扩散方程计算方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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袁光伟 等 著

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• 扩散方程
• 数值方法
• 偏微分方程
• 有限差分法
• 有限元法
• 计算流体力学
• 热传导
• 数值模拟
• 科学计算
• 工程数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030463883

版次：1

商品编码：11852836

包装：精装

丛书名： 信息与计算科学丛书

开本：16

出版时间：2015-11-01

用纸：胶版纸

页数：292

字数：378000

正文语种：中文

内容简介

《扩散方程计算方法》介绍扩散方程的计算方法，重点介绍作者近十年来取得的研究进展。内容包括:扩散方程几类常见的有限体积格式；扭曲网格上具有保正性和保持离散极值原理的有限体积格式；非线性迭代方法和并行计算格式等。

目录

第1章 扩散方程的有限体积格式简介 1
1.1可允许网格上的有限体积格式 1
1.2多点通量逼近方法 2
1.3支撑算子方法 7
1.3.1局部支撑算子方法 7
1.3.2有通量表达式的支撑算子方法 10
1.4菱形格式 13
1.5非线性格式 18
1.6格式构造思路 20
第2章 网格节点加权平均九点格式 23
2.1九点格式的推导 23
2.2一般扩散方程的九点格式 26
2.3网格节点值的计算公式 28
2.3.1光滑系数问题 28
2.3.2间断系数问题 29
2.4九点格式的切向差计算 35
2.4.1九点格式切向差计算的基本思想 35
2.4.2加权系数的计算公式 36
2.4.3严重扭曲情形 38
2.4.4自适应方法 40
2.5九点格式的理论结果 41
2.5.1稳定性分析 42
2.5.2收敛性分析 44
2.6非定常扩散方程的九点格式 45
2.7数值算例 47
2.7.1各向异性光滑系数问题 47
2.7.2间断系数问题 48
2.7.3自适应切向差格式算例 49
第3章 单元中心-节点型格式 53
3.1光滑系数问题的格式构造 53
3.2格式的收敛性 57
3.3非定常扩散方程的格式 60
3.4间断系数问题的格式 62
3.5解耦格式 66
3.5.1基本网格上的格式 66
3.5.2节点未知量的计算方法 68
3.5.3格式的收敛性 72
3.6数值算例 72
3.6.1光滑系数问题 72
3.6.2间断系数问题 73
3.6.3解耦格式的数值结果 74
3.6.4线性抛物问题 75
第4章 非匹配网格上的守恒格式 76
4.1构造格式的一般方法 76
4.2非匹配网格边上辅助未知量的重构 78
4.2.1自适应模板方法 78
4.2.2通量平衡点方法 80
4.2.3切向导数的近似 81
4.3非匹配网格节点处辅助未知量的重构 82
4.3.1悬点处未知量的重构 82
4.3.2简单加权平均法 85
4.3.3最小二乘法 85
4.4数值算例 86
4.4.1光滑各向异性问题 87
4.4.2垂直断层问题 88
4.4.3常系数及间断系数问题 89
4.4.4间断各向异性问题 91
第5章 守恒的非负性修正方法 94
5.1非负性修正方法一 94
5.1.1任意多边形网格上的菱形格式 94
5.1.2Picard迭代方法 96
5.1.3保持局部守恒的强制数值解非负的算法 96
5.1.4初始迭代步的值 99
5.1.5非负性算法的计算流程 99
5.2非负性修正方法二 99
5.2.1守恒的遇负置零算法 100
5.2.2GCENZ算法的精度分析 102
5.2.3GCENZ算法的流程 103
5.3非负性修正方法三 104
5.3.1结构网格剖分计算区域 104
5.3.2一维情形的修补方法 105
5.3.3两维情形的修正方法 107
5.3.4算法的执行步骤 108
5.4数值算例 109
第6章 保正格式 116
6.1自适应节点型保正格式 116
6.1.1问题与记号 116
6.1.2格式构造 117
6.1.3Robin边界条件 121
6.1.4特殊情形 123
6.1.5离散系统 125
6.1.6保正性 126
6.2自适应边中点型保正格式 127
6.3模板固定型保正格式 130
6.3.1多边形网格上的格式 130
6.3.2四边形网格上的格式 133
6.4完全保正格式 136
6.4.1格式构造 136
6.4.2边中点未知量的消去方法 137
6.4.3节点未知量的消去方法 138
6.4.4迭代求解方法 142
6.5边中点未知量的消去方法 142
6.6数值算例 145
6.6.1精度 145
6.6.2保正性 148
6.6.3强间断全张量问题 149
第7章 保持离散极值原理的格式 151
7.1自适应保极值原理格式 151
7.1.1单边法向通量 151
7.1.2守恒法向通量 153
7.1.3格式及其求解方法 159
7.2极值原理和存在性 160
7.2.1极值原理 160
7.2.2存在性 161
7.3数值算例 163
7.3.1极值原理 163
7.3.2精度 165
第8章 非线性迭代方法 167
8.1Picard迭代 167
8.2Picard-Newton迭代 170
8.2.1迭代格式设计 170
8.2.2理论分析 172
8.2.3Picard-Newton方法与Newton方法的区别 181
8.3时间步长控制 184
8.4数值算例 186
8.4.1△u/u方法的结果 188
8.4.2CFL方法的结果 191
8.4.3无导数的Picard-Newton迭代方法 193
第9章 线性问题的并行差分格式 195
9.1DFF-Ⅰ并行格式的稳定性 195
9.1.1稳定性的概念 195
9.1.2DFF-Ⅰ并行差分格式的稳定性分析 196
9.2抛物型方程移动界面的并行差分格式 201
9.2.1并行格式1 202
9.2.2并行格式2 202
9.3一维二阶精度无条件稳定格式的构造 203
9.3.1并行格式3 204
9.3.2并行格式4 205
9.4一维格式的理论分析 206
9.4.1格式的稳定性 206
9.4.2格式的收敛性 210
9.5二维二阶精度无条件稳定格式的构造 212
9.5.1并行格式5 213
9.5.2并行格式6 215
9.6二维格式的理论分析 217
9.6.1格式的稳定性 217
9.6.2格式的收敛性 221
9.7数值算例 224
9.7.1DFF-Ⅰ格式的算例 224
9.7.2移动界面并行格式的算例 226
9.7.3并行格式3的算例 227
9.7.4并行格式5的算例 228
第10章 非线性问题的并行格式 230
10.1方程和记号 230
10.2并行格式的构造 231
10.3先验估计、存在性与收敛性 234
10.4稳定性和唯一性 237
10.5数值算例 239
第11章 守恒型并行离散格式 242
11.1一维守恒型并行格式 242
11.1.1基于界面显式通量的守恒并行格式 243
11.1.2基于界面预估的守恒型并行格式 243
11.1.3基于界面守恒修正的并行格式 249
11.1.4第二种界面守恒修正方式 253
11.1.5非线性并行迭代格式 254
11.1.6守恒型并行迭代格式 255
11.1.7基于界面守恒修正的并行迭代格式 256
11.2二维守恒型并行格式的设计方法 258
11.2.1九点格式及其迭代方法 260
11.2.2守恒型并行迭代算法 262
11.2.3在内界面处采用Dirichlet边界条件 263
11.2.4在内界面处采用Neumann边界条件 264
11.2.5守恒型并行算法步骤 264
11.3数值算例 265
11.3.1守恒型并行格式的算例 265
11.3.2守恒并行九点格式的算例 266
参考文献 269
索引 273
《信息与计算科学丛书》已出版书目 274

精彩书摘

第1章 扩散方程的有限体积格式简介
本章简要介绍几种常用的有限体积格式，包括可允许网格上的有限体积格式、多点通量逼近方法、支撑算子方法、菱形格式和非线性格式等。
1.1 可允许网格上的有限体积格式
下面介绍可允许网格上的离散格式。
首先给出可允许网格的定义。
定义1.1.1(可允许网格) Ω为R2的有界多边形区域。Ω的可允许有限体积网格为三元族(T;E;P)，其中T为一族“控制体积”，它们是Ω中有限个凸多边形，E为R2上一族包含于Ω中的线段，P为Ω中的一族点。
(T;E;P)具有如下性质:
从直观上来说，可允许网格是这样一种网格剖分，其相邻单元中心连线与公共边垂直。
例如Vorono网格就是一种可允许网格。
对二维四边形网格，J由6个单元的标号组成，见图1.1。所得的方法称为多点通量逼近方法[2]。
下面考虑表达式(1.4)中的传递系数的计算。
考虑图1.1中由实线所示的网格。假设扩散系数在每个单元(控制体)上为常数，u的值定义在单元中心。通过连接单元中心和单元边的中点，可以得到一个对偶网格，见图1.1中虚线所示的网格。有时为了区别起见将实线所示的网格称为主网格或基本网格。对偶网格称为相互影响区域。在二维情况，对偶网格将网格边分为两部分，每一个部分称为子边。
多点通量逼近方法就是使得相互影响区域中的单元之间的局部影响决定所有子边的传递系数。一旦所有子边上的传递系数都被确定，则可以通过组合子边的贡献而得到单元边上的传递系数。对图1.2所示的四边形网格，子边PQ和QR构成单元边PR。一个单元边的传递系数来源于两个相邻的相互影响区域的贡献。
在一个相互影响区域内，有以下条件成立:越过子边的温度和通量连续。
假设在相互影响区域的每个单元上温度可通过线性函数描述。然而，不可能要求温度和通量在相互影响区域的所有子边上连续。例如，在4个单元中分别对温度作线性近似，将导致4￡3=12个自由度。在4条子边上的通量连续将给出4个条件，在每条子边上的温度连续条件将给出8个条件。另外，线性函数必须考虑单元中心值，这又将给出4个条件。因此，总共有16个条件和12个自由度。为此，只要求温度在每条边的中点连续。在图1.3中，边中点是指点A，B，C和D。从而对12个自由度只有12个条件。以上给出的方法称为O方法。还可以选择其他的连续性条件以及其他的连续点。
图1.3相互影响区域(单元中心为1，2，3，4，边中点为A;B;C;D)
注意到传递系数仅仅依赖于网格几何和扩散系数，从而传递系数的计算可以作为一个预处理提前计算。
需要计算梯度rUj和法向量ni，该法向量的长度为所在子边的长度。
在每个单元j上，假定温度Uj为线性函数，从而可以写成
Uj(x)=rUj￠(x.xj0)+uj0;(1.6)
其中uj0是在单元j0的中心xj0处的值。梯度可以方便地由单元j的子边上的连续点1xjk上的温度的值决定。连续点和单元中心如图1.4所示。
1.2多点通量逼近方法
下面给出二维情形的连续性条件。如图1.3所示，在相互影响区域有4个单元，4条子边。要求温度u在点A，B，C，D连续，并记u(A)=1u1，u(B)=1u2，u(C)=1u3，u(D)=1u4。单元j的单元中心值记为uj(16j64)。对每个子边OA，OB，OC和OD，利用方程(1.10)及以上单元中心值和单元边中点值的记号，4条子边上的通量连续条件可写为
下面将用单元中心值u=[u1;u2;u3;u4]T来表示单元边中点处的值v=[1u1，1u2，1u3，1u4]T。方程(1.12)中每个等式的左右两边分别给出了子边上的法向通量。例如，左边能写成Cv.Du，其中C和D为4￡4的矩阵。从而可以得到通过4条子边的通量

前言/序言

好的，以下是为您撰写的一份关于一本名为《扩散方程计算方法》的图书的简介，这份简介侧重于探讨其他相关领域的主题，以确保内容与原书内容（如何计算扩散方程）不重叠，同时力求详实、自然。 --- 《复杂系统中的信息熵与演化动力学》 本书深入探索了信息论、统计物理学以及复杂系统科学的前沿交叉领域，旨在揭示信息如何在非平衡系统中产生、流动与耗散，并由此驱动宏观尺度的结构演化。我们聚焦于那些超越经典热力学描述范畴的现象，如自组织临界性、涌现行为以及信息流的拓扑结构。 第一部分：信息度量与非平衡态统计 本部分首先回顾了经典信息熵的定义，并在此基础上引入了更适用于描述动态过程的度量，例如微分熵和互信息。重点讨论了最大熵原理（MEP）在构建复杂系统模型中的应用。与传统平衡态假设不同，我们详细分析了在时间依赖性驱动下的系统，如何通过信息约束来推导出其稳态或准稳态分布。 一个核心议题是非平衡态热力学的框架构建。我们讨论了葛雷森-库特勒（Gresen-Kutler）关系在描述信息流与熵产生速率之间的联系。这部分将系统地考察起伏定理（Fluctuation Theorems），特别是关于熵产生和功耗的边界条件，这些定理为理解小尺度系统中的热力学可行性提供了深刻见解。我们还将探讨如何利用路径积分方法来计算特定路径上发生的概率和熵变，这对于理解诸如分子马达或基因调控网络等生物物理过程至关重要。 第二部分：复杂网络中的信息传播与结构拓扑 本篇转向对复杂网络结构的分析，重点关注信息（或影响、疾病等）在网络中的传播机制。我们不再关注扩散方程本身，而是分析网络拓扑结构如何调制这种传播的效率和模式。 内容涵盖了多种网络模型，如无标度网络、小世界网络以及随机图模型的比较分析。我们详细阐述了基于邻接矩阵和拉普拉斯矩阵的特征值分析如何揭示网络的核心连通性和模态结构。特别地，本书深入探讨了模态分解技术在识别网络中的功能模块和信息瓶颈方面的应用。 关于信息传播，我们研究了级联模型（Cascading Models）和基于阈值的模型。这里的关键在于，信息并非均匀扩散，而是依赖于节点的激活阈值和连接强度。我们用信息流的视角来分析这些传播过程，引入了诸如有效性（Effective Resistance）和平均首次通过时间（Mean First Passage Time）等指标，用以量化信息在网络中特定区域的滞留或快速穿梭的能力。此外，对于动态网络（节点或连接随时间变化的网络），本书提供了分析信息传播鲁棒性和适应性的新颖工具。 第三部分：时间序列的非线性动力学与混沌 本部分聚焦于系统随时间的演化行为，尤其是时间序列数据背后的非线性机制。我们探讨了如何从观测数据中重构系统的相空间，主要依赖于延展嵌入定理（Time-Delay Embedding Theorem）。 核心内容包括李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）的计算与解读，用以量化系统对初始条件的敏感性，这是识别混沌行为的黄金标准。我们还将对比不同的时间序列分析方法，例如小数据集合嵌入（Singular Spectrum Analysis, SSA），它能有效地将复杂信号分解为趋势、周期性和噪声成分，为理解底层动力学机制提供了频率和时间尺度的分离视角。 此外，本书详细介绍了相空间重构中的拓扑不变量，如关联维数（Correlation Dimension）。通过计算这些维度，我们可以估计出驱动系统的有效自由度，这对于理解高维系统的简化建模至关重要。我们还将讨论延迟反馈控制在稳定或诱导特定非线性行为中的策略。 第四部分：涌现现象与自组织临界性 最后，本书转向更宏观的视角，考察信息与局部相互作用如何导致全局的涌现现象，特别是自组织临界性（Self-Organized Criticality, SOC）。 我们通过雪崩模型（Sandpile Models）的演化规则，阐明了系统如何在没有外部调谐参数的情况下，自然地演化到一个临界状态。本书详细分析了这种临界状态下的功率律分布，并将其应用于分析地震学、森林火灾和金融市场波动等真实世界的复杂事件。 关键在于，SOC 现象的本质在于信息（或能量）在系统内部的有效存储和释放机制。我们引入了信息耗散梯度的概念，以描述系统如何通过局部规则的迭代，在维持稳定性的同时累积“势能”，最终以无标度事件的形式释放。本书提供了定量工具，用以区分真正的SOC与仅仅是标度行为的系统，从而深化对复杂系统内在稳定性和爆发性行为的理解。 本书面向对物理学、计算机科学、系统工程和应用数学有深入兴趣的研究人员和高级学生。它提供了一种跨学科的视角，专注于信息的度量、网络的拓扑约束以及动力学的非线性演化，而非求解特定的偏微分方程。

评分☆☆☆☆☆

书中对不同数值求解方法的比较分析部分，做得相当到位，可以说是这本书的精髓之一。作者没有停留在简单介绍各种算法的公式层面，而是深入探讨了它们各自的适用场景、稳定性和收敛速度的内在机制。我尤其欣赏作者通过引入具体的算例来验证理论的严谨性，那些图表数据清晰地展示了有限差分法、有限元法等不同路径的优缺点，这种实践与理论紧密结合的方式，极大地增强了内容的说服力。读到这些对比时，我仿佛能感受到作者在实际操作中遇到的种种权衡与取舍，那种经验的沉淀是书本知识无法完全替代的。它教会我的不仅仅是如何解题，更重要的是如何“选择”最优的解题策略，这是一种更高层次的工程智慧。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计着实吸引人，封面那种深邃的蓝色调，配上简洁的白色字体，给我一种非常专业、严谨的感觉。内页的纸张质感也相当不错，摸上去很细腻，印刷清晰，即便是长时间阅读也不会觉得眼睛特别疲劳。我特别欣赏作者在排版上的用心，章节之间的过渡自然流畅，重要公式和图表的布局也十分考究，使得阅读体验得到了极大的提升。初次翻阅时，我被那种扑面而来的学术气息所感染，感觉这本书不仅仅是一本教材，更像是一件精心打磨的工艺品。特别是那些复杂的数学符号，排布得井井有条，这对于需要精确理解内容的读者来说，无疑是极大的便利。它让我对接下来的学习内容充满了期待，毕竟，好的外观往往预示着内在的扎实。整体而言，从物理感受上来说，这本书已经赢得了我的初步好感。

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售后服务和配套资源方面，这本书的表现出乎我意料的周到。虽然我主要依赖纸质书进行学习，但附带的在线资源包（如代码库和补充习题集）的质量非常高。代码不仅注释详尽，而且模块化做得很好，可以直接拿来作为项目的基础框架进行修改和测试。更让我惊喜的是，作者似乎定期会对这些资源进行维护和更新，这一点在学术著作中是比较少见的。这表明作者不仅完成了写作任务，更是在持续关注和迭代教学内容，这种对读者负责的态度，极大地提升了这本书的长期价值。它不是一本写完就束之高阁的旧作，而是一个仍在不断生长的知识体系，让人感到非常可靠和信赖。

评分☆☆☆☆☆

这本书的深度和广度都令人印象深刻，它涉猎的领域远超我预期的范围。原以为它会专注于某一固定的离散化技术，但事实是，它像一张精心绘制的地图，清晰地标示出了数值分析领域内多个分支的脉络。作者对理论背景的铺陈显得游刃有余，从基础的傅里叶分析到更前沿的并行计算思想，都有所涉及，展现出作者深厚的学术功底和开阔的视野。这种全景式的介绍，使得读者在掌握核心技术的同时，也建立起了对整个学科体系的宏观认知。虽然这导致单点内容的篇幅有所压缩，但对于希望建立全面知识框架的读者来说，这种“大而全”的结构优势明显，它为后续的深入研究提供了坚实而广阔的平台。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙述方式，坦白说，一开始让我有些措手不及。它并没有采取那种循序渐进、手把手教学的风格，而是直接切入了问题的核心，用一种高度凝练的语言阐述概念。对于那些已经具备扎实数学基础的读者来说，这无疑是一种高效的切入点，能够迅速把握住精髓。然而，对于初学者而言，这种跳跃式的思维可能会造成一定的理解障碍。我花了不少时间去“消化”开篇的几个章节，感觉作者对读者的预设知识水平要求颇高，几乎没有为“慢热型”的学习者提供太多缓冲地带。但这或许也是其魅力所在——它拒绝做“保姆式”的引导，而是鼓励读者主动去探索和挖掘背后的逻辑。这种硬核的风格，虽然挑战性十足，但如果能成功跟上作者的思路，想必收获也会更加深刻和扎实，毕竟真正的理解往往伴随着思维的挣扎与突破。