算术域（第3版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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迈克尔.弗里德（美） 著

图书标签:

• 算术
• 数论
• 代数
• 域论
• 数学
• 高等数学
• 抽象代数
• 算术几何
• 第三版
• 数学教材

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560367767

版次：3

商品编码：12322738

包装：平装

开本：16

出版时间：2018-01-01

用纸：胶版纸

页数：796

内容简介

To those precious colleagues who can appreciate the goals of and connections to other aresa .To those who acknowledge the depth of what we already know from the absorbed contribution of previous generations before we address our papers.To those can transcend the hubris of today’s mathematical community.

目录

Table of Contents

Chapter 1.Infinite Galois Theory and Profinite Groups

Chapter 2.Valuations and Linear Disjointness

Chapter 3.Algebraic Function Fields of One Variable

Chapter 4.The Riemann Hypothesis for Function Fields

Chapter 5.Plane Curves

Chapter 6.The Chebotarev Density Theorem

Chapter 7.Ultraproducts

Chapter 8.Decision Procedures

Chapter 9.Algebraically Closed Fields

Chapter 10.Elements of Algebraic Geometry

Chapter 11.Pseudo Algebraically Closed Fields

Chapter 12.Hilbertian Fields

Chapter 13.The Classical Hilbertian Fields

Chapter 14.Nonstandard Structures

Chapter 15.Nonstandard Approach to Hilbert’s Irreducibility Theorem

Chapter 16.Galois Groups over Hilbertian Fields

Chapter 17.Free Profinite Groups

Chapter 18.The Haar Measure

Chapter 19.Effective Field Theory and Algebraic Geometry

Chapter 20.The Elementary Theory of e-Free PAC Fields

Chapter 21.Problems of Arithmetical Geometry

Chapter 22.Projective Groups and Frattini Covers

Chapter 23.PAC Fields and Projective Absolute Galois Groups

Chapter 24.Frobenius Fields

Chapter 25.Free Profinite Groups of Infinite Rank

Chapter 26.Random Elements in Free Profinite Groups

Chapter 27.Omega-Free PAC Fields

Chapter 28.Undecidability

Chapter 29.Algebraically Closed Fields with Distinguished Automorphisms

Chapter 30.Galois Stratification

Chapter 31.Galois Stratification over Finite Fields

Chapter 32.Problems of Field Arithmetic

Table of Contents

References

Index

域论的精妙：抽象代数在现代数学中的核心地位 图书名称：《域论的精妙：抽象代数在现代数学中的核心地位》（第三版） 简介： 本书旨在为读者构建一个全面、深入且富有启发性的域论（Field Theory）知识体系，同时将其置于更广阔的抽象代数（Abstract Algebra）框架之下。作为第三版，我们不仅保留了经典的、奠定基础的理论内容，更融入了近二十年来代数几何、代数数论以及数学物理领域中涌现的新思想和新工具，力求使本书成为连接基础理论与前沿研究的坚实桥梁。本书的视角并非仅仅关注于“域”的代数结构本身，而是深入剖析其作为连接拓扑、分析和几何学的关键“粘合剂”所扮演的角色。 全书共分九个主要部分，层层递进，逻辑严密。 第一部分：基础结构与预备知识的回顾与深化 (Foundational Structures and Refinements) 本部分首先回顾了群论（Group Theory）和环论（Ring Theory）中的核心概念，如子群、同态、理想、商环等，但视角更为深入。我们花费大量篇幅来探讨黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem）在环论中的对应物，即关于理想的特定结构性质的代数表达，而非仅仅是域扩张的初步介绍。 重点章节包括： 莫杜拉（Modules）作为理解环结构的放大镜： 探讨了左模和右模的构造，特别是自由模和投射模的概念，为后续的伽罗瓦理论中伽罗瓦群作用于扩张域上的莫杜拉结构（例如伽罗瓦模）做了扎实的铺垫。 Noetherian 和 Artinian 环的深度解析： 引入了链条件（Chain Conditions）在描述域扩张中中间域结构的有限性方面的决定性作用，特别是Noetherian条件如何简化了代数簇的理想结构分析。 第二部分：域的构造与初级扩张 (Construction and Elementary Extensions of Fields) 本部分系统地介绍了域（Field）的定义及其最基本的扩张——有限扩张。我们强调了特征（Characteristic） 的重要性，不仅区分了零特征域（如 $mathbb{Q}$）和素数特征域（如 $mathbb{F}_p$），更深入探讨了素数特征域上完美域（Perfect Fields） 的性质，如其代数闭包的特殊结构。 代数数域与超越数域的辨析： 不仅展示了如何通过不可约多项式构造域，更引入了范数（Norm） 和迹（Trace） 的概念，并将它们视为域扩张下元素作用的线性代数表示。 最小多项式与域扩张的维度： 详细论证了域扩张的次数 $[ ext{L}: ext{K}]$ 等于元素在 $ ext{L}$ 上作为 $ ext{K}$-线性算子的特征多项式的次数，从而将代数问题转化为线性代数问题。 第三部分：有限域的理论与应用 (The Theory and Applications of Finite Fields) 有限域（Finite Fields），或称伽罗瓦域（Galois Fields），是域论中最具结构美和应用价值的部分之一。本部分完全脱离了 $mathbb{Q}$ 的背景，专注于 $ ext{GF}(p^n)$ 的结构。 伽罗瓦域的唯一性与构造： 证明了对于给定的素数 $p$ 和正整数 $n$，存在（且唯一）阶为 $p^n$ 的域，其构造与特定形式的 $x^{p^n}-x$ 的根紧密相关。 迹、范数在有限域中的性质： 探讨了有限域间的迹和范数映射的性质，特别是在密码学和编码理论中的应用基础，例如如何利用这些映射来构造平衡的布尔函数。 有限域的自同构群： 详述了 $ ext{GF}(p^n)$ 的自同构群是循环群，并与 Frobenius 映射紧密联系。 第四部分：伽罗瓦理论的核心：可分性与正规性 (The Core of Galois Theory: Separability and Normality) 伽罗瓦理论是本书的中心支柱。我们严格区分了正规扩张（Normal Extension） 和可分扩张（Separable Extension） 的概念，这是理解伽罗瓦理论的基石。 可分多项式与可分扩张： 探讨了在特征为零的域中，所有无重根的多项式都是可分的，以及在素数特征域中，完美域的定义如何保证了所有不可约多项式都是可分的。 正规扩张的代数几何意义： 从代数几何的角度看，正规扩张对应于函数域的“分支点”消失，即纤维映射的纤维是单点的。 第五部分：伽罗瓦对应与基本定理 (The Galois Correspondence and Fundamental Theorem) 本部分系统地阐述了伽罗瓦理论的精髓——伽罗瓦群与中间域之间的一一反转对应关系。 伽罗瓦群的构造： 详细展示了如何从域扩张 $ ext{L}/ ext{K}$ 构造出 $ ext{Gal}( ext{L}/ ext{K})$ 群，并讨论了该群的作用方式。 伽罗瓦基本定理的严谨证明： 提供了传统和现代两种证明方法，强调了该定理如何将域论的复杂问题转化为群论中的子群结构问题。 求解一元四次方程的代数根源： 运用伽罗瓦理论，清晰地解释了为什么四次方程是“可解的”（其伽罗瓦群是可解群），而五次及以上的一般方程则不然，这从结构上揭示了阿贝尔-鲁菲尼定理的深层原因。 第六部分：伽罗瓦理论的扩展应用 (Extended Applications of Galois Theory) 本部分将理论应用于经典的难题，展示域论的强大威力。 尺规作图问题的终结： 利用二倍角、三等分圆等问题转化为特定的域扩张，证明了只有当扩张次数为 $2$ 的幂次时，构造才可能仅依赖尺规。 代数解的判别： 深入分析了可解域扩张（Solvable Extensions）的概念，并将其与伽罗瓦群的可解性联系起来。 第七部分：无限域扩张与超越性 (Infinite Extensions and Transcendence) 超越了有限扩张的范畴，本部分探讨了无限次扩张（如 $mathbb{Q}(alpha)$ 中 $alpha$ 的极小多项式是无穷次的极限情况）和超越扩张。 超越数的判断与构造： 引入了Lindemann-Weierstrass定理（以其在 $pi$ 和 $e$ 上的应用为例），讨论了超越性的代数判据。 无限伽罗瓦扩张与无限伽罗瓦群： 引入了反向极限（Inverse Limits） 的概念来描述无限伽罗瓦群的拓扑和代数结构，特别是使用Profinite Group 的视角来描述 $ ext{Gal}(ar{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$ 的结构。 第八部分：代数数论的萌芽 (Seeds of Algebraic Number Theory) 域论与数论的交汇点是代数数论的起点。本部分重点关注有理数域 $mathbb{Q}$ 的扩张。 代数整数与环 of Integers： 在二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 中，详细分析了 $mathbb{Z}[sqrt{d}]$ 与 $mathcal{O}_{mathbb{Q}(sqrt{d})}$ 之间的区别，引入了判别式（Discriminant） 的概念。 局部化与完备化： 介绍了对 $mathbb{Q}$ 进行p-adic 局部化，构造 $p$-adic 数域 $mathbb{Q}_p$，并将域论的工具应用于 $mathbb{Q}_p$ 上的多项式根的分析。 第九部分：函数域与代数几何的初步接触 (Function Fields and First Contact with Algebraic Geometry) 本部分展示了域论工具在研究多项式方程的几何解集时的威力，特别是当域是函数域而非数域时。 代数函数域（Algebraic Function Fields）： 将域 $ ext{K}( ext{X})$（有理函数域）视为函数域的典范例子，其中 $ ext{K}$ 是一个域。 微分算子与可分性： 在函数域的背景下，重新审视微分算子 $ ext{D}$，并利用 $ ext{D}$ 的性质来识别零特征域上的不可分多项式。 本书的特点： 本书的叙述风格严谨而富有洞察力，强调结构之间的联系。每章后附有大量的练习题，分为基础性、计算性和研究性三类，以期培养读者将抽象概念应用于具体问题的能力。它不仅是代数专业研究生的标准教材，也是对数学分析、拓扑学有深入了解，并希望进入代数几何、数论或理论物理领域深造的读者的必备参考书。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计真的很有意思，简洁却不失专业感，一眼就能看出这是一本关于数学的书。书名“算术域（第3版）”虽然听起来有点专业，但正因为如此，我更加期待它能带我进入一个系统而严谨的数学世界。翻开书页，纸张的质感很不错，印刷清晰，即使是那些复杂的公式和图表，也能看得非常清楚，这对于长时间阅读来说非常重要，能有效缓解眼部疲劳。 我一直对抽象数学概念的具象化表达很感兴趣，这本书在这一点上做得非常出色。它似乎并没有直接给出冰冷的定义和定理，而是通过一系列精心设计的例子和类比，将抽象的算术概念一步步地展现在读者面前。我尤其喜欢书中对数域的划分和性质的阐述，感觉作者非常善于循序渐进地引导读者理解。 虽然我还没有深入阅读每一个章节，但从目录和章节的标题来看，这本书的编排非常合理，逻辑性很强。它似乎从基础的算术概念开始，逐步深入到更高级的理论，这样的结构对于想要系统学习算术域的读者来说，无疑是一条清晰的学习路径。我甚至能想象到，这本书中的每一页都充满了作者严谨的思考和教学的智慧。 我特别欣赏书中在讲解过程中穿插的那些“思考题”或者“小练习”。它们并不是简单地考察概念的记忆，而是鼓励读者去思考，去探索，去将学到的知识融会贯通。这种互动式的学习方式，让我感觉自己不是在被动地接受知识，而是在主动地参与到数学的构建过程中。 这本书给我的整体感觉就是，它不仅仅是一本教材，更像是一位经验丰富的数学导师，用耐心和清晰的语言，引领我一步步走进算术的奥秘。我迫不及待地想要开始我的阅读之旅，去探索那些未知的算术世界，去感受数学的魅力，去提升自己的逻辑思维能力。

评分☆☆☆☆☆

这本《算术域（第3版）》的封面设计，给我一种既传统又现代的感觉。淡淡的颜色搭配，以及书名印刷的字体，都透露出一种沉稳而厚重的学术气息。这本书拿在手里，份量十足，预示着里面内容的扎实程度。我喜欢它那种不花哨，但很有质感的封面，让人一眼就能感受到这是一本值得认真对待的书。 从书的整体排版来看，作者在版式设计上显然是花费了不少心思。字体的选择、行距的控制、段落的划分，都显得十分考究，能够最大限度地提升阅读的舒适度。尤其是那些数学公式，被清晰地列在独立的位置，重点突出，便于读者辨识和理解。 我一直认为，一本好的数学书，不应该只是枯燥的概念和公式，更应该包含作者对于这些概念的深刻理解和独到见解。我注意到书中在讲解某些概念时，似乎会引入一些现实世界的例子或者类比，这对于帮助理解抽象的数学思想，起到了非常关键的作用。 我还特别留意到书中的一些小提示或者“扩展阅读”部分。这些细节的处理，往往能够体现出作者的教学智慧和对读者的关怀。它们能够引导读者深入思考，或者拓展相关的知识领域，让学习过程更加丰富和有成效。 我目前还没有来得及细致地阅读每一个定理和推导，但仅从浏览的章节和标题来看，这本书的结构非常完整，覆盖了算术域的各个重要方面。我期待这本书能够带领我，从一个全新的视角去理解算术的内在逻辑和美妙之处。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计，简洁却不失力量感，书名“算术域（第3版）”的字体选择，有一种沉稳而权威的气质。拿到书的那一刻，我就感受到了它厚重的分量，这让我对书中内容的深度充满了期待。翻开书页，纸张的触感非常舒适，印刷也相当清晰，即使是那些细小的符号和公式，也能够一目了然。 我一直认为，数学的学习过程，就是一个不断发现问题、解决问题的过程。从我初步翻阅的内容来看，这本书似乎非常注重引导读者主动思考。它可能在讲解过程中，会设置一些“陷阱”或者“疑点”，鼓励读者去探索，去发现其中蕴含的逻辑。 我特别欣赏那些能够将抽象概念具体化的讲解方式。我希望这本书能够通过生动的案例，或者巧妙的比喻，将复杂的算术域概念，以一种易于理解的方式呈现给读者。这不仅能帮助我们掌握知识，更能激发起我们对数学的兴趣。 我注意到书中在某些地方，会有对历史文献或者相关数学成果的引用。这种处理方式，不仅能够帮助我们了解算术域的发展脉络，更能让我们感受到数学研究的严谨性和传承性。 我迫不及待地想要深入阅读这本书，去感受作者的智慧，去探索算术的奥秘，去提升自己的逻辑思维能力。这本书给我的感觉，是一本值得反复研读的经典之作。

评分☆☆☆☆☆

我是一个对数学有着浓厚兴趣的业余爱好者，之所以选择《算术域（第3版）》，完全是出于对这个领域的好奇。这本书的书名本身就带着一种神秘感，让我想要一探究竟。拿到手之后，我立刻被它严谨的排版所吸引。每一页都显得井井有条，无论是文字的排列还是公式的呈现，都透着一股专业和精致。 书中对于数学符号和术语的定义，我感觉非常到位。它并没有假设读者已经具备了所有的背景知识，而是在必要的时候提供清晰的解释，这对于像我这样需要从头开始学习的读者来说，简直是福音。我喜欢它那种循序渐进的讲解方式，不会一下子抛出太多的信息，而是有条不紊地引导我去理解。 我尤其关注数学书籍中图表的运用。这本书似乎在这方面做得相当不错，运用了大量的图示来帮助解释抽象的概念，让我在脑海中能够形成更直观的理解。我甚至能想象到，通过这些图表，那些复杂的数学关系会变得更加容易被捕捉。 我还在思考，这本书在讲解过程中，是否会强调一些证明的技巧或者通用的解题思路。我一直觉得，掌握了方法论，比死记硬背结果更为重要。我希望这本书能够在这方面有所启发。 总而言之，这本书给我的感觉是一本非常扎实的学术读物，它在内容深度和教学方法上都力求完美。我期待通过阅读这本书，能够真正地理解算术域的精髓。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书的那一刻，我就被它厚重的体量和一丝不苟的装帧所吸引。封面上的“算术域（第3版）”几个字，像是在向我发出一个挑战，也像是在许诺一个宝藏。对于我这样非数学专业出身，但又对数学世界怀有好奇心的人来说，选择一本好的入门读物至关重要。这本书的排版非常大气，每一页都留有足够的空白，让我在阅读时不会感到拥挤，同时也为我提供了思考和记录的空间。 我一直觉得，真正的数学书籍，不仅仅是公式的堆砌，更是思想的传递。从我快速浏览的内容来看，这本书在这一点上做得相当到位。它似乎并没有一味地追求学术的深度，而是更侧重于构建读者对算术域的整体认知。我喜欢它在介绍一些核心概念时，所采用的那种先宏观后微观的视角，能够帮助我快速把握整体框架。 这本书的章节划分非常清晰，每一章都有明确的主题和学习目标，这对于规划学习进度非常有帮助。我注意到书中在讲解某个定理或性质时，还会追溯其历史渊源或者与其他数学分支的联系，这种“润物细无声”的拓展，让原本枯燥的理论变得生动有趣，也让我看到了数学学科的博大精深。 我对于书中可能包含的那些“证明过程”充满了期待。我深知，理解数学的精髓，往往在于理解其证明的逻辑和严谨性。我希望这本书能够提供足够详细且易于理解的证明步骤，让我能够真正地“看懂”数学，而不是仅仅记住结论。 总而言之，这本书给我的感觉是，它是一本既有深度又有温度的学术著作。它没有因为追求专业性而放弃对读者的引导，也没有因为追求易懂而牺牲数学的严谨。我准备好迎接这场智力挑战了。