數學統計學係列：解析不等式新論 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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張小明，褚玉明 著

圖書標籤:

• 數學
• 統計學
• 解析不等式
• 數學分析
• 高等數學
• 學術著作
• 理論研究
• 數學建模
• 不等式理論
• 科學研究

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560328966

版次：1

商品編碼：10214967

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2009-06-01

用紙：膠版紙

頁數：329

字數：392000

正文語種：中文

內容簡介

　　《解析不等式新論》介紹瞭作者近年來在解析不等式研究方麵取得的最新成果，包括幾何凸函數基本性質、對數凸函數和GA凸函數的積分不等式、最值壓縮定理、最值單調定理及它們的應用，統一證明瞭一些著名不等式，加強或推廣瞭一些已知不等式，新建瞭一批有價值的解析不等式。全書包含瞭上百個不等式的證明，是不等式研究方麵的一本較好的入門書和參考書。
　　《解析不等式新論》可供數學研究人員、大學數學係師生、中學數學教師及數學愛好者閱讀。

目錄

第0章　基礎知識
第1章　一維幾何凸函數
第2章　N維幾何凸函數
第3章　Schur-幾何凸函數
第4章　幾何凸函數的積分不等式
第5章　對數凸函數、GA凸函數和不等式
第6章　最值壓縮定理及其應用
第7章　最值單調定理及其應用
附錄　幾個待解決的公開問題
參考文獻

前言/序言

數學統計學係列：解析不等式新論 (（此為示例，請替換為您實際的圖書名稱）) 本書簡介 本冊圖書，作為“數學統計學係列”中的重要一員，聚焦於數學分析中的一個核心且基礎的領域——不等式理論。它並非是對現有經典教材的簡單重復，而是在廣泛吸收和深入理解傳統不等式理論精髓的基礎上，力圖在理論深度、應用廣度以及方法創新性上實現一次有益的突破。本書旨在為高等院校數學、統計學、工程學、物理學乃至經濟學等相關專業的研究生、高年級本科生以及緻力於數學理論研究的專業人士，提供一套既嚴謹又富有啓發性的學術參考資料。 第一部分：基礎框架的重構與深化 本書的開篇並非停留在對經典柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz）或均值不等式（AM-GM）的簡單羅列。相反，我們從更基礎的泛函分析和度量空間理論齣發，重新審視這些經典不等式的代數結構和拓撲根源。 1.1 現代度量理論下的不等式基礎 我們詳細探討瞭在更一般化的度量空間（如賦範嚮量空間、Banach空間）中，如何定義和理解“大小關係”以及“距離”的對偶性。這包括對赫爾德不等式（Hölder's Inequality）和閔可夫斯基不等式（Minkowski's Inequality）的深入剖析，不僅僅停留在$L^p$空間的積分形式，更拓展到離散情景和無窮維希爾伯特空間中的算子範數估計。重點闡述瞭這些不等式在證明算子有界性以及函數空間收斂性時的不可替代的作用。 1.2 極值點的精確定位與邊界條件分析 不等式的精髓往往體現在其取等條件上。本書投入大量篇幅，利用微分幾何中的拉格朗日乘子法、卡魯什-庫恩-塔剋（KKT）條件，以及更具普適性的變分法思想，來精確刻畫不等式成立的邊界狀態。我們引入瞭“穩定集”和“邊界位移”的概念，用以係統地分析當不等式趨於等號時，變量結構所必須滿足的約束。這使得讀者能夠從“證明”不等式，提升到“構造”或“優化”滿足不等式條件的係統。 第二部分：經典理論的幾何化與動力係統關聯 我們將目光投嚮不等式理論與幾何學、拓撲學之間的深刻聯係。許多看似純粹的代數不等式，在幾何上有著直觀的解釋。 2.1 凸幾何與超平麵分離定理的交織 凸分析是現代數學中處理優化問題和不等式的核心工具。本書深入探討瞭分離超平麵定理、支撐函數以及對偶錐理論。我們展示瞭如何將復雜的多元不等式係統轉化為在凸集中尋找最優解的問題。特彆是，針對費馬點問題和最小化錶麵積問題中齣現的不等式約束，我們展示瞭如何利用這些幾何工具快速推導齣簡潔的代數結論。 2.2 動力係統中的不變式與李雅普諾夫函數 在非綫性動力係統的穩定性分析中，李雅普諾夫（Lyapunov）函數扮演瞭關鍵角色。這些函數的設計本質上就是在尋找能夠保證係統狀態變量之間維持某種“大小關係”的量。我們係統地梳理瞭常微分方程（ODE）中，如何構造恰當的李雅普諾夫函數來驗證解的存在性、唯一性和全局漸近穩定性。這部分內容將大量的分析不等式（如Duffing方程的穩定性分析）置於一個動態演化的框架下進行考察。 第三部分：新興領域中的不等式方法論 麵對現代科學研究中湧現齣的新問題，傳統的不等式工具常常需要被賦予新的生命力或被全新的不等式取代。 3.1 信息論中的不等式：熵、互信息與相對熵 信息論是統計學和機器學習的基石，其核心概念——熵，直接由不等式（如詹森不等式在概率分布上的應用）所定義。本書詳細分析瞭香農熵、互信息（Mutual Information）和剋羅斯-恩特羅皮（Cross-Entropy）的性質。我們重點討論瞭吉布斯不等式（Gibbs' Inequality）及其在區分不同概率分布時的嚴格性，並將其應用於衡量模型擬閤優度的標準，例如KL散度的非負性。 3.2 隨機過程與馬爾可夫鏈中的收斂速率估計 在隨機過程理論中，我們不僅需要證明某個量會收斂到極限，更需要知道它以多快的速度收斂。本書引入瞭概率不等式來量化收斂速率，例如利用切爾諾夫界（Chernoff Bounds）和霍夫丁不等式（Hoeffding's Inequality）來估計尾部概率。這些工具在濛特卡洛方法和MCMC算法的收斂性分析中具有極高的實用價值。 3.3 隨機矩陣理論與奇異值不等式 近年來，高維數據分析的興起使得隨機矩陣理論（RMT）成為熱點。本部分探討瞭隨機矩陣的特徵值和奇異值分布所遵循的不等式關係，如Lawler-Brumm Bounds和Marchenko-Pastur分布的邊界條件。這些不等式為理解高維協方差矩陣的穩定性和主成分分析（PCA）的有效性提供瞭堅實的理論基礎。 總結展望 本書強調理論的連貫性、證明的清晰性以及方法的普適性。我們力求展現不等式理論並非一套孤立的技巧集閤，而是貫穿整個現代數學科學的底層邏輯結構。讀者通過學習，將不僅掌握證明復雜問題的工具，更能培養齣一種基於“限製”和“關係”進行深刻洞察的數學思維模式。本書的結構設計旨在引導讀者從基礎概念齣發，逐步攀登到前沿研究領域中不等式應用的製高點。

評分☆☆☆☆☆

這本《解析不等式新論》的書，從我翻開第一頁開始，就讓我有種醍醐灌頂的感覺。我之前在學習高等數學和數論的時候，對於各種不等式的處理總是感到力不從心，尤其是一些復雜的、多變量的不等式，往往需要花費大量時間和精力纔能勉強得到一個近似解。然而，這本書卻提供瞭一套非常係統和深入的分析框架。它不僅僅停留在傳統的代數不等式或者微積分中的極值問題，而是將視角提升到瞭泛函分析和拓撲學的層麵，探討瞭在更廣闊的數學空間中不等式成立的本質。作者的講解深入淺齣，盡管涉及到很多前沿概念，但通過精妙的例子和圖形輔助，使得原本晦澀難懂的內容變得直觀起來。我特彆欣賞其中關於“信息熵不等式”的章節，它巧妙地將信息論與傳統數學分析相結閤，為理解隨機過程中的約束條件提供瞭全新的工具。這本書無疑是為那些不滿足於標準教科書處理方法的、尋求深層理解的研究生和資深數學愛好者準備的寶貴財富，它拓寬瞭我對“大於”、“小於”這些基本概念背後蘊含的數學哲學的認知。

評分☆☆☆☆☆

我通常對數學類書籍的閱讀速度比較慢，需要反復咀嚼纔能消化其內容。但《解析不等式新論》卻有一種奇特的吸引力，讓我願意一口氣讀完好幾個章節。這主要歸功於作者高超的敘事技巧和結構布局。全書結構清晰，前麵對基礎不等式的迴顧非常精煉，為後續的深入探討打下瞭堅實基礎。最有意思的是，它在每一章的末尾都設計瞭一係列“開放性挑戰”，這些問題並非簡單的習題，而是指嚮瞭當前研究前沿的一些未解決的猜想或半開放問題。例如，書中探討的關於高維球麵上體積不等式的極值點問題，雖然沒有給齣最終答案，但提供的思路導嚮非常清晰，極大地激發瞭我進一步去探索和驗證的欲望。我感覺自己不是在被動接受知識，而是在和一位大師進行跨越時空的對話，共同探索數學未知領域。這本書的價值在於它激發瞭我的創造力，而不僅僅是傳授瞭既有知識。

評分☆☆☆☆☆

坦白講，這本書的難度門檻確實不低，對於初學者來說可能會感到有些吃力，但對於有一定基礎的讀者而言，它提供瞭一種“升級”思維模式的機會。我個人最大的收獲在於對“凸性”在不等式中的作用有瞭全新的認識。傳統觀點可能隻關注於函數是否為凸函數，進而利用詹森不等式。然而，本書更進一步探討瞭測度空間上凸集誘導齣的不等式性質，特彆是關於概率測度下期望值的各種約束關係。作者引入瞭大量關於“次綫性泛函”的概念，將不等式的領域從單純的實數域推廣到瞭更抽象的函數空間。這種推廣極大地增強瞭不等式在隨機過程、金融數學等領域的適用性。閱讀過程中，我常常需要停下來，對照著我之前學習的測度論教材進行印證，纔能完全理解某些論斷的深刻含義。這本書不是讓你快速學會幾個技巧，而是迫使你建立起一個更宏大、更統一的數學結構視角來審視“不等”這件事。

評分☆☆☆☆☆

說實話，我剛拿到這本教材時，內心是持保留態度的。市麵上關於不等式的書籍實在太多瞭，大多無非是把經典的柯西-施瓦茨、詹森不等式或者各種三角不等式的變形和應用羅列一遍，讀起來乏味且缺乏新意。然而，《解析不等式新論》這本書完全打破瞭這種刻闆印象。它不像一本工具書，更像是一場智力探險的嚮導。作者似乎對解析學有著近乎偏執的精確性要求，對於每一個不等式的證明，都追溯到其最基本的公理基礎，然後再逐步構建起復雜的理論體係。我尤其欣賞它在“幾何不等式”部分的處理方式，它沒有用那種炫技式的純粹幾何證明，而是巧妙地引入瞭測度論的概念來衡量區域的“大小”或“形狀”，這讓那些原本看起來很純粹的幾何問題，突然擁有瞭分析學強有力的量化支撐。讀完後，我感覺自己的思維結構都被重塑瞭，過去那種“感覺是對的”的直覺判斷，現在可以用嚴密的解析邏輯來支撐。這是一本能讓你真正思考數學“為什麼是這樣”的書，而不是簡單地告訴你“怎麼用”的書。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀和排版設計也令人印象深刻，這從側麵反映瞭齣版方對內容的尊重。但拋開這些外在的因素，真正讓我沉浸其中的是其對“變分不等式”的獨到見解。在我接觸的文獻中，很多關於偏微分方程的理論都依賴於某種弱解的構造，而弱解的存在性往往需要依賴於一個關鍵的變分不等式。這本書用瞭近乎三分之一的篇幅來係統梳理這一領域，從拉剋斯-米爾格拉姆定理的視角齣發，逐步推導齣各種實際應用中的邊界條件和約束。我發現，作者在處理非光滑或奇性問題時，並沒有采取簡單的正則化手段，而是引入瞭一種非常優雅的“次微分”概念來擴展經典不等式的概念範圍。這種處理方法不僅解決瞭許多懸而未決的工程數學問題，更重要的是，它展示瞭一種處理數學難題的普適性方法論。對於那些緻力於偏微分方程數值解或者控製理論研究的人來說，這本書絕對是不可多得的參考書。