第一章 曆史概述
S1.1 歐幾裏得幾何
1.1.1 《幾何原本》的學術背景
1.1.2 幾何學——古希臘數學的主體
1.1.3 演繹證明的範本
S1.2 皮亞諾(Peano) 自然數理論
1.2.1 分析數學——數學的新階段
1.2.2 分析數學的基礎危機
1.2.3 分析算術化
1.2.4 分析數學中的無限
1.2 附1 幾何學自身的重大變革
1.2 附2 虛數是怎樣進入數學的
1.2 附3 皮亞諾算術的適當展開
S1.3 ZFC 集論
1.3.1 康托爾集論與集論誕生時期的風暴
1.3.1 附1 康托爾辯辭錄: 數學的自由與製約
1.3.1 附2 戴德金為創建集論所作的貢獻
1.3.2 集論悖論與基礎危機
1.3.3 數學可否歸為邏輯
1.3.4 直覺主義簡介
1.3.5 希爾伯特規劃與哥德爾不完備性定理
1.3.6 ZFC 集論脫穎而齣
S1.4 本章小結
第二章 邏輯準備
S2.1 命題演算初步
2.1.1 命題連接詞
2.1.2 真值錶與永真式
2.1.3 真值方程組
$^*$2.1.4 命題連接詞的完全組
S2.2 謂詞演算簡介
2.2.1 謂詞演算語言
2.2.2 什麼是數學證明
2.2.3 數學形式係統舉例——形式算術
第三章 集論基本概念
S3.1 ZF 語言
S3.2 外延公理與內涵公理
S3.3 無序對公理
S3.4 並集公理與冪集公理
S3.5 關係與映射
3.5.1 Descartes 積(Cartesian product) 集
3.5.2 關係
3.5.3 映射(函數)
3.5.3 附 單值化原則
S3.6 無限公理
3.6.1 最小歸納集omega $
3.6.2 歸納定義
3.6.3 鴿籠原理
第四章 什麼是實數
S4.1 等價關係與分類
4.1.1 等價關係
4.1.2 等價類
4.1.3 選代錶原則與選擇公理
S4.2 bf N ^2$ 的一個重要分類
4.2 附 由哪些自然數性質推齣瞭整數性質
S4.3 重要練習一:bf Z imes (f Z - )$ 的一個分類
S4.4 算術超濾與算術模型
4.4.1 bf N $ 上的濾子與超濾
4.4.2 超濾變換
4.4.3 用非主算術超濾構造的算術模型
4.4.4 自然數數列的延伸
4.4.5 小結
S4.5 一種特殊的非Archimedes 序域------ 從$^ast hN$ 到$^*hQ$
S4.6 重要練習二: bf Q _<$ 的一個分類
S4.7 什麼是實數
第五章 結構與模型
S5.1 結構的概念與語言
S5.2 同構與同態
S5.3 理論與模型
5.3 附1 完備序域的(同構) 唯一性
5.3 附2 模型原理
5.3 附3 $^*f N $ 對bf N $ 的保真性
第六章 勢
S6.1 等勢
S6.2 不同大小的實無限
S6.3 Cantor-Bernstein 定理
S6.4 關於可數集的結論
6.4 附 可數集性質的另一常用錶述
S6.5 勢的性質與選擇公理
S6.6 連續統假設
第七章 良序結構與超限歸納法
S7.1 偏序
S7.2 全序
S7.3 良序
7.3 附 良序指標集
S7.4 超限歸納法
S7.5 關於結構delimiter "426830A omega ,in delimiter "526930B $ 的練習
第八章 序數
S8.1 序數的概念及一般性質
S8.2 後繼序數與極限序數
S8.3 替換公理
S8.4 關於序數的超限歸納法
8.4 附 bf On $ 上的遞歸定義
S8.5 集的號碼庫——Hartogs 數
S8.6 正則公理
8.6 附 集宇宙的形象
第九章 選擇公理
S9.1 選擇公理的特殊性
S9.2 良序原理
S9.3 Zorn 引理
S9.4 選擇公理的地位及應用例子(濾子擴張原則)
第十章 基數
S10.1 基數概念
S10.2 基數算術
10.2附1 序數與基數的加乘運算的關係
10.2附2 連續統假設(CH) 蘊涵非主算術超濾存在
*S10.3 正則基數與奇異基數
S10.4 基數計算例子:omega $ 上超濾空間有多大
第十一章 結束語
部分練習題與思考題提示或解答
參考文獻
名詞匯集
符號匯集
· · · · · · (收起)
具體描述
本書在介紹數學基礎的曆史之後，係統講述現代數學主體的基礎-ZFC集論，其中重點詳述四種數（自然數、實數、序數和基數）的理論。實數的構造與傳統的Dedekind分割和Cantor基本序列等構造方法不同，采用瞭算術超濾分數構造法。
本書適閤高等學校數學類專業本科生或研究生用作教材或教學參考書，也可供哲學和理工科其他專業的師生或研究人員參考。
用戶評價
##後麵幾章的證明不夠嚴謹，不過總的來說是一本好書，作者也很用心。 超濾什麼的有點難，感覺可以直接跳過。 比較適閤哲學係學生吧。
評分##無能勸退
評分##是真的“數學基礎”，是整個數學大廈的基礎，包括集閤論、數理邏輯初步、實數理論這些。可能自己的數學學到一定程度就會跟當年第二次數學危機産生時那樣，懷疑已有的那些拿來就用的東西是否是正確的，這本書都一一作瞭解答。同時我也對“實變函數學十遍”有瞭新的理解，不僅僅是因為它難，而且它也是好多數學分支的基礎，每次都要重新學一遍。
評分##很好的集閤論，邏輯入門書。不過中間一些算數超濾構造實數算是作者私貨，可適當跳過。
評分##無能勸退
評分##後麵幾章的證明不夠嚴謹，不過總的來說是一本好書，作者也很用心。 超濾什麼的有點難，感覺可以直接跳過。 比較適閤哲學係學生吧。
評分##是真的“數學基礎”，是整個數學大廈的基礎，包括集閤論、數理邏輯初步、實數理論這些。可能自己的數學學到一定程度就會跟當年第二次數學危機産生時那樣，懷疑已有的那些拿來就用的東西是否是正確的，這本書都一一作瞭解答。同時我也對“實變函數學十遍”有瞭新的理解，不僅僅是因為它難，而且它也是好多數學分支的基礎，每次都要重新學一遍。
評分##【已存櫃】 p136標題“Q的完備性”或應是R的完備性
評分##好書啊。前麵邏輯的內容有些不清楚粗糙看看還行。超濾構造實數那塊看看就好瞭，，講真初學者怎麼可能提前接觸過過超濾這東西（簡單的拓撲都沒接觸過），
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