数学统计学系列：解析不等式新论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张小明，褚玉明 著

图书标签:

• 数学
• 统计学
• 解析不等式
• 数学分析
• 高等数学
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• 理论研究
• 数学建模
• 不等式理论
• 科学研究

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560328966

版次：1

商品编码：10214967

包装：平装

开本：16开

出版时间：2009-06-01

用纸：胶版纸

页数：329

字数：392000

正文语种：中文

内容简介

　　《解析不等式新论》介绍了作者近年来在解析不等式研究方面取得的最新成果，包括几何凸函数基本性质、对数凸函数和GA凸函数的积分不等式、最值压缩定理、最值单调定理及它们的应用，统一证明了一些著名不等式，加强或推广了一些已知不等式，新建了一批有价值的解析不等式。全书包含了上百个不等式的证明，是不等式研究方面的一本较好的入门书和参考书。
　　《解析不等式新论》可供数学研究人员、大学数学系师生、中学数学教师及数学爱好者阅读。

目录

第0章　基础知识
第1章　一维几何凸函数
第2章　N维几何凸函数
第3章　Schur-几何凸函数
第4章　几何凸函数的积分不等式
第5章　对数凸函数、GA凸函数和不等式
第6章　最值压缩定理及其应用
第7章　最值单调定理及其应用
附录　几个待解决的公开问题
参考文献

前言/序言

数学统计学系列：解析不等式新论 (（此为示例，请替换为您实际的图书名称）) 本书简介 本册图书，作为“数学统计学系列”中的重要一员，聚焦于数学分析中的一个核心且基础的领域——不等式理论。它并非是对现有经典教材的简单重复，而是在广泛吸收和深入理解传统不等式理论精髓的基础上，力图在理论深度、应用广度以及方法创新性上实现一次有益的突破。本书旨在为高等院校数学、统计学、工程学、物理学乃至经济学等相关专业的研究生、高年级本科生以及致力于数学理论研究的专业人士，提供一套既严谨又富有启发性的学术参考资料。 第一部分：基础框架的重构与深化 本书的开篇并非停留在对经典柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz）或均值不等式（AM-GM）的简单罗列。相反，我们从更基础的泛函分析和度量空间理论出发，重新审视这些经典不等式的代数结构和拓扑根源。 1.1 现代度量理论下的不等式基础 我们详细探讨了在更一般化的度量空间（如赋范向量空间、Banach空间）中，如何定义和理解“大小关系”以及“距离”的对偶性。这包括对赫尔德不等式（Hölder's Inequality）和闵可夫斯基不等式（Minkowski's Inequality）的深入剖析，不仅仅停留在$L^p$空间的积分形式，更拓展到离散情景和无穷维希尔伯特空间中的算子范数估计。重点阐述了这些不等式在证明算子有界性以及函数空间收敛性时的不可替代的作用。 1.2 极值点的精确定位与边界条件分析 不等式的精髓往往体现在其取等条件上。本书投入大量篇幅，利用微分几何中的拉格朗日乘子法、卡鲁什-库恩-塔克（KKT）条件，以及更具普适性的变分法思想，来精确刻画不等式成立的边界状态。我们引入了“稳定集”和“边界位移”的概念，用以系统地分析当不等式趋于等号时，变量结构所必须满足的约束。这使得读者能够从“证明”不等式，提升到“构造”或“优化”满足不等式条件的系统。 第二部分：经典理论的几何化与动力系统关联 我们将目光投向不等式理论与几何学、拓扑学之间的深刻联系。许多看似纯粹的代数不等式，在几何上有着直观的解释。 2.1 凸几何与超平面分离定理的交织 凸分析是现代数学中处理优化问题和不等式的核心工具。本书深入探讨了分离超平面定理、支撑函数以及对偶锥理论。我们展示了如何将复杂的多元不等式系统转化为在凸集中寻找最优解的问题。特别是，针对费马点问题和最小化表面积问题中出现的不等式约束，我们展示了如何利用这些几何工具快速推导出简洁的代数结论。 2.2 动力系统中的不变式与李雅普诺夫函数 在非线性动力系统的稳定性分析中，李雅普诺夫（Lyapunov）函数扮演了关键角色。这些函数的设计本质上就是在寻找能够保证系统状态变量之间维持某种“大小关系”的量。我们系统地梳理了常微分方程（ODE）中，如何构造恰当的李雅普诺夫函数来验证解的存在性、唯一性和全局渐近稳定性。这部分内容将大量的分析不等式（如Duffing方程的稳定性分析）置于一个动态演化的框架下进行考察。 第三部分：新兴领域中的不等式方法论 面对现代科学研究中涌现出的新问题，传统的不等式工具常常需要被赋予新的生命力或被全新的不等式取代。 3.1 信息论中的不等式：熵、互信息与相对熵 信息论是统计学和机器学习的基石，其核心概念——熵，直接由不等式（如詹森不等式在概率分布上的应用）所定义。本书详细分析了香农熵、互信息（Mutual Information）和克罗斯-恩特罗皮（Cross-Entropy）的性质。我们重点讨论了吉布斯不等式（Gibbs' Inequality）及其在区分不同概率分布时的严格性，并将其应用于衡量模型拟合优度的标准，例如KL散度的非负性。 3.2 随机过程与马尔可夫链中的收敛速率估计 在随机过程理论中，我们不仅需要证明某个量会收敛到极限，更需要知道它以多快的速度收敛。本书引入了概率不等式来量化收敛速率，例如利用切尔诺夫界（Chernoff Bounds）和霍夫丁不等式（Hoeffding's Inequality）来估计尾部概率。这些工具在蒙特卡洛方法和MCMC算法的收敛性分析中具有极高的实用价值。 3.3 随机矩阵理论与奇异值不等式 近年来，高维数据分析的兴起使得随机矩阵理论（RMT）成为热点。本部分探讨了随机矩阵的特征值和奇异值分布所遵循的不等式关系，如Lawler-Brumm Bounds和Marchenko-Pastur分布的边界条件。这些不等式为理解高维协方差矩阵的稳定性和主成分分析（PCA）的有效性提供了坚实的理论基础。 总结展望 本书强调理论的连贯性、证明的清晰性以及方法的普适性。我们力求展现不等式理论并非一套孤立的技巧集合，而是贯穿整个现代数学科学的底层逻辑结构。读者通过学习，将不仅掌握证明复杂问题的工具，更能培养出一种基于“限制”和“关系”进行深刻洞察的数学思维模式。本书的结构设计旨在引导读者从基础概念出发，逐步攀登到前沿研究领域中不等式应用的制高点。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我刚拿到这本教材时，内心是持保留态度的。市面上关于不等式的书籍实在太多了，大多无非是把经典的柯西-施瓦茨、詹森不等式或者各种三角不等式的变形和应用罗列一遍，读起来乏味且缺乏新意。然而，《解析不等式新论》这本书完全打破了这种刻板印象。它不像一本工具书，更像是一场智力探险的向导。作者似乎对解析学有着近乎偏执的精确性要求，对于每一个不等式的证明，都追溯到其最基本的公理基础，然后再逐步构建起复杂的理论体系。我尤其欣赏它在“几何不等式”部分的处理方式，它没有用那种炫技式的纯粹几何证明，而是巧妙地引入了测度论的概念来衡量区域的“大小”或“形状”，这让那些原本看起来很纯粹的几何问题，突然拥有了分析学强有力的量化支撑。读完后，我感觉自己的思维结构都被重塑了，过去那种“感觉是对的”的直觉判断，现在可以用严密的解析逻辑来支撑。这是一本能让你真正思考数学“为什么是这样”的书，而不是简单地告诉你“怎么用”的书。

评分☆☆☆☆☆

这本《解析不等式新论》的书，从我翻开第一页开始，就让我有种醍醐灌顶的感觉。我之前在学习高等数学和数论的时候，对于各种不等式的处理总是感到力不从心，尤其是一些复杂的、多变量的不等式，往往需要花费大量时间和精力才能勉强得到一个近似解。然而，这本书却提供了一套非常系统和深入的分析框架。它不仅仅停留在传统的代数不等式或者微积分中的极值问题，而是将视角提升到了泛函分析和拓扑学的层面，探讨了在更广阔的数学空间中不等式成立的本质。作者的讲解深入浅出，尽管涉及到很多前沿概念，但通过精妙的例子和图形辅助，使得原本晦涩难懂的内容变得直观起来。我特别欣赏其中关于“信息熵不等式”的章节，它巧妙地将信息论与传统数学分析相结合，为理解随机过程中的约束条件提供了全新的工具。这本书无疑是为那些不满足于标准教科书处理方法的、寻求深层理解的研究生和资深数学爱好者准备的宝贵财富，它拓宽了我对“大于”、“小于”这些基本概念背后蕴含的数学哲学的认知。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和排版设计也令人印象深刻，这从侧面反映了出版方对内容的尊重。但抛开这些外在的因素，真正让我沉浸其中的是其对“变分不等式”的独到见解。在我接触的文献中，很多关于偏微分方程的理论都依赖于某种弱解的构造，而弱解的存在性往往需要依赖于一个关键的变分不等式。这本书用了近乎三分之一的篇幅来系统梳理这一领域，从拉克斯-米尔格拉姆定理的视角出发，逐步推导出各种实际应用中的边界条件和约束。我发现，作者在处理非光滑或奇性问题时，并没有采取简单的正则化手段，而是引入了一种非常优雅的“次微分”概念来扩展经典不等式的概念范围。这种处理方法不仅解决了许多悬而未决的工程数学问题，更重要的是，它展示了一种处理数学难题的普适性方法论。对于那些致力于偏微分方程数值解或者控制理论研究的人来说，这本书绝对是不可多得的参考书。

评分☆☆☆☆☆

我通常对数学类书籍的阅读速度比较慢，需要反复咀嚼才能消化其内容。但《解析不等式新论》却有一种奇特的吸引力，让我愿意一口气读完好几个章节。这主要归功于作者高超的叙事技巧和结构布局。全书结构清晰，前面对基础不等式的回顾非常精炼，为后续的深入探讨打下了坚实基础。最有意思的是，它在每一章的末尾都设计了一系列“开放性挑战”，这些问题并非简单的习题，而是指向了当前研究前沿的一些未解决的猜想或半开放问题。例如，书中探讨的关于高维球面上体积不等式的极值点问题，虽然没有给出最终答案，但提供的思路导向非常清晰，极大地激发了我进一步去探索和验证的欲望。我感觉自己不是在被动接受知识，而是在和一位大师进行跨越时空的对话，共同探索数学未知领域。这本书的价值在于它激发了我的创造力，而不仅仅是传授了既有知识。

评分☆☆☆☆☆

坦白讲，这本书的难度门槛确实不低，对于初学者来说可能会感到有些吃力，但对于有一定基础的读者而言，它提供了一种“升级”思维模式的机会。我个人最大的收获在于对“凸性”在不等式中的作用有了全新的认识。传统观点可能只关注于函数是否为凸函数，进而利用詹森不等式。然而，本书更进一步探讨了测度空间上凸集诱导出的不等式性质，特别是关于概率测度下期望值的各种约束关系。作者引入了大量关于“次线性泛函”的概念，将不等式的领域从单纯的实数域推广到了更抽象的函数空间。这种推广极大地增强了不等式在随机过程、金融数学等领域的适用性。阅读过程中，我常常需要停下来，对照着我之前学习的测度论教材进行印证，才能完全理解某些论断的深刻含义。这本书不是让你快速学会几个技巧，而是迫使你建立起一个更宏大、更统一的数学结构视角来审视“不等”这件事。