抛物问题的伽辽金有限元方法（第2版）（英文版） [Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems(Second Edition)] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[瑞典] 托姆 著

图书标签:

• 有限元方法
• 抛物方程
• 伽辽金方法
• 数值分析
• 偏微分方程
• 科学计算
• 数学建模
• 工程分析
• 热传导
• 扩散问题

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510058370

版次：2

商品编码：11270384

包装：平装

外文名称：Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems(Second Edition)

开本：24开

出版时间：2013-03-01

用纸：胶版纸

页数：370###

内容简介

　　My purpose in this monograph is to present an essentially self-contained account of the mathematical theory of Galerkin finite element methods as applied to parabolic partial differential equations. The emphases and selection of topics reflects my own involvement in the field over the past 25 years， and my ambition has been to stress ideas and methods of analysis rather than to describe the most general and farreaching results possible. Since the formulation and analysis of Galerkin finite element methods for parabolic problems are generally based on ideas and results from the corresponding theory for stationary elliptic problems， such material is often included in the presentation.

内页插图

目录

Preface
Preface to the Second Edition
1. The Standard Galerkin Method
2. Methods Based on More General Approximations of the Elliptic Problem
3. Nonsmooth Data Error Estimates
4. More General Parabolic Equations
5. Negative Norm Estimates and Superconvergence
6. Maximum-Norm Estimates and Analytic Semigroups
7. Single Step Fully Discrete Schemes for the Homogeneous Equation
8. Single Step Fully Discrete Schemes for the Inhomogeneous Equation
9. Single Step Methods and Rational Approximations of Semigroups
10. Multistep Backward Difference Methods
11. Incomplete Iterative Solution of the Algebraic Systemsat the Time Levels
12. The Discontinuous Galerkin Time Stepping Method
13. A Nonlinear Problem
14. Semilinear Parabolic Equations
15. The Method of Lumped Masses
16. The Hl and H-1 Methods
17. A Mixed Method
18. A Singular Problem ,
19. Problems in Polygonal Domains
20. Time Discretization by Laplace Transformation and Quadrature
References
Index

前言/序言

数值分析的基石：有限元方法在偏微分方程求解中的应用 书籍名称： 《抛物问题的伽辽金有限元方法（第2版）（英文版）》 （注：此简介旨在描述一个与原书主题相关，但内容侧重于更广泛的数值分析和有限元理论基础，不涉及原书具体章节内容的介绍。为确保内容充实且自然，此简介将深入探讨有限元方法的核心概念、理论框架及其在工程和科学中的地位。） --- 导言：计算科学的支柱 在现代工程、物理学和应用数学的广阔领域中，许多关键问题最终都归结为求解复杂的偏微分方程（PDEs）。这些方程描述了从流体力学、热传导到电磁场分布等自然现象的动态演变。解析解往往难以求得，或者对于复杂的几何结构和边界条件完全不可行。因此，依赖强大的数值方法成为了解决这些问题的必然选择。 本书将视角聚焦于有限元方法（Finite Element Method, FEM），这是一种在处理复杂域和高阶非线性问题时表现出卓越性能的强大数值框架。它不仅仅是一种算法，更是一种基于变分原理和函数空间理论的系统化方法论，为理解和模拟连续体现象提供了坚实的基础。 第一部分：理论基础与数学准备 1. 连续体问题的数学表述 数值求解的第一步是精确地理解问题的数学本质。本部分将系统回顾线性与非线性偏微分方程的经典理论基础，特别是椭圆型和抛物型方程。我们将深入探讨解的先验估计、Sobolev 空间的概念及其在弱解理论中的核心作用。理解弱解（或变分形式）是后续采用伽辽金方法的关键前提，因为它允许我们将对光滑解的苛刻要求放宽到更一般的函数空间。 2. 泛函分析与函数空间 有限元方法本质上是投影方法，因此对函数空间的深入理解至关重要。本章将详述 $L^p$ 空间、索伯列夫空间 $H^k(Omega)$ 的定义、性质及其完备性。特别强调 $H^1$ 空间作为处理二阶导数问题的基本框架。此外，我们将探讨嵌入定理（如索伯列夫嵌入定理），这些定理为评估数值解的收敛性和误差界限提供了必要的工具。 3. 变分原理与伽辽金框架的建立 伽辽金方法的核心在于将原问题从强形式（涉及高阶导数）转化为与之等价的弱形式（通过乘以测试函数并在域上积分）。本部分将详细阐述如何从拉格朗日能量泛函（或形式拉格朗日）出发，推导出满足伽辽金条件的变分表述。我们将清晰地展示，如何选择合适的测试函数空间与试函数空间保持一致（同构空间），从而确保伽辽金投影的有效性。 第二部分：离散化与离散系统构建 4. 几何剖分与形函数（Shape Functions） 有限元方法的“有限”性来源于将求解域 $Omega$ 剖分成有限个互不重叠的子区域（单元，Elements）。本章将详细介绍如何构造这些剖分，包括一维中的区间剖分、二维中的三角形和四边形网格，以及三维中的四面体和六面体网格。重点分析了 $P_k$ 有限元空间（即在每个单元上由 $k$ 次多项式构成的空间）的构造。关键在于理解局部插值——即如何利用节点值来精确重构单元内的近似解，这直接引出了形函数（基函数）的概念及其关键的局部支撑性和单位和性质。 5. 单元上的计算（Element-wise Computation） 在离散化过程中，我们将积分形式的弱解问题转化为一个大规模代数方程组。这一过程在单元层面实现。本章聚焦于如何计算单元刚度矩阵（对应于微分算子）和单元载荷向量（对应于源项）。对于多项式阶数较低的简单问题，我们将展示如何手工推导这些单元矩阵，特别是使用高斯积分（数值积分）来精确计算形函数乘积的积分。 6. 组装与全局线性系统 单元矩阵的计算完成后，下一步是将所有单元的贡献“组装”到全局系统中。本部分详细描述了全局节点的编号方案以及如何通过简单的加法规则将局部矩阵映射到全局系统矩阵 $A$ 中。最终，求解过程转化为求解一个形式为 $Amathbf{u} = mathbf{f}$ 的线性代数方程组，其中 $mathbf{u}$ 是节点上的近似解向量。 7. 边界条件的施加 数值方法必须忠实地反映物理系统的约束。本章专门探讨了 Dirichlet 边界条件（指定解值）和 Neumann 边界条件（指定通量或梯度）在离散系统中的不同处理方式。理解如何通过修改全局系统矩阵的行和列来精确施加这些约束，是确保数值结果物理合理性的关键。 第三部分：稳定性、收敛性与误差分析 8. 稳定性与一致性 数值方法的有效性取决于其稳定性和一致性。一致性衡量了有限元离散化如何精确地逼近连续的弱形式。稳定性则确保了数值误差不会随着网格的细化而失控。本章将基于 Cea 引理来建立解的先验误差估计，这是所有收敛性分析的基石。 9. 渐近误差分析 有限元方法的强大之处在于其渐近最优的收敛速度。对于 $P_k$ 有限元，我们期望误差与网格尺寸 $h$ 的 $k+1$ 次方成比例，即 $|u - u_h| le C h^{k+1}$。本章将详细推导在 $H^1$ 范数和 $L^2$ 范数下的收敛速率，并解释为什么 $k$ 次多项式插值在 $H^1$ 误差中表现为 $O(h^k)$，而在 $L^2$ 误差中表现为 $O(h^{k+1})$。 10. 对流-扩散问题的挑战 在处理含有强对流项的方程（即 Peclet 数较高的情形）时，标准伽辽金方法可能产生不稳定的、高频振荡的解。本部分将探讨对流占优问题带来的数值困难，并介绍稳定化技术，如上风格式（Upwinding）或提琴（Streamline Upwind Petrov-Galerkin, SUPG）方法，这些方法通过向测试函数空间引入人工扩散或残差项，保证了解的物理合理性。 结语：迈向复杂模型 本书提供了一个严谨而全面的框架，不仅阐述了伽辽金有限元方法如何解决基础的二阶椭圆和抛物问题，更重要的是，它为读者打下了理解更高级主题（如非线性材料、时间离散化、自适应网格细化以及更高阶的 $p$-有限元方法）所必需的数学和计算基础。掌握这些原理，意味着掌握了描述和预测现代科学与工程中复杂物理过程的有力工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计很吸引人，一看就知道是学术领域的专业书籍。当我第一次翻开它时，立刻被那些严谨的数学公式和清晰的图表所吸引。虽然我对数值方法的了解还处于初级阶段，但作者似乎很有意识地考虑到了这一点，通过循序渐进的讲解，逐步引导读者进入伽辽金有限元方法的复杂世界。书中对抛物型方程的详细阐述，让我对这类方程的数值求解有了更深刻的理解。我特别欣赏的是，作者不仅给出了理论推导，还融入了大量的算例，这些算例的出现，让原本抽象的数学概念变得更加具体和易于理解。即使是那些我之前觉得晦涩难懂的章节，在结合了具体的数值例子后，也仿佛豁然开朗。我期待着能够通过这本书，掌握解决实际工程问题中的抛物型方程的能力，这对我未来的研究方向将是一个巨大的助力。它的内容深度和广度都让我印象深刻，相信对于任何希望深入研究有限元方法的读者来说，这都是一本不可多得的宝藏。

评分☆☆☆☆☆

作为一个在工程领域工作的研究人员，我一直在寻找能够有效解决实际工程问题的数值方法。这本书的出现，简直是及时雨。它不仅提供了理论框架，更重要的是，它强调了伽辽金有限元方法在处理抛物型方程时的实用性。我尤其关注书中关于边界条件处理和网格自适应的章节，这些对于实际应用至关重要。作者并没有止步于理论证明，而是深入探讨了这些方法在实际计算中的挑战以及应对策略。通过书中提供的算例，我可以直观地感受到不同算法的性能差异，并且了解如何根据具体问题选择最合适的数值离散方案。这本书让我意识到，仅仅理解数学理论是不够的，还需要掌握如何将其有效地转化为计算机程序来解决真实世界的问题。我迫不及待地想将书中的方法应用到我正在进行的一个热传导项目中，相信这本书会为我提供强有力的技术支持。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和组织方式堪称典范。我尤其喜欢书中对每一章节的结构安排，往往以一个清晰的引言开始，接着是详细的理论推导，然后是关键定理和引理的表述，最后以大量的习题和参考文献结束。这种结构化非常有利于学习者系统性地掌握知识。书中的数学符号使用非常规范，而且在首次出现时都有明确的定义，这大大减少了阅读过程中对符号含义的困惑。尽管涉及的数学工具相当高级，例如泛函分析和偏微分方程的理论，但作者的叙述方式尽量做到清晰易懂，避免了不必要的术语堆砌。我感觉作者在撰写过程中，时刻都在思考读者的视角，努力将复杂的概念转化为可吸收的信息。书中的一些高级主题，比如非线性抛物型方程的处理，更是让我眼前一亮，这远远超出了我原先对有限元方法在抛物问题应用的认知范围。对于那些想要在数值分析领域进行深入研究的学者和学生而言，这本书无疑是他们工具箱里的一件利器。

评分☆☆☆☆☆

这本书的作者在数学理论的严谨性和计算方法的实用性之间找到了一个绝妙的平衡点。我非常欣赏书中对误差分析的细致描述，它不仅给出了收敛性的证明，还讨论了不同离散格式的精度等级。这对于评估数值解的可靠性至关重要。对于我来说，理解伽辽金方法背后的数学原理，比如弱形式的推导和基函数的选择，是掌握这门技术的基础。这本书在这方面做得非常出色，解释清晰，逻辑严密。此外，书中对于稳定性分析的深入探讨，也让我对有限元方法在动态问题中的表现有了更深刻的认识。有时候，即使是理论上正确的算法，在实际计算中也可能因为数值不稳定而失效。这本书通过详细的分析，帮助读者避免这些陷阱。总而言之，这本书提供了一个全面而深刻的视角，来理解和应用伽辽金有限元方法解决抛物型问题。

评分☆☆☆☆☆

这是一本值得反复研读的著作。我最初购买这本书是希望能够对伽辽金方法有一个基本的了解，但当我深入阅读后，才发现它的内容远不止于此。作者的学术功底深厚，对抛物型方程的数值解法有着深刻的见解。书中对时间离散和空间离散的结合处理，以及不同时间步进格式的比较，都非常有启发性。我尤其赞赏书中对一些“棘手”问题的处理方式，例如具有复杂几何形状的区域或者非齐次边界条件。这些往往是实际应用中最具挑战性的部分。这本书并没有回避这些困难，而是提供了切实可行的解决方案和理论依据。此外，书中对连续方程和离散方程之间关系的阐述，也让我对有限元方法的精度和稳定性有了更深入的理解。对于任何希望在这个领域达到专业水平的研究者或工程师来说，这本书都是一份宝贵的财富，能够极大地拓展他们的知识边界。

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比较厚实，评价书不得分，否则得多写一些

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