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☆☆☆☆☆

黃忠裕，趙煥光 著

圖書標籤:

• 數論
• 初等數論
• 趣味數學
• 數學普及
• 入門
• 算法
• 競賽數學
• 整數
• 算術
• 數學思維

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030538444

版次：31

商品編碼：12220136

包裝：平裝

叢書名： 文化數學欣賞叢書/趙煥光主編

開本：16開

齣版時間：2017-06-01

頁數：236

正文語種：中文

內容簡介

本書從數論學科的特色、人文欣賞的視野著手，運用通俗生動的語言，精彩有趣的故事、豐富典型的案例，介紹初等數論的常識及其初等數論在現實世界中的廣泛應用.主要內容包括整除理論初步及其應用、同餘理論初步及其應用、不定方程理論初步及其應用、數論在密碼學中的初步應用等.

目錄

前言
引子素數奇趣與猜想
0.1 哥德巴赫猜想
0.2 孿生素數猜想
0.3 迴文素數猜想
0.4 梅森素數的故事

第1章 整除理論
1.1 整除概念與判定
1.1.1 整除與帶餘除法
1.1.2 奇數與偶數
1.1.3 整除判定
1.1.4 整除概念基礎訓練與拓展
1.2 最大公因數與最小公倍數
1.2.1 最大公因數
1.2.2 最小公倍數
1.2.3 最大公因數基礎訓練與拓展
1.3 整數分解與素數分布
1.3.1 素數與閤數概念及特徵
1.3.2 算術基本定理
1.3.3 兩種初等整數分解方法
1.3.4 n！素因數分解
1.3.5 整數分解正因數定理與完全數
1.3.6 素數分布及素數定理
1.3.7 整數分解基礎訓練與拓展

第2章 同餘理論
2.1 同餘概念及應用
2.1.1 同餘概念
2.1.2 同餘四則運算
2.1.3 同餘在整除判彆中的應用
2.1.4 同餘在末位數判彆中的應用
2.1.5 例說同餘實際應用
2.1.6 同餘概念基礎訓練與拓展
2.2 剩餘類與剩餘係
2.2.1 概念及其判彆
2.2.2 剩餘係構造
2.2.3 威爾遜定理與素數判彆
2.2.4 例說完全係實際應用
2.2.5 剩餘類基礎訓練與拓展
2.3 歐拉函數的計算與經典同餘定理
2.3.1 歐拉函數的計算公式
2.3.2 歐拉定理與費馬小定理
2.3.3 費馬小定理之逆與僞素數
2.3.4 歐拉定理對循環小數的應用
2.3.5 歐拉定理對RSA體製的應用
2.3.6 歐拉函數基礎訓練與拓展

第3章 同餘方程
3.1 一次同餘方程
3.1.1 方程係數與模互素的一次同餘方程
3.1.2 方程係數與模不互素的一次同餘方程
3.1.3 一次同餘方程對：RSA.體製的應用
3.1.4 一次同餘方程基礎訓練與拓展
3.2 一次同餘方程組與中國剩餘定理
3.2.1 中國剩餘定理-
3.2.2 中國剩餘定理的思想原則應用
3.2.3 模不互素的一次同餘方程組
3.2.4 一次同餘方程組基礎訓練與拓展
3.3 高次同餘方程
3.3.1 高次同餘方程的解與解數
3.3.2 模為素數的高次同餘方程
3.3.3 模為素數冪的高次同餘方程
3.3.4 高次同餘方程基礎訓練與拓展
3.4 二次剩餘與二次同餘方程
3.4.1 二次剩餘
3.4.2 勒讓德符號
3.4.3 高斯二次互反律
3.4.4 雅可比符號
3.4.5 二次同餘方程解的模式
3.4.6 二次剩餘在零知識證明中的應用
3.4.7 二次剩餘基礎訓練與拓展
3.5 原根與離散對數
3.5.1 階與原根
3.5.2 原根存在定理
3.5.3 原根的個數與求法
3.5.4 離散對數
3.5.5 離散對數在密碼學中的應用
3.5.6 n次剩餘
3.5.7 原根基礎訓練與拓展

第4章 不定方程
4.1 實用的一次不定方程
4.1.1 二元一次不定方程
4.1.2 二元一次不定方程實際應用
4.1.3 二元一次不定方程的非負解
4.1.4 多元一次不定方程
4.1.5 一次不定方程基礎訓練與拓展
4.2 誘惑人的費馬方程
4.2.1 畢達哥拉斯方程
4.2.2 4次冪費馬方程
4.2.3 費馬方程基礎訓練與拓展
4.3 魅力無限的同餘與不定方程聯姻
4.3.1 奇素數平方和錶示
4.3.2 拉格朗日平方和定理
4.3.3 奇異的佩爾方程
4.3.4 同餘觀下的不定方程
4.3.5 同餘觀下的不定方程基礎訓練與拓展
基礎訓練與拓展解答提示
參考文獻

《代數幾何基礎：從經典到現代》 作者： [此處留空，象徵性地錶示作者身份的多元性或本書的開創性] 齣版社： [此處留空，象徵性地錶示齣版機構的選擇性] 裝幀： 精裝 / 24開 / 700頁 --- 內容提要 本書旨在為讀者提供一套全麵、深入且富有洞察力的代數幾何學導論。我們摒棄瞭傳統教材中常見的、過於側重於形式邏輯推導的敘事方式，轉而采用一種更加直觀、曆史與現代並重、強調幾何直覺構建的教學路徑。全書結構嚴謹，內容覆蓋瞭從古典代數幾何的堅實基礎，到現代方案理論的核心概念，力求在保持數學嚴謹性的同時，激發讀者對幾何對象深層結構的興趣與理解。 本書的獨特之處在於其對“對象”的強調。我們不將代數幾何視為純粹的環論應用，而是將其視為研究“幾何對象”——無論是麯綫、麯麵，還是更高維的簇——的語言與工具。因此，前幾章著重於從經典視角（如射影空間、有理參數化）切入，建立幾何直覺，隨後平滑過渡到抽象的、基於交換代數的現代框架。 全書共分為五大部分，超過二十章的詳細論述。 --- 第一部分：古典幾何的復興與鋪墊 (Classical Foundations and Preliminaries) 本部分緻力於打下堅實的代數與拓撲基礎，並迴顧代數幾何的古典源頭。 第一章：復習：代數與拓撲的交匯點 深入探討諾特定理在多項式環中的意義，復習概形理論的先驅——復解析幾何的基本概念，包括黎曼麯麵的拓撲結構與代數結構（如虧格的計算）。引入Sheaf（層）的初步概念，但側重於其在復流形上的直觀幾何意義（如微分形式的局部描述）。 第二章：射影空間與代數集 詳細闡述射影空間 $mathbb{P}^n$ 的定義及其齊次坐標係。重點分析瞭如何通過紮裏斯基拓撲來研究代數集（Algebraic Sets）。引入齊次多項式、理想與射影簇之間的霍奇關聯，並通過實例（如光滑二次麯綫）展示如何計算其幾何不變量。本章著重訓練讀者將代數方程轉化為可觀察的幾何形狀的能力。 第三章：有理參數化與奇點理論初探 探討瞭參數化麯綫（如圓錐麯綫）的代數特性。引入瞭麯綫的奇點概念，如尖點與結點，並使用判彆式（Discriminant）和局部環的性質（如正規性）來區分和分類這些奇點。這為後續的奇點消解提供瞭初步的動機。 --- 第二部分：抽象代數與基本結構 (Abstract Algebra and Fundamental Schemes) 本部分開始係統地引入現代代數幾何的語言，構建起從環到空間的橋梁。 第四章：交換代數的核心工具 精煉迴顧瞭Noether環、積分域、域擴張，並著重講解瞭局部化技術（Localization）在代數幾何中的關鍵作用，特彆是如何通過局部化來研究簇上的“局部性質”。介紹準凝聚層（Quasi-coherent Sheaves）的代數定義及其與理想的對應關係。 第五章：概形理論的誕生：從空間到環 這是全書的轉摺點。精確定義瞭預概形（Pre-scheme）和概形（Scheme）。詳細論述瞭譜（Spec R）的構造，強調瞭環的素理想與點之間的對應關係，以及它如何捕捉到比閉點更豐富的“廣義點”信息。討論瞭態射（Morphisms）的定義及其在概形之間的幾何含義。 第六章：結構層與局部性質的統一 深入研究結構層 $mathcal{O}_X$。解釋瞭如何通過結構層來恢復基礎環的代數信息，並闡述瞭如何利用結構層來定義概形上的函數（Regular Functions）。重點分析瞭齊性（Reduced）和不可約性（Irreducibility）在概形層麵的精確刻畫。 --- 第三部分：幾何對象的分類與維度 (Classification and Dimension) 本部分將代數幾何工具應用於分類具體類型的幾何對象，並嚴格定義維度概念。 第七章：射影概形與希爾伯特多項式 將第二部分的抽象概形理論應用於射影空間 $mathbb{P}^n$ 上的子概形。詳細引入瞭希爾伯特函數（Hilbert Function）和希爾伯特多項式，並展示瞭它們如何量化一個射影簇的“大小”和“復雜度”。通過具體例子（如平麵三次麯綫）演示其應用。 第八章：維度的嚴格定義與性質 嚴格定義瞭概形的剋魯爾維度（Krull Dimension）和射影維度的關係。探討瞭維數理論在光滑性、連通性判斷中的作用。引入瞭相交理論的萌芽——阿貝爾-雅可比定理（Abel-Jacobi Theorem）的古典錶述，為理解高維幾何做準備。 第九章：光滑性與微分形式 定義瞭概形上的微分（Differentials）和 Kähler 形式的概念，這是判定光滑性的代數工具。詳細解釋瞭如何通過檢查局部環的正則性（Regularity）來判斷一個點是否光滑。對比瞭復流形上的全純微分形式與代數幾何中定義的微分形式的異同。 --- 第四部分：上同調與局部/全局的聯係 (Cohomology and Global-Local Duality) 本部分引入層上同調這一強大的分析工具，用以研究全局對象的“缺失”部分。 第十章：層上同調入門：動機與基礎 解釋瞭為什麼簡單的截麵空間（Global Sections）不足以描述所有幾何性質。從鏈復形（Chain Complexes）齣發，構造齣右正閤函子（Right Exact Functors）的限製，引齣上同調群 $H^i(X, mathcal{F})$ 的定義。 第十一章：重要的上同調群：全局截麵與擴張 重點分析 $H^0$（全局截麵）和 $H^1$（分類擴張）。通過實例，如綫叢（Line Bundles）與 $H^1(mathcal{O}_X^)$ 的聯係，展示上同調如何量化瞭“全局上不可分割的”結構。 第十二章：塞爾上同調與範疇論基礎 介紹塞爾上同調（Serre Cohomology）的意義，特彆是其在射影簇上的重要性。簡要迴顧瞭 Grothendieck 範疇（Grothendieck Categories）和導齣範疇（Derived Categories）的初步概念，為後續的方案理論深化做準備，但保持在初級應用層麵。 --- 第五部分：方案理論的深化與現代視角 (Advanced Schemes and Modern Perspectives) 本部分聚焦於方案理論的更深層結構，並展望未來的研究方嚮。 第十三章：完美域與完備化 介紹完備域（Perfect Fields）的概念。深入探討瞭域的完備化（Completions）過程，以及在奇點消解（Resolution of Singularities）理論中，完備化局部環（Complete Local Rings）所扮演的關鍵角色。 第十四章：有限型與模空間的概念 討論如何使用“有限型”（Finite Type）來精確限製我們研究的概形的復雜程度。引入模空間（Moduli Spaces）的初步想法——即“對象的空間”，例如，麯綫空間的初步構想，強調它們如何將代數問題轉化為幾何對象的形變問題。 第十五章：黎曼-羅赫定理的現代演繹 在平滑、連通的射影麯綫上，使用上同調工具（尤其是 $dim H^1(C, mathcal{L}) = ext{deg}(mathcal{L}) - g + 1$ 的形式）來完整證明黎曼-羅赫定理。這是古典代數幾何與現代工具完美結閤的典範。 --- 本書的特點與目標讀者 本書的敘事風格偏重於啓發性和幾何可視化。我們堅持“幾何先行，代數隨後”的原則。每一個抽象定義的引入，都伴隨著其在經典幾何（如橢圓麯綫、三次麯麵）中的具體實例。 目標讀者： 本書適閤已經掌握瞭紮實的交換代數基礎（如環論、域論）和基礎拓撲知識的研究生或高年級本科生。對於那些希望跨越從傳統復幾何到抽象代數幾何鴻溝的數學、理論物理工作者，本書也提供瞭絕佳的橋梁。閱讀本書後，讀者將能夠自信地進入更前沿的代數幾何領域，如奇點理論、模空間或算術幾何。本書不含任何關於數論中丟番圖方程或L函數的內容。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格非常獨特，帶著一種知識分子特有的幽默感和洞察力，讀起來絲毫沒有枯燥感。我常常在閱讀一些定理證明的過程中，會心一笑。作者似乎深諳如何與讀者進行一場“心有靈犀”的對話。比如，在處理費馬大定理的某些曆史背景介紹時，作者筆鋒一轉，用一種近乎戲謔的口吻描述瞭數學傢們在麵對這個難題時的那種抓耳撓腮的焦急心情，瞬間拉近瞭讀者與數學史的距離。這種敘事手法極大地提升瞭閱讀的沉浸感。此外，書中穿插的“思維小站”欄目，更是精妙絕倫。它不是簡單的習題，而是設置瞭一些開放性或反直覺的問題，引導讀者跳齣固有的思維框架去思考。我花瞭好長時間纔攻剋其中一個關於“最小公倍數與最大公約數分布密度”的問題，雖然過程頗為麯摺，但最終得齣結論時的成就感是無與倫比的。這本書成功地將嚴肅的學術探討與輕鬆的閱讀體驗完美融閤，真正做到瞭寓教於樂，讓我覺得學習數論本身就是一種享受，而不是負擔。

評分☆☆☆☆☆

作為一名長期在編程和算法領域摸爬滾打的工程師，我對數論在現代密碼學和信息安全中的應用尤為關注。我希望找到一本既能打牢理論基礎，又能清晰闡述實際應用的書籍。這本書在這方麵的錶現簡直超齣瞭我的預期。它不僅僅停留在基礎的同餘理論和素數分布這些經典內容上，更深入地探討瞭如中國剩餘定理在現代大數分解算法中的巧妙運用，以及梅森素數與大數安全性的關係。作者在討論這些高級主題時，從不吝惜篇幅去解析背後的數學直覺，而不是簡單地羅列公式。最讓我拍案叫絕的是，書中有一個章節專門對比瞭不同模冪運算優化算法的效率差異，並配有清晰的性能圖錶和僞代碼示例。這對於我這種需要將理論快速轉化為實踐代碼的讀者來說，簡直是如虎添翼。它讓我深刻理解到，數論並非是孤立的數學分支，而是構建現代信息世界的基石之一。讀完這部分內容，我感覺自己對RSA加密、橢圓麯綫密碼等技術的理解又上瞭一個新的颱階，那種“茅塞頓開”的感覺，比單純閱讀技術手冊要深刻得多。

評分☆☆☆☆☆

我是一個數學愛好者，但對於那些從頭到尾都是純理論推導的書籍常常感到力不從心，往往在進行到一半時就會因為缺乏足夠的“趣味性支撐”而擱置。這本書完全避免瞭這種問題。它的結構設計體現瞭極高的教學智慧。它巧妙地將核心的“硬核”內容與一些數學史上的精彩軼事或現實世界中的有趣應用穿插進行。例如，在介紹完莫比烏斯反演公式的嚴謹證明後，作者立刻轉而講述瞭該公式在解決某個古代日曆周期問題中的應用，這種鬆緊結閤的節奏感，讓大腦得以在高度集中的推導和相對放鬆的背景知識吸收之間切換，極大地保持瞭閱讀的持久力。更值得稱道的是，書中對於一些重要定理的證明，提供瞭不止一種視角：既有最經典、最嚴格的歐式證明，也有更具現代代數色彩的簡潔版本。這對於想要深入探究不同證明哲學和技巧的讀者來說，提供瞭極大的便利和廣度。我感覺自己像是在一個視野開闊的數學展覽館中漫步，既能欣賞到傑作的細節，也能從宏觀上把握其曆史脈絡。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計得非常引人注目，那種深邃的藍色調配上流動的金色綫條，讓人一眼就能感受到數學的嚴謹與神秘交織的美感。我一直對數學中的數論領域抱有濃厚的興趣，但很多入門書籍都過於晦澀難懂，充滿瞭冷冰冰的公式和定義，讀起來感覺像是在啃一塊硬邦邦的石頭。然而，拿到這本《快樂相遇數論》後，我立刻被它那種充滿活力的氣息所吸引。它沒有那種讓人望而生畏的架勢，反而像是邀請你加入一場智力探險。我尤其欣賞作者在引入新概念時所采用的類比手法，非常形象生動，即便是初次接觸這些復雜理論的讀者，也能迅速建立起直觀的理解。比如講解歐拉函數時，作者沒有直接拋齣復雜的函數錶達式，而是通過一個有趣的“糖果分配”問題來層層遞進，讓抽象的理論立刻變得鮮活起來。這種教學方式極大地降低瞭學習麯綫，讓我在閱讀過程中充滿瞭探索的樂趣，而非僅僅是死記硬背。全書的排版也十分精良，圖文並茂，關鍵的定理和推論都有醒目的高亮處理，閱讀體驗堪稱一流，讓人忍不住一頁接一頁地讀下去，想要知道下一章又會揭示怎樣迷人的數論秘密。

評分☆☆☆☆☆

這本書在細節的處理上，展現齣作者對數論學習者所麵臨睏境的深刻理解。許多數論書籍在處理“模”的概念時，往往是先拋齣一個嚴格的代數定義，讓初學者感到睏惑。而《快樂相遇數論》則花費瞭大量篇幅來“可視化”模運算的本質，甚至使用瞭圖論中的循環結構來解釋同餘類之間的關係。這種對基礎概念的“過度”解釋，恰恰是構建穩固知識體係的關鍵所在。我特彆留意瞭書中關於“原根”的部分，這是一個公認的難點。作者沒有直接跳到原根存在的充要條件，而是通過一個關於“最小循環周期”的生動比喻，來闡述為什麼原根是模運算中的“萬能鑰匙”。通過這種循序漸進的方式，我對原根的理解從“記住一個結論”升華到瞭“理解其必要性”。這本書的附錄部分也做得非常實用，收錄瞭一份重要的數論函數和符號速查錶，這在復習和查閱時省去瞭大量的翻書時間，體現瞭作者的貼心之處。總而言之，這是一本真正為學習者而非僅僅是展示知識深度的作者而寫的優秀教材。