Sobolev空间与偏微分方程引论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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王术 著

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• Sobolev空间
• 偏微分方程
• 泛函分析
• 数学分析
• PDE
• 函数空间
• 变分法
• 有限元
• 数值分析
• 应用数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030243492

版次：1

商品编码：12286572

包装：平装

开本：16开

出版时间：2009-04-01

用纸：胶版纸

页数：263

字数：333000

正文语种：中文

内容简介

　　《Sobolev空间与偏微分方程引论》系统讲述了偏微分方程一般理论的主要结果和研究方法．主要内容包括：实分析与泛函分析在Sobolev空间中的应用，整数次与分数次Sobolev空间的基本性质和基本技巧，如逼近理论、紧嵌入理论、迹定理、单位分解等基本理论以及局部化、平直化、光滑化和紧支化等技巧，二阶线性椭圆方程的各类边值问题弱解的存在性、正则性、极值原理、Schauder理论等方面的主要结果以及泛函方法、特征值方法、差商方法等现代偏微分方程方法和DeGiorgi迭代技巧，二阶线性抛物方程和二阶线性双曲方程的基本理论，弱解的存在性、正则性，能量方法，Galerkin方法，Lions定理与发展方程以及线性抛物型方程的Schauder理论和Lp理论，一阶线性双曲型方程式的特征线方法，一阶线性双曲型方程组的基本概念和对称双曲系统的黏性消失法等，
　　《Sobolev空间与偏微分方程引论》适合偏微分方程、微分动力系统、实分析、泛函分析、计算数学、数学物理、控制论方向的研究生、教师及科研人员阅读参考。

内页插图

目录

前言/序言

　　众所周知，偏微分方程的发展与实分析、泛函分析有着密切的联系，但是涉及泛函方法在偏微分方程应用方面的系统理论的专著或教材却很少，而且目前已有的国内外偏微分方程方面的大多专著或教材都各有其特点，重点内容和侧重点各不相同，有的偏重于椭圆与抛物类方程，有的偏重于双曲类方程这样，其基础知识和出发点就各不相同，再者，偏微分方程涉及广泛的相关学科基础知识，需要有较宽的数学知识面，当前的许多经典专著或教材起点高，对于在校的青年初学者，特别是研究生来说，内容较难理解，不利于他们更进一步地学习和研究．这样，适合于我国偏微分方程各方向的基础偏微分方程的内容体系便应运而生，
　　本书注重观念和思想产生的背景、创新思想的起源与启发，综述了偏微分方程的发展史和当前国内外偏微分方程研究的前沿问题，系统地介绍了偏微分方程的经典理论与现代方法、实分析与泛函分析在偏微分方程中的应用、Sobolev空间在偏微分方程中的应用等，其主要特点有：适合作为Sobolev空间与偏微分方程的入门书，深入浅出的思路分析、启发式的思想起源分析、系统的基本理论与应用、丰富的例题、适量且难易兼容的习题和大量详细的注解，都有利于读者理解和掌握书中的内容和相关知识，把读者引入现代偏微分方程的研究领域，大量的参考文献以及经典的名著参考书，可以引导读者选择研究领域、拓宽研究视野．书中内容详细、封闭完整、通俗易懂、言简意赅、论证严密，各部分内容自成体系；起点低，适用于各个专业和不同的研究方向．编者参阅了国内外同一主题的许多著作，吸收了各书之所长，相信会对读者有所帮助．
　　本书系统地讲述了偏微分方程一般理论的主要结果和研究方法．全书共分6章：第1章讲述偏微分方程的发展史、现代偏微分方程的主要研究方法以及一些重要的研究方向，介绍偏微分方程的基本概念与分类；第2章介绍实分析与泛函分析在Sobolev空间中的应用，整数次与分数次Sobolev空间的基本性质及其基本理论，如逼近理论、延拓理论、嵌入理论、单位分解理论及Fourier分析理论等，研究Sobolev空间理论中涉及的基本技巧，如局部化、平直化、光滑化和紧支化等，时空Sobolev空间的基本性质等，本章内容是自成体系的；第3章介绍二阶线性椭圆方程的各类边值问题弱解的存在唯一性、正则性、极值原理，Schauder理论等方面的主要结果以及泛函方法、特征值方法、差商方法等现代偏微分方程方法和DeGiorgi迭代技巧等；第4章和第5章分别介绍二阶线性抛物方程和二阶线性双曲型方程的基本理论，弱解的存在唯一性、正则性，能量方法，Galerkin方法，Lions定理与发展方程以及线性抛物型方程的Schauder理论和Lp理论等；第6章介绍一阶线性双曲型方程式的特征线方法和一阶线性双曲型方程组的基奉概念和对称双曲系统的黏性消失法等，
　　本书曾在北京工业大学讲过若干次，程曹宗教授、黎勇博士、邢秀侠博十、杨卫华博士和曾明博士等都曾提出过宝贵的修改意见，在此一并致谢，同时，借奉书出版之际，向我的老师叶其孝教授、谢春红教授、肖玲研究员、辛周平教授以及PeterA．Markowich教授表示感谢，他们在我的学业研究中给予了关心和指导，同时也感谢丁夏畦院士和郭柏灵院士在我的学术研究中给予的热情帮助．
　　本书作为Sobolev空问与偏微分方程的入门书，适合作为偏微分方程、微分动力系统、实分析、泛函分析、计算数学、数学物理、控制论等理工科相关方向研究生的教材和教学参考书，也可作为数学、物理、力学、工程等领域青年教师或科研人员的参考书．由于编者学识有限，加之初次尝试，不妥、片面甚至证明疏漏之处也在所难免，欢迎读者批评指正，

现代数学中的数学分析与泛函基础：从经典理论到前沿应用 本书旨在为读者构建一套坚实的现代数学分析基础，重点聚焦于测度论、勒贝格积分理论、$L^p$ 空间、泛函分析的基本概念，以及这些理论在处理经典数学物理问题中的应用。全书内容组织严谨，逻辑清晰，旨在引导读者从微积分的直观概念出发，逐步深入到高维空间和抽象向量空间的严密结构中。 第一部分：测度论与勒贝格积分的基石 本部分是理解现代概率论、调和分析乃至偏微分方程理论的必要前提。我们首先将回顾传统黎曼积分的局限性，并引入集合代数、$sigma$-代数和测度的严格定义。 1. 测度的构建： 我们将详细探讨卡拉索多里（Carathéodory）的外测度构造方法，并以此为基础定义波雷尔 $sigma$-代数（Borel $sigma$-algebra）。接着，通过 $sigma$-可加性原理，精确地构造出勒贝格测度（Lebesgue Measure）在 $mathbb{R}^n$ 上的唯一性。测度的性质，如单调性、完备性、可数可加性等，将被深入剖析。 2. 可测函数与勒贝格积分： 可测函数的定义是连接测度论与积分理论的桥梁。本书将区分简单函数（Simple Functions）、非负可测函数和一般的可测函数。勒贝格积分的定义将通过逼近过程（如逐点极限下的积分交换）来建立，这与黎曼积分的构造方式形成鲜明对比。我们将证明勒贝格积分优于黎曼积分的性质，特别是著名的单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem, MCT）和法图定理（Fatou's Lemma）。 3. $L^p$ 空间的引入： 测度论的直接应用体现在函数的 $L^p$ 范数的定义上。我们将引入积分空间的完备性概念，并详细推导闵可夫斯基不等式（Minkowski Inequality），这为后续泛函分析中讨论空间结构提供了量化工具。此外，还将探讨积分函数空间之间的关系，例如 $L^1$ 与 $L^infty$ 之间的对偶性联系。 第二部分：泛函分析的核心概念 本部分将视角从 $mathbb{R}^n$ 上的函数空间提升到更抽象的向量空间，为解决微分方程的弱解理论奠定基础。 1. 赋范线性空间与巴拿赫空间： 我们首先定义范数、距离和拓扑结构。线性空间的完备性是泛函分析的灵魂所在，本书将集中阐述巴拿赫空间（Banach Spaces）的定义及其重要性。我们将举例说明经典空间（如 $mathbb{R}^n$、连续函数空间 $C[a, b]$、以及 $L^p$ 空间）如何构成巴拿赫空间。 2. 连续线性算子： 线性算子的定义、范数的计算以及有界性判据将是本节重点。通过研究算子空间的拓扑结构，我们将探究算子的连续性与有界性之间的等价关系。 3. 线性泛函与对偶空间： 线性泛函是研究泛函分析的另一个核心要素。我们将详细介绍汉-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）的深刻内涵及其在构造分离超平面中的作用。更重要的是，我们将构建 $L^p$ 空间的对偶空间，证明 $L^p$ 空间的对偶空间是 $L^q$ 空间（其中 $1/p + 1/q = 1$），这是对黎曼-勒贝格引理（Riesz-Fischer Theorem）的初步铺垫。 4. 开映射定理、闭图像定理与一致有界性原理： 这三个是巴拿赫空间理论中的三大基石定理。我们将对这些定理进行严格证明，并阐述它们在确保线性算子行为“良好”方面的重要意义。这些工具为后续求解微分方程的算子方法提供了必要的理论保障。 第三部分：函数空间的结构与收敛性理论 本部分关注在函数空间中，极限、收敛性以及函数的良好性是如何被精确描述的。 1. 函数的正则性： 区别于简单的拓扑收敛，本书将引入更强的收敛概念。我们将讨论函数在 $L^p$ 范数下的收敛性，并将其与逐点收敛、依测度收敛进行比较。 2. 紧致性概念： 紧致性在分析中至关重要，它允许我们将无限维问题转化为有限维的近似问题。我们将引入 $epsilon$-网格的概念，并着重讨论等度连续性（Equicontinuity）与紧致性之间的关系。阿兹拉-阿斯柯里定理（Arzelà-Ascoli Theorem）将在 $C[a, b]$ 空间中得到详细阐述和应用。 3. 希尔伯特空间基础（选讲）： 在完备的内积空间中，特别是希尔伯特空间（Hilbert Spaces）中，正交性具有极强的几何直观。我们将简要介绍内积的定义、正交基的概念，并展示傅里叶级数（Fourier Series）在 $L^2$ 空间中的收敛性，这体现了 Riesz-Fischer 定理在具体空间中的力量。 第四部分：算子理论的初步展望 本部分将引导读者初步接触有界线性算子在巴拿赫空间上的作用，为后续深入研究微分算子打下基础。 1. 算子的谱理论基础： 我们将定义算子的谱（Spectrum）的概念，即找到那些使得 $lambda I - T$ 不可逆的复数 $lambda$ 的集合。虽然不会深入探讨完整的谱理论，但会建立算子有界性和其谱半径之间的基本联系。 2. 压缩映射原理： 巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）是求解特定类型方程（如常微分方程初值问题）的强大工具。我们将详细论证其收敛性，并展示其在迭代法中的实际应用。 全书以严密的逻辑链条，将初级的拓扑概念、测度理论、积分理论，层层递进地整合进抽象的泛函分析框架之中。读者在完成本书的学习后，将能够熟练运用现代分析工具，为后续深入学习调和分析、微分几何或专业的偏微分方程理论打下坚不可摧的分析基础。本书适合高等院校数学系高年级本科生及研究生作为分析学课程的进阶教材或参考书。

评分☆☆☆☆☆

我是一名希望通过学习拓宽研究视野的博士生，目前在数值分析领域有一定基础。Sobolev 空间与偏微分方程的理论基础对我来说是必不可少的知识补充。我希望这本书能够不仅仅局限于理论的堆砌，而是能够提供一些实际的研究思路和方法。例如，在处理非线性偏微分方程时，Sobolev 空间如何帮助我们建立能量估计，从而证明解的存在性和稳定性？书中是否会涉及一些非线性算子的讨论，以及在 Sobolev 空间中如何分析它们的性质？我尤其关心书中是否会讨论一些与应用数学领域紧密相关的偏微分方程，比如流体力学、弹性力学、电磁场理论等，并结合这些具体例子来讲解 Sobolev 空间的应用。如果书中能够提供一些关于如何从实际问题出发，建立相应的数学模型，然后利用 Sobolev 空间和偏微分方程的理论来分析和求解的案例，那将非常有价值。我希望能通过这本书，掌握一套严谨的数学工具，能够独立地去分析和解决一些新的、具有挑战性的偏微分方程问题。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名就足以让对偏微分方程领域心怀向往的读者产生浓厚的兴趣。Sobolev空间，作为现代分析工具中的一把利器，其重要性在偏微分方程的研究中不言而喻。这本书的出现，无疑为想要深入理解偏微分方程背后深刻数学原理的读者提供了一个绝佳的起点。我尤其期待它能够清晰地阐述Sobolev空间是如何构建起来的，它的拓扑结构和分析性质是如何与偏微分方程的解的存在性、唯一性、光滑性等重要性质紧密相连的。书中是否会通过一些经典问题，比如泊松方程、热方程、波动方程等，来展示Sobolev空间的实际应用，并逐步引导读者建立起分析问题的框架，这是我非常关心的一点。而且，我希望能看到作者如何处理 Sobolev 嵌入定理、Poincaré 不等式这些核心概念，以及它们在证明偏微分方程解的先验估计中的关键作用。毕竟，对这些工具的深刻理解，是能否真正掌握偏微分方程研究方法的基础。希望书中能有足够的例子和练习，帮助我们巩固所学，而不是仅仅停留在理论层面。

评分☆☆☆☆☆

我对数学史和数学思想的演变非常感兴趣，如果这本书能够在这方面有所体现，那将是一份额外的惊喜。例如，Sobolev 空间是如何被提出和发展起来的？它在解决哪些历史上的数学难题中发挥了关键作用？书中是否会介绍一些重要的数学家，以及他们在这个领域的研究贡献？我希望书中不仅仅是呈现知识点，更能引导读者思考这些理论是如何产生的，以及它们背后所蕴含的深刻思想。在偏微分方程方面，我希望看到书中能介绍一些经典的偏微分方程，并简要回顾它们在科学和工程领域中的重要应用，以及研究这些方程所面临的挑战。通过了解这些历史背景和应用场景，我希望能更深刻地理解 Sobolev 空间和偏微分方程在现代科学研究中的价值和意义。如果书中能提供一些关于如何将理论知识应用于实际问题，或者一些前沿的研究方向的介绍，那将更能激发我的学习兴趣和探索欲望。

评分☆☆☆☆☆

对于初学者来说，理解像 Sobolev 空间这样抽象的概念可能是一个巨大的挑战。我希望这本书能够以一种循序渐进、由浅入深的方式来介绍这些内容。如果书中能够从 Lebesgue 积分和 $L^p$ 空间等基础概念开始，逐步引入 Sobolev 空间的定义和基本性质，而不是直接跳到复杂的理论，那将极大地方便像我这样的初学者。我也期待书中能有大量的图示和直观的解释，帮助我们理解 Sobolev 空间的几何意义和分析性质。例如，Sobolev 空间的范数是如何衡量函数及其导数的“光滑性”和“衰减性”的？书中是否会通过一些简单的例子，比如一维情况下的 Sobolev 空间，来帮助我们建立起初步的认识，然后再推广到高维情况？此外，我希望书中能有比较详细的习题，并且最好包含一些提示或者解答，以便我们能够及时检验自己的学习效果，并从中发现理解上的不足。如果这本书能够帮助我建立起对 Sobolev 空间和偏微分方程的初步信心，并为我未来的深入学习打下坚实的基础，那将是对我最大的帮助。

评分☆☆☆☆☆

作为一个对数学理论的逻辑严谨性有着较高要求的读者，我非常看重一本教科书的结构安排和论证过程。这本书的题目暗示了它将聚焦于 Sobolev 空间与偏微分方程之间的内在联系，这让我对它在构建理论体系方面的能力充满了好奇。我期待书中能够从最基础的函数空间概念出发，逐步引入 Sobolev 空间的定义，并给出其完备性、范数等关键性质的详细证明。在与偏微分方程的结合方面，我希望看到书中能够清晰地阐述“弱解”的概念是如何产生的，以及 Sobolev 空间为何是定义和研究弱解的理想场所。特别是，书中是否会深入探讨不同阶的 Sobolev 空间以及它们之间的关系，例如 $H^1$ 空间、$H^2$ 空间等，并且说明在解决不同类型偏微分方程时，选择哪种 Sobolev 空间更为合适。此外，对于作者如何组织偏微分方程的求解方法，是采用经典的谱方法、有限差分法，还是更现代的有限元法，亦或是以泛函分析为基础的理论方法，我都非常感兴趣，并希望看到其中的论证逻辑能够清晰流畅，易于读者理解。