高等數學疑難問題選講 [Answers to Selected Perplexed Questions in Advanced Mathematics] 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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馬知恩，王綿森 編

圖書標籤:

• 高等數學
• 數學分析
• 實分析
• 復變函數
• 微分方程
• 概率論
• 數理統計
• 數學問題
• 疑難問題
• 選講

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040398311

版次：1

商品編碼：11507597

包裝：平裝

外文名稱：Answers to Selected Perplexed Questions in Advanced Mathematics

開本：16開

齣版時間：2014-07-01

用紙：膠版紙

頁數：314

字數：3700

內容簡介

　　《高等數學疑難問題選講》是“高等學校大學數學教學研究與發展中心”立項資助的教學研究項目成果。《高等數學疑難問題選講》編寫的主要目的是為瞭幫助從事“高等數學”教學的青年教師更深刻地領會教學內容，提高教學水平和教學能力。《高等數學疑難問題選講》分章按問題編排，各問題之間相對獨立，便於讀者查閱，要求偏高的問題冠以-號。但在講解各問題時，並不受該問題在教材中所屬章節內容先後的限製。
　　《高等數學疑難問題選講》可供青年教師作為教學參考書，對於有誌於更好掌握“高等數學”的本科生也頗有參考價值。

內頁插圖

目錄

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《高等數學疑難問題選講》是一部針對高等數學學習者在深入鑽研過程中遇到的典型疑難問題進行解析的專著。本書並非一本全麵的高等數學教材，而是聚焦於那些往往睏擾學生、理解起來較為晦澀的知識點和解題技巧。 本書的編寫理念在於“精講精析，點撥升華”，旨在幫助讀者跨越學習的障礙，深化對高等數學核心概念的理解，並掌握解決復雜問題的有效策略。其內容覆蓋瞭高等數學的多個重要分支，包括但不限於： 一、微積分部分： 極限理論的深入探討： 針對一些定義性的、證明性的極限問題，例如如何理解和運用ε-δ語言證明極限存在性；在無窮小和無窮大的概念辨析中，深入剖析它們的數量關係，理解“等價無窮小”在實際計算中的應用與局限性；對數列極限和函數極限的收斂性判彆方法進行細緻梳理，特彆是那些需要巧妙構造輔助序列或利用不等式證明的難題。 導數與微分的精妙應用： 深入解析導數的幾何意義和物理意義，並在此基礎上探討高階導數的計算技巧，尤其在隱函數、參數方程求導以及反函數求導等復雜情境下；關注微分中值定理（羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）在證明不等式、函數性質以及求解極限中的各種變形與應用；對導數在函數單調性、凹凸性、極值、最值以及麯綫性態分析中的應用進行詳盡闡述，特彆是那些涉及參數方程或隱函數錶示的復雜麯綫。 積分理論的嚴謹分析： 細緻剖析定積分的定義、性質及其幾何意義，並在此基礎上深入研究不定積分的計算方法，重點講解換元積分法、分部積分法在處理復雜被積函數時的技巧與竅門；針對定積分的計算，會涉及特殊函數積分、瑕積分的斂散性判定以及一些巧妙利用積分性質進行計算的題目；此外，還會涉及重積分（二重積分、三重積分）的計算，包括區域的選取、坐標係的轉換（如極坐標、柱坐標、球坐標）以及雅可比行列式的應用，特彆是當積分區域或被積函數復雜時，如何進行有效的轉化。 級數理論的深度挖掘： 講解數項級數和函數項級數的收斂性判彆方法，特彆是那些需要運用比值判彆法、根值判彆法、積分判彆法、交錯級數判彆法以及阿貝爾判彆法、狄利剋雷判彆法等高級方法的題目；深入分析冪級數的性質，如收斂域的確定、求和函數、項數求導與積分，以及如何利用泰勒級數和麥剋勞林級數展開復雜函數；對傅裏葉級數的概念、收斂性以及在求解微分方程和信號分析中的應用進行闡述。 二、綫性代數部分： 行列式的計算與性質： 針對高階行列式的計算，會介紹特殊方法，如利用行列式的性質化為低階行列式，或者通過行變換、列變換化為三角形行列式；還會討論利用定義法或剋萊姆法則求解綫性方程組的適用性與局限性。 矩陣運算的精細化： 深入解析矩陣的各種運算（加減、乘法、轉置、逆矩陣、伴隨矩陣）及其性質，特彆是在矩陣方程的求解方麵；重點講解矩陣的秩、跡、特徵值與特徵嚮量的計算及其在二次型化簡、方陣冪次計算等問題中的應用。 嚮量空間與綫性無關： 詳細闡述嚮量組的綫性相關與綫性無關的判彆，以及如何求一組嚮量的最大綫性無關組和嚮量組的秩；深入理解嚮量空間的概念，包括子空間、基、維數，以及嚮量在不同基下的坐標錶示。 綫性方程組的理論分析： 深刻理解綫性方程組解的結構，包括解的存在性條件（係數矩陣與增廣矩陣的秩的關係）、齊次綫性方程組的通解和非齊次綫性方程組的特解與通解的求法；關注一些係數矩陣為參數時，如何根據參數的不同取值討論解的情況。 三、常微分方程部分： 方程類型的識彆與解法： 詳細梳理各種基本類型的一階和高階常微分方程，如可分離變量方程、齊次方程、綫性方程、伯努利方程、全微分方程、常係數綫性齊次與非齊次方程等，並針對每類方程的特點，提供係統性的解題步驟和技巧。 解的存在唯一性定理： 深入理解常微分方程解的存在唯一性定理，並分析在何種條件下，解會失去唯一性。 特殊方程的求解： 關注一些特殊形式的方程，如歐拉方程、剋萊羅方程等，以及常係數高階綫性微分方程的特解求法，包括待定係數法和常數變易法在處理非齊次項復雜情況下的應用。 本書的特色： 精選典型疑難： 每一個選講的問題都經過精心挑選，代錶瞭該知識點中學生容易齣現睏惑或易齣錯的環節。 深入淺齣解析： 對於每一個問題，本書不僅給齣詳細的解題過程，更重要的是深入剖析其背後的數學思想、解題思路以及相關的理論依據，力求讓讀者“知其然，更知其所以然”。 強調思維方法： 側重於培養讀者的數學思維能力，引導讀者從不同角度審視問題，掌握解決復雜問題的通用方法和技巧，而非僅僅停留在計算層麵。 循序漸進引導： 問題的難度和深度循序漸進，從基礎概念的辨析到復雜定理的應用，幫助讀者逐步建立起紮實的理論基礎和解決實際問題的能力。 提升解題能力： 通過對典型例題的深入剖析，幫助讀者觸類旁通，舉一反三，有效提升其獨立分析和解決高等數學難題的能力。 本書適用於高等數學專業的本科生、研究生，以及在其他理工科專業學習高等數學且希望深入理解相關內容的學習者。它將成為讀者在攻剋高等數學學習中的堅實後盾，助您在數學探索的道路上更加自信與從容。

評分☆☆☆☆☆

當我在書架上看到《高等數學疑難問題選講》這個名字時，我的眼睛瞬間亮瞭。我從事的科研工作需要大量應用高等數學的知識，但很多時候，我發現自己對一些基礎但又至關重要的概念理解不夠深入，導緻在實際建模和數據分析中遇到瓶頸。例如，在處理復雜係統時，對一些微分方程組的穩定性分析，我總是無法確定其背後的數學原理到底有多麼穩固。再比如，在進行信號處理時，對小波變換的理解，總是停留在“可以降噪”的層麵，而無法深入到其數學構造和優越性。我常常感覺自己隻是在“搬運”數學工具，而沒有真正“理解”它們。我需要的是能夠幫助我“融會貫通”的資源。一本專門針對“疑難問題”的書，對我來說，就如同在廣袤的數學海洋中找到瞭一張精細的海圖。我期待這本書能夠詳細解釋那些在教材中“一筆帶過”或者“語焉不詳”的證明過程，深入剖析其邏輯鏈條，並提供一些便於理解的類比或幾何解釋。我希望書中能夠對一些“反直覺”的數學結論，給齣閤理的解釋，例如，為什麼在某些條件下，一個看似連續的函數，其導數卻不存在？或者，為什麼某些看似復雜的積分，可以通過簡單的變量替換巧妙求解？我非常期待書中能夠提供一些解決實際問題的案例，將抽象的數學理論與具體的應用場景相結閤，讓我看到高等數學的實際價值和力量。我相信，通過對這些疑難問題的深入探討，我能夠提升自己對高等數學的理解層次，從而在科研工作中更加得心應手。

評分☆☆☆☆☆

這本書的名字本身就帶著一種“解密”的色彩，吸引著所有在高等數學領域摸爬滾打過的學習者。我曾經是一名數學專業的學生，畢業後雖然離開瞭學術界，但對數學的熱情從未減退。然而，隨著時間的推移，我發現自己對一些曾經熟悉的數學概念，比如“測度論”中的一些細節，以及“微分幾何”中的一些麯率概念，記憶開始模糊，理解也變得不再那麼透徹。有時候，我會在閱讀一些科普文章時，遇到一些與高等數學相關的概念，想要深入瞭解，卻發現自己缺乏足夠的知識儲備。我希望《高等數學疑難問題選講》能夠幫助我重新拾起那些曾經的知識，並且能夠以一種更新、更深入的方式來理解它們。我期待書中能夠對一些“容易混淆”的數學符號和術語進行明確的區分，例如，“嚮量空間”與“仿射空間”的區彆，以及“流形”與“麯麵”的根本差異。我希望書中能夠通過一些“反例”來加深我對概念的理解，例如，展示一些看似滿足某個定理條件，但實際上卻無法應用該定理的特殊情況。此外，我也非常期待書中能夠包含一些關於“數學史”的穿插講解，介紹一些重要數學概念的産生和發展過程，這有助於我理解數學的演進邏輯和內在聯係。我希望這本書能讓我重溫高等數學的美妙，並且在麵對新的數學問題時，能夠更加遊刃有餘。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名就足夠吸引我瞭，那句英文“Answers to Selected Perplexed Questions in Advanced Mathematics”更是直擊痛點，瞬間勾起瞭我學習高等數學以來那些揮之不去、百思不得其解的疑惑。我一直覺得，數學的學習如同攀登一座高山，而高等數學更是這高山之上最險峻、最需要指引的區域。無數次，我在啃讀厚重的教材，或是翻閱其他參考書時，都會遇到一些看似簡單，實則暗藏玄機的問題。這些問題可能是一個概念的深層理解，一個定理的證明細節，或者是一個復雜計算背後的數學思想。它們就像一塊塊絆腳石，阻礙著我對整個高等數學體係的融會貫通。我常常會花上幾個小時，甚至幾天，去鑽研一個微小的問題，查閱大量的資料，但最終往往隻能得到一個模糊的答案，或者更深的迷茫。這種感覺非常挫敗，讓我一度懷疑自己的學習能力。所以，當我在書店的架子上看到《高等數學疑難問題選講》時，我幾乎是毫不猶豫地拿下瞭它。我期待的不僅僅是針對某個具體問題的解答，更是希望能夠藉此機會，理清那些長期以來睏擾我的思路，重新建立起對高等數學的信心。我希望這本書能夠像一位經驗豐富的嚮導，帶領我穿越那些迷霧重重的數學叢林，指點迷津，讓我能夠更清晰、更深刻地理解高等數學的精髓。我非常期待書中能夠解答我那些關於極限、導數、積分、級數，甚至微分方程和綫性代數等基礎但又容易混淆的概念。比如，我一直對柯西積分定理的幾何意義和其在復變函數中的強大應用感到好奇，很多教材的講解總是顯得過於抽象。還有，對於勒貝讓德多項式和貝塞爾函數的齣現，以及它們在物理和工程中的具體應用，我一直希望能有更直觀的理解。我相信，一本真正優秀的“疑難問題選講”，不僅僅是羅列問題和答案，更重要的是能夠闡釋解決問題的思維過程，揭示隱藏在問題背後的數學原理，讓讀者在理解答案的同時，也能提升自身的解決問題的能力。我希望這本書能夠做到這一點，成為我高等數學學習道路上的一盞明燈，驅散我心中的睏惑，點燃我學習的激情。

評分☆☆☆☆☆

收到這本書的那一刻，我有一種如釋重負的感覺。我曾經在備考研究生入學考試的時候，被高等數學的某些章節摺磨得死去活來。尤其是那些需要深刻理解積分變換、微分幾何、或者概率論中一些進階概念的部分，感覺自己就像在迷宮裏打轉，怎麼也找不到齣口。我記得有一次，為瞭理解一個關於概率密度函數的積分應用，我翻閱瞭三四本不同的教材，還上網搜索瞭無數的帖子，但最終還是覺得雲裏霧裏。這種學習過程的低效和痛苦，極大地打擊瞭我的學習積極性。我渴望一本能夠真正“點撥”我，讓我茅塞頓開的書。我翻開瞭《高等數學疑難問題選講》，首先吸引我的是它目錄裏列齣的那些問題，很多都恰恰是我曾經遇到的睏擾。例如，書中關於“傅裏葉級數和傅裏葉變換的收斂性條件”的討論，以及“拉普拉斯變換在求解微分方程中的原理與技巧”，這些都是我在學習過程中感到十分棘手的部分。我希望這本書不僅僅是給齣解答，更重要的是能夠講解清楚為何會有這樣的解答，背後的邏輯是什麼，以及如何將這種解題思路推廣到其他類似的問題上。我特彆期待書中能夠對一些數學證明的“妙手”進行剖析，比如，那些看起來“神來之筆”的變量替換或者構造，是如何被發現和應用的？這對於我理解數學的創造性和靈活性至關重要。我希望這本書能讓我明白，數學難題並非不可戰勝，而是需要掌握正確的思維方式和解題策略。我希望它能幫助我建立起一種自信，相信自己能夠剋服高等數學中的一切障礙，最終掌握這門學科。

評分☆☆☆☆☆

作為一名正在攻讀研究生學位的學生，高等數學是我學習生涯中繞不開的坎。尤其是在一些專業課的理論推導中，常常會遇到一些“細節”上的睏難，這些細節可能涉及到一個關鍵的引理，一個巧妙的構造，或者一個容易被忽視的條件。我曾經為瞭理解一個關於“非綫性偏微分方程”的解的存在性證明，花瞭數周的時間，查閱瞭大量文獻，但最終還是覺得有些地方不夠清晰。我希望《高等數學疑難問題選講》能夠成為我的“救星”，幫助我掃清這些學習路上的障礙。我期待書中能夠對一些“普遍性”的疑難問題，給齣詳盡的解答。例如，在理解“算子代數”時，如何把握“C-代數”的定義及其重要性？在學習“圖論”時，如何理解“匹配”和“覆蓋”之間的關係？我希望這本書能夠提供一些“範例”，展示如何將這些抽象的理論應用到具體的數學問題中。同時，我也期待書中能夠包含一些關於“數學競賽”中齣現的難題的解答，這些題目往往能觸及到高等數學的精髓，並且能鍛煉我們的解題能力。我相信，通過這本書的深入學習，我能夠更好地理解和掌握我的專業知識，並在未來的研究中，取得更大的突破。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計非常沉穩大氣，色調偏嚮深藍，給人一種專業而嚴謹的感覺，這讓我對它所承載的內容充滿瞭期待。我注意到它標注的“選講”二字，這暗示著這本書並非一股腦地羅列所有可能遇到的難題，而是經過精心挑選，針對性地解決瞭那些普遍存在、且對學習者影響較大的疑難點。這對於時間和精力都有限的學習者來說，無疑是一種福音。我曾經嘗試過一些廣為流傳的高等數學教材，雖然它們在體係完整性上做得很好，但在解決那些“卡殼”的地方，往往顯得力不從心。很多時候，教材會直接給齣一個結論，而忽略瞭推導過程中的關鍵步驟，或者用一種我無法理解的邏輯進行論證。這就像在爬山的過程中，你隻看到瞭山頂的風景，卻不知道如何攀登上去，也看不到腳下的岔路口。我深切地體會過那種“讀瞭等於沒讀”的無奈。因此，一本專門針對“疑難問題”的書，在我看來，其價值遠超過那些泛泛而談的教材。我希望這本書能夠深入淺齣地剖析那些令人頭疼的證明，例如，如何嚴謹地證明極限的ε-δ定義，以及它在實際應用中的轉化。我特彆期待書中能夠對那些容易混淆的數學概念，比如“函數”、“映射”、“關係”的區彆和聯係，進行清晰的辨析。同時，對於一些抽象的數學工具，如泛函分析中的一些基本概念，書中是否能提供更具象化的解釋和例子？我一直覺得，高等數學的學習，不僅僅是記住公式和定理，更重要的是理解其背後蘊含的數學思想和邏輯。這本書如果能夠幫助我建立起這種“舉一反三”的能力，那我將非常感激。我希望它能成為我解決數學難題的“瑞士軍刀”，讓我在麵對那些棘手的數學問題時，不再感到無從下手，而是能胸有成竹，迎刃而解。

評分☆☆☆☆☆

我是一位業餘的數學愛好者，對高等數學充滿瞭敬畏和好奇。我自學過一些基礎的微積分和綫性代數，但當我試圖深入到更復雜的領域，比如“實變函數”或“泛函分析”時，就感覺自己像個迷失在陌生城市裏的旅人，處處碰壁。那些抽象的定義和復雜的證明，讓我感到無所適從。我曾經在網上看到有人討論“勒貝格積分”的優越性，以及它在數學分析中的重要地位，但我始終無法真正理解其核心思想。我也對“希爾伯特空間”的定義和它在量子力學中的應用感到非常著迷，但相關的書籍往往過於專業，讓我望而卻步。《高等數學疑難問題選講》這本書，恰恰填補瞭我這樣的學習者在這一領域的空白。我期待書中能夠以一種非常“接地氣”的方式，講解那些抽象的數學概念。例如，用生動的比喻來解釋“測度”的概念，或者用形象的圖示來展示“收斂域”的形狀。我希望書中能夠提供一些“小技巧”，幫助我快速掌握一些復雜的計算方法，例如，如何高效地計算一些高階導數或復雜的定積分。更重要的是，我希望這本書能夠激發我進一步學習的動力，讓我看到高等數學並非高不可攀，而是可以通過努力和正確的引導來掌握的。我期待它能夠成為我的“啓濛之書”，帶領我走進更廣闊的數學世界。

評分☆☆☆☆☆

作為一名數學愛好者，我一直在探索高等數學的奧秘。然而，在學習的過程中，總會遇到一些讓人費解的“怪胎”問題，它們往往隱藏在看似簡單的概念背後，卻需要深入的理解纔能攻剋。例如，我曾經在學習“群論”時，對“正規子群”的定義以及它為何在構造商群時如此重要感到睏惑。又比如，在學習“復分析”時，對“留數定理”的應用，總覺得有些機械，而未能深入理解其背後的“積分路徑”的意義。我渴望找到一本能夠係統性地解答這些疑難雜癥的書。我翻閱瞭《高等數學疑難問題選講》的目錄，發現其中包含瞭許多我曾經為之頭疼的章節，比如關於“同調代數”的基礎概念，以及“範疇論”的一些初步探討。這些內容在很多入門級的教材中是很少涉及的，或者即使涉及，也往往是點到為止。我希望這本書能夠為我提供一條清晰的學習路徑，讓我能夠逐步理解這些更高級的數學概念。我期待書中能夠深入剖析一些證明中的“技巧”與“藝術”，例如，在證明一些關於“綫性算子”的性質時，是如何通過巧妙地構造輔助函數來簡化問題的。我也希望書中能夠提供一些關於“數學猜想”的介紹，以及它們是如何被提齣和被證明的，這能極大地激發我對數學的探索欲望。總而言之，我希望這本書能夠成為我高等數學學習旅途中的一個重要裏程碑，幫助我跨越那些曾經難以逾越的障礙，讓我能夠更上一層樓。

評分☆☆☆☆☆

我是一名從事科學研究的工程師，工作中經常需要處理一些復雜的數學問題。雖然我的專業背景不是數學，但為瞭解決實際工程問題，我不得不涉足高等數學的領域。然而，很多時候，我發現自己對一些數學工具的應用，停留在“知其然，不知其所以然”的層麵。例如，我經常使用“傅裏葉變換”來分析信號，但我對其數學原理的理解，僅限於它能將時域信號轉換到頻域。我一直渴望能夠更深入地理解其背後的數學基礎，以及它在不同領域的應用。我希望《高等數學疑難問題選講》能夠幫助我彌閤這一知識鴻溝。我期待書中能夠用更加直觀和易於理解的方式，解釋那些復雜的數學定理和公式。例如，如何用物理的直覺來理解“張量”的概念？或者，如何從幾何的角度來理解“微分幾何”中的麯率？我希望書中能夠提供一些“實用的技巧”，幫助我更好地應用高等數學工具來解決工程問題。例如，如何巧妙地運用“數值積分”方法來近似求解難以解析計算的定積分？或者，如何利用“泊鬆分布”和“二項分布”來分析某些隨機現象？我希望這本書能夠成為我解決工程問題的“數學助手”，讓我能夠更自信地運用高等數學的知識，為我的工作帶來更大的價值。

評分☆☆☆☆☆

我是一位對數學充滿好奇心的學生，尤其對高等數學的部分情有獨鍾。然而，學習過程中，總有一些“攔路虎”讓我感到沮喪。例如，我一直對“拓撲空間”這個概念感到睏惑，它的抽象性讓我很難將其與直觀的幾何概念聯係起來。另外，對於“黎曼積分”的嚴謹定義，以及它與“勒貝格積分”在理論上的區彆和聯係，我始終覺得難以徹底理解。這些問題就像心中的刺，時不時地會冒齣來，影響我對整個高等數學體係的認知。當我看到《高等數學疑難問題選講》這本書時，我看到瞭希望。我期待這本書能夠以一種循序漸進、深入淺齣的方式，解答這些睏擾我的難題。我希望書中能夠提供一些生動的例子，來幫助理解抽象的數學概念，例如，用更直觀的方式解釋“同胚”的概念，或者通過實際的例子來展示“流形”的構造。我更期待書中能夠對一些經典的數學證明，給齣詳盡的解析，特彆是那些需要巧妙構思的證明，例如，證明“布勞威爾不動點定理”的過程，我總是覺得其中有許多我沒有完全領會的地方。我希望這本書不僅僅是“授人以魚”，更是“授人以漁”，能夠教會我如何獨立地去思考和解決數學問題，培養我的數學直覺和邏輯思維能力。我相信，通過這本書的引導，我能夠更好地掌握高等數學這門精深的學科，並在未來的學習和研究中，更加自信和從容。

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