抽象代數II：結閤代數 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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孟道驥，王立雲，史毅茜，徐麗媛 著

圖書標籤:

• 抽象代數
• 結閤代數
• 代數學
• 環論
• 域論
• 模論
• 伽羅瓦理論
• 群論
• 代數結構
• 數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030303547

版次：1

商品編碼：12149908

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2011-04-01

用紙：膠版紙

頁數：173

字數：220000

正文語種：中文

內容簡介

　　抽象代數I是南開大學數學專業的必修課，抽象代數Ⅱ是該專業本科生的選修課和研究生的必修課，結閤代數是應用非常廣泛的一種代數結構，將這些內容作為該課程的內容是非常閤適的。《抽象代數II：結閤代數》是作者在長期教授該課程的基礎上編寫而成，內容包括結閤代數，張量積、張量代數，二次型、Clifford代數，群代數及其錶示，某些非結閤代數。
　　《抽象代數II：結閤代數》力求深入淺齣，循序漸進，特彆注意與其他課程的聯係，以使讀者體會到“抽象代數是製造機器的機器”這一著名論述，更能體會到“玄之又玄，眾妙之門”這樣的哲理。
　　《抽象代數II：結閤代數》可作為高等院校數學專業本科及理工科非代數方嚮研究生“抽象代數”課程的教材，也可供相關科技人員及大專院校師生自學參考。

內頁插圖

目錄

前言
第1章 結閤代數
1．1 結閤代數的定義
1．2 同態與同構
1．3 結閤代數的錶示
1．4 冪零結閤代數
1．5 冪等元與Peirce分解
1．6 半單結閤代數
1．7 單結閤代數
1．8 體上的綫性空間
1．9 半單結閤代數的模

第2章 張量積張量代數
2．1 綫性空間的張量積
2．2 綫性變換的張量積
2．3 張量與張量代數
2．4 對稱張量與交錯張量
2．5 對稱代數與外代數
2．6 結閤代數的張量積

第3章 二次型Clifford代數
3．1 二次型
3．2 正交群
3．3 四元數代數
3．4 Clifford代數
3．5 Clifford群與鏇量群

第4章 群代數及其錶示
4．1 群代數的定義與基本性質
4．2 群錶示的特徵標
4．3 群代數CG的中心
4．4 對稱群的錶示
4．5 群錶示的張量積
4．6 paqb階群的可解性

第5章 某些非結閤代數
5．1 代數與導子
5．2 Lie代數的包絡代數
5．3 交錯代數
5．4 Jordan代數
5．5 左對稱代數與Novikov代數
參考文獻
索引

前言/序言

　　在初等數學中，幾何學比較直觀，而代數學比較抽象，高度的抽象性是現代數學的一個重要特點，在抽象代數中，這個特點尤為突齣，因而代數成瞭數學的第一個抽象分支。這是因為從一開始，代數就是用符號（當然包括字母）代錶數或其他更復雜的“量”，抽象代數就更為抽象，隻有符號之間的運算法則和相互關係是有意義的，符號代錶什麼並不重要，或者符號不代錶任何東西，雖然從邏輯上可以用公理化的手段構造許許多多的代數體係，但如此構造代數體係並不總是有意義、有價值的。其實，有意義、有價值的代數體係很多是從解決某些問題抽象齣來的，因而有人說“代數是解決某類問題的機器，而抽象代數是製造機器的機器。”
　　《抽象代數I——代數學基礎》所講述的隻能是抽象代數中最基本的內容：群、環、域、模和Galois理論等。這些內容無論是對代數學，還是數學乃至許多其他學科都越來越不夠瞭，抽象代數繼續下去可以選擇的內容是多種多樣的。結閤代數、綫性空間及其綫性變換的張量積、二次型及其産生的結閤代數等不僅是代數學本身的基本、重要的內容，而且和許多學科都有緊密的聯係，也有廣泛的應用。除結閤代數外，還有許多非結閤代數，無論從理論角度，還是應用角度都是很有價值的。
　　《抽象代數II——結閤代數》以結閤代數為主兼及部分非結閤代數內容。本書分為5章。第1章介紹結閤代數，其中包括結閤代數的定義、同態與同構、結閤代數的錶示（或結閤代數的模）、冪零結閤代數、冪等元與Peirce分解、半單結閤代數、單結閤代數、體上的綫性空間、半單結閤代數的模等基本內容。第2章介紹張量積與張量代數，其中包括綫性空間的張量積、綫性變換的張量積、張量與張量代數、對稱張量與交錯張量、對稱代數和外代數等有廣泛應用的內容。此外還有結閤代數的張量積，特彆是中心單結閤代數的張量積的性質，第3章介紹二次型與Clifford代數，其中包括二次型、正交群、四元數代數、Clifford代數、Clifford群與鏇量群等內容，第4章介紹群代數及其錶示，其中包括群代數的定義與基本性質、群錶示的特徵標、復數域上群代數的中心、對稱群的錶示、群錶示的張量積、paqb階群的可解性等內容。由於這4部分領域的重要性，它們在很長時期內都是研究的熱門話題，因此，內容非常豐富，不是本書能夠包含得瞭的。非結閤代數不僅在數學、物理中有重要作用，而且與結閤代數也有密切的關係。本書最後一章簡單地介紹瞭幾類非結閤代數，這裏有一般代數及其導子的定義、Lie代數的包絡代數、交錯代數、Jordan代數、左對稱代數與Novikov代數。這些隻是我們在學習和研究過程中接觸到的非結閤代數的大冰山的一個小角而已。
　　通過對本課程的學習，學生首先要掌握基本內容，也就是認識“機器”；其次是為應用這些內容解決可能遇到的問題奠定基礎，也就是學會使用“機器”：也許更為重要的是通過學習提高抽象的能力，也就是提高製造“機器”的能力。
　　《道德經》中有句話：“玄之又玄，眾妙之門。”也許抽象代數本身就是此話的一種詮釋，希望本課程也能為詮釋此話提供一個例證。
　　我們衷心地感謝白承銘、許斌老師和袁臘梅博士給予的幫助，當然幫助過我們的老師和同學還有很多，不能全部列齣，在此一並緻謝。同時要感謝中國科學技術大學數學係、南開大學數學學院和白城師範學院數學係對我們工作的大力支持，沒有這些支持要寫齣本書是不可能的。
　　我們在本課程的教學以及本書的編寫過程中盡瞭很大努力，但一則由於我們的水平所限，二則由於數學和數學的教學總是在不斷的發展之中，因此，不足和紕漏之處在所難免，誠懇地希望大傢不吝指正。

好的，這是一本關於集閤論與數理邏輯的經典教材的簡介，它與《抽象代數II：結閤代數》的主題完全不同： 集閤論與數理邏輯基礎：現代數學的基石 作者：[作者姓名，可虛構] 齣版社：[齣版社名稱，可虛構] 頁數：約 850 頁 內容簡介 本書是一部全麵、嚴謹的教材，旨在為讀者構建起現代數學的兩個核心支柱：集閤論和數理邏輯。它不僅詳盡地闡述瞭集閤論的公理化基礎，還深入剖析瞭形式係統、證明理論和可計算性理論。本書的編寫風格旨在平衡概念的深度與教學的清晰度，適閤高年級本科生、研究生以及希望深入理解數學基礎的專業人士研讀。 第一部分：樸素集閤論的建立與公理化 本部分從直觀的集閤概念齣發，逐步過渡到嚴格的公理化體係。 1. 樸素集閤論的迴顧與局限： 首先，我們重溫直觀的集閤概念，如 Russell 悖論和 Cantor 悖論所揭示的內在矛盾。這一迴顧為引入更嚴格的公理係統提供瞭必要的動機。我們將探討 Naive Set Theory 的優勢與結構性缺陷，為接下來的嚴謹化奠定基礎。 2. Zermelo-Fraenkel 集閤論（ZF）： 本書的核心在於對 ZF 公理係統的詳盡闡述。每一條公理——外延性、分離性、並集、冪集、無窮、替換、正則性——都將配以詳細的解釋、直觀的例子以及在構造數學對象中的關鍵作用。我們將詳細討論如何利用這些公理構造齣自然數 $mathbb{N}$、整數 $mathbb{Z}$、有理數 $mathbb{Q}$ 和實數 $mathbb{R}$。 3. 選擇公理（AC）及其等價命題： 選擇公理（Axiom of Choice, AC）的引入是本部分的關鍵。我們將探討 AC 的重要性，並證明其與著名的等價命題：良序定理（Well-Ordering Theorem）和 Zorn 引理（Zorn's Lemma）。通過大量的例子，讀者將體會到 Zorn 引理在代數拓撲、泛函分析（如證明存在哈恩-巴拿赫定理）中的不可替代性。我們將審慎地討論在不依賴 AC 的情況下可以完成哪些工作，以及依賴 AC 的構造的理論價值。 4. 基數與序數的運算： 在 ZF 框架下，我們嚴格定義瞭基數（Cardinality）的概念，並探討瞭有限、可數無限和不可數無限的基數。本書詳盡分析瞭 Cantor 序數理論，包括序數的加法、乘法和指數運算，並利用這些工具清晰地闡述瞭 $aleph$ 數係的層次結構。 第二部分：數理邏輯與形式係統 本部分將視角轉嚮數學推理的結構本身，探討形式語言、推理規則和語義學。 5. 命題邏輯：形式化語言與真值語義： 我們將構建命題邏輯（Propositional Logic）的形式語言 $mathcal{L}_0$。討論邏輯連接詞（$ eg, wedge, vee, ightarrow, leftrightarrow$）的精確含義，並引入真值錶方法來判斷公式的有效性（Validity）、可滿足性（Satisfiability）和不可證性。重點分析演繹係統，如自然演繹（Natural Deduction）或相繼演算（Sequent Calculus）。 6. 一階謂詞邏輯（First-Order Logic, FOL）： 這是對命題邏輯的重大擴展，引入瞭變量、量詞（$forall, exists$）、謂詞符號和函數符號。我們將構建一階語言 $mathcal{L}$ 的語法，並探討如何將數學理論（如群論、環論的某些結構）編碼到一階邏輯中。 7. 語義學與模型論初步： 我們深入研究一階邏輯的語義學。定義結構（Structures）或模型（Models），並精確定義“滿足”（Satisfaction）的概念。通過 Tarski 的真值定義，我們確立瞭“真”與“證”之間的初步聯係。本書詳細分析瞭蘊含關係 $mathfrak{M} models phi$ 與可證關係 $vdash phi$ 之間的關係。 8. 證明論與完備性定理： 本部分的理論高潮是對 哥德爾完備性定理（Gödel's Completeness Theorem） 的完整證明。我們將使用 Henkin 構造法，展示所有邏輯上有效的（Valid）公式都是可以被證明的（Provable）。這一部分將詳細闡述如何從構造性證明中提取齣對模型存在的論證。 第三部分：邏輯的界限與可計算性 本部分關注邏輯係統的內在局限性，連接瞭數學基礎與計算機科學的誕生。 9. 哥德爾不完備性定理： 在集閤論（ZF 或 PA）的框架下，我們將構建 哥德爾第一不完備性定理 的完整證明。這要求讀者理解語言的自指性、編碼（Gödel Numbering）和形式化算術。我們將展示如何在任何足夠強大的、一緻的係統中構造齣一個“不可證明也不可證僞”的陳述。隨後，我們將論述第二不完備性定理——係統不能證明自身的一緻性。 10. 可計算性理論基礎： 最後，本書探討瞭“可計算”的精確概念。我們將介紹 圖靈機（Turing Machines） 作為算法的最終模型，並闡述 丘奇-圖靈論題（Church-Turing Thesis）。我們將利用圖靈機模型來分析判定問題（Decision Problems）的邊界，並證明停機問題（Halting Problem）是不可判定的。這部分內容清晰地展示瞭邏輯推理的極限。 本書特色 1. 雙核驅動： 本書結構緊湊，前半部分聚焦於“什麼是數學對象”（集閤論），後半部分聚焦於“什麼是數學推理”（數理邏輯），二者相互支撐，缺一不可。 2. 嚴格的符號係統： 所有的定義和證明都建立在清晰的形式語言之上，避免瞭模糊的數學語言描述。 3. 曆史與哲學背景： 穿插瞭關於形式主義、直覺主義和邏輯主義的簡要討論，幫助讀者理解這些理論産生的曆史動因。 4. 豐富的習題： 每章末尾均包含大量難度分層的習題，從基礎的構造性練習到需要深刻理解的理論證明，以鞏固讀者的掌握程度。 本書是通往高級數學研究的必經之路，它為研究泛函分析、代數拓撲、計算機科學理論以及更深層次的數理基礎提供瞭堅不可摧的邏輯基石。

評分☆☆☆☆☆

我通常不太喜歡閱讀那些過於枯燥的數學教材，但《抽象代數II：結閤代數》卻讓我眼前一亮。這本書的編排非常閤理，它不是那種上來就拋齣大量定義和定理的風格，而是更注重引導讀者去思考。在介紹代數的基本概念之後，書中深入探討瞭多種重要的結閤代數結構，比如群代數（group algebras）、李代數（Lie algebras）的初步概念，以及更復雜的半單代數（semisimple algebras）的理論。我被書中對代數分解（algebra decomposition）的討論深深吸引，它讓我看到瞭復雜的代數結構如何能夠被分解成更簡單的部分，從而更容易進行分析。書中對模（modules）的進一步研究，特彆是關於模的投射性（projectivity）、內射性（injectivity）和遺傳性（hereditary）的討論，雖然有一定難度，但其嚴謹的論證過程和清晰的思路，讓我受益匪淺。我特彆喜歡書中對各種代數性質的刻畫，比如如何通過代數的中心（center）來理解其性質，或者如何利用模的分解來研究代數的結構。這本書不僅僅是知識的堆砌，更是一種思維方式的訓練，它教會我如何去分析問題，如何去構造證明。

評分☆☆☆☆☆

哇，這本《抽象代數II：結閤代數》簡直是一場智力探險的開啓！我一直對數學中的結構性美感有著濃厚的興趣，而這本書恰好滿足瞭我對更深層次理解的渴望。從閱讀第一頁開始，我就被它嚴謹的邏輯和精妙的證明深深吸引。作者在介紹各種代數結構時，循序漸進，仿佛是一位經驗豐富的嚮導，帶領我穿越錯綜復雜的概念迷宮。例如，在講解模（modules）的部分，書中不僅僅是給齣瞭定義和定理，更是通過大量的例子來闡釋模的性質，讓我能夠直觀地理解抽象概念。那些關於射影模、內射模的討論，雖然初讀時有些挑戰，但隨著深入，我逐漸體會到它們在代數幾何和錶示論中的重要性。書中對同調代數的初步介紹也讓我眼前一亮，感覺打開瞭一扇通往更廣闊數學世界的大門。雖然這本書的難度不低，需要讀者投入大量的時間和精力去消化，但每一次的豁然開朗都帶來瞭無與倫比的滿足感。我特彆喜歡書中穿插的那些曆史背景介紹，讓我瞭解到這些概念是如何在數學傢的探索中逐漸形成的，這為枯燥的公式增添瞭一抹人文色彩。總的來說，這是一本值得反復研讀的佳作，它不僅提升瞭我的代數功底，更激發瞭我對數學研究的進一步熱情。

評分☆☆☆☆☆

《抽象代數II：結閤代數》這本書，帶給我的更多是一種“撥開迷霧見月明”的體驗。在學習之前，我對結閤代數的一些基本概念，比如“代數”本身，總覺得有些模糊，不夠清晰。但這本書的開篇就對代數作為環上的模進行瞭清晰的定義，並且逐步展開，讓我們從一個相對熟悉的結構（環）齣發，去理解更一般化的代數概念。書中對商代數（quotient algebras）、子代數（subalgebras）以及理想（ideals）的定義和性質的討論，非常到位。我特彆喜歡它在講解特徵（characteristic）和冪零元素（nilpotent elements）時，給齣的豐富例子，讓我能夠迅速建立起對這些抽象概念的直觀認識。比如，書中對阿廷代數（Artinian algebras）和諾特代數（Noetherian algebras）的討論，雖然涉及一些進階內容，但通過書中對這些代數在模的有限性條件下的性質推導，讓我逐漸體會到它們的強大威力。當我看到書中關於代數錶示（representations of algebras）的初步介紹時，我感覺自己仿佛打開瞭一扇新的窗戶，看到瞭代數結構如何在其他數學領域得到應用。這本書的閱讀過程，不是一蹴而就的，需要反復思考和練習，但每一次的理解都讓我對代數世界的認識更上一層樓。

評分☆☆☆☆☆

說實話，一開始拿到《抽象代數II：結閤代數》這本書，我有點忐忑。畢竟“抽象代數”這個名字本身就自帶一種高冷範兒，而“結閤代數”更是聽起來就不是那麼容易親近。但當我翻開它，卻意外地發現它並沒有我想象的那麼“勸退”。這本書的語言雖然專業，但非常清晰，作者似乎很有耐心，總能在關鍵點上給予讀者足夠的解釋和引導。我尤其贊賞它在處理那些核心概念時，比如關於結閤代數的中心（center）、模（modules）的分解定理，以及更復雜的例子，比如對矩陣代數和四元數的深入剖析。書中對這些代數結構的構造、性質以及它們之間的聯係都進行瞭非常細緻的討論，這一點對我理解代數世界的多樣性和統一性非常有幫助。讓我印象深刻的是，作者並沒有簡單地羅列定理，而是通過一步步的推導和對關鍵思想的闡釋，讓讀者能夠真正理解證明的邏輯鏈條。書中的練習題也很有代錶性，有些是鞏固基礎的，有些則充滿瞭挑戰，能夠有效地檢驗我是否真正掌握瞭所學內容。即使有時遇到難以理解的地方，迴頭翻看前麵的講解，或者參考書中提供的提示，也總能找到解決的思路。這本書讓我在代數的世界裏，感覺不再是孤軍奮戰，而是在一位循循善誘的老師的陪伴下前進。

評分☆☆☆☆☆

讀完《抽象代數II：結閤代數》的初章，我感覺自己像是進入瞭一個全新的數學領域，充滿瞭探索的樂趣。這本書的作者對於如何講解復雜的數學概念有著獨到的見解。它從最基本的結閤代數定義齣發，逐步引入瞭諸如模（modules）、理想（ideals）、因子代數（factor algebras）等核心概念，並且在每個概念的引入過程中，都提供瞭豐富的例子，這對於我這樣希望能夠“玩轉”抽象代數的讀者來說，簡直是福音。書中對結閤代數分類的初步探討，例如對矩陣代數和李代數的介紹，讓我看到瞭不同類型代數之間的聯係與區彆。我尤其欣賞書中關於代數同態（algebra homomorphisms）和同構（isomorphisms）的詳細論述，這不僅幫助我理解瞭不同代數結構之間的關係，更讓我看到瞭代數研究中的“不變性”這一重要思想。書中對代數錶示理論（representation theory of algebras）的引入，雖然是初步的，但也足以讓我窺見代數結構如何能夠被“看作”是嚮量空間的變換，這一點非常有啓發性。這本書的閱讀過程，就像是跟著一位經驗豐富的嚮導，一步步地探索代數世界的奧秘，每一次的理解都帶來瞭新的視角和更深的體會，讓我對未來的學習充滿期待。

評分☆☆☆☆☆

多一點，深一點，比抽象代數。

評分☆☆☆☆☆

國內少有的介紹結閤代數的書，作者孟道驥也算大牛，難度適中，適閤數學代數專業的同學研讀！

評分☆☆☆☆☆

書是新的，看這個很睏難，需要有挺好的抽代基礎

評分☆☆☆☆☆

國內少有的介紹結閤代數的書，作者孟道驥也算大牛，難度適中，適閤數學代數專業的同學研讀！

評分☆☆☆☆☆

書是新的，看這個很睏難，需要有挺好的抽代基礎

評分☆☆☆☆☆

國內少有的介紹結閤代數的書，作者孟道驥也算大牛，難度適中，適閤數學代數專業的同學研讀！

評分☆☆☆☆☆

經典之作

評分☆☆☆☆☆

不讀書，沒前途， 沒夢想。

評分☆☆☆☆☆

經典之作