非传统区域Fourier变换与正交多项式 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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孙家昶 著

图书标签:

• 傅里叶变换
• 区域傅里叶变换
• 正交多项式
• 数值分析
• 近似论
• 信号处理
• 图像处理
• 数学物理
• 应用数学
• 计算数学

出版社： 中国科学技术大学出版社

ISBN：9787312022319

版次：1

商品编码：10339407

包装：平装

丛书名： 当代科学技术基础理论与前沿问题研究丛书·中国科学技术大学校友文库/“十一五”国家重点图书

开本：16开

出版时间：2009-02-01

用纸：胶版纸

页数：520

字数：500000

正文语种：中文

编辑推荐

本书共分16个章节，主要对于应用中常遇到的非传统区域进行了系统的论述，可为多元非传统区域一些特殊网格上求解偏微分方程的连续谱和离散谱方法以及某些海量数据处理提供方法与工具。具体内容包括单变量正交多项式ODE定义与B-网表示、三向齐次坐标下的Fourier变换与广义三角函数变换、三角域正交多项式PDE定义与B-网表示、四面体与平行十二面体上的Fourier变换、高维单纯形域广义三角函数等。该书可供各大专院校作为教材使用，也可供从事相关工作的人员作为参考用书使用。

内容简介

非传统区域快速变换是当前高性能计算科学研究与应用领域中最引人注目的前沿课题之一。Fourier变换，三角函数变换与正交多项式在大规模科学计算和数值分析中起着重要的作用。经典Fourier变换一般只适用如矩形的传统区域，本书对于应用中常遇到的非传统区域（三角形，平行六边形，单纯形，超单纯形，曲单纯形等）进行了系统的论述，可为多元非传统区域一些特殊网格上求解偏微分方程的连续谱和离散谱方法以及某些海量数据处理提供方法与工具。
本书可供高等院校计算科学、应用数学、计算数学以及其他有关专业作为教学参考书，也可供对高性能计算及多元数值分析有兴趣的科研和工程技术人员参考。

目录

总序
前言
第1章 单变量正交多项式ODE定义与B-网表示
1.1 最简单的常微分方程本征问题
1.2 单变量单参数正交多项式
1.2.1 幂函数表示
1.2.2 三项递推公式
1.2.3 Gegenbauer多项式
1.3 一维有界区间上正交多项式的B-网表示
1.3.1 单变量多项式的Bernstein基及B-B多项式
1.3.2 Chebyshev多项式的B-网表示
1.3.3 Gegenbauer多项式的B-网表示
1.4 单变量Jacobi正交多项式及其B-网表示
1.4.1 双参数常微分方程本征问题及B-网表示
1.4.2 经典Jacobi多项式及其B-网表示
1.5生成双变量正交多项式的Koomwinder方法
第2章 三向齐次坐标下的Fourier变换与广义三角函数变换
2.1 平面三向齐次坐标与函数表示
2.1.1 三向齐次坐标的定义与性质
2.1.2 三向坐标下函数的周期性与对称性
2.1.3 常用偏微分算子的三向坐标表示
2.1.4 三向网格与差分格式
2.2 三向坐标下的Fourier函数系及其性质
2.2.1 二元Fourier函数系及其基本性质
2.2.2 二阶与三阶偏微分本征方程
2.2.3 二元Fourier级数的逼近性质
2.3 平行六边形离散内积与Fourier插值
2.4 三向坐标下广义正弦函数与余弦函数及其性质
2.4.1 广义三角函数定义与正交性
2.4.2 广义三角函数的主要性质
2.4.3 广义余弦函数的极值性质
2.5 二元广义三角函数在重心坐标下的实表示
2.5.1 三角区域广义实正弦函数的构造与性质
2.5.2 三角区域广义实余弦函数的构造与性质
第3章 平行六边形区域快速离散Fourier变换算法
3.1 平行六边形区域快速离散Fourier变换基础
3.1.1 平行六边形区域离散Fourier变换
……
第4章 三角域DCT，DST及其快速算法
第5章 三角域正交多项式PDE定义与B-网表示
第6章 广义曲边三角形区域族上的正交多项式
第7章 平行六边形上的正交分解与分片多项式
第8章 四面体域上的正交多项式与B-网表示
第9章 曲四面体域上的正交多项式与三层递推公式
第10章 四面体与平行十二面体上的Fourier变换
第11章 非传统区域快速Fourier变换及并行算法
第12章 多向Fourier积分与B-样条的B-网表示
第13章 高维超单纯形域Fourier变换及快速变换
第14章 高维单纯形域广义三角函数
第16章 高维曲单纯形域上正交多项式
参考文献
索引

精彩书摘

　　第1章 单变量正交多项式ODE定义与B一网表示
　　单变量正交多项式可以用多种方法定义，通常的方法有：直接定义，权函数方程，Gr锄一Schmidt（格拉姆一史密特）正交化方法，母函数定义，递推公式，高阶导数公式（Rodrigues公式），以及二阶线性常微分本征函数定义等（如见[13，38]）。为了便于以后向高维不规则区域过渡，我们重点采用常微分方程定义，即所谓的Stum—Liouville（施图姆一刘维尔）方法。在多项式的表示方面，除了常用的幂函数外，本节重点采用所谓的Bernstein形式，以便所得结果以后能更自然地推广到高维单纯形区域。
　　单变量正交多项式的经典文献可见Sze96 G[58]，近代文献可见[13，21，35，371等。
……

前言/序言

　　自1964年中国科学技术大学应用数学系计算专业毕业以来，我先后参加过国产大型飞机708机身计算，大庆油田精细油藏模拟及国产高性能计算机测试与应用软件研制等重大应用项目。也参与了“并行机与并行算法”，“大规模计算的方法和理论”与“高性能科学计算”等国家级重点基础研究项目。目前正在主持国家基金委重点项目“偏微分方程数值求解中的自适应网格方法研究”，使我有机会从实际计算应用与方法研究两方面进行探索与思考。
　　大型科学计算问题大多要经过网格剖分，插值离散与方程组求解等步骤，分别涉及科学计算中数值PDE，数值逼近与数值代数这三个主要环节。近年来，我主要从事大型方程组的并行数值迭代求解。我们发现，单纯用传统的基于稀疏矩阵的预条件技术很难适应实际需要。根据问题驱动，考虑到当时计算机的发展水平，如何把数值PDE，数值逼近与数值代数这科学计算的三个主要环节更有效结合。是我长期关注的研究课题。
　　在实际计算中，经常会遇到如何选择网格，坐标，函数及快速算法等基本问题。传统的笛卡儿直角坐标或其他的张量积等参坐标（如极坐标、球坐标）及相应的张量积网格，可统称为结构化网格，具有数据结构简单、计算方便、并行可扩展好等优点，缺点是适应性差、不够灵活、计算结果的方向性过强（grid‘orientation effect等。自20世纪80年代以来，国内外大力发展了适应性强，灵活性好的非结构化网格及软件研制，同时也出现了数据结构过于复杂、并行可扩展差、难以快速求解等新困难。

《时空几何与拓扑形变：经典与现代物理的交汇》 简介 本书深入探讨了时空结构在不同物理理论框架下的几何描述与拓扑演化规律，旨在构建一个连接经典场论、广义相对论、以及前沿量子引力概念的综合性论述。全书的核心目标在于揭示物质与能量分布如何塑形时空，以及时空本身的拓扑特性如何反过来约束物理定律的适用范围。 本书从黎曼几何的严谨基础上出发，系统梳理了曲率张量、测地线方程以及能量动量张量的数学表述。我们将详细剖析爱因斯坦场方程在不同背景下的解——从静态、球对称的史瓦西解，到动态的、具有奇点的克尔解，再到描述宇宙学演化的弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FLRW）度规。重点在于理解这些解的物理内涵，特别是事件视界、奇点存在性定理及其在信息悖论中的角色。 随后，本书将视角转向非线性动力学与拓扑不变量。我们引入陈数、庞加因不变量等拓扑工具，用以描述宏观时空结构中不可约的“结”和“孔洞”。探讨了拓扑缺陷（如宇宙弦、磁单极子）在早期宇宙相变中的可能遗迹，并将其与拓扑绝缘体、拓扑超导体等凝聚态物理中的概念进行类比，揭示底层数学结构的一致性。 书中专门辟出章节讨论规范场论与引力之间的深刻联系。通过对杨-米尔斯理论的复习，我们将探讨引力如何被视为一种规范场，并介绍爱因斯坦-卡坦理论（涉及时空挠率）和超引力理论的基本框架。在此过程中，我们将比较经典引力理论的局限性，并引入路径积分方法对量子涨落的初步探讨。 在更偏向数学物理的层面，本书深入考察了共形场论（CFT）在描述全息对偶（AdS/CFT）中的关键作用。我们着重分析共形对称性如何限制了场论的自由度，并讨论了共形块在张量网络和量子纠缠熵计算中的应用。通过解析彭罗斯的共形紧化方法，我们将探讨如何从有限的、有边界的时空过渡到无边界的、具有精确对称性的理论模型。 本书的后半部分聚焦于时空拓扑的动态变化。我们分析了虫洞的理论构建，特别是可穿越虫洞的物理约束，如负能量密度（奇异物质）的需求。同时，我们将探讨时空拓扑在量子力学层面上的体现，包括对阿哈罗诺夫-博姆效应的拓扑解释，以及霍金辐射的半经典处理，旨在理解信息在黑洞蒸发过程中的保存问题。 为便于读者理解，本书在介绍复杂概念时，会穿插大量来自宇宙学观测（如宇宙微波背景辐射的各向异性）、激光干涉引力波天文台（LIGO/Virgo）的探测结果，以及高能物理实验的最新数据，以期将抽象的数学框架与可验证的物理现实紧密结合。本书的论证风格力求严谨，同时辅以丰富的物理洞察，适合高年级本科生、研究生以及对理论物理有浓厚兴趣的研究人员深入学习。最终，本书试图描绘一幅宏大的图景：时空不仅是一个被动的舞台，它本身就是由物质和场相互作用塑造的、具有复杂几何和拓扑特性的动态实体。 章节概览： 1. 黎曼几何基础与时空度规的建立： 测地线、曲率张量、第二类共变导数。 2. 爱因斯坦方程的精确解及其物理解释： 史瓦西、雷斯纳-诺德斯特勒姆、克尔度规的物理特性分析。 3. 宇宙学模型与FLRW度规： 物质能量密度对膨胀的影响，哈勃常数与宇宙年龄。 4. 拓扑不变量与场论： 陈数、荷、拓扑缺陷的分类与性质。 5. 规范场与引力耦合： 庞加莱规范理论、挠率与非度学习引力模型的初步探讨。 6. 共形对称性与全息原理： AdS空间结构、CFT的最小自由度与边界理论。 7. 虫洞、奇点与时空的可穿越性： 负能量条件与量子效应的引入。 8. 半经典引力与信息丢失问题： 视界附近场的量子化，兰道尔-森理论的概述。 9. 时空拓扑的动态演化： 宇宙弦的形成机制与引力波信号的潜在特征。 10. 现代实验观测对几何模型的检验： 引力波数据的解读与标准模型的偏差分析。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名，读起来就有一种挑战性，让我联想到很多在经典数学领域之外的探索。我印象中，Fourier变换是一个非常成熟且应用广泛的数学工具，但“非传统区域”这个限定词，一下子就勾起了我的好奇心。它暗示着这本书可能突破了常规的定义和应用范围，去探索一些新的、更具弹性的变换方式，或者是在一些不寻常的空间域上进行分析。而“正交多项式”则是一个更加基础但同样重要的数学概念，它在近似理论、数值分析、量子力学等众多领域都有着不可替代的作用。将这两个看似独立又可能相互关联的概念放在一起，让我觉得这本书很有可能是在探讨一种新的数学框架，一种能够将Fourier分析的优势与正交多项式的灵活特性相结合的理论体系。我推测，这本书的作者一定对这两个领域有着深厚的造诣，并且能够将它们融会贯通，提出一些具有创新性的观点和方法。我非常期待书中能够详细阐述“非传统区域Fourier变换”的定义、性质以及它与传统Fourier变换的区别和优势，同时也希望能看到正交多项式在其中扮演的具体角色，以及它们如何共同构建起一个强大的分析工具。

评分☆☆☆☆☆

从书名来看，这本书的受众群体应该相对比较小众，主要面向那些在数学、物理、工程等领域有一定基础，并且对信号处理、模式识别、数值分析等方向有深入研究需求的读者。它不像一些通俗的科普读物，更容易被大众接受。相反，它传递的是一种专业、深入的学术信息，吸引的是那些愿意花时间去钻研复杂理论的读者。我之所以会关注到这本书，也是因为我正好在进行相关的研究，遇到了需要处理一些非常规信号或者空间数据的情况。传统的Fourier分析方法在这些场景下显得有些捉襟见肘，而“非传统区域”的提法，恰恰触及了我的痛点。同时，我对正交多项式的性质和应用也有一定的了解，知道它们在函数逼近和数值计算方面有着独特优势。因此，这本书名组合在一起，对我来说就如同点亮了一盏灯，预示着可能有一条解决我当前研究困境的道路。我非常期待书中能够提供具体的数学框架、推导过程以及实际案例，能够指导我如何应用这些“非传统”的工具来解决我所面临的实际问题。

评分☆☆☆☆☆

收到这本书的时候，我最先注意到的是它的装帧质量。纸张的触感很好，厚实且有一定的韧性，翻阅起来不会轻易褶皱。书的整体重量也适中，既不会觉得太轻飘，也不会显得过于沉重，适合携带和长时间阅读。我特别喜欢这种有质感的书籍，它能让人在阅读的过程中感受到一种实在的仪式感。我个人认为，一本好的学术书籍，除了内容本身的高质量，其物理形态也同样重要，它能在一定程度上影响读者的阅读体验和投入程度。这本书的封面设计虽然简洁，但印刷的色彩和细节都处理得相当到位，给人一种精致的感觉。我猜测，这本书的内在内容也必然经过了精心打磨，力求做到严谨、准确、逻辑严密。我非常期待能够沉浸在书中，跟随作者的思路，一步步理解那些深奥的数学概念，并从中获得知识的滋养。这种对细节的关注，往往预示着作者对学术研究的认真态度，也让我对这本书的质量有了更高的期待。

评分☆☆☆☆☆

这本书的题目，给我的第一感觉是它可能涉及一些比较高深的数学理论，并且与一些工程应用领域有着密切的联系。我之前接触过一些关于Fourier变换的教材，它们通常会讲解在无限区间或者周期区间上的变换，以及快速算法的应用。但是，“非传统区域”这个说法，让我感到非常新颖，它暗示着这本书可能会探讨在一些非欧几里得空间、不规则形状的区域，或者是在具有特殊边界条件的区域上进行的Fourier变换。这对于解决一些实际问题，比如信号处理、图像分析、或者某些物理场的建模，可能具有非常重要的意义。而“正交多项式”本身就是一个非常强大的数学工具，在逼近、插值、解微分方程等方面都有着广泛的应用。将这两种数学工具结合起来，我认为这本书可能是在介绍一种更通用的、更灵活的数学分析方法，能够应对比传统方法更复杂的问题。我对于书中如何巧妙地将这两种概念结合起来，以及它们在实际应用中的具体案例非常感兴趣。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计，嗯，怎么说呢，有一种很直观的学术感。封面上的字体选择、排版方式，都透着一股严谨的气息，这让我第一眼看到就觉得这是一本需要静下心来仔细研读的书籍。封面的颜色搭配也比较沉稳，没有花哨的图案，更像是教科书或是专业参考书的风格。我在网上浏览这本书时，看到封面的时候，就大概猜到里面的内容不会是轻松的读物，可能会涉及比较深入的数学理论或者工程应用。我个人对这类书籍一直抱有敬意，也希望从中能够学习到一些新的知识，拓展自己的学术视野。虽然我还没有打开这本书，但仅从封面风格来看，它就传递了一种“硬核”的信号，这对于我这种喜欢钻研学术问题的人来说，是具有一定吸引力的。我期待它能够带来新的启发，让我对“非传统区域Fourier变换”和“正交多项式”这两个概念有一个更全面、更深入的理解。我希望这本书的编排也能像封面一样，逻辑清晰，条理分明，能够引导读者逐步深入，而不是让人感到不知所措。