平面几何专题研究 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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郭小全 著

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• 几何
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• 高中数学
• 竞赛数学
• 解题技巧
• 专题研究
• 基础知识

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560340869

版次：1

商品编码：11315892

包装：平装

开本：16开

出版时间：2013-06-01

用纸：胶版纸

页数：525

字数：613000

正文语种：中文

内容简介

　　《平面几何专题研究》通过大量的几何定理和命题归纳出一道具有代表性的命题，给出了多种证法，从不同的证法和回顾证法过程中，得出一系列的方法和命题。
　　《平面几何专题研究》可供中学数学师生和业余数学爱好者参考使用。

目录

第1章 基本概论及方法
1.1 主要定义、公理和公设
1.2 数学证明
1.3 定理（或命题）四种变化及举一反三
1.4 结论的位置
1.5 结论的转化形式
1.6 辅助线的证题思想
1.7 几何图形的辅助线
1.8 定理（或命题）的常见图形
1.9 直接证法
1.10 间接证法
1.11 解析法
1.12 三角法
1.13 代数法
1.14 演变法
1.15 演绎法和归纳法

第2章 证题法的一般规律
2.1 定理（或命题）的多证法
2.2 常见辅助线和常用定理
……
第3章 专题多证法实例
实证法引出的一些定理
编辑手记

前言/序言

《几何的奇思妙想：从欧几里得到高维空间》 本书将带领读者踏上一段穿越时空、探索几何奥秘的奇妙旅程。我们不局限于平面二维的束缚，而是放眼更广阔的几何天地，从最基础的概念出发，逐步深入到令人惊叹的抽象领域。 第一章：几何的起源与欧几里得的遗产 我们将从古希腊文明的璀璨星空下，回顾几何学的萌芽。从巴比伦和埃及的实用测量，到毕达哥拉斯学派对数与形的神秘关联的探索，再到欧几里得《几何原本》的伟大集结，我们会详细解读这部奠定西方几何学基石的巨著。我们将不仅仅是罗列定理，而是尝试理解欧几里得严谨的公理化体系是如何构建的，它为何能成为数千年来科学思维的典范。我们会深入探讨平行公理的独特地位，以及它在历史长河中引发的无数思考与质疑，为后续非欧几何的诞生埋下伏笔。 第二章：代数与几何的联姻——解析几何的诞生 当笛卡尔的笔尖在坐标纸上划下第一道轨迹，几何的表达方式便迎来了革命性的变革。本章将深入剖析解析几何的核心思想：如何用代数方程来描述和研究图形，以及如何用几何直观来理解代数关系。我们将重温直线、圆、椭圆、双曲线等基本曲线的代数方程，并探讨其几何性质。同时，我们也会介绍三维空间中的解析几何，包括平面和直线方程，以及它们之间的关系，领略代数工具在解决几何问题上的强大力量。 第三章：曲线的语言——微分几何的魅力 曲线不再仅仅是点与点的连线，而是拥有了内在的“弯曲”和“扭转”的属性。本章将引入微分几何的概念，探索曲线的切线、法线、曲率等重要性质。我们会学习如何利用微积分的工具来精确描述曲线的局部几何特征，并理解曲率如何衡量曲线的弯曲程度。我们将从简单的二维曲线出发，逐步过渡到三维空间中的曲线，例如螺旋线，并初步感受微分几何在描述自然界和工程学中的广泛应用。 第四章：曲面的世界——微分几何的延伸 如果说曲线是几何的“线条”，那么曲面便是几何的“画布”。本章将把视野从曲线拓展到曲面，介绍曲面的基本概念，如参数方程、法向量、切平面等。我们将学习如何利用微分学的工具来研究曲面的局部几何性质，例如曲率（高斯曲率和平均曲率）。我们会探讨一些有趣的曲面，如球面、圆柱面、旋转曲面等，并初步理解曲面之间的等距映射和共形映射等概念，感受其在映射和变形中的重要性。 第五章：非欧几何的宣言——空间结构的多元性 平行公理的“不平凡”之处，最终催生了非欧几何的伟大革命。本章将详细介绍黎曼几何和罗氏几何等非欧几何体系。我们将清晰地阐释不同于欧几里得几何的平行公理是如何改变我们对空间的认识的。我们会通过对双曲面和球面上的几何现象的直观展示，帮助读者理解在这些非欧几何空间中，三角形的内角和、平行线的概念以及勾股定理等将发生怎样的变化。我们将强调非欧几何并非“错误”的几何，而是描述不同空间结构的有效工具。 第六章：高维空间的遐想 当我们习惯了三维空间的直观感受，将几何概念推广到更高维度时，会遇到怎样的挑战与乐趣？本章将带领读者进行一次超维度的思想实验。我们将学习如何用代数和向量的方法来表示和理解高维空间，例如四维空间或更高维度的欧几里得空间。我们会介绍超立方体、超球面等高维几何对象，并探讨高维空间中的距离、角度、体积等概念。虽然高维几何在直观上难以想象，但它在现代物理学（如弦理论）和数据科学等领域扮演着至关重要的角色。 第七章：拓扑学的目光——形变的几何 如果说微分几何关注的是空间的“度量”和“形状”，那么拓扑学则关注的是空间的“连通性”和“连续性”。本章将介绍拓扑学的基本思想，即研究在连续形变（拉伸、压缩、弯曲，但不撕裂或粘合）下保持不变的几何性质。我们将通过著名的“柯尼斯堡七桥问题”和“一笔画”问题来引入同胚、同态等概念。我们会探讨圆环与咖啡杯的拓扑等价性，并初步了解同调论等更高级的拓扑工具，领略拓扑学在分类和研究几何对象结构上的独特性。 第八章：几何的应用之旅 从古老的测量到现代科技，几何的足迹无处不在。本章将带领读者回顾几何学在现实世界中的丰富应用。我们将探讨计算机图形学中三维建模和渲染的几何原理，机器学习和人工智能中数据降维和特征提取的几何视角，以及物理学中时空几何描述（如广义相对论）的深刻影响。我们还会触及建筑设计、艺术创作、生物学形态学等领域，展现几何学作为一种强大的思维工具，如何深刻地塑造着我们的世界。 本书旨在为读者提供一个全面且富有洞察力的几何学视角，从基础理论到前沿探索，引导您理解几何学的演进脉络，感受不同几何学分支的独特魅力，并体会几何学作为一门古老而又充满活力的学科，其在现代科学技术中的重要地位。我们希望通过本书，激发您对几何学的浓厚兴趣，并为您进一步深入探索这一美妙的数学领域奠定坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书最大的亮点之一，在于它对数学史的深刻挖掘。作者在每一个章节的引言部分，都会对该部分所涉及的概念和定理的发现过程进行详尽的介绍，追溯其在人类文明发展史中的地位和影响。这让我对平面几何有了更加宏观的认识，也看到了数学家们是如何在历史的长河中不断探索和创新的。我注意到，书中对于一些著名数学家的生平事迹和他们的贡献，也进行了生动的描绘，这使得那些冰冷的公式和定理，仿佛有了温度，也让我对数学产生了更深厚的感情。我一直认为，了解数学的历史，能够更好地理解数学的本质，也能够激发我们对数学的热情。这本书在这方面做得非常出色，它将枯燥的数学知识，与丰富多彩的历史故事相结合，为读者提供了一种全新的学习体验。我尤其期待书中关于古希腊几何学黄金时代的叙述，看看那些伟大的智慧是如何闪耀的。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的感觉，就像是在进行一场别开生面的数学旅行。作者以一种娓娓道来的方式，引导我穿梭于各种几何图形之间，探索它们奇妙的属性和内在的联系。我非常喜欢书中那种循序渐进的教学方式，从最基础的点、线、面开始，逐步引入更复杂的图形和概念，每一步都衔接得恰到好处，让我感觉自己能够轻松地跟上作者的思路。那些精美的插图，更是为这场旅行增添了许多色彩，它们不仅仅是用来展示几何图形的，更是作者用来传达一些微妙的几何关系和直观理解的工具。我注意到，书中对于一些特殊图形的性质，进行了非常详尽的描述，比如圆的性质、三角形的性质等等，并且深入地探讨了它们之间的相互关系。我一直认为，几何学的美，很大程度上体现在图形的和谐与统一之中，而这本书恰恰能够让我深刻地体会到这一点。我尤其期待书中对于那些具有优雅数学证明的定理的介绍，看作者是如何通过简洁的逻辑推导出令人惊叹的结论。

评分☆☆☆☆☆

这本书的习题设计非常巧妙，它不仅仅是为了巩固课堂知识，更是为了激发读者的探索欲望。我注意到，书中有一部分习题，具有一定的挑战性，需要读者进行深入的思考和探索才能找到解题思路。但同时，作者也为这些习题提供了详细的解题思路和过程，这使得读者在遇到困难时，不会感到沮丧，而是能够从中学习到新的解题技巧和方法。我一直认为，好的数学习题，应该能够帮助学生巩固知识，提高能力，并且激发学习兴趣。这本书在这方面做得非常出色，它既有基础的练习，也有拔高的题目，能够满足不同层次读者的需求。我尤其期待书中那些“开放式”的习题，它们没有唯一的答案，而是鼓励读者进行自由的探索和创造，这对我提升数学创造力有着极大的帮助。

评分☆☆☆☆☆

这本书为我打开了一个全新的视角来审视平面几何。作者在讲解过程中，常常会引入一些非传统的解题方法，例如利用代数方法来解决几何问题，或者利用解析几何的工具来证明几何定理。这让我看到了数学学科之间的相互关联和融合，也让我意识到，解决问题的思路可以多种多样。我注意到，书中对于一些经典的几何问题，提供了多种不同的解题思路，并且对每种方法的优劣进行了详细的分析。这不仅帮助我拓宽了视野，更重要的是，我学会了如何从不同的角度去思考问题，如何灵活地运用各种数学工具来解决实际问题。我一直认为，数学学习的关键在于培养一种解决问题的能力，而这本书恰恰能够帮助我达到这一点。我尤其期待书中对于如何将平面几何与微积分、概率论等其他数学分支相结合的内容，那将为我打开新的学习方向。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书最深刻的印象，莫过于它所蕴含的深厚数学底蕴。作者在每一个章节的开篇，都会对该部分所涉及的概念进行历史性的回顾，追溯其起源和发展，这使得读者在学习知识的同时，也能够了解其背后的人文故事。这种方式不仅增加了学习的趣味性，更重要的是，它能够帮助我们理解这些数学概念是如何在历史的长河中孕育和完善的，从而形成一种更加立体和深刻的认知。我注意到，书中对于一些经典几何定理的证明，提供了多种不同的方法，这让我看到了数学证明的多样性和灵活性，也让我了解到，同一个结论，可以通过不同的路径去抵达。我一直认为，学习数学，不仅仅是记忆公式和定理，更重要的是理解其背后的逻辑和思想。这本书在这方面做得非常出色，它不仅仅是在传授知识，更是在培养一种数学思维方式。我尤其期待书中对于那些看似简单，实则蕴含着深刻哲理的几何性质的探讨，比如黄金分割、对称性等等，看看作者是如何从不同的角度去解析它们的数学之美。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计相当精美，封面采用了淡雅的米白色，搭配上烫金的几何图形，给人一种高级而内敛的感觉。翻开书页，纸张的触感温润而厚实，油墨印刷清晰，没有丝毫的晕染痕迹，阅读起来非常舒适。封底的文字介绍虽然简练，但却透露出一种严谨的学术气息，让我对书中所探讨的内容充满了好奇。我一直对数学中的美学有着浓厚的兴趣，特别是那些抽象的几何概念，总能引发我无限的遐想。从这本书的整体呈现来看，它似乎不仅仅是一本单纯的教科书，更像是一件可以反复品味的艺术品。它的编排结构也给我留下了深刻的印象，目录清晰地列出了各个章节的主题，从基础的概念引入，到深入的定理证明，再到各种趣味性的习题，似乎构成了一个完整而富有逻辑的学习路径。我尤其期待书中关于某些经典几何问题的详细解析，比如那些困扰数学家长达数世纪的难题，能够在这本书中得到清晰的解答，那将是一种莫大的精神享受。同时，我也会关注书中是否引入了现代几何学的观点，比如微分几何或拓扑学在解决平面几何问题中的应用，这将为我打开新的视野，让我看到平面几何更广阔的可能性。这本书的出现，无疑为我提供了一个沉浸于数学世界，探索几何奥秘的绝佳机会。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格非常独特，它既有学术的严谨性，又不失文学的感染力。作者在讲解数学概念时，并没有使用枯燥乏味的术语堆砌，而是用一种诗意的语言，将那些抽象的数学世界描绘得栩栩如生。我注意到，书中对于一些经典几何问题的探讨，常常带有哲学的思考，比如关于无限、对称、和谐等概念的讨论，这让我在学习数学的同时，也能够进行更深层次的思考。我一直认为，好的数学教育，应该能够培养学生批判性思维和创新能力。这本书在这方面给我留下了深刻的印象，它不仅仅是在传授知识，更是在引导读者去思考，去质疑，去探索。我尤其期待书中对于那些具有历史争议的几何问题的探讨，看作者是如何用一种客观而又深刻的视角去剖析它们，从而引发读者的思考。

评分☆☆☆☆☆

这本书让我深刻地认识到，平面几何不仅仅是一门枯燥的学科，更是一门充满艺术美学的领域。作者在讲解过程中，常常会引用一些古典名画、建筑设计等艺术作品，来展示平面几何在艺术创作中的应用。这让我看到了数学的另一面，它不仅仅是逻辑和理性的存在，更是能够与美学相结合，创造出令人惊叹的作品。我注意到，书中对于对称性、比例、黄金分割等几何概念的讨论，常常与艺术作品的欣赏相结合，这使得我对这些概念有了更加直观和深刻的理解。我一直认为，好的教育，应该能够培养学生多方面的素养，而这本书恰恰能够帮助我实现这一点，它让我看到了数学与艺术的完美结合，也激发了我对数学和艺术的双重兴趣。我尤其期待书中关于如何利用几何原理进行艺术创作的内容，那将为我提供无限的灵感。

评分☆☆☆☆☆

这本关于平面几何的书籍，给我最大的启发在于它如何将抽象的数学概念与实际应用巧妙地结合起来。书中不仅仅局限于理论的探讨，更是在每一个章节都穿插了大量的实际案例，展示了平面几何在建筑、工程、艺术等各个领域的应用。这让我深刻地体会到，数学并非是脱离现实的象牙塔，而是能够为我们的生活提供强大支持的工具。我注意到，作者在讲解一些复杂的定理时，会引用生活中的例子来帮助我们理解，比如利用相似三角形来测量建筑物的高度，或者利用圆的性质来设计轮盘。这种方式极大地降低了数学的学习门槛，也让学习过程变得更加生动有趣。我一直认为，学习的最终目的，是为了更好地认识世界和改造世界。这本书在这方面为我树立了一个很好的榜样，它让我看到，掌握了平面几何的知识，就能够更好地理解和解决现实世界中的问题。我尤其期待书中关于如何利用几何原理进行创意设计的内容，那将为我打开新的思路。

评分☆☆☆☆☆

当我第一次翻开这本书时，就被它所展现出的那种严谨而又富有创造力的学术氛围所吸引。书中的每一个公式、每一个定理，都似乎经过了精心的打磨和推敲，力求做到最简洁、最精确的表达。我特别欣赏作者在讲解过程中所采用的详略得当的方式，对于一些核心的概念，会进行反复的强调和多角度的阐释，确保读者能够真正理解其精髓；而对于一些相对基础的知识点，则会以概括性的语言带过，避免了冗余和枯燥。书中穿插的那些图示，也起到了至关重要的作用，它们不仅仅是文字的辅助，更是理解抽象概念的直观窗口。我注意到，作者在绘制图形时，非常注重比例的准确性和线条的流畅性，这使得那些几何图形栩栩如生，仿佛触手可及。我一直坚信，好的数学书籍，应该能够激发读者的思考，引导他们去主动探索，而不是被动地接受。从这本书的编排和内容来看，它无疑是具备这种潜力的。我尤其期待书中对于那些需要创造性思维才能解决的问题的讲解，看作者是如何一步步引导读者走向解题思路的，这对我提升自身的解题能力有着极大的帮助。

评分☆☆☆☆☆

挺好的

评分☆☆☆☆☆

东西很满意，速度很快。

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不错 就是想要的这本书

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挺好的

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东西很满意，速度很快。

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很好啊。

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好

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财富是什么?对于每个人而言，答案恐怕是不同的。有些人视金钱为财富，有些人把知识当财富，也有人以拥有健康作为自己最大的财富。有形的，无形的；物质的，精神的，可谓见仁见摺。而财富的要髓大约就在于能使人生活得更好。只要能达到这个目的，就理所当然地成为了财不过是个人各持己见罢了。对我而言，我的财富，就是那一抽屉的历届学生写给我的信和明信片。时至今日，我在教师这一神圣的岗位上工作了14年。送走了一届初中毕业生，因之而停滞……要，曾属于他们的一切，早已毫不察觉地刻进了生命的年轮，小心翼翼地娜心收藏。我所知道的是：父辈，是真实地生活在各自时空的鲜活生命，尽管我们和父辈所走的路不尽相同，但血液中一脉相承的某种东西却将的贵任感的信父辈身上体现得淋漓尽致。然而，就是这样，我们的父辈一路跌跌撞撞过来，却从未停止过前进的脚步。饥荒留给他们的是孱弱的身躯，“文化大革命”剥夺了他们求知的权力，真是一种莫大的享受。每一封信都包含了一颗纯洁的心，折射出一张活泼泼的五届高中毕富。当然，每个人对于“生活得更好”的理解也不尽相同，我之惜如珍宝，或许被他人视若敝屣。因此，所谓财富，业生，总共也不过一千多名学生，离人们所说的“桃李满天下”的差距不含十万八千里，但我已经收到了满满一抽屉几百封学生来信每逢重大节日，尤其是教师节来临，我总是要收到几十封学生来信或明信片。这时候，我一般都不急于拆信，而是先放进包里，等下班回家，吃过晚饭一个人静静地坐在台灯旁，再小心地一封一封拆开来读。读信，尤其是读学生们写来而当关于父辈的点滴记忆在瞬间打开一种遥远而亲切的气息便在眼前氤氲起来……我的父辈大多伴着新中国的成立而诞生，一生的经历从开始就和困难与坎坷结下“不解之缘”。孩童时，遇着饥荒；青年时，赶上“文化大革命”，响应号召要上山下乡；过了而立之年，终于盼来回城，可以过上安稳生活了，却又逢经济改革浪潮，他们再次面临人生最大的挑战；到了知天命的年龄，他们中的很多人始料未及地站在了“下岗”的十字路……命运的多并，经历的曲折在，但对生活的憧像，对真知执着的渴求却从未在他们心中泯灭。正是这种不舍的欲念使他们点若油灯，在简陋的土窟迈向生活的步伐，却从未脸。他们有的跟我兴奋地谈着大学生活，在恶臭的牛棚，捧着发黄不全的“珍贵的书”度过一个个难眠之夜；也正是这种欲念让他们懂得：黑夜给了我黑色的眼睛，我却用它寻找光明；也正是这种欲念让他们在生活的暗河中却高高扯起希望之帆。于是，我们看到了：牛棚里走出了坚强的科学家；农垦区，支边地诞生了优秀作家。再看看现在，中国改革开放二十年来的巨变，又有多少成就不是凝聚着父辈的艰辛与汗水。是他们作为新中国的中流砒柱，支起了一个进发着活力的崭新时代。面对着新世纪的需求，即使“下岗”，他们也引退得那样从容，坦然。或许疑惑、哀怨过，但他们

评分☆☆☆☆☆

知识是人类在实践中认识客观世界的成果。它可能包括事实，信息，描述或在教育和实践中获得的技能。它可能是关于理论的，也可能是关于实践的。在哲学中，关于知识的研究叫做认识论。知识的获取涉及到许多复杂的过程：感觉，交流，推理。知识也可以看成构成人类智慧的最根本的因素。