抽象代数II：结合代数 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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孟道骥，王立云，史毅茜，徐丽媛 著

图书标签:

• 抽象代数
• 结合代数
• 代数学
• 环论
• 域论
• 模论
• 伽罗瓦理论
• 群论
• 代数结构
• 数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030303547

版次：1

商品编码：12149908

包装：平装

开本：16开

出版时间：2011-04-01

用纸：胶版纸

页数：173

字数：220000

正文语种：中文

内容简介

　　抽象代数I是南开大学数学专业的必修课，抽象代数Ⅱ是该专业本科生的选修课和研究生的必修课，结合代数是应用非常广泛的一种代数结构，将这些内容作为该课程的内容是非常合适的。《抽象代数II：结合代数》是作者在长期教授该课程的基础上编写而成，内容包括结合代数，张量积、张量代数，二次型、Clifford代数，群代数及其表示，某些非结合代数。
　　《抽象代数II：结合代数》力求深入浅出，循序渐进，特别注意与其他课程的联系，以使读者体会到“抽象代数是制造机器的机器”这一著名论述，更能体会到“玄之又玄，众妙之门”这样的哲理。
　　《抽象代数II：结合代数》可作为高等院校数学专业本科及理工科非代数方向研究生“抽象代数”课程的教材，也可供相关科技人员及大专院校师生自学参考。

内页插图

目录

前言
第1章 结合代数
1．1 结合代数的定义
1．2 同态与同构
1．3 结合代数的表示
1．4 幂零结合代数
1．5 幂等元与Peirce分解
1．6 半单结合代数
1．7 单结合代数
1．8 体上的线性空间
1．9 半单结合代数的模

第2章 张量积张量代数
2．1 线性空间的张量积
2．2 线性变换的张量积
2．3 张量与张量代数
2．4 对称张量与交错张量
2．5 对称代数与外代数
2．6 结合代数的张量积

第3章 二次型Clifford代数
3．1 二次型
3．2 正交群
3．3 四元数代数
3．4 Clifford代数
3．5 Clifford群与旋量群

第4章 群代数及其表示
4．1 群代数的定义与基本性质
4．2 群表示的特征标
4．3 群代数CG的中心
4．4 对称群的表示
4．5 群表示的张量积
4．6 paqb阶群的可解性

第5章 某些非结合代数
5．1 代数与导子
5．2 Lie代数的包络代数
5．3 交错代数
5．4 Jordan代数
5．5 左对称代数与Novikov代数
参考文献
索引

前言/序言

　　在初等数学中，几何学比较直观，而代数学比较抽象，高度的抽象性是现代数学的一个重要特点，在抽象代数中，这个特点尤为突出，因而代数成了数学的第一个抽象分支。这是因为从一开始，代数就是用符号（当然包括字母）代表数或其他更复杂的“量”，抽象代数就更为抽象，只有符号之间的运算法则和相互关系是有意义的，符号代表什么并不重要，或者符号不代表任何东西，虽然从逻辑上可以用公理化的手段构造许许多多的代数体系，但如此构造代数体系并不总是有意义、有价值的。其实，有意义、有价值的代数体系很多是从解决某些问题抽象出来的，因而有人说“代数是解决某类问题的机器，而抽象代数是制造机器的机器。”
　　《抽象代数I——代数学基础》所讲述的只能是抽象代数中最基本的内容：群、环、域、模和Galois理论等。这些内容无论是对代数学，还是数学乃至许多其他学科都越来越不够了，抽象代数继续下去可以选择的内容是多种多样的。结合代数、线性空间及其线性变换的张量积、二次型及其产生的结合代数等不仅是代数学本身的基本、重要的内容，而且和许多学科都有紧密的联系，也有广泛的应用。除结合代数外，还有许多非结合代数，无论从理论角度，还是应用角度都是很有价值的。
　　《抽象代数II——结合代数》以结合代数为主兼及部分非结合代数内容。本书分为5章。第1章介绍结合代数，其中包括结合代数的定义、同态与同构、结合代数的表示（或结合代数的模）、幂零结合代数、幂等元与Peirce分解、半单结合代数、单结合代数、体上的线性空间、半单结合代数的模等基本内容。第2章介绍张量积与张量代数，其中包括线性空间的张量积、线性变换的张量积、张量与张量代数、对称张量与交错张量、对称代数和外代数等有广泛应用的内容。此外还有结合代数的张量积，特别是中心单结合代数的张量积的性质，第3章介绍二次型与Clifford代数，其中包括二次型、正交群、四元数代数、Clifford代数、Clifford群与旋量群等内容，第4章介绍群代数及其表示，其中包括群代数的定义与基本性质、群表示的特征标、复数域上群代数的中心、对称群的表示、群表示的张量积、paqb阶群的可解性等内容。由于这4部分领域的重要性，它们在很长时期内都是研究的热门话题，因此，内容非常丰富，不是本书能够包含得了的。非结合代数不仅在数学、物理中有重要作用，而且与结合代数也有密切的关系。本书最后一章简单地介绍了几类非结合代数，这里有一般代数及其导子的定义、Lie代数的包络代数、交错代数、Jordan代数、左对称代数与Novikov代数。这些只是我们在学习和研究过程中接触到的非结合代数的大冰山的一个小角而已。
　　通过对本课程的学习，学生首先要掌握基本内容，也就是认识“机器”；其次是为应用这些内容解决可能遇到的问题奠定基础，也就是学会使用“机器”：也许更为重要的是通过学习提高抽象的能力，也就是提高制造“机器”的能力。
　　《道德经》中有句话：“玄之又玄，众妙之门。”也许抽象代数本身就是此话的一种诠释，希望本课程也能为诠释此话提供一个例证。
　　我们衷心地感谢白承铭、许斌老师和袁腊梅博士给予的帮助，当然帮助过我们的老师和同学还有很多，不能全部列出，在此一并致谢。同时要感谢中国科学技术大学数学系、南开大学数学学院和白城师范学院数学系对我们工作的大力支持，没有这些支持要写出本书是不可能的。
　　我们在本课程的教学以及本书的编写过程中尽了很大努力，但一则由于我们的水平所限，二则由于数学和数学的教学总是在不断的发展之中，因此，不足和纰漏之处在所难免，诚恳地希望大家不吝指正。

好的，这是一本关于集合论与数理逻辑的经典教材的简介，它与《抽象代数II：结合代数》的主题完全不同： 集合论与数理逻辑基础：现代数学的基石 作者：[作者姓名，可虚构] 出版社：[出版社名称，可虚构] 页数：约 850 页 内容简介 本书是一部全面、严谨的教材，旨在为读者构建起现代数学的两个核心支柱：集合论和数理逻辑。它不仅详尽地阐述了集合论的公理化基础，还深入剖析了形式系统、证明理论和可计算性理论。本书的编写风格旨在平衡概念的深度与教学的清晰度，适合高年级本科生、研究生以及希望深入理解数学基础的专业人士研读。 第一部分：朴素集合论的建立与公理化 本部分从直观的集合概念出发，逐步过渡到严格的公理化体系。 1. 朴素集合论的回顾与局限： 首先，我们重温直观的集合概念，如 Russell 悖论和 Cantor 悖论所揭示的内在矛盾。这一回顾为引入更严格的公理系统提供了必要的动机。我们将探讨 Naive Set Theory 的优势与结构性缺陷，为接下来的严谨化奠定基础。 2. Zermelo-Fraenkel 集合论（ZF）： 本书的核心在于对 ZF 公理系统的详尽阐述。每一条公理——外延性、分离性、并集、幂集、无穷、替换、正则性——都将配以详细的解释、直观的例子以及在构造数学对象中的关键作用。我们将详细讨论如何利用这些公理构造出自然数 $mathbb{N}$、整数 $mathbb{Z}$、有理数 $mathbb{Q}$ 和实数 $mathbb{R}$。 3. 选择公理（AC）及其等价命题： 选择公理（Axiom of Choice, AC）的引入是本部分的关键。我们将探讨 AC 的重要性，并证明其与著名的等价命题：良序定理（Well-Ordering Theorem）和 Zorn 引理（Zorn's Lemma）。通过大量的例子，读者将体会到 Zorn 引理在代数拓扑、泛函分析（如证明存在哈恩-巴拿赫定理）中的不可替代性。我们将审慎地讨论在不依赖 AC 的情况下可以完成哪些工作，以及依赖 AC 的构造的理论价值。 4. 基数与序数的运算： 在 ZF 框架下，我们严格定义了基数（Cardinality）的概念，并探讨了有限、可数无限和不可数无限的基数。本书详尽分析了 Cantor 序数理论，包括序数的加法、乘法和指数运算，并利用这些工具清晰地阐述了 $aleph$ 数系的层次结构。 第二部分：数理逻辑与形式系统 本部分将视角转向数学推理的结构本身，探讨形式语言、推理规则和语义学。 5. 命题逻辑：形式化语言与真值语义： 我们将构建命题逻辑（Propositional Logic）的形式语言 $mathcal{L}_0$。讨论逻辑连接词（$ eg, wedge, vee, ightarrow, leftrightarrow$）的精确含义，并引入真值表方法来判断公式的有效性（Validity）、可满足性（Satisfiability）和不可证性。重点分析演绎系统，如自然演绎（Natural Deduction）或相继演算（Sequent Calculus）。 6. 一阶谓词逻辑（First-Order Logic, FOL）： 这是对命题逻辑的重大扩展，引入了变量、量词（$forall, exists$）、谓词符号和函数符号。我们将构建一阶语言 $mathcal{L}$ 的语法，并探讨如何将数学理论（如群论、环论的某些结构）编码到一阶逻辑中。 7. 语义学与模型论初步： 我们深入研究一阶逻辑的语义学。定义结构（Structures）或模型（Models），并精确定义“满足”（Satisfaction）的概念。通过 Tarski 的真值定义，我们确立了“真”与“证”之间的初步联系。本书详细分析了蕴含关系 $mathfrak{M} models phi$ 与可证关系 $vdash phi$ 之间的关系。 8. 证明论与完备性定理： 本部分的理论高潮是对 哥德尔完备性定理（Gödel's Completeness Theorem） 的完整证明。我们将使用 Henkin 构造法，展示所有逻辑上有效的（Valid）公式都是可以被证明的（Provable）。这一部分将详细阐述如何从构造性证明中提取出对模型存在的论证。 第三部分：逻辑的界限与可计算性 本部分关注逻辑系统的内在局限性，连接了数学基础与计算机科学的诞生。 9. 哥德尔不完备性定理： 在集合论（ZF 或 PA）的框架下，我们将构建 哥德尔第一不完备性定理 的完整证明。这要求读者理解语言的自指性、编码（Gödel Numbering）和形式化算术。我们将展示如何在任何足够强大的、一致的系统中构造出一个“不可证明也不可证伪”的陈述。随后，我们将论述第二不完备性定理——系统不能证明自身的一致性。 10. 可计算性理论基础： 最后，本书探讨了“可计算”的精确概念。我们将介绍 图灵机（Turing Machines） 作为算法的最终模型，并阐述 丘奇-图灵论题（Church-Turing Thesis）。我们将利用图灵机模型来分析判定问题（Decision Problems）的边界，并证明停机问题（Halting Problem）是不可判定的。这部分内容清晰地展示了逻辑推理的极限。 本书特色 1. 双核驱动： 本书结构紧凑，前半部分聚焦于“什么是数学对象”（集合论），后半部分聚焦于“什么是数学推理”（数理逻辑），二者相互支撑，缺一不可。 2. 严格的符号系统： 所有的定义和证明都建立在清晰的形式语言之上，避免了模糊的数学语言描述。 3. 历史与哲学背景： 穿插了关于形式主义、直觉主义和逻辑主义的简要讨论，帮助读者理解这些理论产生的历史动因。 4. 丰富的习题： 每章末尾均包含大量难度分层的习题，从基础的构造性练习到需要深刻理解的理论证明，以巩固读者的掌握程度。 本书是通往高级数学研究的必经之路，它为研究泛函分析、代数拓扑、计算机科学理论以及更深层次的数理基础提供了坚不可摧的逻辑基石。

评分☆☆☆☆☆

我通常不太喜欢阅读那些过于枯燥的数学教材，但《抽象代数II：结合代数》却让我眼前一亮。这本书的编排非常合理，它不是那种上来就抛出大量定义和定理的风格，而是更注重引导读者去思考。在介绍代数的基本概念之后，书中深入探讨了多种重要的结合代数结构，比如群代数（group algebras）、李代数（Lie algebras）的初步概念，以及更复杂的半单代数（semisimple algebras）的理论。我被书中对代数分解（algebra decomposition）的讨论深深吸引，它让我看到了复杂的代数结构如何能够被分解成更简单的部分，从而更容易进行分析。书中对模（modules）的进一步研究，特别是关于模的投射性（projectivity）、内射性（injectivity）和遗传性（hereditary）的讨论，虽然有一定难度，但其严谨的论证过程和清晰的思路，让我受益匪浅。我特别喜欢书中对各种代数性质的刻画，比如如何通过代数的中心（center）来理解其性质，或者如何利用模的分解来研究代数的结构。这本书不仅仅是知识的堆砌，更是一种思维方式的训练，它教会我如何去分析问题，如何去构造证明。

评分☆☆☆☆☆

说实话，一开始拿到《抽象代数II：结合代数》这本书，我有点忐忑。毕竟“抽象代数”这个名字本身就自带一种高冷范儿，而“结合代数”更是听起来就不是那么容易亲近。但当我翻开它，却意外地发现它并没有我想象的那么“劝退”。这本书的语言虽然专业，但非常清晰，作者似乎很有耐心，总能在关键点上给予读者足够的解释和引导。我尤其赞赏它在处理那些核心概念时，比如关于结合代数的中心（center）、模（modules）的分解定理，以及更复杂的例子，比如对矩阵代数和四元数的深入剖析。书中对这些代数结构的构造、性质以及它们之间的联系都进行了非常细致的讨论，这一点对我理解代数世界的多样性和统一性非常有帮助。让我印象深刻的是，作者并没有简单地罗列定理，而是通过一步步的推导和对关键思想的阐释，让读者能够真正理解证明的逻辑链条。书中的练习题也很有代表性，有些是巩固基础的，有些则充满了挑战，能够有效地检验我是否真正掌握了所学内容。即使有时遇到难以理解的地方，回头翻看前面的讲解，或者参考书中提供的提示，也总能找到解决的思路。这本书让我在代数的世界里，感觉不再是孤军奋战，而是在一位循循善诱的老师的陪伴下前进。

评分☆☆☆☆☆

哇，这本《抽象代数II：结合代数》简直是一场智力探险的开启！我一直对数学中的结构性美感有着浓厚的兴趣，而这本书恰好满足了我对更深层次理解的渴望。从阅读第一页开始，我就被它严谨的逻辑和精妙的证明深深吸引。作者在介绍各种代数结构时，循序渐进，仿佛是一位经验丰富的向导，带领我穿越错综复杂的概念迷宫。例如，在讲解模（modules）的部分，书中不仅仅是给出了定义和定理，更是通过大量的例子来阐释模的性质，让我能够直观地理解抽象概念。那些关于射影模、内射模的讨论，虽然初读时有些挑战，但随着深入，我逐渐体会到它们在代数几何和表示论中的重要性。书中对同调代数的初步介绍也让我眼前一亮，感觉打开了一扇通往更广阔数学世界的大门。虽然这本书的难度不低，需要读者投入大量的时间和精力去消化，但每一次的豁然开朗都带来了无与伦比的满足感。我特别喜欢书中穿插的那些历史背景介绍，让我了解到这些概念是如何在数学家的探索中逐渐形成的，这为枯燥的公式增添了一抹人文色彩。总的来说，这是一本值得反复研读的佳作，它不仅提升了我的代数功底，更激发了我对数学研究的进一步热情。

评分☆☆☆☆☆

读完《抽象代数II：结合代数》的初章，我感觉自己像是进入了一个全新的数学领域，充满了探索的乐趣。这本书的作者对于如何讲解复杂的数学概念有着独到的见解。它从最基本的结合代数定义出发，逐步引入了诸如模（modules）、理想（ideals）、因子代数（factor algebras）等核心概念，并且在每个概念的引入过程中，都提供了丰富的例子，这对于我这样希望能够“玩转”抽象代数的读者来说，简直是福音。书中对结合代数分类的初步探讨，例如对矩阵代数和李代数的介绍，让我看到了不同类型代数之间的联系与区别。我尤其欣赏书中关于代数同态（algebra homomorphisms）和同构（isomorphisms）的详细论述，这不仅帮助我理解了不同代数结构之间的关系，更让我看到了代数研究中的“不变性”这一重要思想。书中对代数表示理论（representation theory of algebras）的引入，虽然是初步的，但也足以让我窥见代数结构如何能够被“看作”是向量空间的变换，这一点非常有启发性。这本书的阅读过程，就像是跟着一位经验丰富的向导，一步步地探索代数世界的奥秘，每一次的理解都带来了新的视角和更深的体会，让我对未来的学习充满期待。

评分☆☆☆☆☆

《抽象代数II：结合代数》这本书，带给我的更多是一种“拨开迷雾见月明”的体验。在学习之前，我对结合代数的一些基本概念，比如“代数”本身，总觉得有些模糊，不够清晰。但这本书的开篇就对代数作为环上的模进行了清晰的定义，并且逐步展开，让我们从一个相对熟悉的结构（环）出发，去理解更一般化的代数概念。书中对商代数（quotient algebras）、子代数（subalgebras）以及理想（ideals）的定义和性质的讨论，非常到位。我特别喜欢它在讲解特征（characteristic）和幂零元素（nilpotent elements）时，给出的丰富例子，让我能够迅速建立起对这些抽象概念的直观认识。比如，书中对阿廷代数（Artinian algebras）和诺特代数（Noetherian algebras）的讨论，虽然涉及一些进阶内容，但通过书中对这些代数在模的有限性条件下的性质推导，让我逐渐体会到它们的强大威力。当我看到书中关于代数表示（representations of algebras）的初步介绍时，我感觉自己仿佛打开了一扇新的窗户，看到了代数结构如何在其他数学领域得到应用。这本书的阅读过程，不是一蹴而就的，需要反复思考和练习，但每一次的理解都让我对代数世界的认识更上一层楼。

评分☆☆☆☆☆

不错的书，快递也很快，不错的一次购物

评分☆☆☆☆☆

经典之作

评分☆☆☆☆☆

多一点，深一点，比抽象代数。

评分☆☆☆☆☆

多一点，深一点，比抽象代数。

评分☆☆☆☆☆

经典之作

评分☆☆☆☆☆

经典之作

评分☆☆☆☆☆

书是新的，看这个很困难，需要有挺好的抽代基础

评分☆☆☆☆☆

多一点，深一点，比抽象代数。

评分☆☆☆☆☆

不读书，没前途， 没梦想。