擴散方程計算方法 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

袁光偉 等 著

圖書標籤:

• 擴散方程
• 數值方法
• 偏微分方程
• 有限差分法
• 有限元法
• 計算流體力學
• 熱傳導
• 數值模擬
• 科學計算
• 工程數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030463883

版次：1

商品編碼：11852836

包裝：精裝

叢書名： 信息與計算科學叢書

開本：16

齣版時間：2015-11-01

用紙：膠版紙

頁數：292

字數：378000

正文語種：中文

內容簡介

《擴散方程計算方法》介紹擴散方程的計算方法，重點介紹作者近十年來取得的研究進展。內容包括:擴散方程幾類常見的有限體積格式；扭麯網格上具有保正性和保持離散極值原理的有限體積格式；非綫性迭代方法和並行計算格式等。

目錄

第1章 擴散方程的有限體積格式簡介 1
1.1可允許網格上的有限體積格式 1
1.2多點通量逼近方法 2
1.3支撐算子方法 7
1.3.1局部支撐算子方法 7
1.3.2有通量錶達式的支撐算子方法 10
1.4菱形格式 13
1.5非綫性格式 18
1.6格式構造思路 20
第2章 網格節點加權平均九點格式 23
2.1九點格式的推導 23
2.2一般擴散方程的九點格式 26
2.3網格節點值的計算公式 28
2.3.1光滑係數問題 28
2.3.2間斷係數問題 29
2.4九點格式的切嚮差計算 35
2.4.1九點格式切嚮差計算的基本思想 35
2.4.2加權係數的計算公式 36
2.4.3嚴重扭麯情形 38
2.4.4自適應方法 40
2.5九點格式的理論結果 41
2.5.1穩定性分析 42
2.5.2收斂性分析 44
2.6非定常擴散方程的九點格式 45
2.7數值算例 47
2.7.1各嚮異性光滑係數問題 47
2.7.2間斷係數問題 48
2.7.3自適應切嚮差格式算例 49
第3章 單元中心-節點型格式 53
3.1光滑係數問題的格式構造 53
3.2格式的收斂性 57
3.3非定常擴散方程的格式 60
3.4間斷係數問題的格式 62
3.5解耦格式 66
3.5.1基本網格上的格式 66
3.5.2節點未知量的計算方法 68
3.5.3格式的收斂性 72
3.6數值算例 72
3.6.1光滑係數問題 72
3.6.2間斷係數問題 73
3.6.3解耦格式的數值結果 74
3.6.4綫性拋物問題 75
第4章 非匹配網格上的守恒格式 76
4.1構造格式的一般方法 76
4.2非匹配網格邊上輔助未知量的重構 78
4.2.1自適應模闆方法 78
4.2.2通量平衡點方法 80
4.2.3切嚮導數的近似 81
4.3非匹配網格節點處輔助未知量的重構 82
4.3.1懸點處未知量的重構 82
4.3.2簡單加權平均法 85
4.3.3最小二乘法 85
4.4數值算例 86
4.4.1光滑各嚮異性問題 87
4.4.2垂直斷層問題 88
4.4.3常係數及間斷係數問題 89
4.4.4間斷各嚮異性問題 91
第5章 守恒的非負性修正方法 94
5.1非負性修正方法一 94
5.1.1任意多邊形網格上的菱形格式 94
5.1.2Picard迭代方法 96
5.1.3保持局部守恒的強製數值解非負的算法 96
5.1.4初始迭代步的值 99
5.1.5非負性算法的計算流程 99
5.2非負性修正方法二 99
5.2.1守恒的遇負置零算法 100
5.2.2GCENZ算法的精度分析 102
5.2.3GCENZ算法的流程 103
5.3非負性修正方法三 104
5.3.1結構網格剖分計算區域 104
5.3.2一維情形的修補方法 105
5.3.3兩維情形的修正方法 107
5.3.4算法的執行步驟 108
5.4數值算例 109
第6章 保正格式 116
6.1自適應節點型保正格式 116
6.1.1問題與記號 116
6.1.2格式構造 117
6.1.3Robin邊界條件 121
6.1.4特殊情形 123
6.1.5離散係統 125
6.1.6保正性 126
6.2自適應邊中點型保正格式 127
6.3模闆固定型保正格式 130
6.3.1多邊形網格上的格式 130
6.3.2四邊形網格上的格式 133
6.4完全保正格式 136
6.4.1格式構造 136
6.4.2邊中點未知量的消去方法 137
6.4.3節點未知量的消去方法 138
6.4.4迭代求解方法 142
6.5邊中點未知量的消去方法 142
6.6數值算例 145
6.6.1精度 145
6.6.2保正性 148
6.6.3強間斷全張量問題 149
第7章 保持離散極值原理的格式 151
7.1自適應保極值原理格式 151
7.1.1單邊法嚮通量 151
7.1.2守恒法嚮通量 153
7.1.3格式及其求解方法 159
7.2極值原理和存在性 160
7.2.1極值原理 160
7.2.2存在性 161
7.3數值算例 163
7.3.1極值原理 163
7.3.2精度 165
第8章 非綫性迭代方法 167
8.1Picard迭代 167
8.2Picard-Newton迭代 170
8.2.1迭代格式設計 170
8.2.2理論分析 172
8.2.3Picard-Newton方法與Newton方法的區彆 181
8.3時間步長控製 184
8.4數值算例 186
8.4.1△u/u方法的結果 188
8.4.2CFL方法的結果 191
8.4.3無導數的Picard-Newton迭代方法 193
第9章 綫性問題的並行差分格式 195
9.1DFF-Ⅰ並行格式的穩定性 195
9.1.1穩定性的概念 195
9.1.2DFF-Ⅰ並行差分格式的穩定性分析 196
9.2拋物型方程移動界麵的並行差分格式 201
9.2.1並行格式1 202
9.2.2並行格式2 202
9.3一維二階精度無條件穩定格式的構造 203
9.3.1並行格式3 204
9.3.2並行格式4 205
9.4一維格式的理論分析 206
9.4.1格式的穩定性 206
9.4.2格式的收斂性 210
9.5二維二階精度無條件穩定格式的構造 212
9.5.1並行格式5 213
9.5.2並行格式6 215
9.6二維格式的理論分析 217
9.6.1格式的穩定性 217
9.6.2格式的收斂性 221
9.7數值算例 224
9.7.1DFF-Ⅰ格式的算例 224
9.7.2移動界麵並行格式的算例 226
9.7.3並行格式3的算例 227
9.7.4並行格式5的算例 228
第10章 非綫性問題的並行格式 230
10.1方程和記號 230
10.2並行格式的構造 231
10.3先驗估計、存在性與收斂性 234
10.4穩定性和唯一性 237
10.5數值算例 239
第11章 守恒型並行離散格式 242
11.1一維守恒型並行格式 242
11.1.1基於界麵顯式通量的守恒並行格式 243
11.1.2基於界麵預估的守恒型並行格式 243
11.1.3基於界麵守恒修正的並行格式 249
11.1.4第二種界麵守恒修正方式 253
11.1.5非綫性並行迭代格式 254
11.1.6守恒型並行迭代格式 255
11.1.7基於界麵守恒修正的並行迭代格式 256
11.2二維守恒型並行格式的設計方法 258
11.2.1九點格式及其迭代方法 260
11.2.2守恒型並行迭代算法 262
11.2.3在內界麵處采用Dirichlet邊界條件 263
11.2.4在內界麵處采用Neumann邊界條件 264
11.2.5守恒型並行算法步驟 264
11.3數值算例 265
11.3.1守恒型並行格式的算例 265
11.3.2守恒並行九點格式的算例 266
參考文獻 269
索引 273
《信息與計算科學叢書》已齣版書目 274

精彩書摘

第1章 擴散方程的有限體積格式簡介
本章簡要介紹幾種常用的有限體積格式，包括可允許網格上的有限體積格式、多點通量逼近方法、支撐算子方法、菱形格式和非綫性格式等。
1.1 可允許網格上的有限體積格式
下麵介紹可允許網格上的離散格式。
首先給齣可允許網格的定義。
定義1.1.1(可允許網格) Ω為R2的有界多邊形區域。Ω的可允許有限體積網格為三元族(T;E;P)，其中T為一族“控製體積”，它們是Ω中有限個凸多邊形，E為R2上一族包含於Ω中的綫段，P為Ω中的一族點。
(T;E;P)具有如下性質:
從直觀上來說，可允許網格是這樣一種網格剖分，其相鄰單元中心連綫與公共邊垂直。
例如Vorono網格就是一種可允許網格。
對二維四邊形網格，J由6個單元的標號組成，見圖1.1。所得的方法稱為多點通量逼近方法[2]。
下麵考慮錶達式(1.4)中的傳遞係數的計算。
考慮圖1.1中由實綫所示的網格。假設擴散係數在每個單元(控製體)上為常數，u的值定義在單元中心。通過連接單元中心和單元邊的中點，可以得到一個對偶網格，見圖1.1中虛綫所示的網格。有時為瞭區彆起見將實綫所示的網格稱為主網格或基本網格。對偶網格稱為相互影響區域。在二維情況，對偶網格將網格邊分為兩部分，每一個部分稱為子邊。
多點通量逼近方法就是使得相互影響區域中的單元之間的局部影響決定所有子邊的傳遞係數。一旦所有子邊上的傳遞係數都被確定，則可以通過組閤子邊的貢獻而得到單元邊上的傳遞係數。對圖1.2所示的四邊形網格，子邊PQ和QR構成單元邊PR。一個單元邊的傳遞係數來源於兩個相鄰的相互影響區域的貢獻。
在一個相互影響區域內，有以下條件成立:越過子邊的溫度和通量連續。
假設在相互影響區域的每個單元上溫度可通過綫性函數描述。然而，不可能要求溫度和通量在相互影響區域的所有子邊上連續。例如，在4個單元中分彆對溫度作綫性近似，將導緻4￡3=12個自由度。在4條子邊上的通量連續將給齣4個條件，在每條子邊上的溫度連續條件將給齣8個條件。另外，綫性函數必須考慮單元中心值，這又將給齣4個條件。因此，總共有16個條件和12個自由度。為此，隻要求溫度在每條邊的中點連續。在圖1.3中，邊中點是指點A，B，C和D。從而對12個自由度隻有12個條件。以上給齣的方法稱為O方法。還可以選擇其他的連續性條件以及其他的連續點。
圖1.3相互影響區域(單元中心為1，2，3，4，邊中點為A;B;C;D)
注意到傳遞係數僅僅依賴於網格幾何和擴散係數，從而傳遞係數的計算可以作為一個預處理提前計算。
需要計算梯度rUj和法嚮量ni，該法嚮量的長度為所在子邊的長度。
在每個單元j上，假定溫度Uj為綫性函數，從而可以寫成
Uj(x)=rUj￠(x.xj0)+uj0;(1.6)
其中uj0是在單元j0的中心xj0處的值。梯度可以方便地由單元j的子邊上的連續點1xjk上的溫度的值決定。連續點和單元中心如圖1.4所示。
1.2多點通量逼近方法
下麵給齣二維情形的連續性條件。如圖1.3所示，在相互影響區域有4個單元，4條子邊。要求溫度u在點A，B，C，D連續，並記u(A)=1u1，u(B)=1u2，u(C)=1u3，u(D)=1u4。單元j的單元中心值記為uj(16j64)。對每個子邊OA，OB，OC和OD，利用方程(1.10)及以上單元中心值和單元邊中點值的記號，4條子邊上的通量連續條件可寫為
下麵將用單元中心值u=[u1;u2;u3;u4]T來錶示單元邊中點處的值v=[1u1，1u2，1u3，1u4]T。方程(1.12)中每個等式的左右兩邊分彆給齣瞭子邊上的法嚮通量。例如，左邊能寫成Cv.Du，其中C和D為4￡4的矩陣。從而可以得到通過4條子邊的通量

前言/序言

好的，以下是為您撰寫的一份關於一本名為《擴散方程計算方法》的圖書的簡介，這份簡介側重於探討其他相關領域的主題，以確保內容與原書內容（如何計算擴散方程）不重疊，同時力求詳實、自然。 --- 《復雜係統中的信息熵與演化動力學》 本書深入探索瞭信息論、統計物理學以及復雜係統科學的前沿交叉領域，旨在揭示信息如何在非平衡係統中産生、流動與耗散，並由此驅動宏觀尺度的結構演化。我們聚焦於那些超越經典熱力學描述範疇的現象，如自組織臨界性、湧現行為以及信息流的拓撲結構。 第一部分：信息度量與非平衡態統計 本部分首先迴顧瞭經典信息熵的定義，並在此基礎上引入瞭更適用於描述動態過程的度量，例如微分熵和互信息。重點討論瞭最大熵原理（MEP）在構建復雜係統模型中的應用。與傳統平衡態假設不同，我們詳細分析瞭在時間依賴性驅動下的係統，如何通過信息約束來推導齣其穩態或準穩態分布。 一個核心議題是非平衡態熱力學的框架構建。我們討論瞭葛雷森-庫特勒（Gresen-Kutler）關係在描述信息流與熵産生速率之間的聯係。這部分將係統地考察起伏定理（Fluctuation Theorems），特彆是關於熵産生和功耗的邊界條件，這些定理為理解小尺度係統中的熱力學可行性提供瞭深刻見解。我們還將探討如何利用路徑積分方法來計算特定路徑上發生的概率和熵變，這對於理解諸如分子馬達或基因調控網絡等生物物理過程至關重要。 第二部分：復雜網絡中的信息傳播與結構拓撲 本篇轉嚮對復雜網絡結構的分析，重點關注信息（或影響、疾病等）在網絡中的傳播機製。我們不再關注擴散方程本身，而是分析網絡拓撲結構如何調製這種傳播的效率和模式。 內容涵蓋瞭多種網絡模型，如無標度網絡、小世界網絡以及隨機圖模型的比較分析。我們詳細闡述瞭基於鄰接矩陣和拉普拉斯矩陣的特徵值分析如何揭示網絡的核心連通性和模態結構。特彆地，本書深入探討瞭模態分解技術在識彆網絡中的功能模塊和信息瓶頸方麵的應用。 關於信息傳播，我們研究瞭級聯模型（Cascading Models）和基於閾值的模型。這裏的關鍵在於，信息並非均勻擴散，而是依賴於節點的激活閾值和連接強度。我們用信息流的視角來分析這些傳播過程，引入瞭諸如有效性（Effective Resistance）和平均首次通過時間（Mean First Passage Time）等指標，用以量化信息在網絡中特定區域的滯留或快速穿梭的能力。此外，對於動態網絡（節點或連接隨時間變化的網絡），本書提供瞭分析信息傳播魯棒性和適應性的新穎工具。 第三部分：時間序列的非綫性動力學與混沌 本部分聚焦於係統隨時間的演化行為，尤其是時間序列數據背後的非綫性機製。我們探討瞭如何從觀測數據中重構係統的相空間，主要依賴於延展嵌入定理（Time-Delay Embedding Theorem）。 核心內容包括李雅普諾夫指數（Lyapunov Exponents）的計算與解讀，用以量化係統對初始條件的敏感性，這是識彆混沌行為的黃金標準。我們還將對比不同的時間序列分析方法，例如小數據集閤嵌入（Singular Spectrum Analysis, SSA），它能有效地將復雜信號分解為趨勢、周期性和噪聲成分，為理解底層動力學機製提供瞭頻率和時間尺度的分離視角。 此外，本書詳細介紹瞭相空間重構中的拓撲不變量，如關聯維數（Correlation Dimension）。通過計算這些維度，我們可以估計齣驅動係統的有效自由度，這對於理解高維係統的簡化建模至關重要。我們還將討論延遲反饋控製在穩定或誘導特定非綫性行為中的策略。 第四部分：湧現現象與自組織臨界性 最後，本書轉嚮更宏觀的視角，考察信息與局部相互作用如何導緻全局的湧現現象，特彆是自組織臨界性（Self-Organized Criticality, SOC）。 我們通過雪崩模型（Sandpile Models）的演化規則，闡明瞭係統如何在沒有外部調諧參數的情況下，自然地演化到一個臨界狀態。本書詳細分析瞭這種臨界狀態下的功率律分布，並將其應用於分析地震學、森林火災和金融市場波動等真實世界的復雜事件。 關鍵在於，SOC 現象的本質在於信息（或能量）在係統內部的有效存儲和釋放機製。我們引入瞭信息耗散梯度的概念，以描述係統如何通過局部規則的迭代，在維持穩定性的同時纍積“勢能”，最終以無標度事件的形式釋放。本書提供瞭定量工具，用以區分真正的SOC與僅僅是標度行為的係統，從而深化對復雜係統內在穩定性和爆發性行為的理解。 本書麵嚮對物理學、計算機科學、係統工程和應用數學有深入興趣的研究人員和高級學生。它提供瞭一種跨學科的視角，專注於信息的度量、網絡的拓撲約束以及動力學的非綫性演化，而非求解特定的偏微分方程。

評分☆☆☆☆☆

這本書的深度和廣度都令人印象深刻，它涉獵的領域遠超我預期的範圍。原以為它會專注於某一固定的離散化技術，但事實是，它像一張精心繪製的地圖，清晰地標示齣瞭數值分析領域內多個分支的脈絡。作者對理論背景的鋪陳顯得遊刃有餘，從基礎的傅裏葉分析到更前沿的並行計算思想，都有所涉及，展現齣作者深厚的學術功底和開闊的視野。這種全景式的介紹，使得讀者在掌握核心技術的同時，也建立起瞭對整個學科體係的宏觀認知。雖然這導緻單點內容的篇幅有所壓縮，但對於希望建立全麵知識框架的讀者來說，這種“大而全”的結構優勢明顯，它為後續的深入研究提供瞭堅實而廣闊的平颱。

評分☆☆☆☆☆

這本書的敘述方式，坦白說，一開始讓我有些措手不及。它並沒有采取那種循序漸進、手把手教學的風格，而是直接切入瞭問題的核心，用一種高度凝練的語言闡述概念。對於那些已經具備紮實數學基礎的讀者來說，這無疑是一種高效的切入點，能夠迅速把握住精髓。然而，對於初學者而言，這種跳躍式的思維可能會造成一定的理解障礙。我花瞭不少時間去“消化”開篇的幾個章節，感覺作者對讀者的預設知識水平要求頗高，幾乎沒有為“慢熱型”的學習者提供太多緩衝地帶。但這或許也是其魅力所在——它拒絕做“保姆式”的引導，而是鼓勵讀者主動去探索和挖掘背後的邏輯。這種硬核的風格，雖然挑戰性十足，但如果能成功跟上作者的思路，想必收獲也會更加深刻和紮實，畢竟真正的理解往往伴隨著思維的掙紮與突破。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計著實吸引人，封麵那種深邃的藍色調，配上簡潔的白色字體，給我一種非常專業、嚴謹的感覺。內頁的紙張質感也相當不錯，摸上去很細膩，印刷清晰，即便是長時間閱讀也不會覺得眼睛特彆疲勞。我特彆欣賞作者在排版上的用心，章節之間的過渡自然流暢，重要公式和圖錶的布局也十分考究，使得閱讀體驗得到瞭極大的提升。初次翻閱時，我被那種撲麵而來的學術氣息所感染，感覺這本書不僅僅是一本教材，更像是一件精心打磨的工藝品。特彆是那些復雜的數學符號，排布得井井有條，這對於需要精確理解內容的讀者來說，無疑是極大的便利。它讓我對接下來的學習內容充滿瞭期待，畢竟，好的外觀往往預示著內在的紮實。整體而言，從物理感受上來說，這本書已經贏得瞭我的初步好感。

評分☆☆☆☆☆

售後服務和配套資源方麵，這本書的錶現齣乎我意料的周到。雖然我主要依賴紙質書進行學習，但附帶的在綫資源包（如代碼庫和補充習題集）的質量非常高。代碼不僅注釋詳盡，而且模塊化做得很好，可以直接拿來作為項目的基礎框架進行修改和測試。更讓我驚喜的是，作者似乎定期會對這些資源進行維護和更新，這一點在學術著作中是比較少見的。這錶明作者不僅完成瞭寫作任務，更是在持續關注和迭代教學內容，這種對讀者負責的態度，極大地提升瞭這本書的長期價值。它不是一本寫完就束之高閣的舊作，而是一個仍在不斷生長的知識體係，讓人感到非常可靠和信賴。

評分☆☆☆☆☆

書中對不同數值求解方法的比較分析部分，做得相當到位，可以說是這本書的精髓之一。作者沒有停留在簡單介紹各種算法的公式層麵，而是深入探討瞭它們各自的適用場景、穩定性和收斂速度的內在機製。我尤其欣賞作者通過引入具體的算例來驗證理論的嚴謹性，那些圖錶數據清晰地展示瞭有限差分法、有限元法等不同路徑的優缺點，這種實踐與理論緊密結閤的方式，極大地增強瞭內容的說服力。讀到這些對比時，我仿佛能感受到作者在實際操作中遇到的種種權衡與取捨，那種經驗的沉澱是書本知識無法完全替代的。它教會我的不僅僅是如何解題，更重要的是如何“選擇”最優的解題策略，這是一種更高層次的工程智慧。