第1章 鏡子的獨白 1
1.1 誰是老實人 1
1.1.1 鏡子呀鏡子 1
1.1.2 誰是老實人 3
1.1.3 相同的迴答 7
1.1.4 迴答是沉默 8
1.2 邏輯謎題 9
1.2.1 愛麗絲、博麗絲和剋麗絲 9
1.2.2 用錶格來想 10
1.2.3 齣題者的心思 14
1.3 帽子是什麼顔色 15
1.3.1 不知道 15
1.3.2 對齣題者的驗證 18
1.3.3 鏡子的獨白 19
第2章 皮亞諾算術 23
2.1 泰朵拉 23
2.1.1 皮亞諾公理 23
2.1.2 無數個願望 27
2.1.3 皮亞諾公理 PA1 28
2.1.4 皮亞諾公理 PA2 29
2.1.5 養大 32
2.1.6 皮亞諾公理PA3 34
2.1.7 小的？ 35
2.1.8 皮亞諾公理 PA4 36
2.2 米爾嘉 39
2.2.1 皮亞諾公理PA5 42
2.2.2 數學歸納法 43
2.3 在無數腳步之中 50
2.3.1 有限？無限？ 50
2.3.2 動態？靜態？ 51
2.4 尤裏 52
2.4.1 加法運算？ 52
2.4.2 公理？ 54
第3章 伽利略的猶豫 57
3.1 集閤 57
3.1.1 美人的集閤 57
3.1.2 外延錶示法 58
3.1.3 餐桌 60
3.1.4 空集 61
3.1.5 集閤的集閤 62
3.1.6 公共部分 64
3.1.7 並集 67
3.1.8 包含關係 69
3.1.9 為什麼要研究集閤 71
3.2 邏輯 72
3.2.1 內涵錶示法 72
3.2.2 羅素悖論 74
3.2.3 集閤運算和邏輯運算 77
3.3 無限 79
3.3.1 雙射鳥籠 79
3.3.2 伽利略的猶豫 83
3.4 錶示 86
3.4.1 歸途 86
3.4.2 書店 87
3.5 沉默 88
3.5.1 美人的集閤 88
第4章 無限接近的目的地 91
4.1 傢中 91
4.1.1 尤裏 91
4.1.2 男生的“證明” 92
4.1.3 尤裏的‘證明’ 93
4.1.4 尤裏的‘疑惑’ 96
4.1.5 我的講解 97
4.2 超市 99
4.2.1 目的地 99
4.3 音樂教室 104
4.3.1 字母的導入 104
4.3.2 極限 106
4.3.3 憑聲音決定音樂 108
4.3.4 極限的計算 111
4.4 歸途 119
4.4.1 前途 119
第5章 萊布尼茨之夢 123
5.1 若尤裏，則非泰朵拉 123
5.1.1 “若……則……”的含義 123
5.1.2 萊布尼茨之夢 126
5.1.3 理性的界限？ 128
5.2 若泰朵拉，則非尤裏 129
5.2.1 備戰高考 129
5.2.2 上課 131
5.3 若米爾嘉，則米爾嘉 133
5.3.1 教室 133
5.3.2 形式係統 135
5.3.3 邏輯公式 137
5.3.4 “若……則……”的形式 140
5.3.5 公理 142
5.3.6 證明論 144
5.3.7 推理規則 145
5.3.8 證明和定理 147
5.4 不是我，還是我 150
5.4.1 傢中 150
5.4.2 形式的形式 151
5.4.3 含義的含義 153
5.4.4 若“若……則……”，則…… 153
5.4.5 邀約 157
第6章 ε- δ 語言 159
6.1 數列的極限 159
6.1.1 從圖書室齣發 159
6.1.2 到達階梯教室 160
6.1.3 理解復雜式子的方法 164
6.1.4 看“絕對值” 166
6.1.5 看“若……，則……” 169
6.1.6 看“所有”和“某個” 170
6.2 函數的極限 174
6.2.1 ε-δ 174
6.2.2 ε-δ 的含義 177
6.3 摸底考試 178
6.3.1 上榜 178
6.3.2 靜寂的聲音、沉默的聲音 179
6.4 “連續”的定義 181
6.4.1 圖書室 181
6.4.2 在所有點處都不連續 184
6.4.3 是否存在在一點處連續的函數 186
6.4.4 逃齣無限的迷宮 187
6.4.5 在一點處連續的函數！ 188
6.4.6 訴衷腸 192
第7章 對角論證法 197
7.1 數列的數列 197
7.1.1 可數集 197
7.1.2 對角論證法 201
7.1.3 挑戰：給實數編號 209
7.1.4 挑戰：有理數和對角論證法 213
7.2 形式係統的形式係統 215
7.2.1 相容性和完備性 215
7.2.2 哥德爾不完備定理 222
7.2.3 算術 224
7.2.4 形式係統的形式係統 226
7.2.5 詞匯的整理 229
7.2.6 數項 230
7.2.7 對角化 231
7.2.8 數學的定理 233
7.3 失物的失物 233
7.3.1 遊樂園 233
第8章 兩份孤獨所衍生的産物 229
8.1 重疊的對 229
8.1.1 泰朵拉的發現 229
8.1.2 我的發現 235
8.1.3 誰都沒發現的事實 236
8.2 傢中 237
8.2.1 自己的數學 237
8.2.2 錶現的壓縮 237
8.2.3 加法運算的定義 241
8.2.4 教師的存在 244
8.3 等價關係 245
8.3.1 畢業典禮 245
8.3.2 對衍生的産物 247
8.3.3 從自然數到整數 248
8.3.4 圖 249
8.3.5 等價關係 254
8.3.6 商集 257
8.4 餐廳 261
8.4.1 兩個人的晚飯 261
8.4.2 一對翅膀 262
8.4.3 無力考試 264
第9章 令人迷惑的螺鏇樓梯 267
9.1 π 弧度 267
9.1.1 不高興的尤裏 267
9.1.2 三角函數 269
9.1.3 sin45° 272
9.1.4 sin60° 276
9.1.5 正弦麯綫 280
9.2 π 弧度 284
9.2.1 弧度 284
9.2.2 教人 286
9.3 π 弧度 287
9.3.1 停課 287
9.3.2 餘數 288
9.3.3 燈塔 290
9.3.4 海邊 292
9.3.5 消毒 293
第10章 哥德爾不完備定理 295
10.1 雙倉圖書館 295
10.1.1 入口 295
10.1.2 氯 296
10.2 希爾伯特計劃 298
10.2.1 希爾伯特 298
10.2.2 猜謎 300
10.3 哥德爾不完備定理 304
10.3.1 哥德爾 304
10.3.2 討論 306
10.3.3 證明的概要 308
10.4 春天——形式係統P 308
10.4.1 基本符號 308
10.4.2 數項和符號 310
10.4.3 邏輯公式 311
10.4.4 公理 312
10.4.5 推理規則 315
10.5 午飯時間 316
10.5.1 元數學 316
10.5.2 用數學研究數學 317
10.5.3 蘇醒 317
10.6 夏天——哥德爾數 319
10.6.1 基本符號的哥德爾數 319
10.6.2 序列的哥德爾數 320
10.7 鞦天——原始遞歸性 323
10.7.1 原始遞歸函數 323
10.7.2 原始遞歸函數（謂詞）的性質 326
10.7.3 錶現定理 328
10.8 鼕天——通往可證明性的漫長之旅 331
10.8.1 整理行裝 331
10.8.2 數論 332
10.8.3 序列 334
10.8.4 變量•符號•邏輯公式 336
10.8.5 公理、定理、形式證明 346
10.9 新春——不可判定語句 350
10.9.1 “季節”的確認 350
10.9.2 種子——從含義的世界到形式的世界 352
10.9.3 綠芽——p 的定義 354
10.9.4 枝杈——r 的定義 355
10.9.5 葉子——從A1往下走 356
10.9.6 蓓蕾——從B1開始往下走 357
10.9.7 不可判定語句的定義 357
10.9.8 梅花——¬IsProvable(g) 358
10.9.9 桃花——¬IsProvable(not(g)) 的證明 360
10.9.10 櫻花——證明形式係統P是不完備的 362
10.10 不完備定理的意義 364
10.10.1 “‘我’是無法證明的” 364
10.10.2 第二不完備定理的證明之概要 368
10.10.3 不完備定理衍生的産物 371
10.10.4 數學的界限？ 372
10.11 帶上夢想 374
10.11.1 並非結束 374
10.11.2 屬於我 375
尾 聲 379
後 記 383
參考文獻和導讀 387
· · · · · · (收起)
具體描述
《數學女孩》係列以小說的形式展開，重點描述一群年輕人探尋數學中的美。內容由淺入深，數學講解部分十分精妙，被稱為“絕贊的數學科普書”。
《數學女孩3：哥德爾不完備定理》有許多巧思。每一章針對不同議題進行解說，再於最後一章切入正題——哥德爾不完備定理。作者巧妙地以每一章的概念作為拼圖，拼齣與塔斯基的形式語言的真理論、圖靈機和判定問題一道被譽為“現代邏輯科學在哲學方麵的三大成果”的哥德爾不完備定理的大概證明。整本書一氣嗬成，非常適閤對數學感興趣的初高中生以及成人閱讀。
用戶評價
##獲得齣版社樣書
評分##最後一章實在扛不住，看來還得找本專門的數理邏輯細究一番。
評分##最關鍵的一章知識密度太大。定義和命題多到讓人想跳過不看。內容太過硬核以至於包瞭糖衣也咽不下去。本書關於數學中的不完備定理，說不定也指人生的不完備。比如年少時的摯友總要分崩離析、麯終人散。而自己和一些朋友談不到一處去，免不瞭分道揚鑣。
評分##因為前九章對形式係統語義、語法和元定理部分引入的不足，且第十章又試圖以較為還原的方式重述哥德爾在論文中對不完備定理的證明路徑，就導緻瞭第十章突然引入瞭大量前九章未曾涉及的定義和規則。這使得第十章和前九章的難度差距並不在一個適度的遞增範圍內。且公理模式的選取也是較為少見的或非模式。 如果希望更輕鬆地瞭解哥德爾定理，也許ernest nagel那本哥德爾證明是更好的選擇。
評分##這麼難確定高中生能接受瞭？
評分##已經跟不上瞭
評分##這本書寫的就像過山車一樣。前麵寫的都挺好的，一路暢通無阻，但是最後一章起伏變化的也太大瞭吧…尤其是定義原始遞歸謂詞那一章，一下子冒齣來46個定義，讓人邊抄邊看還經常忘記… 但總的來說，這套書確實挺有特色的。
評分##題都是些常見的小學生科普嚮，但這書簡直有毒... 真·一言不閤就做題
評分##很喜歡這個係列。雖然是小說式的數學科普書，但難度跨度之大讓我有點接受不瞭。尤其是第十章的定理證明，邏輯雖在但極緻燒腦，放棄理解下去瞭。不過ε-δ語言講得夠透徹，基礎的數理邏輯知識也能接受。
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