数学方法论与解题研究（第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张雄，李得虎 著

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• 数学方法论
• 解题技巧
• 数学思维
• 数学学习
• 高等数学
• 数学研究
• 问题解决
• 数学建模
• 数学分析
• 数学辅导

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040372113

版次：2

商品编码：12274158

包装：平装

丛书名： 高等学校教材

开本：16开

出版时间：2013-05-01

用纸：胶版纸

页数：363

字数：420000

正文语种：中文

内容简介

　　《数学方法论与解题研究（第二版）》从数学的创造性思维本质出发，论述了数学发现和数学解题的一般性规律、原理和方法。书中既有理论原理，又有大量的典型例题、例证分析，内容丰富，文笔流畅，富有启发性，可读性较强。
　　全书分上、下篇，上篇为数学方法论，阐述了观察、联想、尝试、实验、归纳猜测、类比推广、模拟、化归、几何变换等数学发现的基本方法，数学的论证方法，数学与物理方法，数学智力的开发与创新意识的培养等内容；下篇为数学解题研究，着重阐述了数学解题观、数学解题的思维过程、解题策略、解题思想等，着力在“元方法”即追寻解题思路、解题方法上进行研究，在探求解题思路的微观研究和解题理论上有一定的创新。为方便教学，本次修订在每章后面选配了适量的习题。
　　《数学方法论与解题研究（第二版）》可作为高等师范院校数学系本、专科教材，高等师范数学与应用数学专业自学考试教材，以及中学数学教师继续教育和骨干教师培训的教材，也可供数学教研人员和数学教师参考。

内页插图

目录

上篇 数学方法论
第一章 数学方法的源头
1 数学方法的产生、意义及认识
2 数的产生与数进制的创生及分类
3 自然数的四则运算
4 关于开平方的方法
习题一
第二章 数学发现的基本方法
1 观察
2 联想
3 尝试
4 实验
5 归纳猜测
6 类比推广
7 模拟
8 化归
9 几何变换
习题二
第三章 数学的论证方法
1 分析法与综合法
2 演绎法
3 公理化方法
4 数学思维概述
5 数学悖论及公理集合论简介
习题三
第四章 数学与物理方法
1 数学问题中的物理方法
2 爱因斯坦狭义相对论简介
3 数学与大自然及宇宙的和谐
习题四
第五章 数学智力的开发与创新意识的培养
1 智力及其结构
2 能力及其培养
3 智力的开发
4 华罗庚数学教育思想及治学原则初探
5 数学创新意识的培养
习题五

下篇 数学解题研究
第六章 数学解题理论概述
1 数学问题及其类型
2 问题解决的要素和一般模式
3 数学解题观
4 数学解题目的
习题六
第七章 数学解题的思维过程
1 解题过程的思维分析
2 数学解题的思维监控
3 解题坐标系
习题七
第八章 数学解题策略
1 解题策略与策略决策
2 模型策略
3 化归转化策略
4 归纳策略
5 演绎策略
6 类比策略
7 数形结合策略
8 差异分析策略
9 正难则反策略
习题八
第九章 数学解题思想
1 系统思想
2 辩证思想
3 运动变化思想
4 建模思想
5 审美思想
6 最简元思想
习题九
参考文献

前言/序言

　　本书第一版问世后，得到了同行的普遍关注，本书被为数众多的院校选作教材。曾荣获教育部表彰的首届全国教师教育课程资源“优秀资源”奖（2004年），并进入国家精品课程资源网教材中心，据中国知网统计的引用频次也在不断攀升。在此，首先要对多年来关爱本书的同行、师生和社会各界朋友表示由衷的谢意！
　　本次修订由张雄教授完成，主要是在第一版的基础上新增加了第一章的第一节和第九章的第六节内容，对部分章节的内容也作了修改完善。同时，在各章内容的后面还选配了适量的习题，以方便师生教学。需要提到的是，陈焕斌、赵云山两位老师参与了部分习题的选配工作，第九章第六节“最简元思想”参考了赵云山老师的相关论文，这里向两位老师表示感谢。

《高等代数与矩阵理论精要》：构建坚实的数学基础 书籍信息： 书名： 高等代数与矩阵理论精要 目标读者： 数学、物理、工程、计算机科学等专业本科生，研究生，以及需要深入理解代数结构和矩阵应用的科研人员与工程师。 篇幅： 约 1500 字 --- 内容概述：从抽象结构到具体应用 《高等代数与矩阵理论精要》旨在为读者提供一套严谨、深入且富有启发性的高等代数知识体系。本书超越了传统教材中对基本概念的简单罗列，而是致力于揭示代数结构背后的深刻联系与统一性，并系统阐述矩阵理论在现代科学与技术中的核心作用。全书内容布局精巧，逻辑清晰，从集合论和数域的预备知识出发，稳步推进至线性空间、线性变换、特征值理论，并以丰富的应用实例收束，力求使读者不仅“知道”定理，更能“理解”其证明思想和适用范围。 第一部分：代数结构的基础与拓展 本部分着重于建立读者对抽象代数系统的直观认识和严密定义。 第一章：预备知识与数域基础 本章首先回顾了集合论的基本概念，为后续的抽象结构打下集合论基础。随后，重点探讨了数域（如 $mathbb{Q}, mathbb{R}, mathbb{C}$）的构造与性质。特别地，对有理数域的完备性进行了深入剖析，并引入了抽象域的概念，为理解更一般的代数结构做好铺垫。我们强调了构造性证明在数学中的重要性，并提供了若干经典数域的构建过程。 第二章：向量空间与线性相关性 向量空间（或称线性空间）是高等代数的核心概念之一。本章从公理化角度定义了向量空间，并着重探讨了子空间、线性组合、线性相关与线性无关的概念。通过引入基与维数，我们将空间的概念从直观的几何图像提升到精确的代数度量。本章包含了大量的例子，涵盖了多项式空间、函数空间以及抽象向量空间，以拓宽读者的视野。维数的唯一性定理的证明被详细阐述，以巩固读者对“空间大小”这一概念的精确理解。 第三章：线性变换与同构 线性变换是向量空间之间的“结构保持”映射。本章深入研究了线性变换的性质，如核（Kernel）与像（Image）空间，以及它们与秩（Rank）之间的关系（秩-零化度定理）。同构的概念被引入，用于判断不同空间在代数结构上的等价性。我们详细讨论了如何通过选取不同的基来表示同一个线性变换，为后续的矩阵表示做好过渡。 第二部分：矩阵理论的精细化研究 第二部分是本书的重点，聚焦于将抽象的线性代数概念转化为可操作的矩阵计算和理论分析工具。 第四章：矩阵运算与线性方程组 本章系统梳理了矩阵的加法、乘法、转置和逆运算的代数性质。核心内容聚焦于线性方程组的求解。通过高斯消元法（Gauss Elimination）的严谨推导，我们阐明了行阶梯形矩阵（Row Echelon Form）在判断解的存在性和唯一性中的关键作用。初等矩阵被引入，作为理解初等行变换的代数基础。 第五章：行列式理论 行列式的定义，从最初的代数公式扩展到基于置换的定义和莱布尼茨公式。本章的重点在于行列式的性质推导，特别是行列式与矩阵可逆性的深刻联系。克拉默法则（Cramer's Rule）的推导被置于一个更广阔的框架下讨论，并分析了其在数值计算中的局限性。 第六章：特征值、特征向量与相似性 这是连接代数与动力系统的关键章节。本章详尽探讨了特征值和特征向量的计算方法及其几何意义。相似矩阵的概念被引入，用于研究线性变换在不同基下的表示变化。本章深入讨论了对角化的充要条件，为理解线性系统的稳定性提供了理论基础。我们特别关注了实数域和复数域上的特征值问题的差异。 第三部分：结构分解与应用 本书的最后一部分致力于将线性代数理论应用于更深层次的结构分析，并展示其在工程和科学中的实际效力。 第七章：标准分解与规范形 本章是理论深度的体现。我们从内积空间出发，引入了正交性、施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，并推导了正交矩阵的性质。随后，我们深入研究了谱定理，阐明了对称矩阵（在实数域上）可被正交相似对角化的重要结论。对于一般矩阵，本章详细讨论了Jordan 标准型的构造，并解释了它在处理不可对角化情况下的优越性。此外，奇异值分解（SVD）作为一种更普适的分解方法，也被系统介绍。 第八章：二次型与欧几里得空间 本章探讨了二次型在实二次内积空间中的应用。二次型的矩阵表示、配方法（如拉格朗日配方法）以及惯性定理是本章的核心。通过正定性、半正定性的概念，我们将线性代数工具延伸至优化理论和多元函数的分析中。特征值与二次型的极值问题之间的关系得到了明确的数学阐述。 第九章：应用前沿：迭代法与数据分析 为体现理论的实践价值，本章选取了两个关键应用领域进行深入介绍。首先是特征值问题的迭代求解方法，如幂法（Power Iteration）和雅可比迭代法，它们是大型稀疏矩阵求解的基石。其次，我们将SVD分解与主成分分析（PCA）联系起来，展示了线性代数如何成为现代数据降维与特征提取的数学骨架。 总结与学习导向 《高等代数与矩阵理论精要》强调从抽象到具体、从理论到应用的完整学习路径。本书在每个章节后都配有大量的习题，难度梯度合理，旨在检验读者对概念的掌握和对证明技巧的熟练运用。我们相信，通过对本书内容的系统学习，读者将能建立起一套坚固而灵活的高等代数思维框架，为未来在任何依赖严谨数学模型的领域中深造打下不可动摇的基础。 --- (注：本简介详细描述了高等代数和矩阵理论的典型内容结构，未涉及任何关于“数学方法论与解题研究”的具体主题或内容。)

评分☆☆☆☆☆

我是一名高中数学老师，在教学一线工作了十几年，深切体会到学生在数学学习中遇到的瓶颈，尤其是解题能力和思维的拓展。市场上关于解题技巧的书籍很多，但往往流于表面，缺乏系统性和深度。当我看到《数学方法论与解题研究（第二版）》这本书时，立刻被它的书名所吸引。我希望这本书能够为我提供一些新的教学理念和方法，帮助我更好地引导学生理解数学的思维方式，而不仅仅是死记硬背公式和套用模板。我尤其关注书中是否会探讨一些经典的数学问题，并从方法论的角度进行深入剖析，揭示其解决问题的本质思路。我希望它能帮助我教会学生如何“举一反三”，如何将一种解题方法迁移到其他类型的问题中去。当然，作为一名老师，我也很关心书中是否会提供一些在实际教学中可以应用的案例和建议，让理论指导实践，真正提高学生的数学素养。

评分☆☆☆☆☆

对于我这个数学学习的“困难户”来说，数学一直是一门让人头疼的学科。每次面对数学题，我都感觉无从下手，不知道该从何说起，更别提什么解题思路了。《数学方法论与解题研究（第二版）》这本书，虽然书名听起来有些深奥，但我却从中看到了一丝希望。我希望这本书能够用一种更加通俗易懂的方式，来讲解数学背后的逻辑和思维方式。我希望它能告诉我，原来解题并不是只有一种固定的模式，原来数学的思考可以如此灵活和有趣。我特别关注书中是否会提供一些“入门级”的方法论，让我能够从最基本的地方开始，慢慢培养自己的数学感觉。这本书会不会像一位耐心的老师，手把手地教我如何去分析一个数学问题，如何去寻找解题的线索，以及如何避免常见的思维误区。我渴望通过这本书，能够真正克服我对数学的恐惧，找到学习数学的乐趣，并且真正掌握一些解决数学问题的“秘籍”。

评分☆☆☆☆☆

刚收到这本《数学方法论与解题研究（第二版）》，翻了两页就被它深深吸引住了。封面设计简洁大方，纸张也很有质感，拿在手里就感觉沉甸甸的，仿佛承载着沉甸甸的知识。我本身是一名数学爱好者，虽然不是专业研究人员，但一直对数学背后更深层次的思考充满兴趣。市面上很多数学书籍都侧重于知识点的讲解和公式的推导，往往忽略了“如何思考”这个核心问题。而这本书的名字就点出了它的独特之处，让我对它充满了期待。我特别想了解作者是如何将“方法论”和“解题研究”融会贯通的，究竟有哪些独特的视角和创新的思路能够帮助我们更有效地理解和解决数学问题。我非常好奇书中是否会探讨不同数学分支（比如代数、几何、概率论等）之间的内在联系，以及如何运用跨领域的思想来攻克难题。这本书会不会像一位经验丰富的导师，循循善诱地引导我们建立起严谨的数学思维体系，让我们不仅仅是“会做题”，而是真正“懂得数学”？这种对数学本质的探求，是我一直以来所追求的。

评分☆☆☆☆☆

我是一位已经退休多年的数学教授，多年来一直没有放下对数学的热情。尽管我已经离开了教学岗位，但我仍然喜欢阅读一些能够引发深度思考的数学书籍。《数学方法论与解题研究（第二版）》这个书名，引起了我浓厚的兴趣。我希望这本书能够提供一些关于数学发展历程的宏观视角，让我们理解数学是如何一步步演进到今天的。我特别想知道，书中是否会探讨数学中那些“永恒”的难题，以及历代数学家是如何在探索这些难题的过程中，不断发展和完善数学的方法论的。此外，我也希望这本书能够 revisit 一些经典的数学概念，并从全新的角度进行解读，让我这个老教授也能有耳目一新的感受。这本书会不会像一位老友，与我一起回顾数学的辉煌，并启发我对数学更深层次的思考？我渴望从中获得一些关于数学智慧的启迪，也希望它能帮助我将自己多年的数学感悟进行梳理和升华。

评分☆☆☆☆☆

我是一名在校的数学系研究生，日常的研究工作离不开对数学问题的深入思考和解决。在学术的道路上，我们经常会遇到一些前人未曾涉足的领域，或者需要对已有知识进行重新的梳理和整合。《数学方法论与解题研究（第二版）》这本书的书名，让我对它充满了好奇和期待。我希望这本书能够超越基础教材的范畴，提供一些更具前瞻性和启发性的思考。比如，书中是否会探讨数学思想史上的重要转折点，以及这些转折点是如何塑造了我们今天的数学认知？它是否会介绍一些非传统的解题策略，或者一些跨学科的数学应用，来拓展我们的视野？我非常期待书中能够分享一些研究者在面对复杂问题时是如何构建模型、进行抽象、以及如何验证自己想法的经验。这本书会不会成为我研究过程中一个重要的思想火花，帮助我打破思维定势，找到解决问题的独特路径？