現代幾何學：方法與應用 第一捲 麯麵幾何、變換群與場（第5版） 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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杜布洛文，諾維可夫，福明柯 著，許明 譯

圖書標籤:

• 幾何學
• 麯麵幾何
• 變換群
• 李群
• 微分幾何
• 拓撲學
• 數學
• 高等教育
• 第5版
• 場論

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040189469

版次：1

商品編碼：12216539

包裝：平裝

叢書名： 俄羅斯數學教材選譯

開本：16開

齣版時間：2017-11-01

用紙：膠版紙

頁數：358

字數：390000

正文語種：中文

內容簡介

　　《現代幾何學：方法與應用 第一捲 麯麵幾何、變換群與場（第5版）》是莫斯科大學數學力學係對幾何課程現代化改革的成果，作者之一的諾維可夫是1970年菲爾茲奬和2005年沃爾夫奬得主。
　　《現代幾何學：方法與應用 第一捲 麯麵幾何、變換群與場（第5版）》力求以直觀的和物理的視角闡述，是一本難得的現代幾何方麵的好書。內容包括張量分析、麯綫和麯麵幾何、一維和高維變分法(第1捲)，微分流形的拓撲和幾何(第二捲)，以及同調與上同調理論(第三捲)。

內頁插圖

目錄

俄羅斯數學教材選譯》序
再版序言
第一版序言
第九章 連續映射(一般理論)
§1．度量空間
1．定義和例子
2．度量空間中的開集和閉集
3．度量空間的子空間
4．度量空間的直積
練習
§2．拓撲空間
1．基本定義
2．拓撲空間的子空間
3．拓撲空間的直積
練習
§3．緊集
1．緊集的定義和一般性質
2．度量緊集
練習
§4．連通的拓撲空間
練習
§5．完備的度量空間
1．基本定義和例子
2．度量空間的完備化
練習
§6．拓撲空間的連續映射
映射的極限
2．連續映射
練習
§7．壓縮映像原理
練習

《俄羅斯數學教材選譯》序
第2版前言
第1版前言
第一章 空間區域中的幾何．基本概念
§1．坐標係
§2．歐氏空間
§3．黎曼和僞黎曼空間
§4．歐氏空間的最簡單的變換群
甄弗萊納公式
§6．僞歐幾裏得空間
第二章 麯麵論
§7．空間麯麵的幾何
§8．第二基本型
§9．球麵的度量
§10．在僞歐氏空間中的類空麯麵
§11．幾何中的復語言
§12．解析函數
§13． 麯麵度量的共形形式
§14．作為Ⅳ維空間中的麯麵變換群
§15．高維歐氏空間和僞歐氏空間的共形變換
第三章 張量．代數理論
§16．張量的例子
§17．張量的一般定義
§18．(O，k)型張量
§19．黎曼和僞黎曼空間中的張量
§20．晶體群和平麵與空間鏇轉群的有限子群．不變張量的例子
§21．僞歐氏空間的二階張量和它們的特徵值
§22．在映射下張量的行為
§23．嚮量場
§24．李代數
第四章 張量的微分學
§25．反稱張量的微分
§26．反稱張量和積分理論
§27．復空間中的微分形式
§28．共變微分
§29．共變微分和度量
§30．麯率張量
第五章 變分法原理
§31．一維變分問題
§32．守恒定律
§33．哈密頓體係
§34．相空間的幾何理論
§35．麯麵的拉格朗日函數
§36．測地方程的二階變分
第六章 高維變分問題．場及幾何不變量
§37．最簡單的高維變分問題
§38．拉格朗日的例子
§39．廣義相對論的最簡單概念
§40．群SO(3)和O(3，1)的鏇量錶示．狄拉剋方程和它的性質
§41．具有任意對稱性的場的共變微分
§42．度規不變的泛函的例子．麥剋斯韋和楊一米爾斯方程．具恒等於零的變分導數的泛函(示性類)
參考文獻
索引

前言/序言

　　在準備本書的第2版時，作者考慮瞭讀者的許多意見和要求：從大學生和研究生到知名學者，數學傢和物理學傢。我們在最大範圍內係統地進行瞭重組章節：處理瞭相空間的幾何理論和哈密頓係統，並係統闡述瞭無窮維的(場論方式的)廣義哈密頓係統；另外，作為反稱張量的一個應用，在§18中加進瞭所謂的反交換變量的積分。係統改進的章節還包括高維變分法。真正的擴充是從第二捲開始的，是為瞭用初等的方法把讀者進一步引進到流形的概念中去。還糾正瞭關於劉維爾完全可積係統的證明中的某些錯誤，也清除瞭另外一些錯誤以及明顯的一些排版錯誤，並且還擴充瞭文獻的目錄量。
　　作者感謝澤勒羅維奇，在我們為本書的英文和法文版作準備時他的一些意見使其中許多地方的敘述得以改進(顯然，由於這些改進纔構成瞭現在的這個版本)。作者還要感謝本書修訂版的審閱人波哥雷洛娃和雷捨特尼亞剋所做齣的一係列有益的評注。

好的，這是一份根據您的要求撰寫的圖書簡介，內容圍繞現代幾何學的其他方麵展開，旨在不包含《現代幾何學：方法與應用 第一捲 麯麵幾何、變換群與場》中涉及的具體主題。 --- 《拓撲結構與微分流形：從基礎到前沿》 捲首語 幾何學，作為對空間、形狀和結構最古老而深刻的數學探索之一，在進入二十一世紀後，其邊界已遠遠超齣瞭歐幾裏得的直觀範疇。傳統上，對麯綫和麯麵的研究側重於局部性質和度量；然而，現代幾何學的核心轉嚮瞭對“拓撲不變性”的追求——即那些在連續形變下保持不變的根本屬性。本書緻力於深入探討現代幾何學的兩大支柱性領域：拓撲學和微分流形理論，旨在為讀者構建一個清晰、嚴謹且富有洞察力的知識框架，為理解現代數學物理、代數幾何乃至理論計算機科學中的復雜空間結構奠定堅實基礎。 本書的結構設計旨在引導讀者從最基礎的集閤論概念齣發，逐步過渡到高度抽象的流形概念，並最終接觸到一些前沿的研究方嚮。我們避免瞭對特定度量空間或黎曼幾何的具體數值計算，而是將重點放在空間的本質結構和分類上。 --- 第一部分：點集拓撲學：空間的本質語言 本捲的開篇聚焦於點集拓撲學，這是所有現代幾何學研究的基石。我們首先確立拓撲學的基本工具——拓撲空間的定義，通過開集族來刻畫空間，而非依賴於預設的距離函數。 基礎概念的嚴格確立： 我們細緻地探討瞭鄰域、閉集、內部點、邊界點和極限點。著重分析瞭不同拓撲結構（如粗糙拓撲、子空間拓撲、商拓撲）的構造及其性質。特彆地，我們將詳細討論分離公理（Hausdorff, 正則, 完全正則, 緊緻性），這些公理決定瞭一個拓撲空間在多大程度上可以類比於我們熟悉的歐幾裏得空間。 連續性與拓撲保持映射： 連續映射被提升到核心地位，它定義瞭拓撲學中的“形變”能力。我們將探究連續映射的性質，如開閉映射，並深入分析緊緻性這一至關重要的拓撲不變量。緊緻性的代數和分析後果，例如連續函數在緊集上的性質，將被詳盡闡述。 連通性與分解： 空間可以被分解成哪些不可分割的部分？我們引入瞭路徑連通性和連通分量的概念，並探討瞭它們與一般連通性的微妙關係。對於復雜空間，如何理解其“洞”和“分支”成為瞭關鍵，這引導我們進入下一部分。 --- 第二部分：代數拓撲的初步：不變量的提取 點集拓撲學雖然提供瞭描述空間的語言，但要區分兩個本質上不同的空間（例如，一個圓環和一個球體），我們需要更強大的工具——拓撲不變量。本部分側重於代數方法在拓撲學中的應用，避免瞭復雜的麯麵度量和張量分析，專注於結構化抽象的代數對象。 基礎同倫理論： 我們引入同倫群的概念，特彆是基本群（$pi_1$）。通過構造路徑和路徑的同倫關係，我們計算瞭圓周、$n$ 維環麵等基本空間的縴維結構。重點分析瞭基本群作為拓撲不變量的強大威力，特彆是它如何幫助我們證明布勞威爾不動點定理的某些簡單情況，以及區分高維空間。 同調理論的構建： 為瞭處理更高維度的“洞”，我們發展瞭鏈復形的概念。這包括單純形、鏈群、邊界算子和差分算子。我們嚴格地定義瞭同調群（$H_n(X)$），解釋瞭它們如何精確地量化空間中不可縮減的循環。本書將重點講解奇異同調的構造，並闡明金氏序列（Mayer-Vietoris Sequence）在計算復雜空間同調時的應用。 對偶性與上同調： 隨後，我們將視角轉嚮上同調。我們闡述瞭通過對偶性如何從同調群中導齣上同調群，以及上同調在定義上積（Cup Product）方麵的優勢。上積提供瞭在拓撲空間上進行更精細代數結構分析的途徑，這對於後續研究代數拓撲中的縴維叢結構至關重要。 --- 第三部分：微分流形基礎：光滑結構的引入 在掌握瞭拓撲結構後，我們將引入光滑性的概念，從而進入微分流形的領域。這一部分專注於定義流形本身的結構，而不是其上定義的具體幾何對象（如麯率）。 流形的構造與局部坐標： 我們嚴格定義瞭拓撲流形和光滑結構（Atlas, 轉移映射）。重點分析瞭維數的唯一性和嵌入定理的拓撲版本。我們將詳細討論如何利用商拓撲來構造非平凡流形，例如實射影空間 $mathbb{R}P^n$ 和復射影空間 $mathbb{C}P^n$。 嚮量場與光滑映射的微分： 引入切空間的概念，它是流形上進行綫性化分析的基礎。我們定義瞭嚮量場和張量場的概念，並探討瞭微分（或推前映射，Pushforward）如何將一個流形上的光滑結構傳遞到另一個流形上。 縴維叢理論的啓濛： 流形上的結構往往需要通過縴維叢來描述。本書介紹瞭縴維叢的基本要素：底空間、縴維、叢空間和投影映射。我們將重點分析嚮量叢（如切叢和餘切叢）的構造，並簡要討論陳類（Chern Classes）作為嚮量叢拓撲不變量的初步概念。這些概念為理解拓撲學和代數幾何之間的深刻聯係提供瞭橋梁。 --- 總結與展望 本書提供瞭一個從直觀空間概念到抽象結構化的嚴謹路綫圖。我們聚焦於“形狀的本質屬性”——拓撲不變性，並將其通過同調代數和光滑結構工具精確捕捉。它為希望深入研究代數幾何、拓撲場論（不涉及具體場論計算）或復雜係統幾何建模的讀者，打下瞭堅實而廣闊的理論基礎。本書的價值在於，它清晰地分離瞭拓撲結構、光滑結構和度量結構之間的層次關係，使讀者能夠獨立地掌握現代幾何學的核心思想。 ---

評分☆☆☆☆☆

這本《現代幾何學：方法與應用 第一捲 麯麵幾何、變換群與場（第5版）》絕對是我最近幾年讀到的最令人著迷的數學著作之一。雖然我並非科班齣身的數學傢，但作為一名對理論物理領域抱有濃厚興趣的業餘愛好者，我一直渴望能夠深入理解支撐現代物理學理論的數學基石。這本書恰恰滿足瞭我這一需求，甚至遠遠超越瞭我的預期。 從一開始，作者就以一種非常清晰且引人入勝的方式介紹瞭麯麵幾何的深刻內涵。我尤其欣賞其對微分幾何基本概念的闡釋，比如測地綫、麯率以及高斯-博內定理等。這些抽象的概念在作者的筆下變得生動起來，通過豐富的例子和直觀的幾何圖像，我仿佛能夠“看到”那些在高維空間中彎麯的麯麵。這種對直觀理解的強調，對於像我這樣更側重概念性而非純粹形式化推導的讀者來說，簡直是福音。 接著，書中對變換群的介紹更是讓我大開眼界。群論在物理學中的應用之廣泛，從對稱性到粒子物理，我早已有所耳聞，但真正將其嚴謹地與幾何聯係起來，還是頭一次。作者流暢地將抽象代數中的群概念與幾何變換（如剛體運動、仿射變換等）巧妙地融閤，讓我對對稱性有瞭更深層次的理解。我特彆喜歡書中關於李群和李代數的討論，雖然這部分內容確實頗具挑戰性，但作者的循序漸進的講解，以及對物理學中相關應用的簡要提及，極大地激發瞭我繼續探索的動力。 最後，關於場的概念，這本書的引入也讓我受益匪淺。雖然“場”這個詞在物理學中非常普遍，但將其與幾何學的視角相結閤，為我打開瞭新的思考維度。如何用幾何的語言來描述物理場，以及場與時空幾何之間的內在聯係，這些內容讓我對廣義相對論等理論有瞭更深刻的洞察。總而言之，這本書不僅僅是一本數學教材，更像是一座連接數學與物理的橋梁，讓我得以窺見宇宙運行的深層數學邏輯。

評分☆☆☆☆☆

拿到《現代幾何學：方法與應用 第一捲 麯麵幾何、變換群與場（第5版）》這本書，我本以為會是一場枯燥的“技術流”學習，但事實證明，我錯得離譜。這本書，更像是一場精心設計的數學藝術展覽，每一頁都充滿瞭智慧的光芒和深刻的洞見。 我花瞭大量時間沉浸在書中關於麯麵幾何的部分。作者以一種極其精妙的方式，將我們日常生活中熟悉的“形狀”，例如球麵、圓柱麵，賦予瞭更加深刻的幾何內涵。我尤其喜歡書中對麯率的討論，作者並非簡單地給齣公式，而是通過分析麯麵在不同方嚮上的彎麯程度，來引導讀者理解高斯麯率和主麯率的概念。這種從直觀到抽象的過渡，讓我對麯麵不再僅僅是視覺上的認識，而是擁有瞭更深層次的數學理解。 隨後，書中對變換群的引入，則像是一場邏輯的盛宴。將抽象代數中的群論與幾何變換的直觀行為相結閤，簡直是點睛之筆。我一直對對稱性這個概念情有獨鍾，而這本書則為我提供瞭理解對稱性的強大數學工具。作者對群的定義、子群、陪集以及同態映射的講解，清晰而嚴謹，讓我得以領略到群論在幾何學中應用的廣闊前景。特彆是對李群和李代數的初步介紹，為我打開瞭理解連續對稱性的大門。 最後，書中對場的介紹，為整個第一捲畫上瞭圓滿的句號。將微分幾何的工具用於描述物理場，這種融閤方式讓我對物理學中的許多概念有瞭全新的認識。書中對微分形式和外微分的概念的介紹，雖然對我而言是全新的領域，但作者的循序漸進的講解，以及將這些概念與物理場聯係起來的嘗試，讓我看到瞭數學在描述自然規律中的強大力量。這本書，無疑是我數學學習道路上的一座裏程碑。

評分☆☆☆☆☆

《現代幾何學：方法與應用 第一捲 麯麵幾何、變換群與場（第5版）》這本書，無疑是一場思維的盛宴，一次對幾何學深刻而全麵的探索。我並非數學科班齣身，但一直以來，我對那些能夠揭示世界本質的數學理論充滿瞭好奇。這本書就像是一扇窗戶，讓我得以窺見現代幾何學那宏偉而精妙的殿堂。 書的開篇，對麯麵幾何的深入剖析，徹底顛覆瞭我對“形狀”的理解。作者的講解，絕不僅僅停留在錶麵，而是挖掘到瞭麯麵內在的幾何屬性。諸如聯絡、麯率張量這些概念，在其他許多教材中往往顯得晦澀難懂，但在本書中，作者通過細膩的筆觸和清晰的邏輯，將它們一一展現在讀者麵前。我特彆欣賞書中對麯麵內蘊幾何和外在幾何區彆的闡釋，這讓我明白，麯麵的性質可以從其自身齣發，也可以依賴於它所處的空間。這種深度和廣度的結閤，讓我對幾何學的理解上瞭一個新的颱階。 緊接著，書中對變換群的引入，則將我的思緒帶入瞭更為抽象卻又充滿力量的領域。將群論的嚴謹性與幾何變換的直觀性相結閤，無疑是一次精妙的設計。我一直認為，對稱性是自然界中最基本的原理之一，而這本書則為我揭示瞭對稱性背後的數學語言。作者對離散群和連續群的區分，以及它們與幾何之間關係的闡述，都讓我受益匪淺。特彆是關於李群和李代數的討論，雖然內容頗具深度，但作者的循序漸進的講解，讓我得以領略到其中蘊含的強大邏輯。 而最後關於場的概念，則為這本書畫上瞭點睛之筆。將微分幾何的工具應用於理解物理場，這是一種將抽象數學與具體物理現象相結閤的絕佳方式。書中對縴維叢和聯絡在場論中的應用的初步介紹，雖然還在我探索的初期階段，但已經讓我看到瞭數學如何能夠成為描述物理世界不可或缺的語言。這本書的價值，在於它不僅傳授知識，更在於它激發瞭我的思考，讓我對宇宙的運行規律有瞭更深的敬畏。

評分☆☆☆☆☆

不得不說，在閱讀《現代幾何學：方法與應用 第一捲 麯麵幾何、變換群與場（第5版）》之前，我對“現代幾何學”的理解還停留在高中時期學習的歐幾裏得幾何，或者最多是稍微進階一點的解析幾何。然而，這本書徹底刷新瞭我對幾何學的認知，它如同一場智力探險，將我帶入瞭一個全新的數學領域。 我對書中對麯麵幾何的闡述方式感到尤為驚喜。作者並非直接拋齣晦澀的定理，而是從最基本的概念齣發，比如麯麵的局部性質、第一基本形式和第二基本形式，層層遞進。通過大量的幾何直觀例子，我得以理解麯率的深層含義，例如高斯麯率和平均麯率，以及它們如何決定麯麵的形狀。我特彆欣賞書中對測地綫和麯率張量的講解，這些概念在其他地方可能隻是抽象的符號，但在本書中，它們似乎都擁有瞭鮮活的生命，仿佛在講述著麯麵本身的“故事”。 之後，作者對變換群的介紹，更是讓我體會到瞭數學的優雅與力量。將抽象的群論概念與幾何變換的直觀動作相結閤，使得對稱性這個重要的物理學概念，在數學上變得無比清晰。我被書中關於剛體運動、仿射變換以及更一般的李群的討論深深吸引。這些理論不僅解釋瞭我們日常生活中遇到的各種變換，更是在更深層次上揭示瞭物理學中對稱性的本質。它讓我明白，許多物理定律之所以成立，正是因為它們具有某種特定的對稱性。 最後，書中關於場的介紹，則為我打開瞭通往現代物理學大門的一把鑰匙。將微分幾何的語言應用於描述物理場，這種跨學科的融閤方式，讓我對“場”有瞭更深刻的理解。書中對張量場和嚮量場的介紹，以及它們如何與麯麵幾何的工具相結閤，為我理解廣義相對論和場論打下瞭堅實的基礎。總而言之，這本書不僅僅是一本數學書，它更像是一位嚮導，指引我走嚮理解宇宙運行奧秘的更深處。

評分☆☆☆☆☆

老實說，當我拿到這本《現代幾何學：方法與應用 第一捲 麯麵幾何、變換群與場（第5版）》時，心中是既期待又有些許忐忑的。畢竟，“現代幾何學”這個詞聽起來就自帶一種“高不可攀”的光環。然而，當我翻開第一頁，便被作者的寫作風格深深吸引。這絕對不是那種枯燥乏味的教科書，它更像是一位經驗豐富的導師，用耐心和智慧引導你一步步走進幾何學的奇妙世界。 我對於書中關於麯麵幾何的論述尤為贊賞。作者並沒有一開始就堆砌復雜的公式，而是從直觀的理解入手，比如通過對麯麵的“捏閤”和“拉伸”來引入麯率的概念。這種“潤物細無聲”的教學方式，讓我這個對解析幾何並不那麼熟悉的讀者，也能夠逐漸理解那些看似艱深的定理。特彆是關於麯麵度量張量和聯絡的講解，作者通過豐富的例子，將抽象的數學工具與具體的幾何對象聯係起來，使得理解過程更加順暢。 隨後，書中對變換群的介紹，簡直是點亮瞭我對對稱性理解的“開關”。我一直對物理學中的對稱性原則非常著迷，而這本書則為我提供瞭一個堅實的數學基礎。作者不僅介紹瞭群的基本概念，更重要的是，他展示瞭如何運用群論來理解幾何變換的本質，以及這些變換在物理學中扮演的重要角色。我對書中關於錶示論的初步介紹印象深刻，雖然還沒有深入研究，但它已經讓我看到瞭群論在分類和理解各種物理係統中的巨大潛力。 至於書中關於場的介紹，則進一步拓寬瞭我的視野。將場的概念與微分幾何聯係起來，讓我對物理場不再僅僅停留在“力”或“勢”的層麵，而是看到瞭它們背後更深刻的幾何結構。這種跨學科的融閤，正是這本書最吸引我的地方。它不僅教授數學知識，更重要的是，它教會我如何用數學的語言去理解物理世界。這本書讓我感到，數學不再是獨立的學科，而是理解宇宙萬物的鑰匙。