分数阶微积分学与分数阶控制 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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薛定宇 著

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• 分数阶微积分
• 分数阶控制
• 控制理论
• 微积分
• 数学
• 应用数学
• 工程数学
• 自动控制
• 系统控制
• 信号处理

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030543981

版次：31

商品编码：12309444

包装：平装

开本：16开

出版时间：2018-01-01

页数：324

字数：408000

正文语种：中文

内容简介

　　《分数阶微积分学与分数阶控制》系统地介绍分数阶微积分学与分数阶控制领域的理论知识与数值计算方法。特别地，作者提出并实现一整套高精度的分数阶微积分学的数值计算方法；提出线性、非线性分数阶微分方程的通用数值解法和基于框图的通用仿真框架，为解决分数阶控制系统的仿真问题奠定了基础；开发面向对象的分数阶系统控制的MATLAB工具箱，可以用于多变量分数阶系统的建模、分析与控制器设计的全过程。《分数阶微积分学与分数阶控制》所有知识点均配有高质量的MATLAB代码，有助于读者更好地理解知识点的内涵，更重要地，可以利用代码实践并创造性地解决相关问题。

目录

目录
前言 i
第1章 分数阶微积分学简介 1
1.1 分数阶微积分学的历史回顾 1
1.2 自然世界中的分数阶现象与模型举例 3
1.3 分数阶微积分与分数阶控制工具简介 4
1.4 本书的结构 5
1.4.1 本书的主要内容与要点 5
1.4.2 阅读本书的建议 7
第2章 常用特殊函数的定义与计算 9
2.1 误差函数与补误差函数 9
2.2 Gamma函数 10
2.3 Beta函数 14
2.4 Dawson 函数 16
2.5 超几何函数 18
2.6 Mittag-Leffler函数 20
2.6.1 单参数Mittag-Leffler函数 20
2.6.2 双参数Mittag-Leffler函数 23
2.6.3 多参数Mittag-Leffler函数 26
2.6.4 Mittag-Leffler函数的导数 27
2.6.5 Mittag-Leffler函数及其导数的数值运算 29
第3章 分数阶微积分的定义与计算 31
3.1 分数阶Cauchy 积分公式 32
3.1.1 Cauchy 积分 32
3.1.2 常用函数的分数阶微分与积分公式 32
3.2 Grünwald-Letnikov 分数阶微积分定义与计算 33
3.2.1 高阶导数的推导 33
3.2.2 Grünwald-Letnikov 分数阶微分的定义 33
3.2.3 Grünwald-Letnikov 分数阶微分与积分的数值计算 34
3.2.4 Podlubny 的矩阵算法 39
3.2.5 短时记忆效应及其探讨 40
3.3 Riemann-Liouville分数阶微积分定义与计算 44
3.3.1 高阶整数阶积分公式 44
3.3.2 Riemann-Liouville分数阶微积分定义 44
3.3.3 常用函数的Riemann-Liouville微积分公式 45
3.3.4 初始时刻平移的性质 46
3.3.5 Riemann-Liouville定义的数值计算 47
3.4 分数阶微积分的高精度算法与实现 48
3.4.1 任意阶次的生成函数构造 48
3.4.2 基于FFT的算法 51
3.4.3 系数计算的递推公式 53
3.4.4 初始时刻更好的拟合处理 57
3.4.5 再论矩阵算法 61
3.5 Caputo分数阶微积分定义 62
3.6 各种不同分数阶微积分定义之间的关系 63
3.6.1 Grünwald-Letnikov 与Riemann-Liouville定义的关系 63
3.6.2 Caputo与Riemann-Liouville定义的关系 64
3.6.3 Caputo分数阶微分的数值计算 64
3.6.4 Caputo微分的高精度算法 66
3.7 分数阶微积分的性质与几何解释 68
3.7.1 分数阶微积分的性质 68
3.7.2 分数阶积分的几何解释 70
第4章 线性分数阶微分方程的求解 73
4.1 线性分数阶微分方程简介 73
4.1.1 线性分数阶微分方程的一般形式 73
4.1.2 不同定义下的分数阶导数初值问题 74
4.1.3 一个重要的Laplace变换公式 75
4.2 一些线性分数阶微分方程的解析解方法 76
4.2.1 单项分数阶微分方程 76
4.2.2 双项分数阶微分方程 76
4.2.3 3项分数阶微分方程 77
4.2.4 一般n 项分数阶微分方程 78
4.3 同元次微分方程的求解 78
4.3.1 同元次微分方程的一般形式 79
4.3.2 线性分数阶微分方程求解的一些常用Laplace变换公式 80
4.3.3 同元次微分方程的解析解 81
4.4 零初值线性分数阶微分方程的闭式解算法 84
4.4.1 闭式解算法 84
4.4.2 基于矩阵的求解算法 88
4.4.3 高精度闭式解算法 90
4.5 非零初值线性Caputo微分方程的数值解法 91
4.5.1 Caputo微分方程的数学描述 91
4.5.2 Taylor 辅助函数算法 92
4.5.3 Caputo微分方程的高精度算法 94
4.6 无理分数阶微分方程的数值解法 100
4.6.1 无理分数阶传递函数描述 100
4.6.2 基于数值Laplace反变换的仿真方法 100
4.6.3 闭环无理系统的时域响应计算 102
4.6.4 无理分数阶系统的稳定性判定 103
4.6.5 数值Laplace变换 106
第5章 分数阶微积分算子与系统的近似 108
5.1 基于连分式的几种近似方法 109
5.1.1 连分式近似 109
5.1.2 Carlson近似 111
5.1.3 Matsuda-Fujii 近似 114
5.2 Oustaloup滤波器近似 115
5.2.1 常规的Oustaloup近似 115
5.2.2 一种改进的Oustaloup滤波器 120
5.3 分数阶传递函数的整数阶近似 123
5.3.1 分数阶传递函数的高阶近似 123
5.3.2 基于模型降阶技术的低阶近似方法 125
5.4 无理分数阶模型的近似 129
5.4.1 频域响应近似方法 130
5.4.2 Charef近似 132
5.4.3 复杂无理模型的最优Charef滤波器设计 135
第6章 多变量分数阶传递函数矩阵的建模与分析 142
6.1 创建MATLAB的对象——FOTF类编程 143
6.1.1 定义一个FOTF类 143
6.1.2 显示函数的编程 145
6.1.3 多变量FOTF 矩阵的输入 146
6.2 FOTF 模块的相互连接 147
6.2.1 Kronecker积与Kronecker和 147
6.2.2 FOTF 对象的串联连接 147
6.2.3 FOTF 对象的并联连接 149
6.2.4 反馈连接函数 150
6.2.5 其他支持函数的编程 152
6.2.6 FOTF 对象与同元次模型的相互转换 154
6.3 线性分数阶系统的性质分析 155
6.3.1 稳定性分析 156
6.3.2 部分分式展开与稳定性判定 158
6.3.3 分数阶系统的范数计算 159
6.4 线性分数阶系统的频域响应分析 161
6.4.1 单变量系统的频域响应分析 161
6.4.2 基于Nyquist图的稳定性判定 162
6.4.3 多变量系统的对角占优分析 163
6.4.4 复杂系统结构下的频域响应计算 166
6.4.5 多变量系统的奇异值曲线 168
6.5 线性分数阶系统的时域分析 170
6.5.1 阶跃响应与脉冲响应 170
6.5.2 分数阶系统任意输入的响应 173
6.6 同元次系统的根轨迹分析 175
第7章 线性分数阶系统的状态方程建模与分析 178
7.1 分数阶系统的状态方程描述 178
7.2 分数阶系统的状态方程模型 179
7.2.1 FOSS 类定义与编程 179
7.2.2 FOSS 与FOTF 对象的转换 180
7.2.3 不同基阶的状态增广变换 182
7.2.4 FOSS 模块的相互连接 184
7.3 分数阶状态方程模型的性质分析 187
7.3.1 稳定性判定 187
7.3.2 状态转移矩阵 188
7.3.3 可控性与可观测性 190
7.3.4 可控性与可观测性的阶梯标准型 191
7.3.5 范数计算 192
7.4 分数阶状态方程模型的分析 192
7.5 分数阶扩展状态方程模型 193
7.5.1 线性分数阶扩展状态方程模型 193
7.5.2 非线性分数阶扩展状态方程模型 195
第8章 非线性分数阶微分方程的数值求解 197
8.1 非线性Caputo微分方程的数值解算法 197
8.1.1 单项方程的数值解方法 198
8.1.2 多项Caputo微分方程的求解 202
8.1.3 分数阶扩展状态方程的数值求解 205
8.1.4 基于代数方程求解的微分方程算法 209
8.2 Caputo微分方程的高效高精度算法 210
8.2.1 预估方程 211
8.2.2 校正求解方法 213
8.2.3 隐式Caputo微分方程的高精度矩阵算法 215
8.3 典型分数阶元件的Simulink 模块集开发与应用 217
8.3.1 FOTF 模块集的设计 217
8.3.2 FOTF 矩阵模块的实现 221
8.3.3 控制问题的Simulink 求解 223
8.3.4 Simulink 仿真结果的验证 226
8.4 零初值分数阶微分方程的框图解法 226
8.5 非零初值Caputo微分方程的框图解法 231
8.5.1 Caputo算子模块设计 232
8.5.2 Caputo微分方程的典型建模步骤 233
8.5.3 Caputo微分方程的更简单建模仿真方法 235
8.5.4 分数阶状态方程的Simulink 建模 238
8.5.5 隐式分数阶微分方程的数值解法 240
第9章 分数阶PID控制器设计 243
9.1 分数阶PID控制器概述 243
9.2 最优整数阶PID控制器的设计 245
9.2.1 FOPDT 对象的整定规则 245
9.2.2 伺服控制有意义的性能指标 247
9.2.3 OptimPID——最优PID控制器设计界面 249
9.3 基于频域响应的分数阶PID控制器设计方法 250
9.3.1 基于频域响应的设计方法一般描述 251
9.3.2 FOPDT 受控对象的PIλDμ控制器设计 252
9.3.3 FOIDPT 对象的控制器设计 256
9.3.4 一般分数阶受控对象的PIλDμ 控制器设计 257
9.3.5 PIDμ控制器的设计 258
9.3.6 FO-[PD] 控制器设计 259
9.3.7 鲁棒控制器设计的其他考虑 259
9.4 基于数值寻优的最优PIλDμ 控制器的设计 260
9.4.1 最优PIλDμ 控制器设计方法 260
9.4.2 带有延迟受控对象的最优PIλDμ 控制器设计 263
9.4.3 OptimFOPID ——最优分数阶PID控制器设计界面 266
9.5 模糊分数阶PID控制器的设计与仿真 268
9.5.1 控制器参数的模糊规则 268
9.5.2 模糊分数阶PID控制器的Simulink 实现 268 <

现代控制理论中的高级主题：非线性系统与鲁棒控制 简介 本书旨在为读者提供现代控制理论中两个至关重要且极具挑战性的分支领域——非线性系统分析与设计，以及鲁棒控制理论——的全面而深入的阐述。我们聚焦于这些理论的数学基础、关键分析工具以及面向实际工程应用的综合设计方法。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在使具有扎实线性系统和基础控制理论知识的读者，能够跨越理论障碍，掌握处理复杂、高维、不确定性系统的先进技术。 第一部分：非线性系统分析与稳定性理论 非线性系统普遍存在于物理、生物、经济和社会系统之中。与线性系统截然不同的动态特性，如多平衡点、极限环振荡、混沌现象等，要求我们采用全新的分析框架。 第一章：非线性系统的建模与基本特性 本章首先回顾了描述非线性系统的微分方程形式，并强调了相空间分析的重要性。我们将详细讨论以下关键概念： 1. 平衡点与相轨线： 识别系统在不同输入条件下的稳态行为。 2. 局部线性化与雅可比矩阵： 在平衡点附近的局部线性化方法及其局限性。重点分析线性化分析能揭示和不能揭示的非线性特性（例如，中心流形理论的初步介绍）。 3. 奇异点与奇点分析： 探讨系统在某些状态下导数不明确或系统行为发生突变的情况。 第二章：李雅普诺夫稳定性理论的深化 李雅普诺夫方法是分析非线性系统稳定性的基石。本章将超越线性系统中的二次型李雅普诺夫函数的应用，深入探索更通用的稳定性判据。 1. 直接法（李雅普诺夫函数构造）： 介绍构造任意标量函数作为能量或度量的方法。重点讲解拉萨尔不变集原理（LaSalle’s Invariance Principle），该原理在无法精确证明全局渐近稳定性的情况下，提供了强大的工具来确定长期行为。 2. 间接法（线性化分析的局限性）： 重新审视间接法，特别是当特征值位于虚轴上（临界情况）时，线性化分析的不足，并引入更精细的理论工具来处理这些边界情况。 3. 全局稳定性与有限增益稳定性： 定义并分析系统在有界输入下的有界输出（BIBO）稳定性，以及更广义的全局渐近稳定性（GAS）的概念。 第三章：特定非线性现象的分析工具 本章聚焦于解析和识别非线性系统中的经典复杂行为。 1. 极限环的分析与判定： 介绍判定是否存在极限环的方法，如庞加莱-利昂纳德准则（Poincaré-Liénard criterion）的推广形式。 2. 范数生成与增益分析： 引入增益的概念，特别是系统输入输出增益（IO Gain），用于量化输入信号对输出信号的放大效应，这对于设计高增益敏感系统至关重要。 3. 滑模（Sliding Mode）行为的初步探讨： 作为一种非线性控制策略的预备知识，简要介绍在奇异面上发生的动态行为特征。 第二部分：鲁棒控制理论与不确定性处理 现实世界的控制系统总是在存在模型不确定性、参数变化和外部扰动的情况下运行。鲁棒控制的目标是设计控制器，使得系统性能在预先界定的不确定性集合内保持可接受。 第四章：系统不确定性的建模与数学框架 鲁棒控制首先要求精确地描述系统的不确定性。 1. 结构化不确定性建模： 介绍矩阵微扰模型，包括增益/相位裕度（Gain/Phase Margins）的定义，以及它们在频域中的几何解释。 2. 范数与稳定性裕度： 引入H-无穷范数（$mathcal{H}_{infty}$ Norm）作为系统输入输出映射的“最大增益”，它是量化系统性能和鲁棒性的核心指标之一。 3. 线性分式变换（LFT）框架： 这是连接不确定性模型与鲁棒分析设计的强大工具。详细介绍如何将复杂的结构化不确定性表示为标准$Delta-K$（扰动-控制器）形式。 第五章：$mathcal{H}_2$ 控制与最优控制回顾 虽然重点在于鲁棒性，但$mathcal{H}_2$最优控制（LQR的频域扩展）是理解$mathcal{H}_{infty}$控制的基础。 1. $mathcal{H}_2$最优控制： 讲解如何设计控制器以最小化特定加权信号的均方根（RMS）值，并介绍黎卡提方程的频域解法。 2. 平滑性和可达性： 分析在设计最优控制器时，对系统动态特性和状态可观测性/可控性的要求。 第六章：$mathcal{H}_{infty}$ 控制器设计 本章是鲁棒控制的核心，专注于如何通过频率响应分析来保证稳定性和性能。 1. 性能与稳定性的平衡： 建立性能指标（基于输入/输出加权函数$W_S, W_T$）与稳定性裕度之间的关系。 2. 求解$mathcal{H}_{infty}$控制问题： 详细推导求解标准两端问题的代数黎卡提方程（ARE）或代数贝克蒂方程（ADE）。重点阐述这些方程与状态空间模型之间的联系，以及如何提取最优控制器$K$。 3. 控制器简化与结构选择： 讨论全阶$mathcal{H}_{infty}$控制器的高阶问题，并引入次优（Reduced-Order）控制器设计，如混合灵敏度（Mixed-Sensitivity）方法，该方法在工程实践中最为常用，因为它允许设计者独立地加权稳定性和跟踪/抗扰性能。 第七章：$mu$-综合：结构化不确定性的分析与设计 当系统中的不确定性具有特定结构（如增益块、参数变化）时，$mathcal{H}_{infty}$范数可能过于保守。$mu$-综合理论提供了更精确的分析工具。 1. $mu$值与稳定性裕度： 定义$mu$值作为判断线性分式变换（LFT）系统稳定性的精确判据，并展示其与李雅普诺夫稳定性之间的关系。 2. $mu$-综合的设计流程： 介绍迭代线性化与$mathcal{H}_{infty}$综合交替进行的流程，用于处理规模更大的、结构化的不确定性集合。 结论 本书的结构确保了从基础的非线性现象识别，到处理高度不确定性的先进鲁棒设计范式，读者能够构建起一个完整的现代控制理论知识体系。掌握这些内容，意味着具备了应对工程领域中最苛刻的控制挑战的能力。

评分☆☆☆☆☆

对于那些渴望突破传统思维模式，寻求更深刻理解复杂系统的人来说，这本书无疑是一份珍贵的礼物。它提供了一个全新的视角来审视那些我们习以为常的现象。我一直对“涌现”这个概念非常感兴趣，也就是宏观层面的复杂行为是如何从微观层面的简单交互中产生的。这本书在探讨分数阶控制时，就巧妙地将这个概念融入其中。它不仅仅是介绍如何设计一个分数阶控制器，更是引导读者思考，为什么在某些情况下，传统的整数阶控制器会失效，而分数阶控制器却能展现出惊人的鲁棒性和适应性。作者的论述非常严谨，同时又不失启发性，他能够将复杂的数学概念用一种引人入胜的方式呈现出来，让读者在享受阅读乐趣的同时，也能获得深刻的启示。这本书让我对“建模”和“控制”这两个词有了更深层次的理解，它激励我去探索那些尚未被充分认识的科学领域。

评分☆☆☆☆☆

作为一名控制工程师，我一直在寻找能够提升控制系统性能的创新方法。传统的整数阶微积分控制虽然强大，但在处理一些复杂系统，例如具有记忆效应或者长程依赖性的系统时，往往显得力不从心。当我偶然发现《分数阶微积分学与分数阶控制》这本书时，我立刻被它所吸引。这本书为我打开了一个全新的世界。它详细介绍了分数阶微积分的基本概念，包括Riemann-Liouville、Caputo等分数阶积分和微分的定义，以及它们在描述非局部行为方面的优势。更重要的是，书中提供了大量关于分数阶PID控制器、分数阶滑模控制器等在实际控制问题中的应用案例。这些案例涵盖了从机器人控制到航空航天，再到生物医学工程等多个领域，让我看到了分数阶控制在解决现实世界挑战方面的巨大潜力。这本书的实践性很强，它不仅教会了我理论知识，更引导我如何将这些理论转化为实际的控制策略，为我今后的工作提供了宝贵的指导。

评分☆☆☆☆☆

这本书绝对是一次思维的冒险，它让我对数学的边界有了全新的认识。我一直对数学抱有浓厚的兴趣，尤其是那些能够揭示自然界深层规律的理论。在接触到分数阶微积分学之前，我以为自己对微积分的理解已经相当透彻了，但这本书彻底颠覆了我的看法。它不像我以往读过的许多数学书籍那样，只是简单地罗列公式和定理，而是深入浅出地探讨了分数阶微积分的起源、发展以及其在不同学科中的广泛应用。作者的叙述方式非常有感染力，他能够将那些看似抽象的概念，通过生动形象的比喻和引人入胜的案例，变得易于理解。我尤其喜欢书中关于分数阶导数和积分的几何意义的讨论，这让我从一个全新的角度去审视那些我熟悉的数学工具。它不仅仅是提供了一种计算的方法，更是一种理解系统行为和动态过程的新视角。这本书的深度和广度都令我印象深刻，它成功地将一个相对小众的数学分支，呈现给了一个更广泛的读者群体。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我并不是一个数学背景非常深厚的读者，但这本书的叙述方式却让我感到意外的亲切。它不像某些专业书籍那样，上来就充斥着令人生畏的符号和公式，而是从一个更宏观的视角切入，循序渐进地引导读者进入分数阶微积分的世界。作者用了一种非常“讲故事”的方式，讲述了分数阶微积分是如何从一个数学家的奇思妙想，逐渐发展成为一门独立且充满活力的学科。我尤其欣赏书中对历史背景的介绍，这让我了解了那些伟大的数学家们是如何一步步探索这个领域的，这种人文关怀让枯燥的数学知识变得生动有趣。在理解概念方面，作者运用了大量的图示和类比，这对于像我这样的非专业读者来说，简直是福音。那些复杂的积分和微分运算，在作者的图解下，变得直观易懂。这本书让我觉得，即使没有深厚的数学功底，也能领略到分数阶微积分的魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本书就像一本关于“连接”的指南。它让我看到了，原来数学并非是孤立的学科，而是相互关联，并且能够触及到我们生活的方方面面。在阅读的过程中，我发现分数阶微积分学不仅仅是数学家们的“玩具”，它在物理、工程、甚至生物学中都有着重要的应用。书中对分数阶微积分在描述非局部现象，比如扩散过程、记忆效应、长程依赖性等方面的独特优势的阐述，让我茅塞顿开。我一直对一些复杂的物理现象感到困惑，比如某些材料的非线性响应，或者是生物体内的复杂反馈机制。这本书通过分数阶的视角，为我提供了一种全新的理解这些现象的框架。它让我意识到，我们所处的现实世界，很多时候并不是简单的局部相互作用，而是存在着跨越时间和空间的深刻联系，而分数阶微积分恰恰是描述这种联系的利器。