现代几何学：方法与应用 第一卷 曲面几何、变换群与场（第5版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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杜布洛文，诺维可夫，福明柯 著，许明 译

图书标签:

• 几何学
• 曲面几何
• 变换群
• 李群
• 微分几何
• 拓扑学
• 数学
• 高等教育
• 第5版
• 场论

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040189469

版次：1

商品编码：12216539

包装：平装

丛书名： 俄罗斯数学教材选译

开本：16开

出版时间：2017-11-01

用纸：胶版纸

页数：358

字数：390000

正文语种：中文

内容简介

　　《现代几何学：方法与应用 第一卷 曲面几何、变换群与场（第5版）》是莫斯科大学数学力学系对几何课程现代化改革的成果，作者之一的诺维可夫是1970年菲尔兹奖和2005年沃尔夫奖得主。
　　《现代几何学：方法与应用 第一卷 曲面几何、变换群与场（第5版）》力求以直观的和物理的视角阐述，是一本难得的现代几何方面的好书。内容包括张量分析、曲线和曲面几何、一维和高维变分法(第1卷)，微分流形的拓扑和几何(第二卷)，以及同调与上同调理论(第三卷)。

内页插图

目录

俄罗斯数学教材选译》序
再版序言
第一版序言
第九章 连续映射(一般理论)
§1．度量空间
1．定义和例子
2．度量空间中的开集和闭集
3．度量空间的子空间
4．度量空间的直积
练习
§2．拓扑空间
1．基本定义
2．拓扑空间的子空间
3．拓扑空间的直积
练习
§3．紧集
1．紧集的定义和一般性质
2．度量紧集
练习
§4．连通的拓扑空间
练习
§5．完备的度量空间
1．基本定义和例子
2．度量空间的完备化
练习
§6．拓扑空间的连续映射
映射的极限
2．连续映射
练习
§7．压缩映像原理
练习

《俄罗斯数学教材选译》序
第2版前言
第1版前言
第一章 空间区域中的几何．基本概念
§1．坐标系
§2．欧氏空间
§3．黎曼和伪黎曼空间
§4．欧氏空间的最简单的变换群
甄弗莱纳公式
§6．伪欧几里得空间
第二章 曲面论
§7．空间曲面的几何
§8．第二基本型
§9．球面的度量
§10．在伪欧氏空间中的类空曲面
§11．几何中的复语言
§12．解析函数
§13． 曲面度量的共形形式
§14．作为Ⅳ维空间中的曲面变换群
§15．高维欧氏空间和伪欧氏空间的共形变换
第三章 张量．代数理论
§16．张量的例子
§17．张量的一般定义
§18．(O，k)型张量
§19．黎曼和伪黎曼空间中的张量
§20．晶体群和平面与空间旋转群的有限子群．不变张量的例子
§21．伪欧氏空间的二阶张量和它们的特征值
§22．在映射下张量的行为
§23．向量场
§24．李代数
第四章 张量的微分学
§25．反称张量的微分
§26．反称张量和积分理论
§27．复空间中的微分形式
§28．共变微分
§29．共变微分和度量
§30．曲率张量
第五章 变分法原理
§31．一维变分问题
§32．守恒定律
§33．哈密顿体系
§34．相空间的几何理论
§35．曲面的拉格朗日函数
§36．测地方程的二阶变分
第六章 高维变分问题．场及几何不变量
§37．最简单的高维变分问题
§38．拉格朗日的例子
§39．广义相对论的最简单概念
§40．群SO(3)和O(3，1)的旋量表示．狄拉克方程和它的性质
§41．具有任意对称性的场的共变微分
§42．度规不变的泛函的例子．麦克斯韦和杨一米尔斯方程．具恒等于零的变分导数的泛函(示性类)
参考文献
索引

前言/序言

　　在准备本书的第2版时，作者考虑了读者的许多意见和要求：从大学生和研究生到知名学者，数学家和物理学家。我们在最大范围内系统地进行了重组章节：处理了相空间的几何理论和哈密顿系统，并系统阐述了无穷维的(场论方式的)广义哈密顿系统；另外，作为反称张量的一个应用，在§18中加进了所谓的反交换变量的积分。系统改进的章节还包括高维变分法。真正的扩充是从第二卷开始的，是为了用初等的方法把读者进一步引进到流形的概念中去。还纠正了关于刘维尔完全可积系统的证明中的某些错误，也清除了另外一些错误以及明显的一些排版错误，并且还扩充了文献的目录量。
　　作者感谢泽勒罗维奇，在我们为本书的英文和法文版作准备时他的一些意见使其中许多地方的叙述得以改进(显然，由于这些改进才构成了现在的这个版本)。作者还要感谢本书修订版的审阅人波哥雷洛娃和雷舍特尼亚克所做出的一系列有益的评注。

好的，这是一份根据您的要求撰写的图书简介，内容围绕现代几何学的其他方面展开，旨在不包含《现代几何学：方法与应用 第一卷 曲面几何、变换群与场》中涉及的具体主题。 --- 《拓扑结构与微分流形：从基础到前沿》 卷首语 几何学，作为对空间、形状和结构最古老而深刻的数学探索之一，在进入二十一世纪后，其边界已远远超出了欧几里得的直观范畴。传统上，对曲线和曲面的研究侧重于局部性质和度量；然而，现代几何学的核心转向了对“拓扑不变性”的追求——即那些在连续形变下保持不变的根本属性。本书致力于深入探讨现代几何学的两大支柱性领域：拓扑学和微分流形理论，旨在为读者构建一个清晰、严谨且富有洞察力的知识框架，为理解现代数学物理、代数几何乃至理论计算机科学中的复杂空间结构奠定坚实基础。 本书的结构设计旨在引导读者从最基础的集合论概念出发，逐步过渡到高度抽象的流形概念，并最终接触到一些前沿的研究方向。我们避免了对特定度量空间或黎曼几何的具体数值计算，而是将重点放在空间的本质结构和分类上。 --- 第一部分：点集拓扑学：空间的本质语言 本卷的开篇聚焦于点集拓扑学，这是所有现代几何学研究的基石。我们首先确立拓扑学的基本工具——拓扑空间的定义，通过开集族来刻画空间，而非依赖于预设的距离函数。 基础概念的严格确立： 我们细致地探讨了邻域、闭集、内部点、边界点和极限点。着重分析了不同拓扑结构（如粗糙拓扑、子空间拓扑、商拓扑）的构造及其性质。特别地，我们将详细讨论分离公理（Hausdorff, 正则, 完全正则, 紧致性），这些公理决定了一个拓扑空间在多大程度上可以类比于我们熟悉的欧几里得空间。 连续性与拓扑保持映射： 连续映射被提升到核心地位，它定义了拓扑学中的“形变”能力。我们将探究连续映射的性质，如开闭映射，并深入分析紧致性这一至关重要的拓扑不变量。紧致性的代数和分析后果，例如连续函数在紧集上的性质，将被详尽阐述。 连通性与分解： 空间可以被分解成哪些不可分割的部分？我们引入了路径连通性和连通分量的概念，并探讨了它们与一般连通性的微妙关系。对于复杂空间，如何理解其“洞”和“分支”成为了关键，这引导我们进入下一部分。 --- 第二部分：代数拓扑的初步：不变量的提取 点集拓扑学虽然提供了描述空间的语言，但要区分两个本质上不同的空间（例如，一个圆环和一个球体），我们需要更强大的工具——拓扑不变量。本部分侧重于代数方法在拓扑学中的应用，避免了复杂的曲面度量和张量分析，专注于结构化抽象的代数对象。 基础同伦理论： 我们引入同伦群的概念，特别是基本群（$pi_1$）。通过构造路径和路径的同伦关系，我们计算了圆周、$n$ 维环面等基本空间的纤维结构。重点分析了基本群作为拓扑不变量的强大威力，特别是它如何帮助我们证明布劳威尔不动点定理的某些简单情况，以及区分高维空间。 同调理论的构建： 为了处理更高维度的“洞”，我们发展了链复形的概念。这包括单纯形、链群、边界算子和差分算子。我们严格地定义了同调群（$H_n(X)$），解释了它们如何精确地量化空间中不可缩减的循环。本书将重点讲解奇异同调的构造，并阐明金氏序列（Mayer-Vietoris Sequence）在计算复杂空间同调时的应用。 对偶性与上同调： 随后，我们将视角转向上同调。我们阐述了通过对偶性如何从同调群中导出上同调群，以及上同调在定义上积（Cup Product）方面的优势。上积提供了在拓扑空间上进行更精细代数结构分析的途径，这对于后续研究代数拓扑中的纤维丛结构至关重要。 --- 第三部分：微分流形基础：光滑结构的引入 在掌握了拓扑结构后，我们将引入光滑性的概念，从而进入微分流形的领域。这一部分专注于定义流形本身的结构，而不是其上定义的具体几何对象（如曲率）。 流形的构造与局部坐标： 我们严格定义了拓扑流形和光滑结构（Atlas, 转移映射）。重点分析了维数的唯一性和嵌入定理的拓扑版本。我们将详细讨论如何利用商拓扑来构造非平凡流形，例如实射影空间 $mathbb{R}P^n$ 和复射影空间 $mathbb{C}P^n$。 向量场与光滑映射的微分： 引入切空间的概念，它是流形上进行线性化分析的基础。我们定义了向量场和张量场的概念，并探讨了微分（或推前映射，Pushforward）如何将一个流形上的光滑结构传递到另一个流形上。 纤维丛理论的启蒙： 流形上的结构往往需要通过纤维丛来描述。本书介绍了纤维丛的基本要素：底空间、纤维、丛空间和投影映射。我们将重点分析向量丛（如切丛和余切丛）的构造，并简要讨论陈类（Chern Classes）作为向量丛拓扑不变量的初步概念。这些概念为理解拓扑学和代数几何之间的深刻联系提供了桥梁。 --- 总结与展望 本书提供了一个从直观空间概念到抽象结构化的严谨路线图。我们聚焦于“形状的本质属性”——拓扑不变性，并将其通过同调代数和光滑结构工具精确捕捉。它为希望深入研究代数几何、拓扑场论（不涉及具体场论计算）或复杂系统几何建模的读者，打下了坚实而广阔的理论基础。本书的价值在于，它清晰地分离了拓扑结构、光滑结构和度量结构之间的层次关系，使读者能够独立地掌握现代几何学的核心思想。 ---

评分☆☆☆☆☆

这本《现代几何学：方法与应用 第一卷 曲面几何、变换群与场（第5版）》绝对是我最近几年读到的最令人着迷的数学著作之一。虽然我并非科班出身的数学家，但作为一名对理论物理领域抱有浓厚兴趣的业余爱好者，我一直渴望能够深入理解支撑现代物理学理论的数学基石。这本书恰恰满足了我这一需求，甚至远远超越了我的预期。 从一开始，作者就以一种非常清晰且引人入胜的方式介绍了曲面几何的深刻内涵。我尤其欣赏其对微分几何基本概念的阐释，比如测地线、曲率以及高斯-博内定理等。这些抽象的概念在作者的笔下变得生动起来，通过丰富的例子和直观的几何图像，我仿佛能够“看到”那些在高维空间中弯曲的曲面。这种对直观理解的强调，对于像我这样更侧重概念性而非纯粹形式化推导的读者来说，简直是福音。 接着，书中对变换群的介绍更是让我大开眼界。群论在物理学中的应用之广泛，从对称性到粒子物理，我早已有所耳闻，但真正将其严谨地与几何联系起来，还是头一次。作者流畅地将抽象代数中的群概念与几何变换（如刚体运动、仿射变换等）巧妙地融合，让我对对称性有了更深层次的理解。我特别喜欢书中关于李群和李代数的讨论，虽然这部分内容确实颇具挑战性，但作者的循序渐进的讲解，以及对物理学中相关应用的简要提及，极大地激发了我继续探索的动力。 最后，关于场的概念，这本书的引入也让我受益匪浅。虽然“场”这个词在物理学中非常普遍，但将其与几何学的视角相结合，为我打开了新的思考维度。如何用几何的语言来描述物理场，以及场与时空几何之间的内在联系，这些内容让我对广义相对论等理论有了更深刻的洞察。总而言之，这本书不仅仅是一本数学教材，更像是一座连接数学与物理的桥梁，让我得以窥见宇宙运行的深层数学逻辑。

评分☆☆☆☆☆

《现代几何学：方法与应用 第一卷 曲面几何、变换群与场（第5版）》这本书，无疑是一场思维的盛宴，一次对几何学深刻而全面的探索。我并非数学科班出身，但一直以来，我对那些能够揭示世界本质的数学理论充满了好奇。这本书就像是一扇窗户，让我得以窥见现代几何学那宏伟而精妙的殿堂。 书的开篇，对曲面几何的深入剖析，彻底颠覆了我对“形状”的理解。作者的讲解，绝不仅仅停留在表面，而是挖掘到了曲面内在的几何属性。诸如联络、曲率张量这些概念，在其他许多教材中往往显得晦涩难懂，但在本书中，作者通过细腻的笔触和清晰的逻辑，将它们一一展现在读者面前。我特别欣赏书中对曲面内蕴几何和外在几何区别的阐释，这让我明白，曲面的性质可以从其自身出发，也可以依赖于它所处的空间。这种深度和广度的结合，让我对几何学的理解上了一个新的台阶。 紧接着，书中对变换群的引入，则将我的思绪带入了更为抽象却又充满力量的领域。将群论的严谨性与几何变换的直观性相结合，无疑是一次精妙的设计。我一直认为，对称性是自然界中最基本的原理之一，而这本书则为我揭示了对称性背后的数学语言。作者对离散群和连续群的区分，以及它们与几何之间关系的阐述，都让我受益匪浅。特别是关于李群和李代数的讨论，虽然内容颇具深度，但作者的循序渐进的讲解，让我得以领略到其中蕴含的强大逻辑。 而最后关于场的概念，则为这本书画上了点睛之笔。将微分几何的工具应用于理解物理场，这是一种将抽象数学与具体物理现象相结合的绝佳方式。书中对纤维丛和联络在场论中的应用的初步介绍，虽然还在我探索的初期阶段，但已经让我看到了数学如何能够成为描述物理世界不可或缺的语言。这本书的价值，在于它不仅传授知识，更在于它激发了我的思考，让我对宇宙的运行规律有了更深的敬畏。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，在阅读《现代几何学：方法与应用 第一卷 曲面几何、变换群与场（第5版）》之前，我对“现代几何学”的理解还停留在高中时期学习的欧几里得几何，或者最多是稍微进阶一点的解析几何。然而，这本书彻底刷新了我对几何学的认知，它如同一场智力探险，将我带入了一个全新的数学领域。 我对书中对曲面几何的阐述方式感到尤为惊喜。作者并非直接抛出晦涩的定理，而是从最基本的概念出发，比如曲面的局部性质、第一基本形式和第二基本形式，层层递进。通过大量的几何直观例子，我得以理解曲率的深层含义，例如高斯曲率和平均曲率，以及它们如何决定曲面的形状。我特别欣赏书中对测地线和曲率张量的讲解，这些概念在其他地方可能只是抽象的符号，但在本书中，它们似乎都拥有了鲜活的生命，仿佛在讲述着曲面本身的“故事”。 之后，作者对变换群的介绍，更是让我体会到了数学的优雅与力量。将抽象的群论概念与几何变换的直观动作相结合，使得对称性这个重要的物理学概念，在数学上变得无比清晰。我被书中关于刚体运动、仿射变换以及更一般的李群的讨论深深吸引。这些理论不仅解释了我们日常生活中遇到的各种变换，更是在更深层次上揭示了物理学中对称性的本质。它让我明白，许多物理定律之所以成立，正是因为它们具有某种特定的对称性。 最后，书中关于场的介绍，则为我打开了通往现代物理学大门的一把钥匙。将微分几何的语言应用于描述物理场，这种跨学科的融合方式，让我对“场”有了更深刻的理解。书中对张量场和向量场的介绍，以及它们如何与曲面几何的工具相结合，为我理解广义相对论和场论打下了坚实的基础。总而言之，这本书不仅仅是一本数学书，它更像是一位向导，指引我走向理解宇宙运行奥秘的更深处。

评分☆☆☆☆☆

拿到《现代几何学：方法与应用 第一卷 曲面几何、变换群与场（第5版）》这本书，我本以为会是一场枯燥的“技术流”学习，但事实证明，我错得离谱。这本书，更像是一场精心设计的数学艺术展览，每一页都充满了智慧的光芒和深刻的洞见。 我花了大量时间沉浸在书中关于曲面几何的部分。作者以一种极其精妙的方式，将我们日常生活中熟悉的“形状”，例如球面、圆柱面，赋予了更加深刻的几何内涵。我尤其喜欢书中对曲率的讨论，作者并非简单地给出公式，而是通过分析曲面在不同方向上的弯曲程度，来引导读者理解高斯曲率和主曲率的概念。这种从直观到抽象的过渡，让我对曲面不再仅仅是视觉上的认识，而是拥有了更深层次的数学理解。 随后，书中对变换群的引入，则像是一场逻辑的盛宴。将抽象代数中的群论与几何变换的直观行为相结合，简直是点睛之笔。我一直对对称性这个概念情有独钟，而这本书则为我提供了理解对称性的强大数学工具。作者对群的定义、子群、陪集以及同态映射的讲解，清晰而严谨，让我得以领略到群论在几何学中应用的广阔前景。特别是对李群和李代数的初步介绍，为我打开了理解连续对称性的大门。 最后，书中对场的介绍，为整个第一卷画上了圆满的句号。将微分几何的工具用于描述物理场，这种融合方式让我对物理学中的许多概念有了全新的认识。书中对微分形式和外微分的概念的介绍，虽然对我而言是全新的领域，但作者的循序渐进的讲解，以及将这些概念与物理场联系起来的尝试，让我看到了数学在描述自然规律中的强大力量。这本书，无疑是我数学学习道路上的一座里程碑。

评分☆☆☆☆☆

老实说，当我拿到这本《现代几何学：方法与应用 第一卷 曲面几何、变换群与场（第5版）》时，心中是既期待又有些许忐忑的。毕竟，“现代几何学”这个词听起来就自带一种“高不可攀”的光环。然而，当我翻开第一页，便被作者的写作风格深深吸引。这绝对不是那种枯燥乏味的教科书，它更像是一位经验丰富的导师，用耐心和智慧引导你一步步走进几何学的奇妙世界。 我对于书中关于曲面几何的论述尤为赞赏。作者并没有一开始就堆砌复杂的公式，而是从直观的理解入手，比如通过对曲面的“捏合”和“拉伸”来引入曲率的概念。这种“润物细无声”的教学方式，让我这个对解析几何并不那么熟悉的读者，也能够逐渐理解那些看似艰深的定理。特别是关于曲面度量张量和联络的讲解，作者通过丰富的例子，将抽象的数学工具与具体的几何对象联系起来，使得理解过程更加顺畅。 随后，书中对变换群的介绍，简直是点亮了我对对称性理解的“开关”。我一直对物理学中的对称性原则非常着迷，而这本书则为我提供了一个坚实的数学基础。作者不仅介绍了群的基本概念，更重要的是，他展示了如何运用群论来理解几何变换的本质，以及这些变换在物理学中扮演的重要角色。我对书中关于表示论的初步介绍印象深刻，虽然还没有深入研究，但它已经让我看到了群论在分类和理解各种物理系统中的巨大潜力。 至于书中关于场的介绍，则进一步拓宽了我的视野。将场的概念与微分几何联系起来，让我对物理场不再仅仅停留在“力”或“势”的层面，而是看到了它们背后更深刻的几何结构。这种跨学科的融合，正是这本书最吸引我的地方。它不仅教授数学知识，更重要的是，它教会我如何用数学的语言去理解物理世界。这本书让我感到，数学不再是独立的学科，而是理解宇宙万物的钥匙。