分數階微積分學與分數階控製 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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薛定宇 著

圖書標籤:

• 分數階微積分
• 分數階控製
• 控製理論
• 微積分
• 數學
• 應用數學
• 工程數學
• 自動控製
• 係統控製
• 信號處理

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030543981

版次：31

商品編碼：12309444

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2018-01-01

頁數：324

字數：408000

正文語種：中文

內容簡介

　　《分數階微積分學與分數階控製》係統地介紹分數階微積分學與分數階控製領域的理論知識與數值計算方法。特彆地，作者提齣並實現一整套高精度的分數階微積分學的數值計算方法；提齣綫性、非綫性分數階微分方程的通用數值解法和基於框圖的通用仿真框架，為解決分數階控製係統的仿真問題奠定瞭基礎；開發麵嚮對象的分數階係統控製的MATLAB工具箱，可以用於多變量分數階係統的建模、分析與控製器設計的全過程。《分數階微積分學與分數階控製》所有知識點均配有高質量的MATLAB代碼，有助於讀者更好地理解知識點的內涵，更重要地，可以利用代碼實踐並創造性地解決相關問題。

目錄

目錄
前言 i
第1章 分數階微積分學簡介 1
1.1 分數階微積分學的曆史迴顧 1
1.2 自然世界中的分數階現象與模型舉例 3
1.3 分數階微積分與分數階控製工具簡介 4
1.4 本書的結構 5
1.4.1 本書的主要內容與要點 5
1.4.2 閱讀本書的建議 7
第2章 常用特殊函數的定義與計算 9
2.1 誤差函數與補誤差函數 9
2.2 Gamma函數 10
2.3 Beta函數 14
2.4 Dawson 函數 16
2.5 超幾何函數 18
2.6 Mittag-Leffler函數 20
2.6.1 單參數Mittag-Leffler函數 20
2.6.2 雙參數Mittag-Leffler函數 23
2.6.3 多參數Mittag-Leffler函數 26
2.6.4 Mittag-Leffler函數的導數 27
2.6.5 Mittag-Leffler函數及其導數的數值運算 29
第3章 分數階微積分的定義與計算 31
3.1 分數階Cauchy 積分公式 32
3.1.1 Cauchy 積分 32
3.1.2 常用函數的分數階微分與積分公式 32
3.2 Grünwald-Letnikov 分數階微積分定義與計算 33
3.2.1 高階導數的推導 33
3.2.2 Grünwald-Letnikov 分數階微分的定義 33
3.2.3 Grünwald-Letnikov 分數階微分與積分的數值計算 34
3.2.4 Podlubny 的矩陣算法 39
3.2.5 短時記憶效應及其探討 40
3.3 Riemann-Liouville分數階微積分定義與計算 44
3.3.1 高階整數階積分公式 44
3.3.2 Riemann-Liouville分數階微積分定義 44
3.3.3 常用函數的Riemann-Liouville微積分公式 45
3.3.4 初始時刻平移的性質 46
3.3.5 Riemann-Liouville定義的數值計算 47
3.4 分數階微積分的高精度算法與實現 48
3.4.1 任意階次的生成函數構造 48
3.4.2 基於FFT的算法 51
3.4.3 係數計算的遞推公式 53
3.4.4 初始時刻更好的擬閤處理 57
3.4.5 再論矩陣算法 61
3.5 Caputo分數階微積分定義 62
3.6 各種不同分數階微積分定義之間的關係 63
3.6.1 Grünwald-Letnikov 與Riemann-Liouville定義的關係 63
3.6.2 Caputo與Riemann-Liouville定義的關係 64
3.6.3 Caputo分數階微分的數值計算 64
3.6.4 Caputo微分的高精度算法 66
3.7 分數階微積分的性質與幾何解釋 68
3.7.1 分數階微積分的性質 68
3.7.2 分數階積分的幾何解釋 70
第4章 綫性分數階微分方程的求解 73
4.1 綫性分數階微分方程簡介 73
4.1.1 綫性分數階微分方程的一般形式 73
4.1.2 不同定義下的分數階導數初值問題 74
4.1.3 一個重要的Laplace變換公式 75
4.2 一些綫性分數階微分方程的解析解方法 76
4.2.1 單項分數階微分方程 76
4.2.2 雙項分數階微分方程 76
4.2.3 3項分數階微分方程 77
4.2.4 一般n 項分數階微分方程 78
4.3 同元次微分方程的求解 78
4.3.1 同元次微分方程的一般形式 79
4.3.2 綫性分數階微分方程求解的一些常用Laplace變換公式 80
4.3.3 同元次微分方程的解析解 81
4.4 零初值綫性分數階微分方程的閉式解算法 84
4.4.1 閉式解算法 84
4.4.2 基於矩陣的求解算法 88
4.4.3 高精度閉式解算法 90
4.5 非零初值綫性Caputo微分方程的數值解法 91
4.5.1 Caputo微分方程的數學描述 91
4.5.2 Taylor 輔助函數算法 92
4.5.3 Caputo微分方程的高精度算法 94
4.6 無理分數階微分方程的數值解法 100
4.6.1 無理分數階傳遞函數描述 100
4.6.2 基於數值Laplace反變換的仿真方法 100
4.6.3 閉環無理係統的時域響應計算 102
4.6.4 無理分數階係統的穩定性判定 103
4.6.5 數值Laplace變換 106
第5章 分數階微積分算子與係統的近似 108
5.1 基於連分式的幾種近似方法 109
5.1.1 連分式近似 109
5.1.2 Carlson近似 111
5.1.3 Matsuda-Fujii 近似 114
5.2 Oustaloup濾波器近似 115
5.2.1 常規的Oustaloup近似 115
5.2.2 一種改進的Oustaloup濾波器 120
5.3 分數階傳遞函數的整數階近似 123
5.3.1 分數階傳遞函數的高階近似 123
5.3.2 基於模型降階技術的低階近似方法 125
5.4 無理分數階模型的近似 129
5.4.1 頻域響應近似方法 130
5.4.2 Charef近似 132
5.4.3 復雜無理模型的最優Charef濾波器設計 135
第6章 多變量分數階傳遞函數矩陣的建模與分析 142
6.1 創建MATLAB的對象——FOTF類編程 143
6.1.1 定義一個FOTF類 143
6.1.2 顯示函數的編程 145
6.1.3 多變量FOTF 矩陣的輸入 146
6.2 FOTF 模塊的相互連接 147
6.2.1 Kronecker積與Kronecker和 147
6.2.2 FOTF 對象的串聯連接 147
6.2.3 FOTF 對象的並聯連接 149
6.2.4 反饋連接函數 150
6.2.5 其他支持函數的編程 152
6.2.6 FOTF 對象與同元次模型的相互轉換 154
6.3 綫性分數階係統的性質分析 155
6.3.1 穩定性分析 156
6.3.2 部分分式展開與穩定性判定 158
6.3.3 分數階係統的範數計算 159
6.4 綫性分數階係統的頻域響應分析 161
6.4.1 單變量係統的頻域響應分析 161
6.4.2 基於Nyquist圖的穩定性判定 162
6.4.3 多變量係統的對角占優分析 163
6.4.4 復雜係統結構下的頻域響應計算 166
6.4.5 多變量係統的奇異值麯綫 168
6.5 綫性分數階係統的時域分析 170
6.5.1 階躍響應與脈衝響應 170
6.5.2 分數階係統任意輸入的響應 173
6.6 同元次係統的根軌跡分析 175
第7章 綫性分數階係統的狀態方程建模與分析 178
7.1 分數階係統的狀態方程描述 178
7.2 分數階係統的狀態方程模型 179
7.2.1 FOSS 類定義與編程 179
7.2.2 FOSS 與FOTF 對象的轉換 180
7.2.3 不同基階的狀態增廣變換 182
7.2.4 FOSS 模塊的相互連接 184
7.3 分數階狀態方程模型的性質分析 187
7.3.1 穩定性判定 187
7.3.2 狀態轉移矩陣 188
7.3.3 可控性與可觀測性 190
7.3.4 可控性與可觀測性的階梯標準型 191
7.3.5 範數計算 192
7.4 分數階狀態方程模型的分析 192
7.5 分數階擴展狀態方程模型 193
7.5.1 綫性分數階擴展狀態方程模型 193
7.5.2 非綫性分數階擴展狀態方程模型 195
第8章 非綫性分數階微分方程的數值求解 197
8.1 非綫性Caputo微分方程的數值解算法 197
8.1.1 單項方程的數值解方法 198
8.1.2 多項Caputo微分方程的求解 202
8.1.3 分數階擴展狀態方程的數值求解 205
8.1.4 基於代數方程求解的微分方程算法 209
8.2 Caputo微分方程的高效高精度算法 210
8.2.1 預估方程 211
8.2.2 校正求解方法 213
8.2.3 隱式Caputo微分方程的高精度矩陣算法 215
8.3 典型分數階元件的Simulink 模塊集開發與應用 217
8.3.1 FOTF 模塊集的設計 217
8.3.2 FOTF 矩陣模塊的實現 221
8.3.3 控製問題的Simulink 求解 223
8.3.4 Simulink 仿真結果的驗證 226
8.4 零初值分數階微分方程的框圖解法 226
8.5 非零初值Caputo微分方程的框圖解法 231
8.5.1 Caputo算子模塊設計 232
8.5.2 Caputo微分方程的典型建模步驟 233
8.5.3 Caputo微分方程的更簡單建模仿真方法 235
8.5.4 分數階狀態方程的Simulink 建模 238
8.5.5 隱式分數階微分方程的數值解法 240
第9章 分數階PID控製器設計 243
9.1 分數階PID控製器概述 243
9.2 最優整數階PID控製器的設計 245
9.2.1 FOPDT 對象的整定規則 245
9.2.2 伺服控製有意義的性能指標 247
9.2.3 OptimPID——最優PID控製器設計界麵 249
9.3 基於頻域響應的分數階PID控製器設計方法 250
9.3.1 基於頻域響應的設計方法一般描述 251
9.3.2 FOPDT 受控對象的PIλDμ控製器設計 252
9.3.3 FOIDPT 對象的控製器設計 256
9.3.4 一般分數階受控對象的PIλDμ 控製器設計 257
9.3.5 PIDμ控製器的設計 258
9.3.6 FO-[PD] 控製器設計 259
9.3.7 魯棒控製器設計的其他考慮 259
9.4 基於數值尋優的最優PIλDμ 控製器的設計 260
9.4.1 最優PIλDμ 控製器設計方法 260
9.4.2 帶有延遲受控對象的最優PIλDμ 控製器設計 263
9.4.3 OptimFOPID ——最優分數階PID控製器設計界麵 266
9.5 模糊分數階PID控製器的設計與仿真 268
9.5.1 控製器參數的模糊規則 268
9.5.2 模糊分數階PID控製器的Simulink 實現 268 <

現代控製理論中的高級主題：非綫性係統與魯棒控製 簡介 本書旨在為讀者提供現代控製理論中兩個至關重要且極具挑戰性的分支領域——非綫性係統分析與設計，以及魯棒控製理論——的全麵而深入的闡述。我們聚焦於這些理論的數學基礎、關鍵分析工具以及麵嚮實際工程應用的綜閤設計方法。全書結構嚴謹，邏輯清晰，旨在使具有紮實綫性係統和基礎控製理論知識的讀者，能夠跨越理論障礙，掌握處理復雜、高維、不確定性係統的先進技術。 第一部分：非綫性係統分析與穩定性理論 非綫性係統普遍存在於物理、生物、經濟和社會係統之中。與綫性係統截然不同的動態特性，如多平衡點、極限環振蕩、混沌現象等，要求我們采用全新的分析框架。 第一章：非綫性係統的建模與基本特性 本章首先迴顧瞭描述非綫性係統的微分方程形式，並強調瞭相空間分析的重要性。我們將詳細討論以下關鍵概念： 1. 平衡點與相軌綫： 識彆係統在不同輸入條件下的穩態行為。 2. 局部綫性化與雅可比矩陣： 在平衡點附近的局部綫性化方法及其局限性。重點分析綫性化分析能揭示和不能揭示的非綫性特性（例如，中心流形理論的初步介紹）。 3. 奇異點與奇點分析： 探討係統在某些狀態下導數不明確或係統行為發生突變的情況。 第二章：李雅普諾夫穩定性理論的深化 李雅普諾夫方法是分析非綫性係統穩定性的基石。本章將超越綫性係統中的二次型李雅普諾夫函數的應用，深入探索更通用的穩定性判據。 1. 直接法（李雅普諾夫函數構造）： 介紹構造任意標量函數作為能量或度量的方法。重點講解拉薩爾不變集原理（LaSalle’s Invariance Principle），該原理在無法精確證明全局漸近穩定性的情況下，提供瞭強大的工具來確定長期行為。 2. 間接法（綫性化分析的局限性）： 重新審視間接法，特彆是當特徵值位於虛軸上（臨界情況）時，綫性化分析的不足，並引入更精細的理論工具來處理這些邊界情況。 3. 全局穩定性與有限增益穩定性： 定義並分析係統在有界輸入下的有界輸齣（BIBO）穩定性，以及更廣義的全局漸近穩定性（GAS）的概念。 第三章：特定非綫性現象的分析工具 本章聚焦於解析和識彆非綫性係統中的經典復雜行為。 1. 極限環的分析與判定： 介紹判定是否存在極限環的方法，如龐加萊-利昂納德準則（Poincaré-Liénard criterion）的推廣形式。 2. 範數生成與增益分析： 引入增益的概念，特彆是係統輸入輸齣增益（IO Gain），用於量化輸入信號對輸齣信號的放大效應，這對於設計高增益敏感係統至關重要。 3. 滑模（Sliding Mode）行為的初步探討： 作為一種非綫性控製策略的預備知識，簡要介紹在奇異麵上發生的動態行為特徵。 第二部分：魯棒控製理論與不確定性處理 現實世界的控製係統總是在存在模型不確定性、參數變化和外部擾動的情況下運行。魯棒控製的目標是設計控製器，使得係統性能在預先界定的不確定性集閤內保持可接受。 第四章：係統不確定性的建模與數學框架 魯棒控製首先要求精確地描述係統的不確定性。 1. 結構化不確定性建模： 介紹矩陣微擾模型，包括增益/相位裕度（Gain/Phase Margins）的定義，以及它們在頻域中的幾何解釋。 2. 範數與穩定性裕度： 引入H-無窮範數（$mathcal{H}_{infty}$ Norm）作為係統輸入輸齣映射的“最大增益”，它是量化係統性能和魯棒性的核心指標之一。 3. 綫性分式變換（LFT）框架： 這是連接不確定性模型與魯棒分析設計的強大工具。詳細介紹如何將復雜的結構化不確定性錶示為標準$Delta-K$（擾動-控製器）形式。 第五章：$mathcal{H}_2$ 控製與最優控製迴顧 雖然重點在於魯棒性，但$mathcal{H}_2$最優控製（LQR的頻域擴展）是理解$mathcal{H}_{infty}$控製的基礎。 1. $mathcal{H}_2$最優控製： 講解如何設計控製器以最小化特定加權信號的均方根（RMS）值，並介紹黎卡提方程的頻域解法。 2. 平滑性和可達性： 分析在設計最優控製器時，對係統動態特性和狀態可觀測性/可控性的要求。 第六章：$mathcal{H}_{infty}$ 控製器設計 本章是魯棒控製的核心，專注於如何通過頻率響應分析來保證穩定性和性能。 1. 性能與穩定性的平衡： 建立性能指標（基於輸入/輸齣加權函數$W_S, W_T$）與穩定性裕度之間的關係。 2. 求解$mathcal{H}_{infty}$控製問題： 詳細推導求解標準兩端問題的代數黎卡提方程（ARE）或代數貝剋蒂方程（ADE）。重點闡述這些方程與狀態空間模型之間的聯係，以及如何提取最優控製器$K$。 3. 控製器簡化與結構選擇： 討論全階$mathcal{H}_{infty}$控製器的高階問題，並引入次優（Reduced-Order）控製器設計，如混閤靈敏度（Mixed-Sensitivity）方法，該方法在工程實踐中最為常用，因為它允許設計者獨立地加權穩定性和跟蹤/抗擾性能。 第七章：$mu$-綜閤：結構化不確定性的分析與設計 當係統中的不確定性具有特定結構（如增益塊、參數變化）時，$mathcal{H}_{infty}$範數可能過於保守。$mu$-綜閤理論提供瞭更精確的分析工具。 1. $mu$值與穩定性裕度： 定義$mu$值作為判斷綫性分式變換（LFT）係統穩定性的精確判據，並展示其與李雅普諾夫穩定性之間的關係。 2. $mu$-綜閤的設計流程： 介紹迭代綫性化與$mathcal{H}_{infty}$綜閤交替進行的流程，用於處理規模更大的、結構化的不確定性集閤。 結論 本書的結構確保瞭從基礎的非綫性現象識彆，到處理高度不確定性的先進魯棒設計範式，讀者能夠構建起一個完整的現代控製理論知識體係。掌握這些內容，意味著具備瞭應對工程領域中最苛刻的控製挑戰的能力。

評分☆☆☆☆☆

這本書絕對是一次思維的冒險，它讓我對數學的邊界有瞭全新的認識。我一直對數學抱有濃厚的興趣，尤其是那些能夠揭示自然界深層規律的理論。在接觸到分數階微積分學之前，我以為自己對微積分的理解已經相當透徹瞭，但這本書徹底顛覆瞭我的看法。它不像我以往讀過的許多數學書籍那樣，隻是簡單地羅列公式和定理，而是深入淺齣地探討瞭分數階微積分的起源、發展以及其在不同學科中的廣泛應用。作者的敘述方式非常有感染力，他能夠將那些看似抽象的概念，通過生動形象的比喻和引人入勝的案例，變得易於理解。我尤其喜歡書中關於分數階導數和積分的幾何意義的討論，這讓我從一個全新的角度去審視那些我熟悉的數學工具。它不僅僅是提供瞭一種計算的方法，更是一種理解係統行為和動態過程的新視角。這本書的深度和廣度都令我印象深刻，它成功地將一個相對小眾的數學分支，呈現給瞭一個更廣泛的讀者群體。

評分☆☆☆☆☆

這本書就像一本關於“連接”的指南。它讓我看到瞭，原來數學並非是孤立的學科，而是相互關聯，並且能夠觸及到我們生活的方方麵麵。在閱讀的過程中，我發現分數階微積分學不僅僅是數學傢們的“玩具”，它在物理、工程、甚至生物學中都有著重要的應用。書中對分數階微積分在描述非局部現象，比如擴散過程、記憶效應、長程依賴性等方麵的獨特優勢的闡述，讓我茅塞頓開。我一直對一些復雜的物理現象感到睏惑，比如某些材料的非綫性響應，或者是生物體內的復雜反饋機製。這本書通過分數階的視角，為我提供瞭一種全新的理解這些現象的框架。它讓我意識到，我們所處的現實世界，很多時候並不是簡單的局部相互作用，而是存在著跨越時間和空間的深刻聯係，而分數階微積分恰恰是描述這種聯係的利器。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，我並不是一個數學背景非常深厚的讀者，但這本書的敘述方式卻讓我感到意外的親切。它不像某些專業書籍那樣，上來就充斥著令人生畏的符號和公式，而是從一個更宏觀的視角切入，循序漸進地引導讀者進入分數階微積分的世界。作者用瞭一種非常“講故事”的方式，講述瞭分數階微積分是如何從一個數學傢的奇思妙想，逐漸發展成為一門獨立且充滿活力的學科。我尤其欣賞書中對曆史背景的介紹，這讓我瞭解瞭那些偉大的數學傢們是如何一步步探索這個領域的，這種人文關懷讓枯燥的數學知識變得生動有趣。在理解概念方麵，作者運用瞭大量的圖示和類比，這對於像我這樣的非專業讀者來說，簡直是福音。那些復雜的積分和微分運算，在作者的圖解下，變得直觀易懂。這本書讓我覺得，即使沒有深厚的數學功底，也能領略到分數階微積分的魅力。

評分☆☆☆☆☆

對於那些渴望突破傳統思維模式，尋求更深刻理解復雜係統的人來說，這本書無疑是一份珍貴的禮物。它提供瞭一個全新的視角來審視那些我們習以為常的現象。我一直對“湧現”這個概念非常感興趣，也就是宏觀層麵的復雜行為是如何從微觀層麵的簡單交互中産生的。這本書在探討分數階控製時，就巧妙地將這個概念融入其中。它不僅僅是介紹如何設計一個分數階控製器，更是引導讀者思考，為什麼在某些情況下，傳統的整數階控製器會失效，而分數階控製器卻能展現齣驚人的魯棒性和適應性。作者的論述非常嚴謹，同時又不失啓發性，他能夠將復雜的數學概念用一種引人入勝的方式呈現齣來，讓讀者在享受閱讀樂趣的同時，也能獲得深刻的啓示。這本書讓我對“建模”和“控製”這兩個詞有瞭更深層次的理解，它激勵我去探索那些尚未被充分認識的科學領域。

評分☆☆☆☆☆

作為一名控製工程師，我一直在尋找能夠提升控製係統性能的創新方法。傳統的整數階微積分控製雖然強大，但在處理一些復雜係統，例如具有記憶效應或者長程依賴性的係統時，往往顯得力不從心。當我偶然發現《分數階微積分學與分數階控製》這本書時，我立刻被它所吸引。這本書為我打開瞭一個全新的世界。它詳細介紹瞭分數階微積分的基本概念，包括Riemann-Liouville、Caputo等分數階積分和微分的定義，以及它們在描述非局部行為方麵的優勢。更重要的是，書中提供瞭大量關於分數階PID控製器、分數階滑模控製器等在實際控製問題中的應用案例。這些案例涵蓋瞭從機器人控製到航空航天，再到生物醫學工程等多個領域，讓我看到瞭分數階控製在解決現實世界挑戰方麵的巨大潛力。這本書的實踐性很強，它不僅教會瞭我理論知識，更引導我如何將這些理論轉化為實際的控製策略，為我今後的工作提供瞭寶貴的指導。