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胡家信 著

图书标签:

• 分形
• 分形分析
• 数学
• 几何
• 复杂系统
• 自相似性
• 动力系统
• 混沌
• 图像处理
• 科学计算

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030378293

版次：1

商品编码：12306702

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书148

开本：16开

出版时间：2013-06-01

用纸：胶版纸

页数：231

字数：298000

正文语种：中文

内容简介

　　本书介绍分形集及其分析，主要包括三部分内容。第一部分介绍各种各样常见的分形集，如自相似集（包括pcf集）、随机分形、Julia集和Mandelbrot集，同时也介绍反问题、拼贴定理、L-系统。该部分所涉及的理论很少，主要是压缩映像原理。所有分形图像都是利用Matlab程序实现，每个图像后面都附上Matlab代码。第二部分介绍研究分形集几何性质所常用概念，如Hausdorff测度、自相似测度和Hausdorff维数，同时给出一类常见分形集Hausdorff维数的计算方法，该部分所涉及的理论主要是测度论的基本知识。第三部分介绍分形集上的分析，如Sierpinski垫上狄氏型构造、定义域刻画以及对应的热核估计等，该部分所涉数学理论知识较多，但不超出数学系研究生范围。本书前两部分内容可作为初学者或工程专业人士参考，第三部分内容主要面向数学系高年级本科生、研究生或相关专业人士。

内页插图

目录

《现代数学基础丛书》序
前言
符号说明
第1章 自相似集
1．1 压缩映像原理
1．2 Hausdorff度量
1．3 自相似集
1．4 自相似集的例子
1．4．1 自相似集的例子
1．4．2 自仿集的例子
1．4．3 后临界有限自相似集
1．5 Karl Weierstrass和Georg Cantor简介
1．6 练习题

第2章 分形
2．1 羊齿叶
2．2 树
2．3 花边图案和花环
2．4 Koch曲线
2．5 渗流丛
2．6 分形与确定分形
2．7 练习题

第3章 Julia集、Mandelbrot集和反问题
3．1 Julia集
3．2 Mandelbrot集
3．3 拼贴定理及反问题
3．4 Beno*t Mandelbrot和Gaston Julia简介
3．5 练习题

第4章 L—系统
4．1 不含X，Y的确定L—系统
4．2 含X，Y的确定L—系统
4．3 含中括弧的确定L—系统
4．4 含其他字母的确定L—系统
4．5 L—系统
4．6 练习题

第5章 Hausdorff测度和Hausdorff维数
5．1 测度
5．2 自相似测度
5．3 Hausdorff测度
5．4 Hausdorff维数
5．5 Hausdorff维数的计算
5．6 Felix Hausdorff和Waclaw Sierpiński简介
5．7 练习题

第6章 热半群和狄氏型
6．1 自伴算子和谱分解
6．2 半群
6．3 热半群
6．4 狄氏型
6．5 Lejeune Dirichlet简介
6．6 练习题

第7章 Sierpiński垫上的狄氏型
7．1 Sierpiński垫上狄氏型的构造
7．2 调和函数
7．3 有效阻抗
7．4 Green函数
7．5 Laplace算子
7．6 练习题

第8章 Sierpiński垫上狄氏型定义域的刻画
8．1 度量空间上Sobolev型空间
8．2 狄氏型定义域的刻画
8．3 练习题

第9章 热核理论
9．1 热核的定义
9．2 热核估计的意义
9．2．1 测度的正则性
9．2．2 热核的狄氏型
9．3 从属热核
9．3．1 卷积半群和从属热核
9．3．2 Laplace变换
9．3．3 完全单调函数
9．3．4 Bernstein函数
9．4 从属热核的估计
9．5 练习题

第10章 Sierpiński垫上的热核估计
10．1 抛物极大值原理
10．2 半群的超压缩性
10．3 Sierpiński垫上热核上界估计
10．3．1 热核上对角估计
10．3．2 Poisson型方程
10．3．3 PBt1B估计
10．3．4 尾部Pt1Bc的指数估计
10．3．5 热核非对角上界估计
10．4 Sierpiński垫上热核下界估计
10．4．1 下对角估计
10．4．2 近似下对角估计
10．4．3 非对角下界估计
10．5 练习题

参考文献
索引
《现代数学基础丛书》已出版书目

前言/序言

　　对于数学研究与培养青年数学人才而言，书籍与期刊起着特殊重要的作用。许多成就卓越的数学家在青年时代都曾钻研或参考过一些优秀书籍，从中汲取营养，获得教益。
　　20世纪70年代后期，我国的数学研究与数学书刊的出版由于文化大革命的浩劫已经破坏与中断了10余年，而在这期间国际上数学研究却在迅猛地发展着。1978年以后，我国青年学子重新获得了学习、钻研与深造的机会。当时他们的参考书籍大多还是50年代甚至更早期的著述。据此，科学出版社陆续推出了多套数学丛书，其中《纯粹数学与应用数学专著》丛书与《现代数学基础丛书》更为突出，前者出版约40卷，后者则逾80卷。它们质量甚高，影响颇大，对我国数学研究、交流与人才培养发挥了显著效用。
　　《现代数学基础丛书》的宗旨是面向大学数学专业的高年级学生、研究生以及青年学者，针对一些重要的数学领域与研究方向，作较系统的介绍。既注意该领域的基础知识，又反映其新发展，力求深入浅出，简明扼要，注重创新。
　　近年来，数学在各门科学、高新技术、经济、管理等方面取得了更加广泛与深入的应用，还形成了一些交叉学科。我们希望这套丛书的内容由基础数学拓展到应用数学、计算数学以及数学交叉学科的各个领域。
　　这套丛书得到了许多数学家长期的大力支持，编辑人员也为其付出了艰辛的劳动。它获得了广大读者的喜爱。我们诚挚地希望大家更加关心与支持它的发展，使它越办越好，为我国数学研究与教育水平的进一步提高做出贡献。

好的，这是一份关于《分形几何基础》的图书简介： --- 《分形几何基础》图书简介 探索无限复杂性的数学之美 在二十世纪下半叶，随着计算机图形学和复杂系统研究的兴起，一种全新的数学分支——分形几何，以前所未有的力量和魅力进入了科学和艺术的视野。传统欧几里得几何擅长描述规则、平滑的形态，如直线、圆和立方体。然而，大自然中绝大多数的结构——从海岸线的曲折到树枝的分叉，从闪电的路径到云朵的边缘——都充满了粗糙、不规则和自相似的特征。正是为了解析这些“分形的”世界，《分形几何基础》应运而生。 本书旨在为读者提供一个全面、深入且易于理解的分形几何学入门。它不仅仅是一本理论教材，更是一扇通往复杂性科学核心的窗口。我们摒弃了过度依赖高级微积分的繁琐推导，转而采用一种更直观、更注重概念构建和几何直觉的教学方法，确保对数学背景要求不高的读者也能有效掌握核心概念。 核心内容概览： 第一部分：从欧几里得到分形——概念的奠基 本部分首先回顾了欧几里得几何的局限性，并引入了关键的先驱思想，特别是本华·曼德博（Benoit Mandelbrot）的革命性观点。我们详细探讨了自相似性（Self-Similarity）这一分形几何的基石概念，并通过经典的构造实例，如柯赫雪花（Koch Snowflake）和谢尔宾斯基三角形（Sierpinski Gasket），直观展示了如何通过迭代过程生成具有无限细节的结构。 重点章节将深入解析豪斯多夫维数（Hausdorff Dimension），这是分形几何区别于拓扑维数的关键所在。我们不再满足于整数维度的描述，而是展示如何使用分数维度来精确量化一个集合的复杂程度和填充空间的能力。通过计算简单的迭代函数系统（IFS）的豪斯多夫维数，读者将建立起对“分数维”的深刻理解。 第二部分：构造、迭代与吸引子 分形世界的生成往往依赖于重复的、有规律的变换。本书的第二部分聚焦于迭代函数系统（Iterated Function Systems, IFS）。我们将详尽介绍合同映射的原理，以及如何利用这些映射来精确地“绘制”出自然界中常见的复杂形态。我们不仅讨论如何从给定的分形构造出IFS，更重要的是，如何利用逆向工程的思想，从一组IFS规则推导出其最终的吸引子——即分形图形本身。 此外，我们还引入了林登梅耶系统（L-Systems），这是一种强大的形式语言工具，特别适用于模拟植物的生长发育过程。通过定义简单的重写规则，读者可以清晰地看到生物形态的层次结构是如何从底层算法中涌现出来的。 第三部分：经典分形的深入探究 本部分是本书的核心理论部分，详细剖析了几个具有里程碑意义的分形集。 曼德博集合（Mandelbrot Set）： 我们将从复数动力学的角度出发，详细解释复二次多项式的迭代过程。通过对迭代轨迹的分析，读者将理解曼德博集合的边界如何精确地界定了有界和无界行为之间的界限，并揭示其内部结构中隐藏的无限复杂性。 朱利亚集合（Julia Sets）： 与曼德博集合紧密相关，本书将解释朱利亚集合如何作为特定参数下的“轨道”快照，展示不同初始点在复平面上的命运。 为了便于理解这些复杂集合的边界性质，我们引入了共形不变性的概念，解释了为何分形边界的局部结构总是与整体结构相似。 第四部分：分形在真实世界中的应用 分形几何并非纯粹的数学抽象，它是一把解密自然现象的钥匙。本部分将讨论分形理论在多个学科中的实际应用： 物理学与材料科学： 探讨如何使用分形模型来描述多孔介质的结构、界面扩散过程（如DLA模型）以及材料的粗糙表面特性。 信息技术： 介绍分形压缩的原理，解释如何利用自相似性来高效地编码图像数据。 自然界模拟： 阐述如何利用分形算法生成逼真的地形、云层和植被，这对于计算机图形学和虚拟现实至关重要。 学习目标与受众： 本书面向高等院校的数学、物理、计算机科学、工程学及地理信息系统等专业的本科生及研究生，以及对复杂系统和非线性科学感兴趣的自学者。通过对本书的系统学习，读者将： 1. 掌握分形几何的基本术语和核心概念，特别是豪斯多夫维数的计算方法。 2. 理解通过迭代过程生成复杂结构的数学机制（IFS和L-Systems）。 3. 能够识别和分析经典分形（如曼德博集合）的拓扑和几何特征。 4. 具备运用分形思维来分析和建模现实世界中不规则现象的能力。 《分形几何基础》以严谨的数学逻辑为骨架，以丰富的直观几何实例为血肉，旨在为渴望深入理解复杂性数学语言的读者，提供一条清晰、富有启发性的探索之路。翻开本书，您将进入一个充满奇迹和秩序的、超越传统几何学的全新世界。 ---

评分☆☆☆☆☆

这本书《分形分析引论》的标题，让我联想到那些能够揭示事物深层连接和隐藏规律的学科。《分形》这个词本身就带有一种神秘的吸引力，仿佛能够带领读者进入一个不同于日常认知维度的世界。我希望这本书能够以一种非常清晰、逻辑严谨的方式，介绍分形分析的基本原理和核心概念。我期待书中能够从一些非常基础的例子开始，比如一个简单的迭代函数如何生成出令人惊叹的分形图形，逐步引导我理解“分形”到底是什么。我特别好奇，分形分析是如何量化“不规则”和“复杂性”的，它是否能够提供一套普适性的度量标准，让我们能够对不同事物的复杂程度进行比较？我希望书中能有足够多的图示和例子，让我能够直观地理解分形几何的美妙和力量。此外，我非常希望这本书能够探讨分形分析在不同学科领域的应用，比如它如何帮助我们理解自然界的各种模式，或者如何应用于艺术、音乐的创作，甚至是在社会科学的研究中找到痕迹。如果这本书能够让我对“无序中的秩序”有更深刻的认识，并且掌握一套分析和描述复杂现象的工具，那将是我非常宝贵的收获。

评分☆☆☆☆☆

我一直以来都对物理学中描述复杂系统和混沌现象的理论很感兴趣，尤其是在能量耗散、相变以及湍流动力学等领域。《分形分析引论》这个名字，恰恰触碰了我在这方面的求知欲。我猜想，分形分析很可能是一种能够描述和量化那些在宏观上看混乱无序，但在微观上却遵循某种统计规律的现象的有力工具。我非常期待书中能够解释清楚，分形几何是如何被用来描述物理系统中那些具有自相似性和尺度不变性的结构的。例如，在相变过程中，物质的微观结构是如何演化出分形特征的？在湍流中，能量是如何在不同尺度的涡旋之间传递，并且形成分形结构的？我希望这本书能够提供清晰的数学模型，将这些物理概念与分形分析的数学语言联系起来。书中是否有关于如何利用分形分析来预测复杂物理系统的演化趋势，或者理解其内在动力学机制的例子？我希望这本书能够为我提供一个全新的视角，让我能够更深入地理解那些看似难以捉摸的物理现象，并有可能发现新的研究方向。

评分☆☆☆☆☆

这本《分形分析引论》的书名一下子就吸引了我，我本身对那些能展现事物内在规律和复杂性的理论就非常着迷。我总觉得，我们日常生活中看似杂乱无章的现象，比如一片叶子的脉络、一片云的形状，甚至金融市场上的价格波动，背后可能都隐藏着某种深刻的、可以被量化的规律。分形分析，光听这个名字就充满了探索的神秘感，似乎能够揭示隐藏在混乱背后的秩序。我期待这本书能够带领我进入一个全新的视角，让我学会用一种非传统的、更加“自然”的方式去理解和描述我们周围的世界。我希望它能解答一些我长久以来在思考的关于“尺度不变性”和“自相似性”的问题，比如为什么在不同尺度下，某些结构会呈现出惊人的相似性。如果这本书能够给出清晰的数学框架，并且用生动易懂的例子来解释这些抽象的概念，那就太棒了。我尤其好奇，分形分析是如何应用于图像处理、信号分析，甚至生物学中的呢？这本书能否为我打开这些应用领域的大门，让我看到理论如何转化为实际的工具，解决现实世界的问题？我对它充满了期待，希望它能成为我理解复杂系统的一把金钥匙，让我能够更深入地洞察事物的本质。

评分☆☆☆☆☆

我一直是个对“非欧几何”之类的边缘数学领域抱有强烈好奇心的人，总觉得我们日常接触的欧几里得几何似乎不足以完全描述我们观察到的三维世界。分形，这个概念在我脑海中就像是另一种维度的存在，一种能够捕捉“粗糙”和“不规则”之美的几何学。我希望这本书《分形分析引论》能够打破我对于传统几何学的刻板印象，让我领略到一种全新的几何思维方式。我设想，这本书或许会从一些经典的数学家，比如曼德尔布罗特，讲起，介绍他是如何发现并系统化分形理论的。我会特别关注书中对“分形维度”的解释，这是不是一种比我们熟悉的整数维度更普适、更能描述复杂形体的方法？我期待书中能有一些让人“眼前一亮”的图形示例，比如各种令人惊叹的分形图案，让我直观地感受到分形几何的魅力。此外，这本书能否解释清楚分形分析是如何用来量化和描述自然界中那些“看起来乱七八糟”但又具有内在规律的现象？比如，地形的起伏、海岸线的曲折，甚至是人体的血管网络，这些是否都能用分形分析的方法来捕捉它们的特征？我希望这本书能提供一套清晰的理论工具，让我能够开始尝试分析和理解这些复杂结构。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数据科学和机器学习领域充满热情的研究者，我深知理解和掌握各种分析工具的重要性。《分形分析引论》这个书名，让我立刻联想到它可能为我解决一些棘手的数据分析问题提供新的思路。在处理一些具有非线性、高维度的复杂数据集时，传统的线性模型和降维技术往往显得力不从心。我希望这本书能够深入浅出地介绍分形分析的核心思想，特别是如何利用分形特征来描述数据的内在结构。我非常好奇，分形分析是否能够帮助我识别和量化数据中的“奇异性”或“异常模式”，这些模式往往是传统方法难以捕捉的。书中是否有关于如何计算数据集合的分形维度，以及如何利用这些维度来构建更有效的分类器或回归模型的具体方法和案例？我尤其期待看到分形分析在时间序列分析、网络分析，或者图像特征提取方面的应用实例，因为这些都是我日常工作中经常遇到的挑战。如果这本书能够提供一些实用的算法和代码实现（哪怕是伪代码），那将极大地提升它的价值，让我能够快速地将所学知识应用到我的实际研究中。