高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数/清华大学公共基础平台课教材 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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章纪民，闫浩，刘智新 著

图书标签:

• 高等数学
• 微积分
• 多元函数
• 级数
• 清华大学
• 教材
• 理工科
• 数学分析
• 微积分教程
• 公共基础课

出版社： 清华大学出版社

ISBN：9787302394181

版次：1

商品编码：12071527

包装：平装

丛书名： 清华大学公共基础平台课教材

开本：16开

出版时间：2015-03-01

用纸：胶版纸

页数：335

字数：413000

正文语种：中文

内容简介

　　《高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数》是编者在多年的教学经验与教学研究的基础上编写而成的。教材中适当加强了微积分的基本理论，同时兼顾微积分的应用，使之有助于培养学生分析问题和解决问题的能力，书中还给出了习题答案或提示，以方便教师教学使用及学生自学。
　　教材分为上、下两册，《高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数》是下册，内容包括多元函数及其微分学、含参积分及广义含参积分、重积分、曲线积分与曲面积分、常数项级数、函数项级数、Fourier级数。
　　《高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数》可作为大学理工科非数学专业微积分课程的教材。

内页插图

目录

前言/序言

　　微积分是现代大学生（包括理工科学生以及部分文科学生）大学入学后的第一门课程，也是大学数学教育的一门重要的基础课程，其重要性已为大家所认可，但学生对这门课仍有恐惧感。对学生来说如何学好这门课，对教师来说如何教好这门课，都是广大师生关注的事情。众多微积分教材的出版，都是为了帮助学生更好地理解、学习这门课程，也为了教师更容易地教授这门课，本书的编写就是这么一次尝试。
　　一、微积分的发展史
　　以英国科学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz）在17世纪下半叶独立研究和完成的，现在被称为微积分基本定理的牛顿一莱布尼茨公式为标志，微积分的创立和发展已经历了三百多年的时间。但是微积分的思想可以追溯到公元前3世纪古希腊的阿基米德（Archimedes）。他在研究一些关于面积、体积的几何问题时，所用的方法就隐含着近代积分学的思想。而微分学的基础——极限理论也早在公元前3世纪左右我国的庄周所著《庄子》一书的“天下篇”中就有记载，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；在魏晋时期我国伟大的数学家刘徽在他的割圆术中提到的“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，都是朴素的，也是很典型的极限概念。利用割圆术，刘徽求出了圆周率π=3.1416……的结果。
　　牛顿和莱布尼茨的伟大工作是把微分学的中心问题——切线问题和积分学的中心问题——求积问题联系起来，用这种划时代的联系所创立的微积分方法和手段，使得一些原本被认为是很难的天文学问题、物理学问题得到解决，展现了微积分的威力，推动了当时科学的发展，
　　尽管牛顿和莱布尼茨的理论在现在看来是正确的，但他们当时的工作是不完善的，尤其缺失数学分析的严密性。在一些基本概念上，例如“无穷”和“无穷小量”这些概念，他们的叙述十分含糊，“无穷小量”有时是以零的形式，有时又以非零而是有限的小量出现在牛顿的著作中，同样，在莱布尼茨的著作中也有类似的混淆。这些缺陷，导致了越来越多的悖论和谬论的出现，引发了微积分的危机。
　　在随后的几百年中，许多数学家为微积分理论做出了奠基性的工作，其中有：
　　捷克的数学家和哲学家波尔查诺（Bolzano）（1781一1848年），著有《无穷的悖论》，提出了级数收敛的概念，并对极限、连续和变量有了较深入的了解。
　　法国数学家柯西（Cauchy）（1789-1857年），著有《分析教程》、《无穷小分析教程概论》和《微积分在几何上的应用》，“柯西极限存在准则”给微积分奠定了严密的基础，创立了极限理论。
　　德国数学家维尔斯特拉斯（Weierstrass）（1815-1897年），引进“ε-8”、“ε-N”语言，在数学上“严格”定义了“极限”和“连续”，逻辑地构造了实数理论，系统建立了数学分析的基础。
　　在微积分理论的发展之路上，还有一些数学家必须提到，他们是黎曼（Riemann）、欧拉（Euler）、拉格朗日（Lagrange）、阿贝尔（Abel）、戴德金（Dedekind）、康托尔（Cantor），等等，他们的名字将在我们的教材中一次又一次地被提到。
　　我们在教材中呈现的是经过许多数学家不断完善、发展的微积分体系。

《高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数》 内容简介： 《高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数》是清华大学公共基础平台课系列教材的重要组成部分，专为高等院校理工科专业学生设计，旨在系统、深入地讲授多元函数微积分和级数理论。本教材在继承经典高等微积分内容的基础上，融入了现代数学的思想和方法，注重概念的严谨性、方法的系统性和应用的广泛性，力求培养学生扎实的数学功底、严谨的逻辑思维能力和解决实际问题的数学建模能力。 上册回顾与下册概览： 本教程（下册）紧承上册关于单变量函数微积分的内容，将微积分的视野从一维拓展至多维空间。上册中建立的极限、连续、导数、积分等基本概念，将在下册中得到进一步的深化和推广，为理解多元函数及其在空间中的行为奠定坚实基础。 核心内容模块： 第一部分：多元函数微分学 空间向量与几何：教材首先从三维欧几里得空间入手，引入向量的概念，包括向量的加减、数乘、点积和叉积，以及它们在几何上的直观意义。这将为理解多元函数的定义域和值域提供空间背景。 多元函数的概念与性质：详细介绍多元函数的定义，包括定义域、值域、图像等。重点探讨多元函数的极限和连续性，通过严谨的定义和丰富的例子，帮助读者理解在多维空间中，函数趋近于一点的行为比单变量函数更为复杂，需要考虑不同方向的趋近。 偏导数与方向导数：引入偏导数的概念，它是函数在沿某一坐标轴方向上的变化率。在此基础上，推广到方向导数，即函数在任意给定方向上的变化率。方向导数和梯度向量是理解函数在某一点处变化最快方向的关键。 梯度与切平面/切线：深入讲解梯度向量的几何意义，以及如何利用梯度构建多元函数的切平面（对于曲面）和切线（对于曲线）。这在优化问题和物理场分析中具有极其重要的应用。 全微分与微分：区分全微分和偏微分的概念，强调全微分是函数在某一点处线性近似的核心。通过全微分，可以更精确地描述多元函数在微小变化下的响应。 高阶偏导数与泰勒公式：介绍二阶及更高阶偏导数，并探讨它们之间的关系（如 Clairaut 定理）。推广单变量函数的泰勒公式至多元函数，为函数的局部近似和分析提供了强大的工具。 极值问题：这是多元函数微分学的核心应用之一。教材将详细讲解如何利用驻点（导数为零的点）和二阶偏导数来判断多元函数的局部极值（极大值、极小值）和鞍点。 条件极值与拉格朗日乘数法：处理在附加约束条件下求极值的问题。拉格朗日乘数法作为一种系统性的方法，将条件极值问题转化为无条件极值问题，在科学研究和工程实践中应用广泛。 隐函数定理与反函数定理：这两个定理是多元函数理论的基石，它们在一定条件下保证了某些方程组可以定义隐函数，或者映射存在局部反函数。它们对于分析方程的解的性质和研究函数的局部行为至关重要。 第二部分：多元函数积分学 重积分： 二重积分：介绍二重积分的概念，将其理解为平行于坐标平面的薄片的体积。讲解计算二重积分的常用方法，包括直角坐标系下的累次积分和极坐标系下的积分。重点阐述积分区域的划分、化为累次积分的技巧以及不同坐标系的适用性。 三重积分：将二重积分的概念推广到三维空间，用于计算三维物体的体积、质量、质心等。同样会介绍在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下的计算方法。 多重积分的变量替换：推广一维积分中的换元积分法，介绍在重积分中进行变量替换的方法，特别强调雅可比行列式的作用。这使得在复杂区域上的积分计算变得可行。 重积分的应用：通过实际例子，展示重积分在计算面积、体积、质心、转动惯量、概率密度等方面的应用。 曲线积分与曲面积分： 第一类曲线积分：定义第一类曲线积分，并介绍其在计算曲线弧长、薄片质量等方面的应用。 第二类曲线积分：定义第二类曲线积分，也称为路径积分或力场积分，它在物理学中与功的计算密切相关。 格林公式：这是一个连接平面区域上的二重积分与该区域边界上的曲线积分的深刻定理。格林公式是向量分析中的一个重要工具，它将复杂的区域积分转化为边界上的线积分，反之亦然。 第一类曲面积分：定义第一类曲面积分，并介绍其在计算曲面面积、曲面质量等方面的应用。 第二类曲面积分：定义第二类曲面积分，它与向量场的通量计算密切相关。 高斯公式（散度定理）：将格林公式推广到三维空间，连接了空间区域上的三重积分与该区域边界曲面上的曲面积分。高斯公式是物理学（如电磁学）中的重要定理，它描述了向量场在区域内部的“源”与通过区域边界的“流”之间的关系。 斯托克斯公式：连接了空间曲面上的曲面积分与该曲面边界曲线上的曲线积分。斯托克斯公式在描述旋度等概念时尤为重要。 第三部分：级数 数列的极限：作为级数理论的基础，首先回顾数列极限的定义、性质和判定方法。 级数的基本概念：定义级数、部分和，以及级数的收敛与发散。 级数的审敛法： 正项级数：介绍比值判别法、根值判别法、比较判别法等，用于判断正项级数的收敛性。 任意项级数：引入交错级数和绝对收敛、条件收敛的概念。讲解 Leibniz 判别法等。 幂级数： 收敛域与收敛半径：讨论幂级数在不同 x 值下的收敛性，确定其收敛域和收敛半径。 幂级数的运算：介绍幂级数的加减、乘法以及逐项积分和逐项微分。 函数展开为幂级数：讲解如何将初等函数表示为泰勒级数或麦克劳林级数，以及这些级数在函数逼近和计算中的应用。 傅里叶级数： 周期函数的傅里叶级数展开：将周期函数表示为三角函数（正弦和余弦）的无穷级数。 傅里叶级数的收敛性：讨论傅里叶级数在不同条件下的收敛性。 傅里叶级数的应用：介绍傅里叶级数在信号处理、微分方程求解等领域的广泛应用，理解其将复杂函数分解为简单谐波分量的强大能力。 教材特色： 严谨性与系统性：教材在概念的定义上力求严谨，证明过程清晰，逻辑性强，确保学生建立正确的数学认识。 启发性与直观性：在讲解抽象概念的同时，辅以丰富的几何解释、图示和实例，帮助学生建立直观理解。 能力培养：注重培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学建模能力以及分析和解决问题的能力。 适度的计算训练：每章都配有适量的习题，涵盖概念理解、计算技巧和应用探索等不同层次，帮助学生巩固所学知识。 与应用结合：在讲解理论的同时，穿插了一些与物理、工程、计算机科学等领域相关的应用背景和例子，展示数学的实用价值。 《高等微积分教程（下）：多元函数微积分与级数》是一本内容丰富、体系完整、面向未来的高等数学教材，旨在为学生后续的专业学习和科学研究打下坚实的数学基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和布局也为我的学习体验加分不少。我注意到，书中的公式和定理都用醒目的字体或框线标出，方便我快速定位和复习。同时，重要的概念和定义也会以粗体或斜体的形式强调，让我能够抓住重点。我尤其喜欢它在分页处理上的细致，很少出现公式被分割成两页的情况，这极大地提高了阅读的流畅性。而且，每章的开始都会有一个简短的引言，概述本章的学习内容和目标，这有助于我提前对学习内容有一个整体的把握。章节的结尾通常会有一个小结，总结本章的关键知识点，让我能够快速回顾。这种周全的考虑，让我在阅读过程中感觉非常顺畅，能够更专注于数学内容的理解，而不是被排版所干扰。

评分☆☆☆☆☆

这本书在公式推导和符号约定上，保持了高度的一致性和规范性。我之前在学习过程中，经常会遇到不同教材对同一个概念使用不同符号，或者公式推导过程不够严谨的情况，这给我带来了很多困扰。而这本书在这方面做得非常出色，它在引入新概念时，会清晰地定义所使用的符号，并且在后续的推导中始终保持一致。我特别欣赏它在推导复杂公式时，会一步一步地进行，并且在每一步都给出明确的说明，让我能够清晰地追踪整个推导过程。即使是看起来非常复杂的公式，通过这本书的解释，我也能理解其来龙去脉。这种规范化的数学表达，不仅有助于我准确理解和记忆公式，更能培养我严谨的数学书写习惯。我感觉这本书就像一本“数学说明书”，清晰、准确、易懂，让我能够更高效地学习和掌握多元函数微积分。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格非常值得称赞。它既保持了数学教材应有的严谨和专业，又避免了不必要的晦涩难懂。作者在解释一些复杂概念的时候，非常善于使用类比和比喻，将抽象的数学思想具象化，让我更容易理解。我特别喜欢书中一些“点拨”性的语言，在关键的地方，作者会用非常精炼的语言总结出核心要点，或者指出容易出错的地方。这种“画龙点睛”式的表述，能够帮助我迅速抓住问题的关键，避免走弯路。而且，书中的语句结构多样，有长句的严谨推导，也有短句的精辟总结，读起来不会感到枯燥乏味。我甚至觉得，在某些段落，作者的语言有一种独特的魅力，能够让我沉浸在数学的世界里，而不是被枯燥的符号所淹没。这种语言风格，让我感觉作者不仅仅是一位严谨的数学家，也是一位优秀的教育者。

评分☆☆☆☆☆

这本书在细节的处理上也非常到位。我注意到，书中对每一个重要定理的证明，都给出了详细的步骤和解释，而不是简单地给出一个结论。这对于我这种喜欢刨根问底的学生来说，非常有帮助。我能够理解定理是如何得出的，这不仅加深了我对定理本身的理解，也能让我对相关的数学方法和技巧有更深入的认识。而且，在证明过程中，书中还经常会提及一些辅助性的定义或者性质，并给出它们的出处，方便我回顾和查阅。这种严谨的证明方式，培养了我严谨的数学思维。另外，书中还会列举很多不同类型的例题，从基础的计算题到一些稍微复杂的应用题，覆盖了各种情况。这些例题的选择非常典型，能够让我充分掌握所学知识的应用。我曾经遇到过一本教材，例题太少，或者例题太偏，学完之后不知道如何解实际问题，而这本书在这方面做得很好，例题的实用性非常强，让我学完之后感觉学有所用。

评分☆☆☆☆☆

这本书在数学建模和实际应用方面的启发性非常强。虽然它是一本高等微积分的教材，但它并没有局限于纯理论的推导，而是常常提及微积分在物理、工程、经济等领域的应用。比如，在讲解梯度和方向导数的时候，书中就给出了相关的物理意义，比如温度场、势能场等，让我能更直观地理解这些概念。这种“学以致用”的理念，能够极大地激发我的学习兴趣，让我明白学习这些抽象的数学工具究竟有什么用处。我记得书中有一个例子，是用多元函数来描述一个工程系统的性能指标，然后通过求极值来优化这个系统。这个例子虽然简单，但却让我看到了微积分在解决实际问题中的强大力量。这种将理论与应用相结合的教材，对于我这种希望将所学知识转化为实际能力的读者来说，无疑是巨大的财富。它让我看到了数学不仅仅是纸上的符号，更是解决现实世界问题的有力武器。

评分☆☆☆☆☆

从内容上看，这本书的编排逻辑非常清晰，章节之间的过渡自然流畅。我最开始接触多元函数微积分的时候，总是觉得概念很多，容易混淆，但这本书通过循序渐进的方式，将繁杂的知识点拆解开来，一步一步地引导读者理解。比如，在讲解重积分的时候，它先从二重积分开始，通过投影和区域划分，再逐步过渡到三重积分，并且在讲解过程中，穿插了大量的几何直观解释，帮助我理解积分的几何意义，比如计算体积、面积等。这种“由浅入深”的处理方式，让我感觉学习过程不那么吃力，能够建立起坚实的数学基础。而且，书中对一些抽象概念的定义和阐述，都力求准确和严谨，同时又尽量用通俗易懂的语言来解释，避免了过于晦涩的数学术语堆砌。即使是初次接触这些概念的学生，也能通过这本书找到学习的路径。我特别欣赏的是，它在每个小节的结尾，都会有一些思考题或者小练习，这些题目虽然不复杂，但能够帮助我巩固刚刚学到的知识点，加深理解。

评分☆☆☆☆☆

这本书对于学习过程中的“疑难点”处理得非常出色。我尤其欣赏它对于一些容易混淆的概念的区分和讲解。例如，在讲解路径积分和面积分的时候，这本书花了很多篇幅来解释它们之间的区别和联系，并且通过不同场景的例子来帮助读者理解。我之前在学习其他教材时，在这方面就感到非常困惑，总是分不清什么时候用路径积分，什么时候用面积分。而这本书通过详细的对比分析，以及对概念背后几何意义的深入剖析，让我豁然开朗。此外，书中对于一些进阶内容，比如流体力学中的一些方程，也给出了非常清晰的铺垫和讲解，尽管我还没有深入研究，但这种前瞻性的介绍，让我对未来学习的方向有了更明确的认识。它不仅仅是一本入门教材，更是一本能够伴随我深入学习的工具书。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题设计非常具有梯度，从基础的计算和概念理解，到复杂的证明和应用，涵盖了各种难度和类型。我喜欢它分章节设置的习题，这样我可以在学完每一章的内容后，有针对性地进行练习，及时巩固所学知识。更重要的是，这本书的习题不仅仅是为了检验学生的掌握程度，更是为了引导学生进一步思考和探索。有一些习题，它会提出一些开放性的问题，鼓励学生自己去发掘数学的乐趣。我曾经花了很多时间来思考书中一道关于黎曼和的习题，虽然耗费了不少精力，但最终解决问题后，那种成就感是无法比拟的。而且，书中并没有提供所有习题的详细答案，对于一些难题，它会给出一些提示或者思路，这反而促使我去独立思考，而不是仅仅依赖答案。这种“引导式”的习题设计，对我能力的提升非常有帮助。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计非常简洁大气，深蓝色的背景配上烫金的字体，给人一种沉稳而厚重的感觉，很符合“高等微积分”这个主题。我拿到这本书的时候，第一感觉就是它拿在手里很有分量，纸张的质感也很好，触感细腻，印刷清晰，即使是细小的公式和符号也能看得一清二楚，这一点对于阅读数学教材来说至关重要。我特别喜欢它对插图的处理，虽然是数学书，但一些关键概念的图示设计得非常直观，能够帮助我快速抓住问题的本质。比如，在讲解向量场的时候，书中提供的三维图形展示，比我之前看的任何一本教材都要清晰，让我能更好地理解向量在空间中的分布和流动。而且，排版也十分合理，公式与文字的间距恰到好处，不会显得拥挤，阅读起来眼睛不容易疲劳。这本书不仅仅是内容上的“高等”，在形式上也体现了“高等”的水准，让人从拿到书的第一刻起就充满了学习的期待。我是一个对教材外观比较在意的人，这本书在这方面做得非常出色，它让我想起了一些经典的学术著作，那种严谨而又不失美感的风格，非常吸引人。

评分☆☆☆☆☆

这本书的深度和广度都达到了相当高的水平，虽然它是一本“教程”，但其内容远不止于简单的介绍。它深入挖掘了多元函数微积分背后的数学思想和逻辑，让我不仅仅停留在“会算”的层面，更能理解“为什么”以及“如何”进行更深入的数学探索。在讲解级数的部分，它不仅介绍了泰勒级数等基本概念，还触及了收敛性的判别方法和级数的应用，这为我理解更高级的数学分支打下了坚实的基础。我感觉这本书就像一座数学的宝库，每一次翻阅都能从中发现新的知识和启发。它让我意识到，高等微积分不仅仅是计算的工具，更是一种看待和理解世界的数学语言。这本书的价值，体现在它能够激发读者持续学习和深入研究的兴趣，让我对数学本身产生了更深的敬畏之情。

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