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齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560369143

版次：1

商品編碼：12318733

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2018-03-01

用紙：膠版紙

內容簡介

It is the goal of the series Monographs in Number Theory to publish research monographs and textbooks that provide clear expositions of various tpoics in number theory .

We are grateful to Professors Bateman and Diamond for agreeing to include their analytic number theory textbook as the first volume of the series.

We hope to continue to make available advanced monorraphs for reseatchers,as well as monographs and textbooks accessible to a broader audience, including undergarduate students,garduate students,and nonexperts.

目錄

Contents

Chapter1 Introduction

Chapter2 Calculus of Arithmetic Functions

Chapter3 Summatory Functions

Chapter4 The Distribution of Prime Numbers

Chapter5 An Elementary Proof of the P.N.T

Chapter6 Dirichlet Series and Mellin Transforms

Chapter7 Inversion Formulas

Chapter8 The Riemann Zeta Function

Chapter9 Primes in Arithmetic Progressions

Chapter10 Applications of Characters

Chapter11 Oscillation Theorems

Chapter12 Sieves

Chapter13 Application of Sieves

Appendix A Results from Analysis and Algebra

Bibliography

Index of Names and Topics

Index of Symbols

數學之美：代數幾何初步 圖書簡介 書名：代數幾何初步 作者：[此處可以填寫虛構的作者姓名，如：李明, 張華] 齣版社：[此處可以填寫虛構的齣版社名稱，如：科學齣版社, 高等教育齣版社] 齣版日期：[此處可以填寫虛構的齣版日期，如：2023年10月] --- 內容概述 本書旨在為讀者提供一個紮實且直觀的代數幾何入門。代數幾何，作為連接代數（特彆是交換代數）與幾何（特彆是古典代數幾何的幾何直覺）的橋梁，是現代數學中最為核心和活躍的領域之一。它提供瞭一種強大的工具集，用於解決幾何問題，反之，幾何直覺也深刻地指導著代數結構的研究。本書的編寫遵循循序漸進的原則，從代數基礎齣發，逐步過渡到現代代數幾何的核心概念，力求在保持數學嚴謹性的同時，兼顧讀者的理解與興趣。 核心內容與結構 本書共分為六個主要部分，由淺入深，構建起代數幾何的知識體係： 第一部分：迴顧與預備知識 本部分作為基礎鋪墊，旨在確保讀者對必要的代數工具有所瞭解。我們不會深入探討數論或解析學的細節（例如，解析數論中的復雜函數分析或丟番圖方程的初等處理方法），而是聚焦於代數幾何的“語言”——交換代數。 環與理想： 詳細介紹交換環、域、整環以及理想的結構。重點闡述主理想、素理想和極大理想的概念及其相互關係，這是構建代數幾何對象的基石。 模（Modules）： 作為嚮量空間的推廣，模的概念在代數幾何中至關重要，尤其是在研究局部性質時。我們將介紹有限生成模、自由模以及 Noetherian 模的概念。 同態與商環： 深入理解環同態、核、像以及商環的構造，這直接對應於幾何中的子集和商空間。 第二部分：從集閤到代數空間 這是代數幾何的“幾何化”過程的開端。我們將從經典的代數幾何對象——代數集——齣發，引入現代代數幾何的核心結構——概形（Scheme）。 仿射代數集（Affine Algebraic Sets）： 定義在 $k^n$ 上的多項式零點集，並引入希爾伯特零點定理，建立多項式環 $k[x_1, ldots, x_n]$ 與其零點集之間的對偶關係。 紮裏斯基拓撲（Zariski Topology）： 介紹這種由代數集定義的拓撲結構，雖然它在仿射空間上不如歐幾裏得拓撲“好用”，但卻是代數幾何中不可或缺的拓撲概念。 環化（Localization）： 這是連接局部性質與整體結構的關鍵步驟。介紹局部化環的構造及其在研究奇點等局部問題上的重要性。 環與空間： 建立從環到仿射代數空間（Affine Schemes）的映射，即 Spec 構造。 第三部分：概形（Schemes）——現代代數幾何的基石 本部分將正式引入概形的概念，這是現代代數幾何的通用語言，它允許我們將幾何對象研究推廣到更一般的環（如整數環 $mathbb{Z}$）。 預層（Presheaves）與層（Sheaves）： 介紹層論的基本概念，包括限製映射和從局部數據重建整體信息的“粘閤”過程。 局部環化空間（Spec of a Ring）： 詳細構造概形 $ ext{Spec}(R)$，並賦予其結構層（Stalks）。 概形（Schemes）： 通過對 $ ext{Spec}(R)$ 的局部化，定義概形的概念，使其能夠處理更廣泛的幾何結構。我們將著重討論如何用概形來錶示整數環上的代數對象。 第四部分：態射與幾何變換 一旦有瞭幾何對象（概形），下一步就是研究它們之間的關係，即態射（Morphisms）。 態射的定義： 通過結構層之間的映射（反嚮誘導的環同態），定義概形之間的態射。 函子性： 討論從範疇（環的範疇）到範疇（概形的範疇）的自然構造，強調態射的自然性。 重要態射類型： 介紹閉浸入、開浸入、同構以及分離態射等基本類型，這些對應於拓撲學中的閉子集、開子集和同胚的概念。 第五部分：結構與性質的深入探索 本部分開始研究更高級的幾何性質，這些性質在研究麯綫、麯麵等具體對象時非常關鍵。 縴維積（Fiber Products）： 介紹縴維積的構造，它在幾何上對應於兩個對象交集的推廣。 平坦性與局部完全交性： 介紹這些代數概念在幾何上所扮演的角色，例如平坦性對應於“不相交”或“簡單相交”的性質。 奇點理論初探： 利用局部環的性質（如正則局部性）來識彆和區分代數集的奇點，這是代數幾何中一個迷人的交叉點。 第六部分：麯綫與黎曼-洛赫定理的影子 本部分將代數幾何的理論應用於經典的1維流形——代數麯綫。 光滑麯綫： 定義光滑性，並討論在域上的光滑射影麯綫的性質。 綫叢與次數（Divisors）： 介紹代數幾何中對“點集”的代數處理方式——除數，以及與之相關的綫叢（Line Bundles）。 黎曼-洛赫（Riemann-Roch）定理的動機： 雖然我們不會深入證明該定理的全部細節，但會展示其在麯綫上的核心思想，即截麵空間維度與除數次數之間的綫性關係，展示代數幾何在幾何分析中的強大威力。 本書特色 本書的特色在於強調幾何直覺與代數結構的緊密聯係。我們避免過度陷入純粹的範疇論或同調代數的復雜性，而是選擇一個較為“具體”的路徑，從最基本的仿射空間開始，引導讀者理解為什麼要引入概形這一強大的概念。書中的例題和習題設計旨在鞏固讀者對關鍵定義的理解，並鼓勵讀者在腦海中構建齣抽象概念的幾何圖像。本書適閤於具有紮實抽象代數基礎（熟悉環、域、模理論）的數學專業本科高年級學生或研究生作為入門教材。它為進一步學習更專業的領域，如代數K理論、復解析幾何或算術幾何，打下堅實的基礎。 --- 本書不包含內容說明 為確保內容聚焦於代數幾何的基礎理論與概形構造，本書特意不包含以下領域的深入討論： 1. 解析數論的專門方法： 不涉及狄利剋雷$L$函數、素數定理的解析證明、模形式（Modular Forms）的復雜結構，或橢圓麯綫（Elliptic Curves）的復分析性質（如韋爾斯特拉斯函數）。 2. 丟番圖方程的初等解法： 不會深入研究費馬大定理的初等代數證明嘗試，或使用連續分數等工具求解特定不定方程的方法。 3. 代數拓撲與微分幾何的交叉內容： 不涉及縴維叢的微分幾何構造、Chern類、上同調理論（De Rham cohomology或Čech cohomology）的詳細計算和應用，盡管它們與代數幾何的某些現代分支有深刻聯係。 4. 更高級的交換代數工具： 除非是構建概形所必需，否則不深入研究深度（Depth）、正則性（Regularity）的更深層次性質，以及復數域上的代數簇的拓撲性質（如Betti數）。 5. 算術幾何中的高階工具： 不涉及$p$-adic幾何、橢圓麯綫上的秩（Mordell-Weil 定理的算術證明）或Arakelov幾何。 本書的重點在於建立代數幾何的語言和基本框架，為讀者理解幾何對象如何通過環的結構來編碼提供清晰的路綫圖。

評分☆☆☆☆☆

我通常對數論類的書籍不太感冒，覺得它們要麼過於抽象，要麼就是堆砌公式。但《解析數論入門教程》這本書，著實讓我眼前一亮。它最吸引我的地方，在於其“由淺入深”的敘事風格。作者就像一位老朋友，用非常平實的語言，將那些原本晦澀難懂的數學概念娓娓道來。我記得在講到“梅林公式”時，作者並沒有直接給齣一個復雜的積分形式，而是先用通俗易懂的語言解釋瞭它在計算數論函數和時的意義，然後纔逐步引入公式，並給齣詳細的推導過程。這種循序漸進的學習方式，讓我這個曾經對解析數論一竅不通的人，也能逐漸感受到它的美妙。而且，書中穿插的一些曆史故事，比如關於高斯與黎曼的爭論，也讓我在學習知識的同時，瞭解瞭數學傢們探索真理的艱辛與樂趣。這本書的排版也非常人性化，關鍵的公式和定理都有醒目的標記，而且書中的插圖也非常清晰，幫助理解抽象的概念。總而言之，這是一本讓我對解析數論産生瞭濃厚興趣的書籍，它成功地將我從一個旁觀者變成瞭一個積極的參與者。

評分☆☆☆☆☆

對於我來說，一本好的數學書籍，不僅僅是能夠傳授知識，更重要的是能夠激發我的思考，讓我主動去探索。這本書在這方麵做得非常到位。作者在講解每一個定理時，都會引導我去思考它的前提條件，它的適用範圍，以及它在不同場景下的應用。比如，在講到“莫比烏斯反演”時，作者並沒有直接給齣一個結論，而是先通過幾個小例子，讓我體會到函數之間的“包含”與“排除”關係，然後纔自然地引齣莫比烏斯反演的公式。這種“引導式”的教學方式，讓我感覺自己不是在被動接受知識，而是在主動地發現知識。而且，書中對於每一個證明的講解，都非常細緻，每一個步驟都交代得很清楚，甚至會指齣一些常見的錯誤思路，這對於我這種容易犯錯的學習者來說，簡直是福音。我尤其喜歡書中的一些“思考題”，它們並不要求直接給齣答案，而是引導我去思考問題的本質，去探索更多的可能性。這本書就像一個充滿智慧的嚮導，引領我在解析數論的廣闊世界中，進行一次又一次的探索和發現。

評分☆☆☆☆☆

我一直覺得，要真正理解一個數學分支，不僅僅是記住那些定理和證明，更重要的是要體會它背後的思想和邏輯。這本書恰恰在這方麵做得非常齣色。作者在講解每一個概念的時候，都會先追溯它的起源，探討它為什麼會被提齣，以及它解決瞭什麼樣的問題。比如，在介紹“黎曼猜想”的時候，他並沒有直接給齣猜想的內容，而是花費瞭大量篇幅講述黎曼在研究素數分布時遇到的睏難，以及他如何一步步構建齣“黎曼Zeta函數”，並從中發現瞭驚人的規律。這種“知其然，更知其所以然”的講解方式，讓我對解析數論的理解不再停留在錶麵，而是能夠深入到其核心。而且，書中對於一些重要證明的講解，也並非一蹴而就，而是層層遞進，先給齣證明的大緻思路，然後再逐步細化每一步的邏輯推導，確保讀者能夠跟得上。我尤其欣賞的是，作者在講解過程中，會時不時地引用一些著名的數學傢對於數論的看法和感悟，這讓這本書的學術氛圍更加濃厚，也讓我感受到數學的魅力不僅在於邏輯的嚴謹，更在於思想的閃光。對我而言，這本書更像是一位經驗豐富的導師，在我迷茫時，指點迷津，在我取得小進步時，給予鼓勵。

評分☆☆☆☆☆

《解析數論入門教程》這本書，我拿到手的時候，確實被它嚴謹的排版和清晰的目錄吸引瞭。翻開第一頁，就被作者那種“潤物細無聲”般的引導方式徵服瞭。他並沒有上來就丟一堆復雜的公式和定理，而是從一些非常基礎的概念開始，比如素數的分布，然後再逐步引申到更深層次的討論。我尤其喜歡他講到“歐拉乘積公式”那一段，他用瞭一個非常形象的比喻，將原本抽象的無窮乘積和素數一一對應起來，讓我這個初學者也能一下子抓住核心思想。而且，書中穿插的許多曆史典故和人物傳記，也讓學習過程變得生動有趣，感覺像是跟著數學傢們一起在曆史的長河中探索。我之前對數論一直有點畏懼，覺得它離我們生活太遠，但這本書卻用一種非常接地氣的方式，讓我看到瞭數論在密碼學、編碼理論等方麵的應用，這極大地激發瞭我進一步學習的興趣。書中的習題設計也相當巧妙，有的是概念性的理解題，有的是需要簡單推導的計算題，難度循序漸進，能很好地鞏固所學知識，而且答案解析也非常詳細，遇到不懂的地方，對照著就能豁然開朗。整體來說，這是一本非常適閤新手入門的書籍，它不僅傳授瞭知識，更重要的是培養瞭學習的興趣和信心。

評分☆☆☆☆☆

這本書的獨特之處在於，它並沒有刻意追求理論的完備性，而是以一種“精講多練”的方式，讓讀者在解決問題的過程中逐漸掌握理論。書中對於每一個重要概念的引入，都會伴隨著相關的例題，而且這些例題的難度跨度很大，從最簡單的應用題，到需要一些巧妙思路纔能解決的綜閤題。我特彆喜歡書中關於“狄利剋雷捲積”的講解，作者先是給齣其定義，然後就給齣瞭一係列練習題，從最基礎的計算，到利用狄利剋雷捲積推導一些數論函數之間的關係。在做這些練習題的過程中，我發現自己對狄利剋雷捲積的理解越來越深刻，甚至能夠自己想齣一些新的應用。而且，書中的某些章節，作者會跳齣純粹的理論框架，去探討一些“開放性”的問題，比如“哥德巴赫猜想”的現狀和研究思路。這種將理論與前沿研究相結閤的方式，讓我看到瞭解析數論這個領域充滿活力和無限可能。總的來說，這本書就像一個精心設計的闖關遊戲，每一個關卡都充滿挑戰，但也伴隨著豐厚的奬勵，讓我在不斷剋服睏難的過程中，不斷提升自己的能力。