![概率论及其应用（卷1·第3版） [An introduction to probability theory and its applications]](https://pic.qciss.net/11381897/rBEhVlK9OIgIAAAAAAS9S7kMcpsAAHcWAHw-44ABL1j283.jpg)
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畅销不衰的经典概率论教材，原版已重印了44次，至今畅销不衰。内容涵盖从入门到高级的各个层面，并配有丰富的例子和大量习题，涉及物理学、生物学、化学、遗传学、博弈论、经济学等多方面的应用，几句启发性。内容简介
《概率论及其应用(卷1·第3版)》涉及面极广，不仅讨论了概率论在离散空间中的诸多课题，也涉及了概率论在物理学、化学、生物学(特别是遗传学)、博弈论及经济学等方面的应用。主要内容有：样本空间及其上的概率计算，独立随机变量之和的随机起伏，事件的组合及条件概率，离散随机变量及其数字特征，大数定律，离散的马尔可夫过程及其各种重要特征，更新理论等。除正文外，《概率论及其应用(卷1·第3版)》还附有数百道习题和大量的附录。
《概率论及其应用(卷1·第3版)》既可作概率论及相关学科的教学参考书，亦可作为科学研究的引导书。特别是此书中有关随机性和概率思想的论述，极具启发性。
作者简介
威廉·费勒（1906—1970），克罗地亚裔美国数学家，20世纪伟大的概率学家之一。师从著名数学家希尔伯特和柯朗，年仅20岁就获得哥廷根大学的博士学位。在生灭过程、随机泛函、可列马尔可夫过程积分型泛函的分布、布朗运动与位势、超过程等方向上均成就斐然，对近代概率论的发展做出了卓越贡献。特别是他的两本专著（《概率论及其应用》，共2卷），曾影响了世界各国几代概率论及相关领域的人士。译者简介：
胡迪鹤（1935—），教授，博士生导师，著名数学家，师从许宝騄院士学习概率极限理论与马尔可夫过程论。1957年从北京大学数学力学系毕业后先后任教于北京大学和武汉大学，并兼任国家教委科技委数学组成员、中国数学会常务理事、武汉市科协副主席等职。
内页插图
目录
第0章 绪论概率论的性质0.1 背景
0.2 方法和步骤
0.3 "统计"概率
0.4 摘要
0.5 历史小记
第1章 样本空间
1.1 经验背景
1.2 例子
1.3 样本空间·事件
1.4 事件之间的关系
1.5 离散样本空间
1.6 离散样本空间中的概率预备知识
1.7 基本定义和规则
1.8 习题
第2章 组合分析概要
2.1 预备知识
2.2 有序样本
2.3 例子
2.4 子总体和分划
*2.5 在占位问题中的应用
2.6 超几何分布
2.7 等待时间的例子
2.8 二项式系数
2.9 斯特林公式
2.10 习题和例子
2.11 问题和理论性的附录
2.12 二项式系数的一些问题和恒等式
*
第3章 扔硬币的起伏问题和随机徘徊
3.1 一般讨论及反射原理
3.2 随机徘徊的基本记号及概念
3.3 主要引理
3.4 末次访问与长领先
*3.5 符号变换
3.6 一个实验的说明
3.7 最大和初过
3.8 对偶性·最大的位置
3.9 一个等分布定理
3.10 习题
*
第4章 事件的组合
4.1 事件之并
4.2 在古典占位问题中的应用
4.3 N个事件中实现m件
4.4 在相合与猜测问题中的应用
4.5 杂录
4.6 习题
第5章 条件概率·随机独立性
5.1 条件概率
5.2 用条件概率所定义的概率·罐子模型
5.3 随机独立性
5.4 乘积空间·独立试验
*5.5 在遗传学中的应用
*5.6 伴性性状
*5.7 选择
5.8 习题
第6章 二项分布与泊松分布
6.1 伯努利试验序列
6.2 二项分布
6.3 中心项及尾项
6.4 大数定律
6.5 泊松逼近
6.6 泊松分布
6.7 符合泊松分布的观察结果
6.8 等待时间·负二项分布
6.9 多项分布
6.10 习题
第7章 二项分布的正态逼近
7.1 正态分布
7.2 预备知识:对称分布
7.3 棣莫弗拉普拉斯极限定理
7.4 例子
7.5 与泊松逼近的关系
*7.6 大偏差
7.7 习题
*
第8章 伯努利试验的无穷序列
8.1 试验的无穷序列
8.2 赌博的长策
8.3 波雷尔坎特立引理
8.4 强大数定律
8.5 迭对数法则
8.6 用数论的语言解释
8.7 习题
第9章 随机变量·期望值
9.1 随机变量
9.2 期望值
9.3 例子及应用
9.4 方差
9.5 协方差·和的方差
9.6 切比雪夫不等式
*9.7 科尔莫戈罗夫不等式
*9.8 相关系数
9.9 习题
第10章 大数定律
10.1 同分布的随机变量列
*10.2 大数定律的证明
10.3 "公平"博弈论
*10.4 彼得堡博弈
10.5 不同分布的情况
*10.6 在组合分析中的应用
*10.7 强大数定律
10.8 习题
第11章 取整数值的随机变量·母函数
11.1 概论
11.2 卷积
11.3 伯努利试验序列中的等待时与均等
11.4 部分分式展开
11.5 二元母函数
*11.6 连续性定理
11.7 习题
*第12章 复合分布·分支过程
12.1 随机个随机变量之和
12.2 复合泊松分布
12.3 分支过程的例子
12.4 分支过程的灭绝概率
12.5 分支过程的总后代
12.6 习题
第13章 循环事件·更新理论
13.1 直观导引与例子
13.2 定义
13.3 基本关系
13.4 例子
13.5 迟延循环事件·一个一般性极限定理
13.6 出现的次数
*13.7 在成功连贯中的应用
*13.8 更一般的样型
13.9 几何等待时间的记忆缺损
13.10 更新理论
*13.11 基本极限定理的证明
13.12 习题
第14章 随机徘徊与破产问题
14.1 一般讨论
14.2 古典破产问题
14.3 博弈持续时间的期望值
*14.4 博弈持续时间和初过时的母函数
*14.5 显式表达式
*14.6 与扩散过程的关系
*14.7 平面和空间中的随机徘徊
*14.8 广义一维随机徘徊(序贯抽样)
14.9 习题
第15章 马尔可夫链
15.1 定义
15.2 直观例子
15.3 高阶转移概率
15.4 闭包与闭集
15.5 状态的分类
15.6 不可约链·分解
15.7 不变分布
15.8 暂留链
*15.9 周期链
15.10 在洗牌中的应用
*15.11 不变测度·比率极限定理
*15.12 逆链·边界
15.13 一般的马尔可夫过程
15.14 习题
*第16章 有限马尔可夫链的代数处理
16.1 一般理论
16.2 例子
16.3 具有反射壁的随机徘徊
16.4 暂留状态·吸收概率
16.5 在循环时间中的应用
第17章 最简单的依时的随机过程
17.1 一般概念·马尔可夫过程
17.2 泊松过程
17.3 纯生过程
*17.4 发散的生过程
17.5 生灭过程
17.6 指数持续时间
17.7 等待队列与服务问题
17.8 倒退(向后)方程
17.9 一般过程
17.10 习题
习题解答
参考文献
索引
人名对照表
精彩书摘
【第1章 样本空间】1.1 经验背景
概率论的数学理论，与许多实际的和理想的实验相联系，或结合一些生活现象，便获得了实用的价值和直观的意义。这里所谓实际的和理想的实验，例如有：扔1次硬币；扔100次硬币；掷3颗骰子；理一副纸牌；用两副纸牌对点1；玩轮盘赌；观察放射性原子的寿命或观察人的寿命；以人为随机样本而观察其中左撇子的人数；
将两种作物杂交而观察它们后代的遗传型。所谓生活现象，例如有：初生儿的性别；电话交换中被占用的通话线路的数目；电话的来电次数；在电信系统里面的随机噪声；生产过程的例行质量控制；意外事故的频率；天空某一区域内双星的个数；在扩散过程中一个质点的位置。上列各项描述是含糊了一点，要使概率论有意义，我们还必须一同明确所探讨的实验或观察的可能结果究竟是指什么。
硬币掉下时不一定是正面朝上或反面朝上，它可能是滚掉了，也可能是笔直地站着。但是我们只承认正面和反面是扔硬币以后仅有的可能结果。这样一来，理论要简洁得多，同时也不影响其应用。这种类型的理想化是实践中标准的处理办法。测定原子的寿命或人的寿命而没有误差是不可能的，但是为了理论上的目的，我们不妨设想寿命是实实在在的一个数。这样问题就产生了：什么样的数值能确实地代表一个人的寿命？ 有没有生命不可逾越的最大年龄？ 是否一切年龄都是可以设想的呢？ 一方面，谁也不认为人能活到一千岁；另一方面，现行的保险业务对于人的可能寿命却不加任何上限。按照寿险死亡率表所根据的公式算出来，千年不死的人在全人类中大约只占101036 分之一，101036 这个数共含有1028亿个零。这个结论从生物学或社会学的角度看来，固然是毫无意义的，但是单纯从统计上着眼，它和经验当然没有什么矛盾。因为一个世纪内出生的人数还不到1010。要想用统计方法来检验上述说法，就需要101035 个世纪以上的时间，而这个时间段比地球的寿命的101034 倍还要大得多。毫无疑问，这样小的概率和我们认为的“不可能”是没有什么矛盾的。你也许认为，这种小概率的使用本身就是荒谬绝伦的。其实不然，使用这种小概率非但没有坏处，而且还可以简化公式。再说，如果我们真的把活一千年的可能性排除掉，就势必承认一个最大年龄限x 的存在，说人能活x 年而不能活x 年零两秒，这种说法决不会比无限寿命的说法更能讲得通些。
1. 参见4.1节例(b)———编者注
任何理论都必然含有理想化，对于我们来说，第一个理想化是关于“实验”或“观察”的可能结果。如果我们要为实验制作一个抽象模型，必须一开始就作出决定：这(理想的)实验的可能结果是由哪些东西构成的。
为了统一术语起见，我们把实验或观察的结果叫作事件。这样一来，我们就可以谈论“扔5个硬币至少出现3个正面”的事件。同样，打桥牌1 的“实验”，其结果可以是“北家拿到2张爱司(ace)”的事件。一个样本的组成元素(例如“85人组成的样本中有2个左撇子”)和一个测量的结果(例如“温度120°”， “7部电话占线”)也都叫作事件。
我们要区分复合事件(即可分解的)和简单事件(即不可分解的)。例如，要是掷2个骰子使“总和为6”，那就是使骰子点数成为“(1，5)或(2，4)或(3，3)或(4，2)或(5，1)”，即这个事例把“总和为6”的事件分解成5个简单事件。同样，“两个奇数点”事件就分解为“(1，1)或(1，3)或……或(5，5)”9个简单事件。
注意：如果掷出的结果是(3，3)，那么，这个相同的结果既包含在事件“总和为6”又包含在事件“两个奇数点”之内。这两个事件不是互斥的，它们可以同时发生。再举一例，我们来考虑人的寿命。每一个特殊数值x 代表一个简单事件， “此人50多岁”代表x 在50到60之间这一事件。用这种办法，每一个复合事件都可以分解为一些简单事件，也就是说，复合事件是一些简单事件的集合。
如果要在理论上很明确地讨论“实验”或者“观察”，那么必须首先约定：简单事件代表可以想象的结果，我们用它们来定义理想的实验。换句话说，这种简单(不可分解)事件是不定义的，犹如几何中的点和线是不定义的一样。习惯上，这些简单事件叫作样本点，或干脆就叫点。由定义得知： (理想) 实验的每一个不可分解的结果可用一个且只能用一个样本点来表示。所有这些样本点的全体称为样本空间。于是，牵涉到给定的(理想)实验的一切事件，都可以用样本点来表达。在把这些基本的约定形式化以前，我们讨论几个以后常要用到的例子。
1.2 例 子
(a)三个球在三个盒中的分布。表1-1列出了3个球放入3个盒中的“实验”的全部可能结果。
其中每一个排列都代表一个简单事件，即一个样本点。事件A “某个盒内放了不止一个球”为第1到第21个排列的总体，我们说事件A 是由第1到第21个样本点所构成的集合。类似地，事件B “第一个盒是不空的”是第1、第4到第15、第22到第27这几个样本点构成的集合。事件C “A 和B 都发生”是由第1、第4到第15共13个样本点构成的集合。在这个例子中，27个样本点中的每一个或者属于A或者属于B (或者同属于二者)。因此，事件“或者A 或者B 或者二者都发生”就是整个样本空间，因此它必然发生。事件D “A 不发生”是由第22到第27个这6个样本点所构成，它可以用下述条件来描述：没有一个盒是空的。事件“第一个盒是空的而其他的盒没有放多个球”是不可能发生的，因为没有一个样本点能满足这样的条件。
1. 打桥牌和玩扑克的定义：一副桥牌共52张，分4种花色，每种花色有13张。同一种花色有13个不
同的面值：2，3，…，10，“贾克”(jack)，“坤”(queen)，“老开” (king)，“爱司” (ace)。4种花色
称为黑桃、梅花、红心、方块，前两种是黑色的而后两种是红色的。同面值的牌称为同点。所谓打
桥牌，就是把整副牌分发给4家，这4家称为“东”、“南”、“西”、“北”，每家各得13张。至于玩
扑克的定义则是：从一副牌里每家各取5张，进行组合。
表1-1 3个球放入3个盒中全部可能放法
(b)r 个球在n 个盒中的随机分布。对于r 个球分布在n 个盒中的一般情形完全可以用类似的办法来进行研究，只不过这时的排列个数随r 和n 的增加而大幅度增加。当n=3，r=4时，样本空间由81个样本点构成，当r=n=10时，样本空间共有1010个样本点。造一个完整的表就要有约十万卷的篇幅。
我们用上面这个例子来说明一个重要的事实，即样本点的性质和我们的理论是无关的。对于我们来说，样本空间(及定义在样本空间上的概率分布)决定了理想的实验。我们应用球和盒这种形象的语言，但是同一个样本空间可以允许有很多种不同的实际解释。为了说清这一点并为了今后的应用，我们在这里抄录一些直观背景很不相同的实验，然而抽象地看，它们都等价于r 个球分布于n 个盒中的模型。在这些情形中，合理的赋概是不完全一样的，后面我们将要重新讨论。
(b，1)生日。r 个人的生日的可能情形相当于r 个球放入365个盒中的不同排列(假定一年有365天)。
(b，2)事故。如果把r 个事故按其发生在星期几来分类的话，则它等于r 个球放入n=7个盒中。
(b，3)打n 个靶。子弹相当于球，靶相当于盒。
(b，4)抽样。把r 个人按其年龄或职业来分类，于是类就相当于盒而人就相当于球。
(b，5)生物学中的照射。当光线射到视网膜中的细胞时，光粒子相当于球，而细胞就是我们模型中的盒。类似地，在研究照射的遗传效果时，染色体相当于盒，而α粒子相当于球。
(b，6)宇宙射线的实验，击中盖革计数器的粒子相当于球，而计数器相当于盒。
(b，7)一部电梯，开始有r 个乘客，它在n 层楼中每一层都停。乘客走出电梯的各种不同方式的排列与r 个球放入n 个盒中的各种不同排列相同。
(b，8)骰子。掷r 个骰子的可能结果相当于把r 个球放入n=6个盒中。如果是扔硬币，则对应的盒只有n=2个。
(b，9)随机数。r 个数字所构成的序列的各种可能的次序，相当于r 个球(对应于位置)放入10个称为0，1，…，9的盒中的可能分布。
(b，10)r 个人的性别分布。这时我们有n=2个盒以及r 个球。
(b，11)优惠券的收集。优惠券的不同种类相当于盒，收集的优惠券代表球。
(b，12)桥牌中的爱司。4个玩牌者代表4个盒，我们有r=4个球。
(b，13)基因的分布。每一个生物(人，植物或动物)的后代都从其祖先那里继承一些遗传基因。如果一种特殊的遗传基因可以有n 种不同的形式A1，…，An ，则后代可以按其基因的类型来分类。后代相当于球，遗传基因的类型A1，…，An 相当于盒。
(b，14)化学。假定长链聚合物与氧发生反应，每一个链都可能和0，1，2，…个氧分子起反应。这里参加反应的氧分子相当于球，而聚合物的链相当于盒。
(b，15)显影液的理论。在一个照相底板上涂上一层显影液，当这种液体的粒子被r 个光子击中时，它就起反应。为了区分黑白对比度，必须知道多少个粒子(想象为盒)被r 个光子所击中。由此，我们得到一个占位问题，粒子相当于盒，而光子相当于球。(当然，实际问题是很复杂的，因为底板上的液体的粒子的感光性强弱是不一样的。)
(b，16)印刷错误。r 个错误在一本n 页的书中的一切可能的分布相当于r 个球放入n 个盒中的一切可能分布，不过r 必须小于每一页的字数。
(c)球为不可辨的情形。让我们回到例(a)，并且假定那3个球是不可辨别的。这意味着像表1-1中的4，5，6这样的3种不同的排列都分不清了，因此表1-1变为表1-2。表1-2确定了下述理想实验的样本空间：把3个不可辨别的球放入3个盒中。而且同样我们可以采用r 个球放入n 个盒中的办法。
表1-2 3个不可辨别球放入3个盒中的全部可能放法
实际生活中球是否可辨别与我们的理论不相干。甚至当它们可以辨别时，我们也可以作不可辨别的来处理。桥牌中的爱司[例(b，12)]或者电梯中的人[例(b，7)]都是可以辨别的，但是把它们当作不可辨别的来处理会更方便。例(b，8)中的骰子就可以涂上颜色使之可辨别，但是，当我们讨论一些具体的问题时，到底是应用可辨别的还是不可辨别的球的模型，则可以根据特定的目的和便利性来决定。问题的性质将决定我们如何选择，不过，无论如何选择，只有当适当的模型选定以后，即当样本空间定义以后，理论才能开始登场。
在上面的模型中，我们考虑的球不可辨别，不过表1-2仍然区分第1、第2及第3个盒，而且它们的次序还是至关重要的。我们可以进一步假定盒也是不可辨别的(例如，盒可以随机地选取而不考虑其外在表现)。当球和盒都是不可辨别的时候，所有可能的排列只有3种，即{***│-│-}，{**│*│-}，{*│*│*}。
(d)抽样。假定为了估计吸烟的人数，我们任意选取100个人作为样本。在这里，我们只对其中吸烟的人数x 感兴趣，而x 可以是0到100之间的任意一个整数。这样一来，我们可以确定这个样本空间是由x=0，1，2，…，100等101个“点”所组成的。每个个别的样本或观察的结果完全可以用对应的点x 来代表。现在举一个复合事件的例子：“样本中的人超过半数吸烟”。这个事件意味着，实验的结果为，在x=51，52，…，100等50个事件中有一个发生。究竟发生的是哪一个呢？ 这里并没有交待。同样，样本的每个性质都可以通过列举它所对应的情况或样本点来表示。为了术语上的统一，我们称其为事件而不说成样本的性质。用数学的术语来说，一个事件就是与之对应的所有的样本点的集合。
(e)抽样(续)。现在我们对这100个人，不但要按吸烟与否来分类，而且还要区分他们的性别。于是，现在的样本点需由男女吸烟者、男女非吸烟者的人数来表示。也就是由整数的四元组(Ms，Fs，Mn ，Fn )来描述。我们可以把这样的四元组的全体作为样本空间：其中的每个整数都在0与100之间，且每组四个数的和为100。
一共有176851个这样的四元组共同组成样本空间(参见2。5节)。在一个样本中，“相对而言男性吸烟者多于女性”，意思就是说：在这个样本中，比值Ms/Mn大于Fs/Fn。譬如像“点”(73，2，8，17)就具有这个性质，而“点” (0，1，50，49)则不然。原则上，任何事件都可以把具有所需特性的全部四元组列举出来作为描述。
(f)扔硬币。如果把一个硬币扔3次，这时，样本空间就由8个点构成。如果以H 表示正面，T表示反面，那么这8个点就可以用HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT来代表。“其中至少有2次出现正面”的事件A 可以由这8个点中前4个所构成的集合来表示。“恰巧有1次出现背面”的事件B 是指HHT 或HTH或THH，所以我们就说B 包含着这3个点。
(g)夫妇的年龄。保险公司对于夫妇年龄的分布比较感兴趣。让我们以x 代表丈夫的年龄，y 代表妻子的年龄。于是每作一次考察就可以得到一个数对(x，y)。对应于考察的整个样本空间，就可以用xy 平面的第一象限来表示。于是每一个x >0，y>0的点都是这个样本空间中的一个样本点。“丈夫的年龄大于40岁”的事件A 可以用直线x=40右边的全部点来代表；“丈夫的年龄比妻子大”的事件B 可以用x 轴与第一象限的等分线y=x 之间所夹的角状区域来代表，也就是说可以用x>y 的点__的全体来代表；“妻子的年龄大于40岁”的事件C 可以用第一象限中位于直线y=40以上的部分来代表。至于2对夫妇年龄的联合分布的几何表示，就需要用到四维空间了。
(h)相空间。在统计力学里，体系的每个可能“状态”被称为“相空间中的一个点”。这仅仅只是术语上的不同，其实相空间就是样本空间，它的点也就是样本点。
……
前言/序言
用户评价
当我翻开这本书时，就被其严谨的数学风格和丰富的知识内容所吸引。作者在处理概率论中的每一个概念时，都展现出了极高的学术素养和深刻的洞察力。他对概率论基础理论的阐述，清晰而又有条理，从样本空间、事件的定义，到概率的公理化体系，都进行了细致入微的讲解。我尤其欣赏作者在解释条件概率和独立性时的深入分析。他通过各种生活化的例子，比如天气预报、医学诊断等，来阐述这些概念在实际应用中的重要性，以及如何避免常见的混淆。他对随机变量的讲解，同样细致而全面。作者详细区分了离散型和连续型随机变量，并深入阐述了它们的概率分布函数。我特别喜欢他对期望值和方差的讲解，他不仅仅是给出计算公式，更深入地解释了它们作为描述随机变量重要属性的统计量，在分析和预测中的关键作用。书中大量的数学推导，严谨而流畅，即使是复杂的证明，作者也能将其分解成若干个小步骤，并附有详细的解释，这让我能够轻松地跟随其思路。我认为，这本书不仅仅是一本教科书，更是一份珍贵的数学财富，它帮助我建立了对概率论更为系统和深入的理解。
评分在我看来，这本书的出版，无疑是对概率论研究领域的一次重要贡献。它以其严谨的学术态度和深刻的洞察力，为读者提供了一份高质量的学习资源。作者在介绍概率论的基本概念时，始终坚持从最根本的原理出发，并通过大量的实例来阐述这些概念的内涵和外延。我尤其欣赏他对于“事件”和“概率”的定义，他不仅仅是给出数学上的形式，更是深入探讨了它们在哲学和现实世界中的意义。书中对随机变量的分类和描述，也同样详尽而富有启发性。作者详细介绍了离散型和连续型随机变量的概率分布，以及它们各自的性质和应用。我尤其喜欢他对期望值和方差的讲解，他不仅仅是给出计算方法，更深入地阐述了它们在描述随机变量特征上的重要作用。通过书中大量的数学推导和图示，我能够更加直观地理解这些抽象的概念。这本书的叙述风格，我认为是其成功的关键之一。它在保持学术严谨性的同时，又充满了教学智慧，能够有效地引导读者理解复杂的数学概念。我感觉自己在这本书的帮助下，对概率论的理解上升到了一个新的高度，对概率思维在解决实际问题中的应用也有了更清晰的认识。
评分这本书的出版，无疑是概率论领域的一件大事，尤其对于像我这样，在数学海洋中探索多年的老船员来说，能迎来一本如此厚重且内容详实的著作，简直是及时雨。我翻开这本书的第一感觉，就是它沉甸甸的分量，不仅仅是纸张的物理堆积，更是知识的厚度和深度凝结的体现。我印象最深刻的，是它对概率论基础概念的阐述，那种严谨而又不失逻辑的推理过程，仿佛在带领读者一步步搭建起一座知识的殿堂。作者并没有简单地罗列公式，而是深入浅出地解释了每一个定义、定理背后的思想渊源和实际意义。例如，在讲述随机变量的概念时，作者花了大量的篇幅去描绘其内涵，如何从一个抽象的概念过渡到具体的数学模型，以及不同类型的随机变量（离散型、连续型）各自的特点和适用场景。我尤其欣赏作者在介绍条件概率时所采用的类比和例子，那些生活化的场景，让原本可能显得枯燥的数学概念瞬间鲜活起来，也让我能够更直观地理解“已知某个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率”这一核心思想。书中对期望值和方差的讲解也堪称教科书级别的，我不再仅仅是记住公式，而是真正理解了它们作为描述随机变量取值集中趋势和离散程度的统计量的本质。作者通过大量的图示和详细的推导，清晰地展现了如何计算这些关键指标，以及它们在实际问题分析中的重要作用。我感觉自己不仅仅是在阅读一本书，更像是在与一位博学的智者进行着一场深入的对话，他耐心地解答我所有的疑问，引领我穿越概率论的迷雾，走向清晰明朗的知识彼岸。这本书的叙述风格，我认为是它最吸引我的地方之一。它不是那种生硬的、只有公式和证明的教科书，而是充满了人文关怀和教学智慧。作者在处理复杂的数学问题时，总是能够找到一个恰当的切入点，用一种循序渐进的方式引导读者理解。我特别喜欢它对一些经典概率问题的探讨，比如伯努利试验、二项分布、泊松分布等等，作者在介绍这些分布时，不仅仅停留在公式的层面，而是深入到它们的应用场景，以及它们是如何从更基本的概率原理推导出来的。这让我感觉自己不是在被动地接受知识，而是在主动地探索和发现。
评分这本书带给我的最大震撼，在于它对概率论思想的深刻挖掘和对数学方法的严谨应用。我过去在学习概率论时，总觉得它像是一个庞大的数学工具箱，但却不清楚每个工具的真正由来和最佳使用方法。而这本书，恰恰填补了我的这一认知空白。作者在介绍每一个概念时，都会追溯其历史渊源，阐述其在数学发展中的地位，这使得我对概率论的认识不再局限于零散的知识点，而是形成了一个有机统一的知识体系。例如，在讲述大数定律和中心极限定理时，作者花费了大量篇幅去解释它们对于统计推断的基石作用，以及它们是如何将微观的随机性与宏观的规律性联系起来的。我曾经为理解这些“大”定理而绞尽脑汁，但通过这本书的详细讲解，我仿佛看到了它们在现实世界中的投影，比如在保险业、金融市场，甚至是自然科学研究中，这些定理是如何被用来进行预测和分析的。书中对期望值和方差的深入剖析，也让我对其有了更深刻的理解。我不再仅仅把它视为简单的计算公式，而是明白了它们在描述随机变量的性质时所蕴含的丰富信息。作者通过各种例子，展示了期望值如何代表一个随机过程的平均结果，而方差则揭示了结果的波动程度。我特别欣赏作者在处理一些证明过程时，所展现出的逻辑清晰度和严谨性。他不会跳过任何关键步骤，而是耐心细致地将每一个推理都展示出来，这对于我这样追求理解本质的读者来说，是极大的福音。读这本书，不仅仅是在学习数学公式，更是在培养一种数学思维方式，一种严谨、审慎、逻辑至上的思维模式。我感觉自己在这本书的引导下，正在逐步建立起对随机现象更深层次的理解和洞察力。
评分这本书给我的阅读体验，堪称是一场严谨的学术探索之旅。我常常被作者对数学细节的关注和对逻辑严密性的执着所打动。在阅读过程中，我感受到作者不仅是在传授知识，更是在引导我进行一种深入的思考。他对于概率论基本公理的阐述，不是简单的背诵，而是从其历史形成和逻辑基础上进行深入的剖析，这使得我对概率论的认识，不再是停留在表面，而是触及到了其最核心的哲学内涵。我尤其欣赏作者在讲解条件概率和独立性时的详尽描述。他通过大量的例子，清晰地展示了这两个概念在实际应用中的重要性，以及如何避免常见的误解。我曾经在学习过程中，对“独立”这一概念感到困惑，但通过这本书的细致讲解，我终于理解了它所蕴含的“不受干扰”的本质。书中对离散型和连续型随机变量的分类和描述，也同样细致入微。作者不仅给出了它们的概率分布函数，还深入探讨了它们各自的性质和应用场景。我特别喜欢他对期望值和方差的讲解，他不仅仅是给出计算方法，更深入地解释了它们在描述随机变量分布特征上的重要作用。他通过各种图示和数学推导，让我能够直观地理解这两个概念的含义，以及它们在统计分析中的应用。阅读这本书，让我感觉自己不仅仅是在学习概率论的知识，更是在培养一种严谨的数学思维，一种对不确定性现象进行理性分析的能力。
评分当我第一次拿到这本《概率论及其应用（卷1·第3版）》时，我感受到了一种久违的学术魅力。这不仅仅是一本教科书，更像是一本严谨的数学专著，它的内容深度和广度都远超我以往接触过的任何同类书籍。作者在开篇就旗帜鲜明地提出了概率论作为一门独立学科的重要地位，并通过一系列历史发展的脉络，展现了它从解决实际问题到形成一套完整理论体系的演变过程。这让我对概率论的学习，有了一个宏观的认识，不再觉得它只是枯燥的计算和公式推导。我在书中看到的，是对概率论基本概念的“剥茧抽丝”式的阐释。例如，对于“事件”的定义，作者就从最朴素的描述开始，逐步引入了样本空间、概率测度等概念，并详细解释了事件之间的关系（如互斥、独立）。我印象深刻的是，作者并没有直接给出一个生硬的定义，而是通过大量生动的例子，比如抛硬币、掷骰子、抽牌等，来帮助读者理解这些抽象的概念。他对“概率”的理解，也远远超出了简单的频率说，而是深入到公理化定义，以及概率在不同语境下的解读。书中对随机变量的介绍，同样详尽而富有启发性。作者首先区分了离散型和连续型随机变量，然后详细阐述了它们的概率质量函数、概率密度函数以及累积分布函数。我尤其喜欢作者对期望值和方差的讲解，他不仅给出了计算公式，更深入地解释了它们在描述随机变量的集中趋势和离散程度上的意义。读这本书，让我真正体会到了数学的严谨之美，以及概率论在理解和预测不确定性现象中的强大力量。
评分这本书带给我的，不仅仅是知识的传授，更是一种思维的启发。作者在处理概率论的每一个概念时，都力求做到极致的严谨和深刻。他从概率论的哲学基础出发，一步步构建起整个理论体系。我印象最深刻的是，作者在阐述概率的公理化定义时，并没有简单地罗列公理，而是深入分析了每一条公理的必要性和合理性，以及它们是如何确保概率论的逻辑一致性的。他对随机变量的讲解，同样细致入微。作者详细区分了离散型和连续型随机变量，并深入阐述了它们的概率分布函数。我尤其喜欢他对期望值和方差的讲解，他不仅仅是给出计算公式，更深入地解释了它们在描述随机变量的集中趋势和离散程度上的意义。通过书中丰富的图示和严谨的数学推导，我能够更加直观地理解这些抽象的概念。这本书的叙述风格，我认为是其最大的亮点之一。它在保持学术严谨性的同时，又充满了教学智慧，能够有效地引导读者理解复杂的数学概念。我感觉自己在这本书的帮助下，对概率论的理解上升到了一个新的高度，对概率思维在解决实际问题中的应用也有了更清晰的认识。
评分这本《概率论及其应用（卷1·第3版）》在我看来，是一部不可多得的经典之作。作者在数学内容的组织上，展现出了极高的专业性和前瞻性。他从概率论的基本概念出发，循序渐进地引导读者深入理解更复杂的理论。我尤其欣赏作者在介绍概率的公理化体系时，所展现出的逻辑严密性和深刻的数学洞察力。他不仅仅是给出了公理，更是深入分析了每一条公理的意义和作用，以及它们是如何构成了概率论的坚实基础。他对随机变量的讲解，同样细致入微。作者详细区分了离散型和连续型随机变量，并深入阐述了它们的概率分布函数。我特别喜欢他对期望值和方差的讲解，他不仅仅是给出计算公式，更深入地解释了它们在描述随机变量重要属性上的意义。通过书中大量的数学推导和图示，我能够更加直观地理解这些抽象的概念。这本书的叙述风格，我认为是其成功的关键之一。它在保持学术严谨性的同时，又充满了教学智慧，能够有效地引导读者理解复杂的数学概念。我感觉自己在这本书的帮助下，对概率论的理解上升到了一个新的高度，对概率思维在解决实际问题中的应用也有了更清晰的认识。
评分这本书带给我的，是一种从“知道”到“理解”的飞跃。我之前也接触过一些概率论的书籍，但总觉得在概念的理解上不够深入，而在实际应用中也常常感到力不从心。然而，这本《概率论及其应用（卷1·第3版）》彻底改变了我的看法。作者在讲解每一个概念时，都极其注重其背后的逻辑和思想。例如，在介绍条件概率时，他并没有简单地给出一个公式，而是通过一系列巧妙的例子，比如生病诊断、天气预报等，来阐述条件概率在实际生活中的应用，以及它如何帮助我们做出更明智的决策。我对期望值和方差的理解，也因为这本书而变得更加深刻。我不再仅仅是机械地计算，而是真正理解了它们作为描述随机变量重要属性的统计量，是如何帮助我们量化不确定性，并进行预测分析的。作者在处理数学证明时，也是一丝不苟，每一个步骤都清晰可见，并且附有详细的解释，这让我能够完全理解每一个结论是如何推导出来的。这种严谨的教学方式，让我对概率论这门学科产生了更浓厚的兴趣，也增强了我学习的信心。我认为，这本书最宝贵的地方在于，它不仅仅教会我“是什么”，更教会我“为什么”，以及“如何运用”。
评分不得不说，这本书的深度和广度都令我感到惊叹。它不仅仅是一本介绍概率论的入门读物，更像是一部概率论的百科全书，内容详实，体系完整。作者在处理每一个概念时，都展现出了极高的学术严谨性，以及对数学的深刻理解。我印象最深刻的是，作者在介绍概率的基本概念时，并没有直接给出抽象的定义，而是从最直观的例子入手，比如抛硬币、抽奖等，逐步引导读者理解样本空间、事件以及概率的含义。他对“概率”的解读，也远超了简单的频率统计，而是深入到了公理化定义，以及其在数学模型中的重要作用。书中对随机变量的讲解，同样令人印象深刻。作者详细区分了离散型和连续型随机变量，并深入阐述了它们的概率质量函数、概率密度函数以及累积分布函数。我特别喜欢作者对期望值和方差的阐述，他不仅仅是给出了计算公式，更深入地解释了它们在描述随机变量的中心趋势和离散程度上的意义。通过大量的实例和详细的推导，我能够更加直观地理解这两个重要的统计量。这本书的数学推导过程，严谨而清晰，即使是复杂的证明，作者也能将其分解成若干个小步骤，并配以详细的解释，让读者能够轻松跟随。我认为，这本书的价值不仅在于其内容的丰富性，更在于它所传达的严谨的数学思维方式，这对于任何一个希望在数学领域有所建树的人来说，都是宝贵的财富。
评分书不错，买来还没时间看。花钱最容易
评分感觉翻译有点生涩，读起来不顺畅
评分经典著作，收藏了。
评分又开始了大学学习的感觉。好好学习
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评分好好学习，天天向上～
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评分概率领域的经典之作
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