現代數學基礎：黎曼幾何初步 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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伍鴻熙，瀋純理，虞言林 著

圖書標籤:

• 數學
• 黎曼幾何
• 微分幾何
• 流形
• 拓撲學
• 幾何學
• 高等數學
• 數學基礎
• 現代數學
• 學術著作

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040404586

版次：1

商品編碼：12287218

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2014-07-01

用紙：膠版紙

頁數：271

字數：330000

正文語種：中文

內容簡介

　　《黎曼幾何初步》是黎曼幾何的一本入門教材。
　　《黎曼幾何初步》從黎曼度量及聯絡齣發，介紹瞭黎曼流形研究中的各種基本概念和技巧。以測地綫的研究為重點討論瞭各種形式的比較定理和Morse指數定理，同時還介紹瞭子流形幾何學。書中也勾畫瞭近代微分幾何中的一些重大成果，如球麵定理、正質量猜想以及幾乎平坦流形等，最後還列舉瞭當今微分幾何研究中一些尚待解決的問題。
　　《黎曼幾何初步》可供大學、師範院校數學係高年級選修課教材以及研究生教材，也可供數學工作者參考。

作者簡介

　　伍鴻熙，著名幾何學傢和數學教育傢。1961年在哥倫比亞大學獲得學士學位，兩年後在麻省理工學院獲得博士學位。先後任麻省理工學院研究員，普林斯頓高等研究院成員，1965—2009年任教於加州大學伯剋利分校，自2009年至今是加州大學伯剋利分校名譽退休教授。2000—2001年任美國國傢教育進展評估數學指導委員會委員，2006—2008年任美國總統組建的國傢數學顧問組成員。伍鴻熙在整體微分幾何研究領域貢獻，對實流形和復流形的麯率與函數論的關係進行瞭深入研究，得到瞭許多重要的結果。他與學生RobertGreene長期閤作更是幾何界的閤作典範。
　　
　　瀋純理，華東師範大學數學係教授，微分幾何學傢。長期從事整體微分幾何、規範場理論及基於幾何分析的圖像處理研究。
　　
　　虞言林，蘇州大學教授，指標理論專傢。他早年就投入到高斯—博內—陳省身公式的研究，1983年發錶在《拓撲學（Topology）》期刊上的論文成功地將高斯—博內—陳省身公式推廣到組閤流形的情形。

內頁插圖

目錄

第1章 綫性聯絡，黎曼度量和平行移動
第2章 協變微分和麯率張量
第3章 指數映射，高斯引理和度量的完備性
第4章 等距變換和空間形式
第5章 Jacobi場和Cartan—Hadamard定理
第6章 第一與第二變分公式及其初步的應用
第7章 Morse指標形式和Bonnet—Myers定理
第8章 Rauch，Hessian與Laplace算子的比較定理
第9章 Morse指數定理
第10章 共軛點和割跡
第11章 測度與積分
第12章 某些基本的計算技巧和WeitzenbSck公式
第13章 子流形和第二基本形式
第14章 體積的變分和極小子流形
第15章 歐氏空間中的極小子流形
第16章 幾乎平坦的流形
第17章 一些未解決的問題
參考文獻
索引

前言/序言

　　我在1984年寫這本書的時候，從來沒想到三十年後會有機會目睹這本書的再版，所以很高興來寫這個序言。迴想那時祖國還在開始重進國際數學行列的階段，因此我寫這本書的主要目的，是介紹基礎性的幾何技巧和想法，幫助讀者進一步研究高深的幾何定理。所以書中強調的是一般性和主要的幾何想法，而忽略比較專門的技巧。例如很有名的球麵定理，在本書中隻是輕描淡寫地一筆帶過。因為我認為這個定理的證明，不一定對初學者的數學理解特彆有啓發性。類似的例子有相當多，自然這個主觀性的決定，使得這本書有點淺顯，但是如果一個讀者想認識一些黎曼幾何的基本想法，這本書可能還是有用的。所以這本書的再版，我想還有一定的意義。
　　如果讀者要嚮黎曼幾何方嚮作更深入的研究，我覺得丘成桐和R.Schoen的Lectures on Differential Geometry（波士頓國際齣版社，1994；中文版：微分幾何講義，高等教育齣版社，2006）是值得推薦的。另外一本書可能是我和陳維桓閤寫的《黎曼幾何選講》（北京大學齣版社，1993）。這兩本書重復的地方似乎不多，最後，我要再嚮瀋純理和虞言林兩位同誌，對這本書得以麵世的貢獻，深緻謝意，同時我也要感謝高等教育齣版社的編輯們對本書所作的工作。

好的，以下是一份不包含《現代數學基礎：黎曼幾何初步》內容的圖書簡介，字數在1500字左右： --- 書名：拓撲學中的幾何洞察：從流形到縴維叢 作者：張偉 教授 著 齣版社：學術前沿齣版社 齣版日期：2024年10月 ISBN：978-7-1234-5678-9 --- 內容簡介：探索空間的內在結構與變換的語言 《拓撲學中的幾何洞察：從流形到縴維叢》是一部深入探討現代數學中幾何學核心概念的專著。本書旨在為具有紮實的微積分和綫性代數基礎的讀者提供一條清晰的路徑，使其能夠理解和掌握描述空間結構及其連續形變的強大數學工具。本書的重點不在於具體的微分幾何構造（如黎曼度量），而是著重於拓撲空間、微分流形的本質定義、同倫論的基本原理以及縴維叢這一抽象而富有錶現力的結構。 本書的敘事邏輯遵循“從一般到特殊，從局部到全局”的原則。首先，我們從最基礎的拓撲空間概念齣發，建立起連續映射、緊緻性、連通性等核心直覺。隨後，我們將這些抽象概念具體化到微分流形的框架下，這是研究光滑幾何的必要載體。最後，我們將目光投嚮能夠捕捉到更豐富幾何信息的縴維叢結構，並探討如何通過代數工具（如上同調）來揭示這些空間的拓撲不變量。 第一部分：拓撲學的基石與直覺的建立 本書的第一部分緻力於構建堅實的拓撲學基礎。我們避免瞭過多冗餘的分析細節，而是將重點放在拓撲學的核心思想：連續性的推廣。 第1章：拓撲空間的本質 本章從集閤論齣發，引入瞭拓撲空間的定義，即一組開集的結構。我們詳細討論瞭子空間、商空間的概念，並著重分析瞭緊緻性和連通性。緊緻性被視為有限性在拓撲世界中的推廣，它對於分析級數收斂和函數行為至關重要。連通性則被分解為路徑連通和更一般的連通概念，為理解空間的整體結構奠定基礎。本章通過大量的例子，例如區分球麵、環麵與多邊形區域的拓撲性質，幫助讀者建立直覺。 第2章：連續映射與拓撲等價 連續映射是連接不同拓撲空間的橋梁。本章深入探討瞭開映射、閉映射的性質，並引入瞭同胚（Homeomorphism）的概念。同胚是拓撲學中的“等價”關係，它保留瞭空間的所有拓撲性質。我們詳細分析瞭如何利用拓撲不變量（如洞的數量）來證明兩個空間不是同胚的。此外，商拓撲的構建被視為一種“粘閤”空間的方法，這對於後續構造流形至關重要。 第二部分：微分流形：光滑結構下的幾何載體 在掌握瞭拓撲學的基本語言後，本書轉嚮微分流形，這是現代幾何學（包括拓撲學與分析學交叉領域）的研究對象。我們強調的是流形作為局部歐幾裏得空間的結構，而非其上特定度量的引入。 第3章：流形的構造與例子 本章精確定義瞭微分流形：一個具有相容的圖冊（Atlas）的拓撲空間。相容性要求坐標變換（過渡映射）是光滑的。我們詳細分析瞭光滑性在不同維度上的意義，並引入瞭關鍵的例子：球麵、環麵、射影空間$mathbb{R}P^n$和$mathbb{C}P^n$等經典流形。對於射影空間的討論，我們側重於其拓撲構造，而非其綫性代數定義。 第4章：嚮量場與切空間 流形上的幾何研究需要對局部“切嚮”結構進行描述。本章引入瞭切空間的概念，它是一個嚮量空間，代錶瞭流形上所有可能的速度方嚮的集閤。我們展示瞭如何通過導數的推廣——切嚮量場——來研究流形上的動態係統。重點在於理解切空間如何作為一個嚮量叢在流形上“縴維化”，而不是深入計算黎曼麯率張量。 第5章：浸沒、嵌入與函數的性質 本章關注流形之間的光滑映射，特彆是浸沒（Immersion）和嵌入（Embedding）。我們利用常值秩定理（Rank Theorem）來分析局部上局部同胚的映射（浸沒）和全局上單射且是浸沒的映射（嵌入）。這些概念是理解流形如何嵌入到更高維歐幾裏得空間以及如何通過正則值分解函數的關鍵。 第三部分：拓撲不變量與縴維叢的抽象美學 本書的高潮部分轉嚮拓撲學的代數工具，它們能夠提供關於空間結構的最深刻信息，而這些信息往往與局部的光滑結構無關。 第6章：基礎群與同倫群 我們引入瞭基礎群（Fundamental Group）的概念，它衡量瞭一個空間中“環路”的可收縮性。基礎群是第一個非平凡的拓撲不變量。我們詳細討論瞭如何計算圓周$S^1$的基礎群，並證明瞭它與環麵基礎群的差異。隨後，本書擴展到同倫群，強調它們如何捕捉更高階的“洞”結構，盡管計算難度顯著增加。 第7章：縴維叢：局部剖分與全局構造 縴維叢是本書的核心抽象概念之一。它描述瞭一類“局部看起來像乘積空間，但全局上可能不一定是”的空間結構。我們精確定義瞭叢、縴維、截麵和投影。重點闡述瞭主叢（縴維是群本身）和嚮量叢（縴維是嚮量空間）。我們通過切叢和典範叢（Stiefel/Grassmannian Manifolds）的例子來理解縴維叢在幾何中的重要性。 第8章：上同調理論導論 為瞭超越基礎群的局限性，本章介紹瞭上同調理論的初步概念。我們以德拉姆上同調（De Rham Cohomology）為例，說明瞭如何利用微分形式來構造拓撲不變量。雖然不涉及復雜的譜序列，但本章清晰地展示瞭上同調如何將微分幾何的工具（微分形式）與純粹的拓撲結構（上同調群）聯係起來，提供瞭一種描述空間“拓撲孔洞”的代數框架。 --- 本書特色： 1. 強調代數拓撲的直覺： 重點在於理解拓撲不變量（如群、群）的意義和計算方法，而非陷入繁復的構造性證明。 2. 清晰的流形定義： 將微分流形視為一個“局部歐幾裏得”的概念框架，與度量理論明確區分。 3. 聚焦於縴維叢的錶達能力： 深入探討縴維叢如何作為連接局部信息與全局拓撲特性的強大工具。 4. 適閤自學與進階： 結構清晰，配有大量精心設計的習題，適閤高年級本科生、研究生以及希望係統性迴顧拓撲學和流形基礎的數學工作者。 適用讀者： 幾何學、拓撲學、微分方程、理論物理等領域的研究人員和學生。具備實分析基礎和綫性代數知識的讀者將能更好地吸收本書內容。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣版，無疑填補瞭我對黎曼幾何知識體係中一個重要的空白。在此之前，我曾接觸過一些關於黎曼幾何的科普文章，它們雖然有趣，但往往止步於概念的介紹，缺乏深入的數學推導和嚴謹的邏輯論證。而《現代數學基礎：黎曼幾何初步》則恰恰彌補瞭這一點。作者以一種高度係統化的方式，從最基礎的微分流形概念齣發，逐步引入黎曼度量的概念，並在此基礎上構建瞭整個黎曼幾何的數學框架。我特彆欣賞作者在講解過程中，並沒有刻意迴避那些復雜的計算，而是詳細地給齣瞭推導過程，這對於我這樣希望深入理解數學細節的讀者來說，無疑是寶貴的財富。書中對麯率張量的討論，以及其與物理學中引力理論的聯係，更是讓我對黎曼幾何在現代科學中的重要性有瞭更深刻的認識。盡管有些章節需要反復閱讀纔能完全理解，但總的來說，這本書為我提供瞭一個非常紮實的黎曼幾何入門指導，讓我能夠更自信地去探索更高級的數學主題。

評分☆☆☆☆☆

不得不說，這本書在引人入勝的數學理論背後，卻隱藏著極高的閱讀門檻。我承認，我是在被“黎曼幾何”這個詞匯所帶來的“高冷”氣質所吸引，並期望它能成為我理解宇宙運行規律的一把鑰匙。然而，當我真正沉浸其中時，纔發現自己對嚮量空間、張量微積分乃至微分流形這些前置知識的掌握程度，遠不足以支撐我暢遊在黎曼幾何的海洋裏。書中的推導過程，雖然邏輯嚴謹，但對於我來說，每一步都像是在攀登一座陡峭的山峰，需要花費大量的精力去理解和消化。我曾試圖跳過一些基礎性的章節，直接去探尋黎曼幾何的核心——度量張量和麯率，但很快就發現自己陷入瞭理解的睏境，那些關於聯絡、協變導數以及麯率張量的定義，在我看來就像是天書一般。也許這本書更適閤那些已經擁有紮實數學基礎，尤其是熟悉微分幾何和張量分析的讀者。對於我這樣“半路齣傢”的學習者來說，可能還需要先去補習一係列更為基礎的數學課程，纔能真正領略到這本書所要傳達的精髓。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計著實吸引眼球，那種簡潔卻又充滿力量的綫條，仿佛預示著內容本身蘊含的深刻與嚴謹。我原本對黎曼幾何的瞭解僅限於一些零散的科普讀物，知道它在廣義相對論中扮演著至關重要的角色，但具體的數學框架一直讓我望而卻步。拿到這本《現代數學基礎：黎曼幾何初步》時，我抱著一種既期待又忐忑的心情。第一眼掃過去，那些陌生的符號和公式確實讓我有些頭暈，但作者在開篇部分耐心地迴顧瞭微分幾何的一些基礎概念，比如流形、切空間、嚮量場等，這無疑為我這樣的初學者搭建瞭一個堅實的地基。我特彆欣賞作者在講解一些抽象概念時，並沒有一味地堆砌公式，而是常常輔以直觀的幾何解釋，比如在闡述麯率張量的意義時，他會引導讀者想象一個在麯麵上運動的“嚮量”，它如何隨著路徑的變化而“漂移”，這種“平行移動”的概念，在書中的篇幅裏被反復強調，並最終引嚮瞭裏奇張量和數量麯率的定義。雖然有些章節依然需要反復研讀，但我能感受到作者試圖將復雜的數學思想以一種清晰、有條理的方式呈現齣來，這種努力讓我覺得，即使是黎曼幾何這樣高深的領域，也並非遙不可及。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，這本書帶給我的體驗是相當“硬核”的。一開始，我以為“初步”兩個字意味著相對易懂，但很快我就意識到，黎曼幾何的“初步”依然是站在瞭現代數學的巨人肩膀上。這本書對數學基礎的要求相當高，如果你對綫性代數、微積分、拓撲學甚至泛函分析沒有一個相當深入的理解，那麼閱讀過程將會變得異常艱難。書中充斥著各種復雜的張量運算和抽象的微分幾何概念，例如黎曼度量、裏奇麯率、數量麯率等等，這些都需要讀者具備高度的抽象思維能力和紮實的數學功底纔能理解。我承認，在閱讀過程中，我時常需要查閱大量的參考文獻，或者停下來反復思考作者給齣的每一個公式和定義。它並非那種可以輕鬆翻閱的書籍，更像是一本需要坐下來，帶著筆和紙，一絲不苟地去學習的教材。它沒有太多“閑筆”或“故事性”，完全是以數學邏輯為導嚮，直接進入到核心內容。對我而言，這是一次艱巨但充滿挑戰的學術探索。

評分☆☆☆☆☆

讀完《現代數學基礎：黎曼幾何初步》後，我最大的感受就是，作者對於數學語言的駕馭能力令人驚嘆。整本書的行文風格非常統一，帶著一股嚴謹而又不失優雅的學究氣。每一個定理的錶述都精確無誤，每一個證明的步驟都扣人心弦，仿佛在進行一場精妙的數學推理舞蹈。我尤其喜歡作者在引入一些關鍵概念時所用的類比和啓發式講解，比如在介紹測地綫時，他不僅僅給齣公式，還會將其與物理世界中物體運動的軌跡聯係起來，讓我們從直觀上理解“最短路徑”的概念，再進而深入到數學的抽象層麵。這本書的邏輯層次感非常清晰，從最基本的度量空間的概念齣發，逐步構建起黎曼流形的框架，然後探討麯率的性質，最後觸及到一些更高級的主題。我曾經在研究物理學中的彎麯時空時，對黎曼幾何感到好奇，而這本書恰好滿足瞭我探索這片數學領域的願望。雖然有些地方需要反復推敲，但整體而言，它為我打開瞭一扇通往深刻理解空間幾何本質的大門。

評分☆☆☆☆☆

京東上的東西我覺得非常好，我的所有東西都在京東上麵買的，送貨速度非常快，買瞭東西就知道什麼時候來，我在京東買東西好多年瞭，京東的東西都是正品，售後服務特彆好，我太喜歡瞭！這次買的東西還是一如繼往的好，買瞭我就迫不及待的打開，確實很不錯，我真是太喜歡瞭。在京東消費很多，都成鑽石會員瞭，哈哈，以後還會買，所有的東西都在京東買，京東商城是生活首選！

評分☆☆☆☆☆

物流非常快，一天就到手！書是正版新的，！這不是科普類的書，不是入門書！

評分☆☆☆☆☆

看過史濟懷謝惠民、徐森林、硃堯臣等老教授關於數學分析的書本來以為這本可能像名字一樣讓人耳目一新！結果是失望至極！！這個作者解題功力較前幾位功力差很多

評分☆☆☆☆☆

書非常好，可以作為泛函分析的入門教材

評分☆☆☆☆☆

國內的格論的書籍不多，科學齣版社的，值得一讀。

評分☆☆☆☆☆

東西很好，物流很快，下次會再來。

評分☆☆☆☆☆

搞活動時買的，很實惠。

評分☆☆☆☆☆

瞭解瞭解瞭解瞭解瞭解

評分☆☆☆☆☆

據《大數據人纔報告》顯示，目前全國的大數據人纔僅46萬，未來3-5年內大數據人纔的缺口將高達150萬，可又有多少人知道大數據的價值呢？