份关于《偏微分方程的有限差分方法》一书的图书简介，重点突出其内容广度、深度以及对读者的价值，同时确保文字风格自然、专业，不含人工智能痕迹。 --- 图书简介：《偏微分方程的有限差分方法》 在科学、工程、金融乃至环境模拟等诸多领域中，偏微分方程（PDEs）构成了描述自然现象和人造系统演化规律的核心数学工具。然而，除了极少数特殊情形外，解析求解这些方程几乎是不可能的任务。正是在这一背景下，数值方法，特别是有限差分法（Finite Difference Method, FDM），成为了我们理解和预测复杂物理过程的关键桥梁。 《偏微分方程的有限差分方法》一书，旨在为读者提供一个全面、深入且实用的指南，系统地阐述如何将抽象的偏微分方程转化为可计算的离散模型。本书不仅侧重于理论基础的严谨推导，更强调将数学原理与工程实践紧密结合，使用户能够有效地解决实际问题。 全书的结构精心设计，力求从基础概念出发，逐步深入到前沿技术。 第一部分：基础与核心理论 本书首先从偏微分方程的分类与基本性质入手，系统梳理了描述物理现象的几类典型方程——抛物型（如热传导方程）、双曲型（如波动方程）和椭圆型（如拉普拉斯方程）。随后，核心内容聚焦于有限差分法的基本构建模块：差商的构造。读者将详细学习如何通过泰勒级数展开，精确推导出中心差分、向前差分和向后差分的精度与误差特性。这一部分奠定了读者理解后续复杂算法的坚实数学基础。 我们对差分网格的剖分方式进行了详尽的讨论，包括均匀网格与非均匀网格的优劣性分析，为处理复杂几何边界打下基础。 第二部分：时间推进与稳定性分析 对于涉及时间演化的抛物型和双曲型方程，时间离散化是关键。本书花费大量篇幅探讨了各种时间推进格式的构建与性能比较。 显式方法：如前向欧拉法，讲解其实现上的直观性和计算上的简便性，同时深入剖析其严格的稳定域限制，这对于确保数值解的物理合理性至关重要。 隐式方法：如后向欧拉法和Crank-Nicolson方法。重点在于揭示隐式格式在牺牲部分计算直观性的同时，如何获得无条件（或更广范围）的稳定性，并详细阐述了求解由这些方法产生的线性代数方程组（通常是三对角矩阵）的高效算法，例如Thomas算法（TDMA）。 稳定性分析是数值方法的核心灵魂。本书采用冯·诺伊曼稳定性分析法，对各种时间步长与空间步长的组合进行了严格的条件判定，帮助读者理解数值解的发散与收敛背后的内在机理。 第三部分：空间离散与边界条件的实现 对于稳态问题（椭圆型方程）和对流占优的问题，空间离散的精度和对边界条件的正确处理直接决定了结果的准确性。 本书细致讲解了如何在高阶差分格式中实现对物理边界的精确拟合。对于具有陡峭梯度或激波的物理现象，简单的二阶精度格式往往力不从心。因此，书中专门辟章讨论了高阶差分格式的构造，包括五点格式、九点格式等，以及如何通过局部网格加密（局部网格细化）来优化计算资源配置。 在边界条件处理方面，本书不仅限于Dirichlet（第一类）和Neumann（第二类）条件，还深入探讨了Robin（第三类）条件以及处理不规则几何形状时的虚拟节点法和内插技术，确保数值解在边界处与物理现实保持一致。 第四部分：处理对流项与复杂方程 偏微分方程中包含对流项（一阶导数项）时，传统的中心差分格式容易引发数值振荡，导致结果不可信。本书提供了一系列成熟的策略来应对这一挑战： 迎风格式（Upwind Schemes）：根据流动的方向选择差分方向，这是处理纯对流方程的基石。 空间时间守恒格式：确保在离散化过程中，质量、动量或能量等守恒量在计算域内得到精确的离散化守恒。 交错网格技术：特别是在处理流体力学问题时，如何将速度和压力等变量分布在不同的网格点上，以避免棋盘格现象，是本书的特色内容之一。 此外，针对非线性偏微分方程，本书阐述了如何结合不动点迭代法（如Picard迭代）或牛顿法将非线性问题线性化，并与标准的有限差分格式相结合进行求解。 价值定位与读者群体 《偏微分方程的有限差分方法》不仅仅是一本公式手册，更是一本深入浅出的方法论教程。作者的叙述风格注重逻辑的连贯性和物理图像的清晰性，确保读者能够清晰地看到“为什么”要这样做，而非仅仅是“如何”计算。 本书非常适合以下读者群体： 1. 工程力学、航空航天、土木工程等领域的本科高年级和研究生：为他们提供解决专业领域内热传导、流体流动、结构分析等问题的强大数值工具箱。 2. 应用数学和计算科学的研究人员：作为深入了解FDM理论极限、稳定性边界和高阶方法构建的参考资料。 3. 从事计算模拟的工程师和技术人员：提供一套可靠、经过验证的数值方法蓝图，帮助他们建立和调试自己的模拟代码。 通过详尽的案例分析和对算法效率的讨论，本书将引导读者从一个理论学习者成长为一名能够独立设计、实施和评估复杂偏微分方程数值解的专家。掌握了有限差分方法的精髓，就掌握了将数学模型转化为工程洞察力的核心能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计给我留下了深刻的印象。它并非那种花哨或过于学术化的风格，而是以一种沉静而有力的姿态展现在我面前，传递出一种严谨而可靠的学术气息。封面的字体选择非常考究，大小、粗细都恰到好处，给人一种易于阅读且信息传递效率高的感觉。色彩的运用也十分到位，主色调可能是一种深邃的蓝色或沉稳的灰色，搭配上关键的标题文字，整体营造出一种宁静致远的氛围，仿佛邀请读者一同潜入偏微分方程的深奥世界。虽然我还没来得及深入阅读，但仅仅是封面，就已经激起了我对书中内容的无限遐想。我期待这本书能够以清晰的脉络和生动的语言，为我解开那些看似复杂的偏微分方程的面纱。封面上的作者信息也暗示了这是一本经过精心打磨、由经验丰富的学者撰写的著作，这让我对书的专业性和深度充满了信心。或许书中会有一些精美的插图或图表，来辅助理解抽象的概念，这同样是我对这本书抱有的美好期待之一。总之，这本书的封面给我留下了一个极其积极的初印象，它像一位训练有素的向导，准备带领我踏上一段充满挑战却也收获颇丰的知识旅程。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出版，无疑为我提供了一个深入学习和掌握偏微分方程有限差分方法的绝佳机会。我预见到书中会包含大量的数学推导和公式，这正是理解这类问题的精髓所在。我期待作者能够以一种既严谨又不失易懂的方式来呈现这些内容，尽量减少不必要的晦涩，让读者能够循序渐进地掌握核心概念。特别是对于一些关键的定理和证明，我希望书中能够有详尽的解释，以便我能够理解其逻辑链条。同时，有限差分法的数值稳定性是一个至关重要的话题，我希望书中能够对此进行深入的分析，介绍一些常用的稳定性判据，以及如何根据不同的问题选择合适的差分格式和时间步长来保证数值解的可靠性。此外，对于一些更高级的主题，例如高精度差分格式、自适应网格方法或者与其他数值方法的结合，如果书中能够有所涉及，那将是对我极大的启发。我希望这本书能够成为我学习和研究偏微分方程有限差分方法过程中不可或缺的参考。

评分☆☆☆☆☆

我对于这本书所包含的研究方向充满了好奇。偏微分方程作为数学中一个极其重要的分支，在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。而有限差分方法，作为求解这类方程的经典数值方法之一，其理论和实践的重要性不言而喻。我非常期待书中能够详细阐述有限差分法的基本原理，例如如何将连续的偏微分方程转化为离散的形式，以及不同阶数的差分格式如何影响数值解的精度和稳定性。我特别想了解的是，书中是否会深入探讨一些经典的偏微分方程问题，比如热传导方程、波动方程、泊松方程等，并展示如何运用有限差分法来求解这些方程。此外，对于实际应用中经常遇到的复杂边界条件和非均匀网格问题，这本书是否能提供有效的处理方法和技巧，也将是我非常关注的重点。我渴望通过这本书，不仅掌握有限差分法的基本操作，更能理解其背后的数学原理，并能够灵活地将其应用于解决实际问题，甚至从中获得一些新的研究思路。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书的第一感觉，是它的分量。那种沉甸甸的质感，让我立刻意识到这并非一本轻松的读物，而是一部需要投入时间和精力去细细品味的作品。纸张的触感也很不错，不是那种廉价的、容易泛黄的材料，而是带着一种温润的质感，翻阅起来既舒适又耐用，这无疑增加了阅读的愉悦感。我习惯在拿到新书后，先浏览一下目录和前言，以此来对全书的结构和作者的写作意图有一个初步的了解。这本书的目录条理清晰，层层递进，从基础概念的铺垫，到具体方法的讲解，再到实际应用的探讨，似乎都安排得井井有条。前言部分，作者的语言通常会透露出他们对该领域的独特见解和研究热情，或许会分享一些创作这本书的初衷，以及希望读者从中获得些什么。这些细微之处，往往能够帮助读者更好地进入作者的思维模式，从而更有效地吸收书中的知识。对于一本探讨偏微分方程及其数值方法的书籍而言，这种严谨的结构和清晰的逻辑至关重要，因为它需要引导读者逐步掌握复杂的技术。

评分☆☆☆☆☆

读一本好书，就像与一位智者进行深度交流。我对于这本书充满了期待，因为它所涵盖的领域——偏微分方程的有限差分方法，是我一直以来都非常感兴趣且认为极具价值的研究方向。我希望这本书能够不仅仅是理论的堆砌，更能体现出作者在这一领域的深刻见解和丰富的实践经验。我期待书中能够提供一些具有启发性的案例分析，通过具体的实例来展示有限差分方法的强大应用能力，例如在流体力学、传热学、电磁学等领域中，这些方法是如何被巧妙运用以解决现实世界的复杂问题。同时，我也希望书中能够引导我思考有限差分法的局限性，以及在哪些情况下可能需要考虑其他的数值方法。一本真正优秀的教材，应该能够培养读者的批判性思维，而不是简单地灌输知识。我渴望通过阅读这本书，不仅能够扎实掌握有限差分法的理论基础和计算技巧，更能培养出独立分析和解决复杂问题的能力，从而为我未来的学术研究或工程实践打下坚实的基础。